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2019-2020学年黑龙江省大庆市实验中学高一上学期期末数学试题及答案版

2019-2020学年黑龙江省大庆市实验中学高一上学期期末

数学试题及答案版

一、单选题

1.已知集合1=,42k M x x k Z ??=+∈?

???,1=,24k N x x k Z ??=+∈????

,则( ) A .=M N B .M N ? C .N M ? D .=M N ?

【答案】C

【解析】化简集合M 与N ,可知N 中的元素都在M 中,即可确定集合M 与集合N 的关系. 【详解】

因为1=,422

,4k M x x k Z x k x k Z ????=+∈=??????∈?+=? 21=,=,2144k N x x k Z x k x k Z ????=+∈∈???????+=?

当k Z ∈时,2k +为整数,21k +为奇数,所以N M ?. 故选:C 【点睛】

本题考查对集合描述法的理解,判断两个集合间的包含关系,属于基础题.

2.若10

1a b c >><<,,则( ) A .c c a b < B .b a c c < C .log log b a c c

<

D .log log c c b a <

【解析】根据指数函数、对数函数和幂函数的图像与性质,结合单调性及特殊值即可判定选项. 【详解】

因为10

1a b c >><<, 对于A,当1

=3=2=

2

a b c ,,时, 112232>所以A 错误;

对于B,当01c <<时,

x y c =为单调递减函数,所以1a b >>时

b a

c c >,所以

B 错误;

对于C,由换底公式可知log log log a b a c

c b =

,当

101a b c >><<,时log 0a c <,0log 1a b <<

所以log log log a a a

c

c b <,即log log b a c c <,所以

C 正确;

对于D,因为01c <<,所以log c y x =单调递减,而1a b >>,所以

log log c c b a >,所以

D 错误.

综上可知,C 为正确选项. 故选C 【点睛】

本题考查指数函数、对数函数和幂函数的图像与性质的综合应用,函数值大小比较,属于基础题. 3.已知()()()sin cos sin cos k k A k παπαα

α

++=

+

∈Z ,则A 的值构成的集

合是( )

A .{1,1,2,2}--

B .{1,1}-

C .{}

2,2-

D .{}1,1,0,2,2--

【解析】对k 分奇数、偶数进行讨论,利用诱导公式化简可得. 【详解】

k 为偶数时,sin cos 2sin cos A αα

αα

=

+=;k 为奇数时,sin cos 2sin cos A αα

αα

=-

-=-,则A 的值构成的集合为{}2,2-. 【点睛】

本题考查三角式的化简,诱导公式,分类讨论,属于基本题.

4.幂函数y a x =,当a 取不同的正数时,在区间[]01,上它们的图像是一组美丽的曲线(如图),设点()()A 10

B 01,,,,连结AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y y a b x x 、==的图像三等分,即有BM MN NA ==,那么1

a b

-

=( )

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A .0

B .1

C .12

D .2

【答案】A

【解析】先根据题意结合图形分别确定M N 、的坐标,然后分别代入y y a b x x 、==中求得b a 、的值,最后再求出1

a b

-的值,即可得出答案. 【详解】

因为BM MN NA ==,点()()A 10

B 01,,,,

所以1221M N 3333???? ? ?????

,,, 分别代入y y a b x x 、==中,2133

12log b log 33a ==, 所以

2313

111

log 023log 3a b -

=-=,

故选A .

【点睛】

本题考查了指数函数的性质以及指数与对数的转化,考查了数形结合思想,考查了对数的计算法则,考查了计算能力与推理能力,是基础题. 5.已知()1

sin cos 05

αααπ+=<<,则tan α=( )

A .3

4- B .4

3- C .43

D .4

3-或3

4-

【答案】B

【解析】联立221sin cos 5sin cos 1

αααα?

+=

??

?+=?,求出sin ,cos αα,再根据0απ<<,

确定sin ,cos αα的正负,得出具体结果,从而求出tan α. 【详解】

2241sin sin cos 553sin cos 1cos 5αααααα?=??+=???????+==-???或3sin 54cos 5αα?=-????=??

