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个人所得税优化分配模型数学建模

2011年第四届新疆大学生数学建模竞赛

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C

参赛队员：

1. 徐辉（信息工程学院通信工程13-1班级联系电话137********）

2. 冯榆斌（信息工程学院通信工程13-2班级联系电话158********）

3. 陈浩（信息工程学院计算机科学与技术12-3班级联系电151********）

日期：2011 年5月9日评

分

备

注

个人所得税收入分配优化模型

摘要

为了解决个人所得税收入分配方案，特建立月工资收入和年终一次性奖金关于最小纳税额的函数关系模型，以解决如下问题：

问题一：要实现员工的月工资和年终奖金的优化分配，在月工资等额的前提下，通过对国家提供的每月工资纳税和年终奖金纳税方案的分析，得出只有当员工每月纳税额()f x 和年终奖金纳税额()f y 之和为最小时，才能最优分配，从而建立目标函数模型[1]：

i 1A 12()()Min f x f y ==+∑税

要实现员工年薪在3~15万的优化分配，通过对模型用C 语言编程进行循环嵌套[2]，得出最优分配方案，当年收入为10万元时，每月工资为月工资6333x =元，年终奖

24004.0y =元，此时年纳税额最小为9419.4元。当年收入为3万到15万时，工资分配方案利用C 语言编程搜索，得出结果，部分数据：()()年收入，月收入，年终奖金单位：

元 ( 30000, 2000, 6000 ), (31000, 2083 , 6004), (32000, 2166, 6004) , (33000 , 2250, 6000 ) (97000,6083, 24004), (98000,6166, 24008), (99000,6250, 24000), (100000,6333,24004)(147000,7250,60000), (148000,7333,60004), (149000,7416,60008),(150000,7500,60000) 问题二：要实现该夫妇年收入为9万元时的最优还贷计划，经分析存在两种情况： 1）在纳税最少的前提下，交付住房抵押贷款，其每月上交的贷款额X （专指从工资中扣除的钱还贷），应满足5500X ≤(9万元年薪对应的最优月工资)，此模型为：

1224000(10.1)55000(1)n i nx n p +?-?≥+

2）每月上交贷款5500X ≥时，此时已不是纳税最优分配，这样每月多还款，必定会缩短贷款年限，贷款的利息会降低，这时只有保证在其纳税额和上交贷款最少前提下，年份也越少越符合要求，建立还贷模型：

j ()[20%12(6600)12375Pr (9000012)12]Min Z n Y Y X =??-+?+-+

结合两种情况，分别给出约束条件，运用Matlab7.0和10Lingo 软件编程求解，通过对两种情况下的结果进行比较分析，可以得出该夫妇10年还清银行贷款，每月还款

7145.0X =元，年终奖金y=240000元。

在模型检验方面，运用了灵敏度分析，发现微观变化对建立模型的整体影响的不大，模型的可行性较好；在解决问题二时，分情况讨论，将结果对比分析之后找出最优解。

关键词：个人所得税纳税优化线性规划还贷模型年终奖

一、问题的提出

根据全国人大常委会高票表决通过关于修改个人所得税法的决定，和修改后的个人所得税具体征税公式：=

月应纳税所得额月工薪收入-费用扣除标准(1600)，并结合年终奖金纳税方案以解决：

1）为某公司职员制定其每年收入分配方案使其年度纳税总额最少（假设其年收入为10万元，公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额）；并制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表，年收入从3万元以1000元为间隔到15万元。

2）现假设该公司某夫妇年收入为9万元，并打算贷款购买住房，银行贷款利率如题中所示。如果新房的售价为55万元，请替该夫妇制定一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。

二、模型的假设

1）每月工资一定，且以元为单位计算；

2）夫妇向银行还款的期限内年利率不变；

3）利率转化函数合理性及实用性已经实践检验；

4）每月等额还款还款分两部分工资还款和年奖金还款；

5）该夫妇可自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额；

6）还款不超过该夫妇的能力范围且该夫妇还款以整年为单位；

三、符号说明

符号说明如下表1所示：

表1：符号说明

符号含义

A年总收入

年总交税额

税

x每月工资

y年终一次性奖金

()

f x年工资应纳税额

f y年终一次性奖金应纳税额

()

