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哈工程微积分自主考试试卷(有答案)

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高等数学A (一)自主考试 参考答案及评分标准(2011.4.24)

一、填空题(每小题3分,共15分): 1、解答:e 。

2、解答:dx

x x

x

x x x x

]sec

)sin ln [(cos 2

sin ++

3、解答:1。

4、解答:π2。

5、解答:2

42

π

π-

二、选择题(每小题3分,共15分):

1,解答:C 2, 解答:A 3、解答:B 。 4、解答:B 。 5、解答:B 。

三、计算题(每小题7分,共21分): 1、解答:

2

1)1(lim

)1(1

1lim

)1(1

1

)1(01

1

02

0)1ln(1lim )1ln(lim -

-+-+--+--+→-→===⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-++=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+→→e

e

e

x x x x x x

x

x n x

x

x n e x

x

x n e x x n x

x e x x x

x x

x

...........................................7分

2、解答:

t t f t f t f t t f dx

dy ='''-''+'=

)

()

()()(;

...........................................3分

)

(12

2

t f dx

y d ''=

...........................................4分

3、解答:

-dx x x x

)

1(arcsin c

x x d x x d x

x

+==

-=

⎰⎰

2

)(arcsin arcsin arcsin

2)(1arcsin

2

...........................................3分

dx x

x ⎰

+2sin tan 1c

x x x d x

x dx x

x x ++=

+=

+=

⎰⎰)tan tan (ln 2

1tan tan tan 12

1

cos sin

tan 121

⎰++

-dx x

x x x x

)2sin tan 1)

1(arcsin (

=c x x x +++

)tan tan (ln 2

1)(arcsin

2

...........................................4分

四、计算题(每小题8分,共32分): 1、解答:)0(f ''存在,)0(f '必存在且)(x f 在0=x 点必连续,从而)0()(lim 0

f x f x =-

→,

即0=c ; 又1)

ln(1lim )0( ,)(lim

)0(0

2

=+='=++='+

-

→+→-x

x f b x

c bx ax

f x x ,故1=b ,且1)0(='f ;

...........................................4分

又a

x

ax x

f x f f x x 21

)12(lim )

0()(lim

)0(0

=-+='-'=''-

-

→→-,

11lim )

0()(lim )0(11

-=-='-'=''+→→++

+

x

x

f x f f x

x x ,故2

1-=a 。

...........................................4分

2、解答:原式=⎰-=x

dt

t g t x x f 0

2

)()(2

1

)(

⎰⎰⎰

+

-=

x

x

x

dt

t tg dt t tg x dt t g x

0 2

2

)(2

1

)()(2

1,

故)(2

1)()()(2

1)()(2

2

2

x g x x g x dt t tg t g x dt t g x x f x

x

+

--

+

='⎰

=

-+=

''x

x

dt t g x xg x xg dt t g x f 0

)()()()()(,

)()(x g x f =''',

...........................................6分

所以2)()1(1

==

''⎰

dt t g f ,

5)1()1(=='''g f 。

...........................................2分