, 0απ<<,sin 0α∴>, 43

sin cos 55

αα∴==-,,

sin 4

tan cos 3

∴=

=-ααα, 故选:B. 【点睛】

本题考查了同角三角函数之间的关系,需要学生熟练掌握函数关系式,属于简单题.

6.若12,e e 是夹角为60?的两个单位向量,则122a e e =+与

1232b e e =-+的夹角为(

).

A .30°

B .60°

C .120°

D .150°

【答案】C

【解析】利用向量的数量积以及向量模的求法即可求解. 【详解】

21211

cos602

e e e e ??=?=

()()

1212232a b e e e e ∴?=+?-+22112217

6262,22

e e e e =-+?+=-++=-

()

2

2

222

12

11221

||2444417,2

a a e e e e e e ==+=+?+=+?+=

()

2

2

222

12

1

122

1

||329124912472

b b e e e e e e ==-+=-?+=-?+=.

设向量a 与向量b 的夹角为θ则7

12cos 2||||7a b a b θ-

?==

=-?. 又0180θ

??,所以120θ?=,

故选:C . 【点睛】

本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、求向量的模,属于基础题.

7.对于函数()f x ,在使()f x m ≤恒成立的式子中,常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”,则函数

33

()33

x x f x -=+的“上

界值”为( ) A .2 B .-2 C .1 D .-1

【答案】C

【解析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0x t t => 则

36

1133

t y t t -=

=-<++

故函数()f x 的“上界值”是1; 故选C 【点睛】

本题背景比较新颖,但其实质是考查复合函数的值域求解问题,属于基础题,解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域. 8.设函数

()()2

1

ln 11f x x x =+-

+,则使得()()121f x f x +>-成立

的x 的取值范围是( ) A .()2,2- B .()(),02,-∞+∞ C .()

0,2

D .()(),22,-∞-+∞

【答案】C

【解析】由奇偶性的定义判断出()f x 为偶函数,再由单调性的性质判断出()f x 在()0,∞+上单调递增,从而可以将

()()121f x f x +>-等价转化为121

x x +>-,解该不等式即可.

【详解】

()f x 的定义域为R ,关于原点对称,

()()()22

11

ln 1ln 1()1()1f x x x f x x x -=+--

=+-=+-+, 所以()f x 为偶函数,

()()()()121121f x f x f x f x ∴+>-?+>-,

又当0x ≥时,()()2

1ln 11f x x x =+-

+在()0,∞+上单调递增,

121x x ∴+>-,即()()2

2

121x x +>-

解得02x <<, 故选:C. 【点睛】

本题利用函数单调性与奇偶性解不等式,需要学生对函数性质的应用十分熟悉,能正确转化不等式是解题关键. 9.如图,在平面四边形ABCD 中,

,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===

若点E 为边CD 上的动点,则AE BE ?的最小值为 ( )

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A .2116

B .32

C .2516

D .3

【答案】A 【解析】【详解】

分析:由题意可得ABD △为等腰三角形,

BCD 为等边三角

形,把数量积AE BE ?分拆,设(01)DE tDC t =≤≤,数量积转化

为关于t 的函数,用函数可求得最小值.

详解:连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形,而,AB BC AD CD ⊥⊥,所以

BCD 为等边三角形,BD =.设

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(01)DE tDC t =≤≤

AE BE

?2

23

()()()2

AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+?+=?+?++=

+?+

=23

3

322t t -+(01)t ≤≤ 所以当1

4

t =

时,上式取最小值2116 ,选A.

点睛:本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分,需要选择合适的基底,再把其它向量都用基底表示.同时利用向量共线转化为函数求最值.

10.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论: ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(2π

,π)单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A .①②④ B .②④ C .①④ D .①③

【答案】C

【解析】化简函数()sin sin f x x x =+,研究它的性质从而得出正确答案. 【详解】

()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数,故

①正确.当2x π

π<<时,()2sin f x x =,它在区间,2π

??π ???