P i在4年和5年时的贷款利率

j为1和0时相应的年终奖金利率纳税百分比j

n个人住房银行抵押贷款还款年限

X每个月向银行还贷款

Y在工资大于5500元时的月工资

Z夫妇要向银行还的总金额

四、模型的建立与求解

4.1问题一的分析与求解 4.1.1问题一的分析

由题意分析可知：全年纳税总额分为两个部分, 一部分为月工资部分的所需上交的税额()f x ,另外一部分为年终奖部分所需上交的税额()f y 。要使年纳税额最小的就是保证月工资纳税和年终奖纳税总额最少。

通过简单计算分析，企业给员工发放每月工资的不均衡发放，必然导致个人所得税税负提高.假设没有年终奖, 在税前年收入为定值A 元时,这时的()12A f x =?；将Z 平均分配到12个月, 即()f x 。如果每月的工资可按员工意愿，则存在12312,,,

,x x x x 。当

12312x x x x ===

= 时，所需上交的税额为最小。

因此只有在每个月工资一定的情况下其纳税才是最少的。 4.1.2 年纳税金最小的优化模型的建立与求解

由每月工资应纳税计算方案，设每月工资x 为自变量，一年工资总税额为因变量的分段函数()f x ，而实际上我们可以得知，员工的年薪在3~15万元，也就是说其最大工资150000/1212500()x ≤=元,此时员工每月应交纳的个人所得税的函数关系为：

[]0125%(1600)()12[10%(1600500)25]12[15%(16002000)125]12[20%(16005000)375]x f x x x x

??-??=--+??--+?

--+?? 01600;16002100;21003600;36006600;660012500;x x x x x ≤≤<≤<≤<≤<≤

同理根据个人取得全年一次性奖金等计算征收个所得税的标准，设年终奖金为y 元，年终奖的纳函数()f y 表达式如下：

5%10%()15%20%y

y f y y y ???

??=?

???

500;12

5002000;

1220005000;

12500020000.

≤<≤<≤<≤ 针对个人的全年纳税，建立如下模型：

i 1

A 12()()Min f x f y ==+∑税

约束条件为：

.,0i A x y St x y =?

=+???>?

∑

那么对于本题中3000015000A ≤≤是，要求得年纳税的最小值，我们通过C 语言编程（见附录一）求解得（单位：元）：

年收入（税前）纳税最佳月工资年终奖金

图一：员工年收入为3-15万时的工资分配方案组图

由编程运行的结果，可以很直观地看出当年收入一定时，工资和年终奖的最优分配：当年收入100000A =时，月工资6333x =元，年终奖24004.0y =元，此时年纳税额最小为9419.4元。

显然，当我们可以自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额时,A 一定时，上表对应的纳税最小；A 从3万元以1000元为间隔到15万元时的收入最优分配方案表得到解决。

4.2 问题二的分析与求解 4.2.1问题二的分析

由题意知该夫妇上交的住房抵押贷款包括两部分：第一部分是从其工资中扣除，每月定期还；第二部分是年总奖金扣除税收后的部分，平均分配到每个月中（说明：应为其年终奖金是每年的第12月份发，故还款的第一年的奖金从下一年发下去，但实际上到还款完后该夫妇还剩下一年的奖金在手中，为了最大限度还款，我们将多出的一年奖金以提前支付或先垫上一年奖金的方式从第一年开始把年终奖金的钱还贷款，再把多出一年奖金补回去）

同时一个合理的贷款方案[3]，当然是在贷款相同数额的情况下,贷款时间越短最终所付利息越少，越好；但必需考虑贷款人的还款能力，月还款额不能超出其可支配金额。 4.2.2 合理还贷模型的建立与求解

该夫妇年收入为9万元，如果只要求其在纳税最少的前提下，交付住房抵押贷款的话，其每月上交的贷款额X （专指从工资中扣除的钱还贷），应满足5500X ≤(9万元年薪对应的最优月工资)，如果每月上交贷款5500X ≥时那么应该考虑，此时已不是纳税最优工资，这样每月多还款，必定会缩短贷款年限，贷款的利息会降低，这时只有保证在其纳税金和上交贷款最少前提下，年份也最少才符合要求。

不管是哪种还还款模式，按该夫妇还款能力，就算该夫妇把年薪9万元全还了，也至少7年还清，根据2010年《个人住房贷款管理办法》规定：贷款期限为5至10年(含10年)的，执行3至5年(含5年)法定贷款利率；也就是说该夫妇只有四或五年两种贷款利率。

与此同时银行贷款归还按整年计算，因为贷款利率是按年利率计算，故不足一年和满一年给银行缴纳的钱是一样的，那么在相同情况下，我们选择到可以还清贷款的那一年年底即十二月份还清，以减轻每月的还款压力。

情况一：当该夫妇每个月向银行还贷款5500X <最优工资时，要n 年还清，需满足不等式：

24000(10.1)

550

00n i n x n p +?-?≥+ （1）其中的贷款利率分45、

年两种，且7到8年还清时取四年年利率，9到10年还清选取5年的年利率，关系式如下：

=6.535

%6.662% i P 、、（2）

并且使得：

142578. 6.535%

910. 6.662%n st P n st P ≤≤??

