三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok

三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）

令狐采学

1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．

（1）试说明∠BCD=∠ECD；

（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．

2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；

（2）在△BED中作BD边上的高；

（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？

3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．

4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA 中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．

（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．

（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．

6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．

7．在△ABC中．

（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC 的度数．（如图）

（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC=

_________ °，再用你已学过的数学知识加以说明．

（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有

∠BAC+∠BOC= _________ °．

8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．

求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．

9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．

（1）试说明CD是△ABC的高；

（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．

10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，

∠ACD=56°，求∠AED的度数．

11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．

（1）求∠DAE的度数；

（2）指出AD是哪几个三角形的高．

12．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC 上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．

13．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC 的高，AE为角平分线

（1）求∠EAD的度数；

（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．

14．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．

15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，

（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．

（2）若∠B=α°，∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）

16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数．

17．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．18．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．

（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，（2）中的结论还正确吗？为什么？

19．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．

20．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI 分别交AB、AC于点D、E．

（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）

（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．

∠BAC的度数40°60°90°120°

∠BIC的度数

∠BDI的度数

21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．

22．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：

（1）BE=_________ =_________

（2）∠BAD= _________ _________

（3）∠AFB= _________ =90°

（4）S△ABC= _________ S△ABE．

23．如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM 与△BCM的周长是差是多少？

24．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．

25．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？

26．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．

27．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．

28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．29．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．

30．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD 和△ADC的周长的差．

参考答案：

1．（1）∵∠B=70°，CD⊥AB于D，

∴∠BCD=90°﹣70°=20°，

在△ABC中，∵∠A=30°，∠B=70°，

∴∠ACB=180°﹣30°﹣70°=80°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACB=40°，

∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=40°﹣20°=20°，∴∠BCD=∠ECD；

（2）∵CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，

∴∠CED=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，

∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，

所以，与∠B相等的角有：∠CED和∠CDF．2．（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，

∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．

（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．

（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED=S△ABC=×60=15；

∵BD=5，

∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，

即点E到BC边的距离为6．

3．∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

∴△ABD的周长﹣△ADC的周长=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC=4，（2分）

即AB﹣AC=4①，

又AB+AC=14②，

①+②得．2AB=18，

解得AB=9，

②﹣①得，2AC=10，

解得AC=5，

∴AB和AC的长分别为：AB=9，AC=5．

4．∵DE是CA边上的高，

∴∠DEA=∠DEC=90°，

∵∠A=20°，

∴∠EDA=90°﹣20°=70°，

∵∠EDA=∠CDB，

∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°，

在Rt△CDE中，∠DCE=90°﹣40°=50°，

∵CD是∠BCA的平分线，

∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°，

在△ABC中，∠B=180°﹣∠BCA﹣∠A=180°﹣100°﹣2 0°=60°．

故答案为：60

5．（1）∵∠B=30°，∠C=70°

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°

∵AE是角平分线，

∴∠EAC=∠BAC=40°

∵AD是高，∠C=70°

∴∠DAC=90°﹣∠C=20°

∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；

（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=∠BAC ﹣（90°﹣∠C）①把∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得

∠EAD=∠C ﹣∠B，

∴2∠EAD=∠C﹣∠B．

6．∵AD是高，∠C=60°，

∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°；

∵∠B=20°，∠C=60°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣20°﹣60°=100°，∵AE是角平分线，

∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，

∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣30°=20°．7．（1）∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，

∴∠ADB=∠BEC=90°，

又∵∠BAC=60°，

∴∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°；

（2）如图所示：

∠BAC+∠BOC=180°；

理由如下：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，

∴∠ADB=∠BEC=90°，

∵∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣90°﹣∠B =90°﹣∠BAD，

∠O=180°﹣∠BEO﹣∠DBA=90°﹣∠DBA=90°﹣（﹣∠BAD）=∠BAD，

∵∠BAC=180°﹣∠DAB，

∴∠BAC=180°﹣∠O，

∴∠BAC+∠O=180°；

（3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．

8．∵BE是AC上的高，

∴∠AEB=90°，

∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，

∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，

∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°，

∵CF是AB上的高，

∴∠AFC=90°，

∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°，

∵∠ABE=20°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°，

∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，

∴∠BCH=30°，

∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．

9．（1）∵∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B

∴∠B+∠BCD=90°

∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，

∴CD是△ABC的高；

（2）∵∠ACB=∠CDB=90°

∴S△ABC=AC?BC=AB?CD，

∵AC=8，BC=6，AB=10，

∴CD===

10.∵∠B=26°，∠ACD=56°

∴∠BAC=30°

∵AE平分∠BAC

∴∠BAE=15°

∴∠AED=∠B+∠BAE=41°

11．（1）∵AD⊥BC于D，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵∠ABC=40°，∠C=60°，

∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，

∴∠BAC=50°+30°=80°，

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠BAE=40°，

∴∠DAE=50°﹣40°=10°．

（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AE C、△ADC的高．

12．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，

∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，

∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．

同理，∠ACF=30°，

∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．

13．（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=1 80°﹣20°﹣60°=100°，

又∵AE为角平分线，

∴∠EAB=∠BAC=50°，

在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；（2）根据（1）可以得到：∠EAB=∠BAC=（18

