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力矩与力偶的一些练习题

第2章 力矩与力偶

2.1 力对点的矩

从实践中知道,力对物体的作用效果除了能使物体移动外,还能使物体转动,力矩就是度量力使物体转动效果的物理量。

力使物体产生转动效应与哪些因素有关呢?现以扳手拧螺帽为例,如图2.1所示。手加在扳手上的力F ,使扳手带动螺帽绕中心O 转动。力F

越大,转动越快;力的作用线离转动中心越远,转动也

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越快;如果力的作用线与力的作用点到转动中心O 点的

连线不垂直,则转动的效果就差;当力的作用线通过转

动中心O 时,无论力F 多大也不能扳动螺帽,只有当力

的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时,转动

效果最好。另外,当力的大小和作用线不变而指向相反

时,将使物体向相反的方向转动。在建筑工地上使用撬

杠抬起重物,使用滑轮组起吊重物等等也是实际的例子。

通过大量的实践总结出以下的规律:力使物体绕某点转

动的效果,与力的大小成正比,与转动中心到力的作用

线的垂直距离d 也成正比。这个垂直距离称为力臂,转动中心称为力矩中心(简称矩心)。力的大小与力臂的乘积称为力F 对点O 之矩(简称力矩),记作()o m F 。计算公式可写为 ()o m F F d =±? (2.1)

式中的正负号表示力矩的转向。在平面内规定:力使物体绕矩心作逆时针方向转动时,力矩为正;力使物体作顺时针方向转动时,力矩为负。因此,力矩是个代数量。 力矩的单位是N m ?或kN m ?。

由力矩的定义可以得到如下力矩的性质:

(1)力F 对点O 的矩,不仅决定于力的大小,同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同,力矩随之不同;

(2)当力的大小为零或力臂为零时,则力矩为零;

(3)力沿其作用线移动时,因为力的大小、方向和力臂均没有改变,所以,力矩不变。

(4)相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。

例2.1 分别计算图2.2中1F 、2F 对

O 点的力矩。 解 从图2–2中可知力1F 和2F 对

O 点的力臂是h 和2l 。

故m o(F)=±F 11l = F 11l sin300

=49×0.1×0.5=2.45N.m

m o(F)=±F 22l =-F 22l =-16.3×

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0.15=2.445N.m

必须注意:一般情况下力臂并不等于矩心与

力的作用点的距离,如1F 的力臂是h ,不是1l 。

2.2 合力矩定理

在计算力对点的力矩时,有些问题往往力臂不易求出,因而直接按定义求力矩难以计算。此时,通常采用的方法是将这个力分解为两个或两个以上便于求出力臂的分力,在由多个分力力矩的代数和求出合力的力矩。这一有效方法的理论根据是合力矩定理,即:

如果有n 个平面汇交力作用于A 点,则平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩,等于力系中各分力对同一点力矩的代数和:

即 m o (F R )=m o (F 1)+ m o (F 2) +…+ m o (F n ) =∑m o (F) (2.2)

称为合力矩定理。

合力矩定理一方面常常可以用来确定物体的重心位置;另一方面也可以用来简化力矩的计算。这样就使力矩的计算有两种方法:在力臂已知或方便求解时,按力矩定义进行计算;在计算力对某点之矩,力臂不易求出时,按合力矩定理求解,可以将此力分解为相互垂直的分力,如两分力对该点的力臂已知,即可方便地求出两分力对该点的力矩的代数和,从而求出已知力对该点矩。

例 2.2 计算图2.3中F 对O 点之矩。

解 F 对O 点取矩时力臂不易找出。将F 分解

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成互相垂直的两个分力F X 、F Y ,它们对O 点的矩分

别为

m o (F X )=F X b=Fbsin α

m o (F Y )= F Y a=Facos α

由合力矩定理

m o (F)= m o (F X )+ m o (F Y )= Fbsin α+ Facos α

例 2.3 槽形杆用螺钉固定于点O ,如图2.4(a )所示。在杆端点A 作用一力F ,其

大小为400N,试求力F对点O的矩。

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解 方法1(按力矩定义计算):本题中力F 的大小和方向均已知,要计算力F 对点O 的矩,关键是找出力臂的长度。为此,自矩心O 作力F 作用线的垂线OC ,线段OC 就是力臂d ,如图2.4(b )所示。