=?≤≤??

≤? （3）

线性模型为：

14251224000(10.1)55000(1)

6.535%6.662%45

.. 6.535%910. 6.662%

n i i nx n P P i n St st P n st P ?+?-?≥+?

==??≤≤????

=???≤≤???=???、

、

现对以上模型，通过运用7.0Matlab 软件编程[4,6,7]进行求解（程序见附录2）得10年内还不清贷款，故舍弃此种情况。

情况二：当该夫妇每个月向银行还贷款5500X ≥时，就要求其提高每月工资，此时其年终奖金纳税和每月工资纳税将改变，月工资也将改变。此时的年终奖金24000y <，年终奖金利率纳税百分比就分两种情况5%或10%。同样贷款利率分也分45、年两种。设此时的月工资为Y ，仍然是分n 年还清。那么要实现贷款时间短最终所付利息少[5]，就要求其目标函数为：

j ()[20%12(16005000)12375Pr (9000012)12]Min Z n Y Y X =??--+?+-+

1）当贷款利率为4年利率时，取7到8年还清，那么其约束条件：

5500(90000(120.2(6600)12375)Pr (9000012))/12;

550090000/12;78;. 6.535%;Pr 10%5%01;12(1Pr )(9000012)550000(1);j j n j X Y Y Y n St P j nX n Y P <<-?-+?--??

?==?+--≥+??

、、

2）当贷款利率为5年利率时，取9到10年还清，那么其约束条件：

5500(90000(120.2(6600)12375)P r (9/12;550090000/12;910;

.6.662%;P r 10%5%01;12

(1P r )(9000012)550000(1);j j n

j X Y Y Y n St P j nX n Y P <<-?-+?--??

对于1）运用Lingo10软件编程[8]求解（见附录四），由于n 值在j pr 取10%和5%分别为：9.1,8.9n n ≈≈与我们前提78n ≤≤不符合。

对于2）的线性规划模型，当5%j pr =时解得：10.0110n ≈>所以不符合题意；对于10%j pr =运用Lingo10软件编程并加入灵敏度分析，求解的结果如下：

图二：贷款利率为5年利率时结果图

9.3,n ≈ 因为其还款是以整年计算故我们取10,n =月工资为5500Y =元，每月还款额为

7145X =元。

通过对仿真结果图比较我们看出，在灵敏度分析一栏的显示结果中其影子价格变化范围较小，说明模型的最优解较合理。与此同时，我们看结果：贷款利率为5年的时候要9.3年还清，而实际上我们取10年还清，这样是考虑在不影响还款的前提下，减轻了夫妇的还款压力，从而算出年终奖金为9000012550024000y =-?=元。

现在我们通过对两种情况比较发现：当该夫妇每个月向银行还贷款5500X <最优工资时，10年内还不清贷款；而当该夫妇每个月向银行还贷款5500X ≥元时共10年还清，那么在相同的前提下，向国家和银行缴纳最少的钱，用最少的时间对于夫妇来说是最合理且最现实的，故我们确定该夫妇10年还清贷款，每月还款7145X =元，年终奖金

y=24000元。

五、模型的评价与推广

5.1 模型的优点

1）在建模过程中，我们运用C语言、Matlab7.0和10

Lingo多种软解编程求解，结果可信度较强；

2）利用10

Lingo运行时加入灵敏度运行结果放入运行结果图中显示，使得结果及其准确性更具直观性；

3）对模型二的求解，分别采用Matlab7.0和10

Lingo语言编程求解，通过对各自所得结果进行比较，进一步确定计算的科学性；

4）本模型运用到线性规划模型思想进行改进推广到一般等式不等式可用不同软件求解具有较大应用。

5.2 模型的缺点

1）在模型的建立过程中，为了简化计算处理过程，月还款额上限做理了想化处理，实际应考虑许多较现实因素因素；

2）在求解过程中未进行过多的误差检验分析，使结果可能有较小范围的误差。

5.3 模型的推广

本文在建模过程中，采用了比较经典的线性规划数学思想以及较理想化处理的方法，该思想方法对分配问题的求解可操作性强，在实际应用中，使用范围较广；此外，求解该模型的用C语言和Matlab7.0编写的计算机循环搜索算法，对于求解较为复杂，数据较多输出的模型的优化解，计算效率高，操作便捷，在实际使用中，可推广性强。提取数据简单容易。

六、参考文献

[1]王文波，数学建模及其基础知识详解，[M]，武汉：武汉大学出版社.