单调递

减,故②错误.当0x π≤≤时,()2sin f x x =,它有两个零点:

0,π;当0x π-≤<时,()()sin sin 2sin f x x x x =--=-,它有一个零

点:π-,故()f x 在[],-ππ有3个零点:0-π,,π,故③错误.当

[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时,()2sin f x x =;当

[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时,()sin sin 0f x x x =-=,又()f x 为偶

函数,()f x ∴的最大值为2,故④正确.综上所述,①④ 正确,故选C . 【点睛】

画出函数()sin sin f x x x =+的图象,由图象可得①④正确,故选C .

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11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足

(1)(1)f x =f +x -,若(1)2f =,则(1)(2)f +f (3)(2020)f f ++

+=(

A .50

B .2

C .0

D .50-

【答案】C

【解析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得:

()()f x f x -=-且()00f =,结合(1)(1)f x =f +x -可得:函数()f x 的

周期为4;再利用赋值法可求得:()20f =,()32f =-,()40f =,问题得解. 【详解】

因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数, 所以()()f x f x -=-且()00f =

又(1)(1)f x =f +x -

所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ????+=++=-+=-=-???? 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ????+=++=-+=--=???? 所以函数()f x 的周期为4,

在(1)(1)f x =f +x -中,令1x =,可得:()()200f f == 在(1)(1)f x =f +x -中,令2x =,可得:()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中,令3x =,可得:()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020

(3)(2020)12344

f f f f f f ??++

+=

?+++?? 50500=?=

故选C 【点睛】

本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用,还考查了赋值法及计算能力、分析能力,属于中档题.

12.已知函数()(

)1

22,1

log 21,1x x f x x x -?≤?=?-->??,则函数

()()()1

22

F x f f x f x =--????的零点个数是( ) A .3 B .4 C .5 D .6

【答案】B 【解析】令()t f x =

,则()F x 的零点个数问题等价于

1()202f t t --

=的根的个数问题,作出()y f t =与1

22

y t =+的图像,可知二者交于两点,且其根12(2,3),0t t ∈=,再结合图像可知

1()t f x =有两解,2()t f x =有两解,即函数()F x 有

4个零点.

【详解】 令()t f x =

,

则()F x 的零点个数问题等价于()()1

202f f x f x --=????的根的个数问题,

即1

()202

f t t --

=的根的个数问题, 即()y f t =与1

22y t =+的图像交点个数问题,

如下图所示,作出()y f t =与1

22y t =+的图像,

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可知二者交于,A B 两点, 则

1

()202

f t t --

=的根12(2,3),0t t ∈=, 结合图像可知1()t f x =有两解,2()t f x =有两解,

综上,函数()()()1

22

F x f f x f x =--????有4个零点,

故选:B. 【点睛】

本题考查了函数与方程的综合应用,着重于用数形结合法解零点个数问题.解决此类问题的关键是要将题设条件转化为简单函数图像的交点问题,再以此求解.

二、填空题

13.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数

31log 2100

O v =,单位是/m s ,其中O 表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是______/m s . 【答案】3

2

【解析】依据题意,将2700O =代入31

log 2100O

v =即可得出答案. 【详解】

当2700O =时,333

11270013

log log log 272100210022O v ====, 故答案为:3

2.

【点睛】

本题主要考查对数运算,属于基础题. 14.已知cos()6a πθ-=,则52cos()sin(

)63

π

π

θθ++-的值是_________________. 【答案】0

【解析】根据已知角和未知角的关系,用诱导公式求值. 【详解】

52cos(

)sin()63

ππ

θθ++-cos[()]sin[()]cos()cos()062666

πππππ

πθθθθ=--++-=--+-=.

故答案为:0. 【点睛】

本题考查诱导公式,在三角函数的化简求值问题中,要观察已知角和未知角的关系,由这个关系确定选用的公式进行化简计算.