﹣∠B﹣∠C）

∠BAD=90°﹣∠B，

则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C）．

14．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，

∴∠DAC=∠BAD=30°，

∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，

∴∠B=50°，

∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100 15．（1）∵∠B=47°，∠C=73°，

∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，

∵AD是△ABC的BC边上的高，

∴∠BAD=90°﹣47°=43°，

∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAE=∠BAC=30°，

∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；

（2））∵∠B=α°，∠C=β°，

∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，

∵AD是△ABC的BC边上的高，

∴∠BAD=90°﹣α°，

∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），

∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣°），

=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，

=（β﹣α）°

16．∵∠B=60°，∠C=45°，

∴∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°，

∵AD为∠BAC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°，

在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠BAD﹣∠B=82.5°，则∠ADC=180°﹣∠ADB=97.5°．

17．

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠3=90°， ∵CD ⊥AB ， ∴∠2+∠4=90°， 又∵BE 平分∠ABC ， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∵∠4=∠5， ∴∠3=∠5，

即∠CFE=∠CEF ．

18．（1）在△ABC 中，∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°； ∵AD 是角平分线， ∴∠DAC=∠BAC=25°；

在△ADC 中，∠ADC=180°﹣∠C ﹣∠DAC=75°； 在△ADE 中，∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=15°． （2）∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=180°﹣∠ADC ﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠DAC ）=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠BAC ）=90°﹣[180°﹣∠C ﹣（180°﹣∠B ﹣∠C ）]=（∠C ﹣∠B ）． （3）（2）中的结论仍正确．

∠A ′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B ﹣∠C ）=90°+∠B ﹣∠C ；

在△DA ′E 中，∠DA ′E=180°﹣∠A ′ED ﹣∠A ′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B ﹣∠C ）=（∠C ﹣∠B ）． 19．∵AB=6cm ，AD=5cm ，△ABD 周长为15cm ， ∴BD=15﹣6﹣5=4cm ， ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BC=8cm ，

∵△ABC 的周长为21cm ， ∴AC=21﹣6﹣8=7cm ． 故AC 长为7cm ．

20．（1）填写表格如下： ∠BAC 的度数 40° 60° 90° 120° ∠BIC 的度数 110° 120° 135°

150°

∠BDI 的度数 110° 120° 135°

（2）∠BIC=∠BDI ，理由如下：

∵△ABC 的三条内角平分线相交于点I ， ∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB ） =180°﹣（∠ABC+∠ACB ） =180°﹣（180°﹣∠BAC ） =90+∠BAC ； ∵AI 平分∠BAC ，

∴∠DAI=∠DAE ． ∵DE ⊥AI 于I ，

∴∠AID=90°．

∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC ． ∴∠BIC=∠BDI ．

21．∵∠A=50°，∠C=60° ∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°， 又∵AD 是高， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°， ∵AE 、BF 是角平分线， ∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°， ∴∠DAE=∠DAC ﹣∠EAF=5°， ∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°， ∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°， ∴∠DAC=30°，∠BOA=120°． 故∠DAE=5°，∠BOA=120°． 22．（1）∵AE 是中线， ∴BE=CE=BC ， （2）∵AD 是角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC ， （3）∵AF 是高， ∴∠AFB=∠AFC=90°，

（4）S△ABC=，

S△ABE=，

∵BC=2BE，

∴S△ABC=2S△ABE，

故答案为CE，BC，∠CAD，∠BAC，∠AFC，2 23．∵BM是△ABC的中线，

∴MA=MC，

∴C△ABM﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM =AB﹣BC=5﹣3=2cm．

答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．

24．方法1：由题意知：AB+AC+BC=34，AB+AD+BD =30，

∵AB=AC，BD=BC，

∴

②×2得：2AB+2AD+BC=60③，

③﹣①得：2AD=26，

∴AD=13cm．

方法2：∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，

∴BD=BC，AB=（AB+AC），

∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17

cm（周长的一半）．

∵AB+BD+AD=30cm，

AD=30﹣17=13cm．

25．能．

由题意知：△ABD的周长=AB+BD+AD，

△ACD的周长=AC+CD+AD，又因为AD是BC边上的中线，

所以BD=CD．

∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，

∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．

即AC与AB的边长的差为5

26．∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，

∵AC=AB，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠ADB=∠ADC，

∵∠ADB+∠ADC=180°，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴AD⊥BC．

27．错误．

因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义这里射线AD是∠BAC的平分线．

28．∵AD是BC边上的中线，

∴D为BC的中点，CD=BD．

∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．

∴AC﹣AB=5cm．

又∵AB+AC=11cm，

∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．

29．∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，∴BD=CD=2DE=4cm，

∴BE=BD+DE=6cm，

∴BC=2BD=8cm．

30．∵AD是△ABC中BC边上的中线，

∴BD=DC=BC，

∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BC+AD）﹣AC+BC+AD）=AB﹣AC=1．