[2]谭浩强，C语言程序设计教程(第3版)，[M]，北京：高等教育出版社，2006.

[3]谭永基等，数学模型，[M]，上海：复旦大学出版社.

[4]张平等，MATLAB基础与应用，[M]，北京：北京航空航天大学出版社，2001.

[5]刘承平，数学建模方法，[M]，北京：高等教育出版社.

[6]薛定宇,陈阳泉,高等应用数学问题的MATLAB求解，[M]，北京：清华大学出版社，

2008.

[7]王沫然，MATLAB与科学计算，[M]，北京：电子业出版社，2003.

[8]谢金星、薛毅，优化建模与LINDO/LINGO 软件，[M]，北京：清华大学出版社，2005.

附录

1.C语言循环算法

#include "stdio.h"

void main()

{

int A,k,a,t,x; /*A表示年收入（未交税的），k循环次数，a表示年终奖在每月的均值，x表示统计税收最小时月工资*/

double y1,y2,y[2],y3;/*y1表示每月交的税收；y2表示年终奖金交的税；y3表示税收最小时的年终奖金*/

for (A=30000;A<=150000;A+=1000)

{

t=1;

for (k=0;k<=(A/12);k++)

{

a=(A-12*k)/12;

if (a<=500&&a>0)

{

y2=0.05*12*a;

}

else if(a<=2000&&a>500)

y2=0.1*12*a;

else if (a<=5000&&a>2000)

y2=0.15*12*a;

else

y2=0.2*12*a;

if (k<1600)

y1=0;

else if(k<2100)

y1=(k-1600)*0.05;

else if(k<3600)

y1=(k-2100)*0.1+500*0.05;

else if (k<6600)

y1=(k-3600)*0.15+500*0.05+1500*0.1;

else if(k<12500)

y1=(k-6600)*0.2+3000*0.15+1500*0.1+500*0.05;

if(t==1)

{

y[0]=y1*12+y2;

x=k;

}

else

{

y[1]=y1*12+y2;

if(y[1]

{

y[0]=y[1];

x=k;

}

t++;

y3=A-12*x;

}

printf("%15d%15.1f%15d%15.1f\n",A,y[0],x,y3);

}

2.MATLAB程序：

function p=choose(n);

switch(n)

case{7,8}

p=0.0635;

case{9,10}

p=0.0662;

otherwise

p=0.0662;

end

调用函数为：

function lashui(n)

for x=0:5500

if 12*n*x+24000*0.9*n>=550000*(1+choose(n))^n

disp(x);

break;

end

3.Lingo程序：

一、

min=n*(0.2*12*(Y-6600)+375*12+0.1*(90000-12*Y)+12*X);

5500

X<(90000-(12*0.2*(Y-6600)+375*12)-0.1*(90000-12*Y))/12;

5500

Y<90000/12;

0.9*n*(90000-12*Y)+12*n*X>=550000*(1+p)^n;

p=0.06535;

二、

min=n*(0.2*12*(Y-6600)+12*375+0.05*(90000-12*Y)+12*X);

5500

X<(90000-(12*0.2*(Y-1600)-375*12)-0.1*(90000-12*Y))/12;

5500

Y<90000/12;

0.9*n*(90000-12*Y)+12*n*X>=550000*(1+p)^n;

p=0.06535;

三、

min=n*(0.2*12*(Y-6600)+12*375+0.05*(90000-12*Y)+12*X);

5500

X<(90000-(12*0.2*(Y-1600)-375*12)-0.1*(90000-12*Y))/12;

5500

Y<90000/12;

0.9*n*(90000-12*Y)+12*n*X>=550000*(1+p)^n;

p=0.0662;

四、

min=n*(0.2*12*(Y-6600)+12*375+0.05*(90000-12*Y)+12*X);

5500

X<(90000-(12*0.2*(Y-6600)+12*375)-0.1*(90000-12*Y))/12;

5500

Y<90000/12;

0.9*n*(90000-12*Y)+12*n*X>=550000*(1+p)^n;

p=0.0662;

4.LINGO 程序运行结果

LINGO程序一运行结果图

LINGO程序而运行结果图

LINGO程序三运行结果图