15.如图,在平行四边形ABCD 中,点E ,F 分别是AD ,DC 边的中点,BE ,BF 分别与AC 交于R ,T 两点,用向量AB ,

AD 表示向量RT ,则RT =______.

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【答案】11

33AB AD +

【解析】在平行四边形ABCD 中,因为点E 是AD 边的中点,所以可以证明AER CBR ?≈?,且相似比为1:2,从而证明出R 是AC 的三等分点,同理T 也是AC 的三等分点,进而可以利用向量

的三角形法则求出11=33

RT AB AD +. 【详解】

在平行四边形ABCD 中,//AD BC ,

,AER CBR EAR BCR ∴∠=∠∠=∠,

AER CBR ∴?≈?,且相似比为1:2, :1:2AR RC ∴=,即R 是AC 的三等分点,

同理T 也是AC 的三等分点,

111

()()333

RT AC AB BC AB AD ∴=

=+=+, 故答案为:1

1

33AB AD +. 【点睛】

本题考查了向量三角形法则的应用,结合了平面几何的知识,难度不大.

16.函数1()2f x x =-的图像与函数()2sin (04)2g x x x π

=≤≤的图像的所有交点为1122(,),(,),

,(,)n n x y x y x y ,则1212()()n n f y y y g x x x ++

++++

=_______

【答案】1

2

【解析】如下图,画出函数()f x 和()g x 的图象,可知有4个交点,并且关于点()2,0 对称,所以12340y y y y +++= ,

12348x x x x +++=

,所以

()()()()123412*********

f y y y y

g x x x x f g +++++++=+=+= .

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【点睛】本题考查了函数图像的应用,是高考热点,当涉及函数零点个数时,可将问题转化为两个函数图像的交点个数,或是多个零点和的问题,那就需观察两个函数的函数性质.,比如对称性等,帮助解决问题.

三、解答题 17.已知函数

()2cos 6f x x π?

?=+ ??

?.

(1)若点(

1,3

P -在角α的终边上,求sin α,tan α和6f πα??

- ?

?

?

的值;

(2)若,32x ππ??∈-?

???

,求()f x 的最值以及取得最值时的x 值.

【答案】(1)

sin 2

α=-

,tan α==16f πα??- ??

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?.(2)2x π=时,()f x 取得最小值-1,6

x π

=-

时,()f x 取得最大值2. 【解析】(1)根据任意角的三角函数定义即可求出sin α,tan α,从而求出

6f πα?

?- ??

?;

(2)根据x 的范围求出6

x π

+的范围,再根据余弦函数的性质

即可得出答案. 【详解】

(1)∵点(1,P 在角α的终边上,

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sin α=,1cos 2α=,tan α=∴1

2cos 2162f παα?

?

-==?= ??

?

;

(2)∵3

2

x π

π

-

≤≤

, ∴26

63

x πππ-≤+≤,

∴1cos 126x π?

?-

≤+≤ ??

?, ∴12cos 26x π??-≤+≤ ???

, ∴当263

x π

π

+=

即2

x π=

时,()f x 取得最小值1-,

当06x π

+=即6x π

=-时,()f x 取得最大值2. 【点睛】

本题考查了任意角的三角函数,考查了余弦函数的性质应

用,属于中档题.

18.已知全集U=R ,集合{}12

A x x

x =-或 ,

{}213

U

B x x p x p 或=-+.

(1)若1

2p =,求A B ?;

(2)若A B B ?=,求实数p 的取值范围.

【答案】(1)722??

???

,; (2)342

p p

-或. 【解析】由题意可得{}213B x p x p =-≤≤+, (1)当1

2

p =

时,结合交集的定义计算交集即可; (2)由题意可知B A ?.分类讨论B =?和B ≠?两种情况即可求得实数p 的取值范围. 【详解】 因为

{}213

U

B x x p x p =-+,或,

所以(){}213U U B B x p x p ==-≤≤+, (1)当12p =

时,702B ??=????,,所以7=22A B ??

? ???

