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数学高考解答题的题型及解法分析

一个值得深思的现象:

每年数学高考,总有一部分平时学得好的学生未考好,也有许多平时学习中下

等的学生考得较好.

高考兵法:知彼知己

数学学科命题的依据:

循序渐进，平稳过渡，稳中求变，稳中求新，以考试说

明为基础，力求体现“三基为本，能力立意，有利选拔，注重

导向”的命题指导思想。

数学学科命题的三个避免：

命题时力求做到“三个避免”，即尽量避免需要死记硬背的

内容，尽量避免呆板试题，尽量避免烦琐计算试题。

数学学科命题的三个反对，两个坚持:

三个反对：

反对死记硬背，反对题海战术，反对猜题押题；

两个坚持：

坚持三基为本，坚持能力为纲。

数学高考题题型:

选择题

填空题

解答题

数学解答题估计仍是六大题：

三角函数综合题

概率统计题

立体几何题

数列综合题

解析几何综合题

函数(不等式)综合题

一、三角函数综合题

1.可能出现的题型：

（1）三角求值(证明)问题；

（2）涉及解三角形的综合性问题；

（3）三角函数图象的对称轴、周期、单调区间、最值问题；

（4）三角函数与向量、导数知识的交汇问题；

（5）用三角函数工具解答的应用性问题。

2.解题关键:进行必要的三角恒等变形.

其通法是：

发现差异（角度、函数、运算结构）寻找联系（套用、变用、活用公式，注意技巧和方法）合理转化（由因导果的综合法，由果探因的分析法）

其技巧有：

常值代换，特列是用“1”代换；项的分拆与角的配凑；化弦（切）法；降次与升次；引入辅

助角?。

3.考基础知识也考查相关的数学思想方法:如考三角函数求值时考查方程思想和换元法。

的面积

的值和求中，：在例ABC A AB AC A A ABC ?===

+?t an ,

3,2,2

cos sin 1

思路分析1：

思路分析2：

.323131)6045tan(tan ).

127(105,6045,1800)(.21

)45cos(,22

)45cos(2cos sin -=-+=?+?=∴=?=∴?=?-∴?<

又”为未知数的三角方程“到这一步得到了一个以注：)2(2

cos sin .2

3cos sin 21)cos (sin .0cos ,0sin ,1800.21

cos sin 2.21)cos (sin )1(,2

2cos sin 2

2=-∴=-=-∴<>∴?<

32cos sin t an .

2cos )2()1(,462sin )2()1()cos sin ()2(26cos sin )1(22cos sin )2()1(--==∴-=-+=+??????

?=-=+A A

A A A A A A A A A 得得一次方程组的一个二元、关于注：到这一步得到一个联立可得方程组、

思路分析3：

思路分析4：

)

3(sin 2

cos )cos sin ()2(1cos sin )1(22cos sin 22A A A

A A A A A -=

?????=+=

+的一个二元一次方程组、关于注：到这一步得到一个2222sin cos 1,(sin cos )2sin cos 1.112sin cos 1.2sin cos .2212tan 1

sin 2..21tan 2(tan )A A A A A A A A A A A A A A +=∴+-=∴-=∴=-∴=-∴=-+注：这是一个以为元的分式方程.

23t an .1t an .432,22cos sin .23t an ,01t an 4t an 2

--=∴-<∴<<∴=+-±=∴=++A A A A A A A A π

思路分析5：

思路分析6

C D

.23)45cos(.1804545,21)45sin(.1800.2

)45sin(,2

2)45sin(2cos sin -=?+∴?

32cos sin ,1800.21cos sin 2.21)cos (sin ,22cos sin 2π

<∴

>?<

2(9)

1(223

23,

22,

cos ,sin 222==+=-∴=-∴=-∴==∴AB AD BD AD BD AD BD AB AD AB BD AB

A A

B BD A E CA BD B 点，

的延长线于垂直点做过如图，

思路分析：

然后再进一步研究。的形式，化为的策略是先将性质问题解决对于三角函数的图象和B x A x f x f ++=)sin()()(?

ω44sin cos cos [0,].y x x x x π=+-例2：求函数的最小正周期和最小值；

并写出该函数在

上的单调增区间

44sin cos cos 2cos 22sin(2)622.y x x x x x x x T πππω=+-=-=-==-最小正周期最小值为

二、概率与统计题

1、可能出现的题型是：

只涉及概率的问题；概率与不等式综合；概率与二次函数综合；概率与数列求和综合；概率与线性规划综合等。

2、解答概率统计题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）：

（1）随机事件的概率，等可能性事件的概率。（2）互斥事件有一个发生的概率。（3）相互独立事件同时发生的概率。

（4）n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。

（5）n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率。（6）对立事件的概率。

另外(1)要会用期望与方差计算公式进行相关运算; (2)要注意区分这样的语句： “至少有一个发生”、 “至多有一个发生”、 “恰好有一个发生”、 “都发生”、 “不都发生”、 “都不发生”、

“第k 次才发生”，等。

1.掷一枚硬币，正、反两面出现的概率都是0.5，把这枚硬币反复掷8次，这8次中的第n 次中，假若正面出现，记an ＝1，若反面出现，记an ＝－1，令Sn ＝a1＋a2＋…＋an (1≤n≤8)，在这种情况下，试求下面的概率：

],6

],3

0[],0[].,65[],0[]34,65[].