由图2.4(b )中的ABO ?可得

106tan 0.33312

α-== 18.43α=

412.65sin 0.3162

BO AO cm α=== 而在ACO ?中,6018.4341.57β=-=

,所以 sin 12.65sin 41.578.39d AO cm β===

于是力F 对点O 的矩为

m o (F)=Fd=-400×83.9=33560Nmm

“一”号表示力F 将使槽形杆绕点O 有顺时针方向转动的趋势。

方法2(按合力矩定理计算):将力F 分解为水平力F X 和铅直力F Y ,如图2.4(c )所示。由合力矩定理知,力F 对点O 的矩就等于分力F X 、F Y 对同一点O 的矩的代数和,即

m o (F)= m o (F X )+ m o (F Y ) =-F X ×120+F Y ×40

=-400sin600×120+400cos600×40

=-41560+8000=-33560Nmm

可见两种方法结果完全一样。但在方法1中,求力P F 对点O 的矩需要通过几何关系才能找出力臂,计算比较麻烦;而方法2用合力矩定理计算则比较简便。在实际计算中,常用合力矩定理来求力矩或合力作用线的位置。

2.3力偶及其基本性质

2.4力偶和力偶矩

在生产实践和日常生活中,为了使物体发生转动,常常在物体上施加两个大小相等、方向相反、不共线的平行力。例如钳工用丝锥攻丝时两手加力在丝杠上(图2.5所示)。

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当大小相等、方向相反、不共线的两个平行力F和/F作用在同一物体时,它们的合F=,即F和/F没有合力。但因二力不共线,所以也不能平衡。它们的作用效果是力0

R

使物体发生转动。力学上把这样大小相等、方向相反、不共线的两个平行力叫力偶。用符号(F,/F)表示。两个相反力之间垂直距离d叫力偶臂(如图2.6所示),两个力的作用线所在的平面称为力偶作用面。力偶不能再简化成比力更简单的形式,所以力偶与力一样被看成是组成力系的基本元素。

如何度量力偶对物体的作用效果呢?由实践可知,组成力偶的力越大,或力偶臂越大,则力偶使物体转动的效应越强;反之,就越弱。这说明力偶的转动效应不仅与两个力的大小有关,而且还与力偶臂的大小有关。与力矩类似,用力偶中一个力大小和力偶臂的乘积并冠以适当正负号(以示转向)来度量力偶对物体的转动效应,称为力偶矩,用m表示。即

=±(2.3)

m Fd

使物体逆时针方向转动时,力偶矩为正;反之为负。如图2.6所示。所以力偶矩是代

?)。

数量。力偶矩的单位与力矩的单位相同,常用牛顿·米(N m

通过大量实践证明,度量力偶对物体转动效应的三要素是:力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面。不同的力偶只要它们的三要素相同,对物体的转动效应就是一样的。

2.4.1 力偶的基本性质

性质1 力偶没有合力,所以力偶不能用一个力来代替,也不能与一个力来平衡。

从力偶的定义和力的合力投影定理可知,力偶中的二力在其作用面内的任意坐标轴上的投影的代数和恒为零,所以力偶没有合力,力偶对物体只能有转动效应,而一个力在一

般情况下对物体有移动和转动两种效应。因此,力偶与力对物体的作用效应不同,所以其不能与一个力等效,也不能用一个力代替,也就是说力偶不能和一个力平衡,力偶只能和转向相反的力偶平衡。

性质2 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩,且与矩心位置无关。

图2.7所示力偶(F ,/

F ),其力偶臂为d ,逆时针转向,其力偶矩为m Fd =,在其所在的平面内任选一点O 为矩心,与离/F 的垂直距离

为x ,则它到F 的垂直距离为x d +。显然,力偶对O

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点的力矩是力F 与F '分别对O 点的力矩的代数和。

其值为: (,)()O m F F F d x F x F d m

''=+-== 由于O 点是任意选取的,所以性质2已得证。

性质3 在同一平面内的两个力偶,如果它们的力偶矩大小相等,转向相同,则这两个力偶等效。称为力偶的等效条件。

从以上性质可以得到两个推论。

推论1 力偶可在其作用面内任意转移,而不改变它对物体的转动效应,即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。

例如图2.8(a)作用在方向盘上的两上力偶(1F ,

F ')与(2F ,F ')只要它们的力偶矩大小相等,转向相同,作用位置虽不同,转动效应是相同的。

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推论2 在力偶矩大小不变的条件下,可以改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短;而不改变它对物体的转动效应。

例如图2.8(b)所示,工人在利用丝锥攻螺纹

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时,作用在螺纹杠上的(1F ,

F ')或(2F ,F '),虽然1d 和2d 不相等,但只要调整力的大小,使

力偶矩1122Fd F d =,

则两力偶的作用效果是相同的。

从上面两个推论可知,在研究与力偶有关的问题时,不必考虑力偶在平面内的作用位置,也不必考虑力偶中力的大小和力偶臂的长短,只需考虑力偶的大小和转向。所以常用带箭头的弧线表示力偶,箭头方向表示力偶的转向,弧线旁的字母m 或者数值表示力偶矩的大小,如图2.9所示。

2.5

平面力偶系的合成与平衡 2.5.1 平面力偶系的合成

作用在物体上的一群力偶或一组力偶,称为力偶系。作用面均在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。

因为力偶对物体的作用效果是转动,所以同一平面上的多个力偶对物体的作用效果也是转动,作用在同一物体上的多个力偶的合成的结果必然也应该是一个力偶,并且这个力偶的力偶矩等于各个分力偶的力偶矩之和。即作用在同一平面上的若干力偶,可以合成为一个合力偶,其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和:

即 12n M m m m m =+++=∑ (2.4) 例 2.4 如图 2.10所示,在物体的某平面内受到三个力偶的作用,设1200F N =,2600F N =,300m N m =?,求它们的合力偶矩。

解 各力偶矩分别为

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112001200m Fd N m =-=-?=-?