,, (2)当A B B ?=时,可得B A ?.

当B =?时,2p -1>p +3,解得p >4,满足题意;

当B ≠?时,应满足21331p p p -≤+??+<-?或213

212p p p -≤+??->?

解得44p p ≤??<-?或4

32p p ≤??

?>??

即4p <-或

3

42p <≤.

综上,实数p 的取值范围342

p p

-或. 【点睛】

本题主要考查交集的定义,分类讨论的数学思想等知识,

意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.已知幂函数

()()2

23

m

m f x x m --=∈Z 为偶函数,且在区间

()0,∞+上单调递减.

(1)求函数()f x 的解析式;

(2)讨论()()b

F x xf x =的奇偶性.

(),a b R ∈(直接给出

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结论,不需证明)

【答案】(1)()4

f x x -=(2)见解析

【解析】(1)由幂函数()f x 在()0,∞+上单调递减,可推出

2230m m --<(m Z ∈),再结合()f x 为偶函数,即可确定m ,得出结

论;

(2)将()f x 代入,即可得到()F x ,再依次讨论参数,a b 是否为0的情况即可. 【详解】

(1)∵幂函数()()2

23m m f x x m --=∈Z 在区间()0,∞+上是单调递减

函数,

∴2230m m --<,解得13m -<<, ∵m Z ∈,∴0m =或1m =或2m =. ∵函数()()2

23

m

m f x x m --=∈Z 为偶函数,

∴1m =, ∴()4f x x -=;

(2)()()

4b b F x xf x x x

-==?23

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ax bx -=-, 当0a

b 时,()F x 既是奇函数又是偶函数;

当0a =,0b ≠时,()F x 是奇函数;

当0a ≠,0b =时,()F x 是偶函数; 当0a ≠,0b ≠时,()F x 是非偶非偶函数. 【点睛】

本题主要考查了幂函数单调性与奇偶性的综合应用,学生需要熟练掌握好其定义并灵活应用. 20.函数

()()sin 0,0,2f x A x A πω?ω??

?=+>>< ??

?的一段图象如图

所示.将函数()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度,可得到函数()g x 的图象,且图象关于原点对称.

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(1)求()f x 的解析式并求其单调递增区间; (2)求实数m 的最小值,并写出此时()g x 的表达式; (3)在(2)的条件下,设0t >,关于x 的函数()2tx h x g ??

=

???

在区间,34ππ??

-?

???

上的最小值为-2,求实数t 的取值范围. 【答案】(1)

()2sin 26f x x π?

?=+ ??

?单调递增区间为

(),36k k k Z ππππ??-+∈????

.(2)最小值为12π

.2sin 2g x x (3)3

,2??+∞????

【解析】(1)利用图像可直接确定,A ω的值,再代入图像上的点,求出?,即可得到()f x ,再用整体法求出单调区间; (2)由题意可知()()g x f x m =-,得到()g x 的解析式,再结合图像

关于原点对称,可得出结论;

(3)依题设得()2sin h x tx =,可知其图像过原点,又其在区间

,34ππ??-????

上的最小值为-2,可知区间,03π??-????的区间长度大于或等于1

4T ,据此列出不等式即可求解. 【详解】

(1)由图象可知,2A =,T π=,∴2ω=,

∵5121226

π

π

π-

+

=,

∴当6x π

=时,()226

2

k k Z ππ?π?+=+∈, ∴()26k k Z π?π=+∈,

∵2π?<,∴6π

=?. ∴

()2sin 26f x x π?

?=+ ??

?.

令2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

(k Z ∈),

解得:36k x k ππ

ππ-≤≤+(k Z ∈),

()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ?

?-+∈???

?.

(2)()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度,得到

()()g x f x m =-()2sin 22sin 2266x m x m ππ????

=-+=+- ???????

,

∵()g x 图象关于原点对称, ∴()26m k k Z π

π-=∈, ∴()122

k m k Z π

π

=-∈, ∵0m >,

∴m 的最小值为12π

,