220.25600300sin 30m F d N m ==+?=?

1300m m N m =-=-?

由(2-4)式可得合力矩为

123M m m m m ==++∑

200300300200N m =-+-=-?

即合力偶矩的大小为200N m ?,顺时针转向,作用在原力偶系的平面内。

2.4.2 平面力偶系的平衡条件

平面力偶系可以合成为一个合力偶,当合力偶矩等于零时,物体处于平衡状态;反之,力偶矩不为零,则物体必产生转动效应而不平衡。这样可得到平面力偶系平衡的必要和充分条件是:力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。即:

0m =∑ (2.5)

上式称为平面力偶系的平衡方程。

应用式(2.5)解决平面力偶系的平衡问题,只能求出一个未知量。

例 2.5 梁AB 上作用有一力偶,其转向如图 2.11(a),力偶矩15m kN m =?。梁长3l m =,梁的自重不计,求A 、B 处支座反力。

解 梁的B 端是可动铰支座,其支座反力B F 的方

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向是沿垂直方向的;梁的A 端是固定铰支座,其反力的

方向本来是未定的,但因梁上只受一个力偶的作用,根

据力偶只能与力偶平衡的性质,A F 必须与B F 组成一个

力偶。这样A F 的方向也只能是沿垂直方向的,假设A

R 与B F 的指向如图2.11(b)所示,由平面力偶系的平衡条

件得

0m =∑, 0A m R l -=

KN l m F AR 53

15===(↑) KN F BR 5=(↓)

本章小结

1.力矩是力使物体绕某一点转动效应的度量。力矩的大小等于力与矩心到力的作用线的垂直距离的乘积,力矩的转向用正、负号来表示;因而在平面问题中,力矩可看成是代数量。

2.力偶是由大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力所组成的一个特殊力系。

力和力偶是力学中两个最基本的机械作用量。力对刚体作用一般都有移动和转动两种效应;而力偶对刚体却只有转动效应,没有移动效应。力偶既不能用一个力代替,也不能与一个力平衡,力偶只能用力偶来平衡。

力偶使刚体转动的效应用力偶矩来度量。力偶矩的大小等于力偶中任一力的大小与两力之间的垂直距离的乘积,力偶矩的转向用正、负号来表示,因而在平面问题中,力偶矩可看成是代数量。

力矩是力使物体绕某点转动效应的度量,而力偶是最基本的机械作用量,力矩与力偶是两种不同的概念,不能混淆。

3.力偶在任一轴上的投影恒等于零;力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩,而与矩心的位置无关;力偶可以在其刚体的作用面内任意移动,也可以在力偶矩保持不变的

条件下同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短,而不改变它对刚体的效应。但必须注意,所谓任意移动是指在所作用的刚体内移动,而不能将它移动到另外的刚体上。掌握力偶的这些性质,无论对于力系简化的理论或解决有关力偶作用下物体的平衡问题,都是非常重要的。

4.平面力偶系合成的结果是一个合力偶;合力偶的力偶矩等于力偶系中各分力偶的力偶矩的代数和。平面力偶系平衡的必要和充分条件是合力偶矩等于零,即力偶系中各力偶的力偶矩的代数和等于零。

思考试

2.1 什么是力矩?什么是力偶?有何异同?举例说明。

2.2 力偶有哪几条性质?

2.3 力偶的三要素是什么?

2.4 怎样的力偶才是等效力偶?

习 题

2.l 计算下列各图中F 力对O 点之矩。

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2.2 分别求图题 2.2所示三个力偶的合力偶矩,已知;1180F F N '==,22130F F N '==,33100F F N '==;170d cm =,260d cm =,350d cm =。

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2.3 各梁受荷载情况如图题2.3所示,试求

(1)各力偶分别对A 、B 点的矩。 (2)各力偶中二个力在x 、y 轴上的投影。

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2.4 求图题2.4示各梁的支座反力

2.5 如图题 2.5所示,已知皮带轮上作用力偶矩80m N m =?,皮带轮的半径0.2d m =,皮带紧拉边力N F T 5001=,求平衡时皮带松边的拉力2T F 。

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