0[],0[]3,

6[].3

4,65[

],3,

6[1,0.

2πππ

πππππππ

ππ

π上的增区间是所以该函数在区间则区间时得到原函数的两个增当即由=?=?-

-=+

≤≤-

∈+

≤-

≤-k k x k z k k x k

(1)S2≠0且S8＝2的概率； (2)S4＝0且S8＝2的概率．

三、立体几何

1、可能出现的题型是: 以锥体或柱体为载体的线面之间位置关系的讨论; 有关角与距离计

算.

2、解立体几何题的关键是运用化归思想：

一是定理之间的相互转化；二是将空间图形转化为平面图形；三是形数转化:立几问题代数化；四是将新的问题情境纳入到原有的认结构中去。３、在解立几题时，需要总结和提炼一些重要的解题方法: 构造法（分形与补形:线、面、体的添加与分割）；参数法（用参数x 表示角与距离，将问题化为代数或三角问题）；分类法（将一个问题分为几个(种)小问题(情况)，分而治之）；反证法（当正面解决出现困难时，不妨从反面入手）；向量法 (坐标法)。

解(1) ???S 2≠0S 8＝2 即???

a 1＋a 2≠0a 1＋a 2＋a 3…＋a 8＝2

∴分两类讨论如下：

1°若a 1＝1＝a 2，则后六次3正3反，∴P 1＝( 12 )2×C 36( 12 )3×(1－12)3＝564

2°若a 1＝－1＝a 2，则后六次5正1反，∴P 2＝( 12 )2×C 16( 12 )1×( 12 )5＝3128

故所求概率为P ＝P 1＋P 2＝13128

(2) ???S 4＝0S 8＝2 即???a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0

a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2

∴前四次2正2反，后四次1反3正

故所求概率为P ＝C 24 ( 12 )4·C 1

4 ( 12 )4＝332

F 例1.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1， M 是线段EF 的中点.

(1)求证AM ∥平面BDE ； .

解 (1)如图建立空间直角坐标系.设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N(

22，2

，0)、 E(0，0，1) ∴NE →

＝(－22，－22，1).

又A(2，2，0)、M(

22，2

，1)， ∴AM ＝→

(－22，－22，1)

∴NE →＝AM →

且NE 与AM 不共线，

∴NE ∥AM.又NE 面BDE ,AM

面BDE ， ∴AE ∥平面BDE.

∩

例1.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，

AB ＝2，AF ＝1， M 是线段EF 的中点. (2)求二面角A

－DF －B 的大小；解 (2)∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ， AF ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ADF ， ∴AB →＝(－2，0，0)为平面DAF 的法向量. 又∵NE →·DB →＝(－22，－22

，1)·(－2，2，0)＝0， NE →·NF →＝(－22，－22，1)·(22，22

，1)＝0， ∴NE ⊥DB ，NE ⊥NF ，∴NE ⊥平面BDF ，即NE →为平面BDF 的法向量.

又∵cos 〈AB →，AE →〉＝AB →·NE →|AB →·NE →|

＝(－2)×(－22)

2·2＝12,

∴AB →与NE →的夹角为60°. 又由图可判定二面角A －DF －B 的大小为锐角， ∴所求二面角A －DF －B 的大小为60°.

例1如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，

AB ＝2，AF ＝1， M 是线段EF 的中点.

(3)试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与CD 所成的角是60°.

解 (3)设P(t ，t ，0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t ，1)，CD →＝(

2，0，0).又∵PF →与CD 所成的角为60°，∴ |(2－t )·2|(2－t )2＋(2－t )2

＋1·2＝12，解之得t ＝22或t ＝32

2(舍去)，故点P 为AC 的中点.

注：亦可用线面关系法求解(略)

四、解析几何题

1.解析几何研究的主要对象是直线、圆、圆锥曲线。

直线：以倾角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规

划等有关问题为基本问题，特别要熟悉有关点对称、直线对称

问题的解决方法；

圆：注意利用平几知识，尤其要用好圆心到直线的距离；

圆锥曲线：主要考查圆锥曲线的概念、性质和标准方程，

直线和圆锥曲线的位置关系等。

可能出现的题型是：

（1）求参数范围或求最值的综合问题；

（2）探求动点的轨迹问题；

（3）有关定值、定点等的证明问题；

（4）与向量综合、探索性问题。

2.解答解析几何题的关键是掌握坐标法：

建立坐标系，引入点的坐标，将几何问题化归为代数问

题，用方程的观点实现几何问题代数化解决。坐标法包括：

“由形定式”和“由式论形”两大任务。

3.关于求曲线的方程:

一类是:曲线的形状明确，方程的形式为已知的某种标准

方程，方法是待定系数法；

另一类是:曲线的形状不明确，常用方法有

直译法

动点转移法

参数法

交轨法等

4.关于求解参数取值范围问题，其核心思路是：

识别问题的实质背景，选择合理、简捷的途径，建立不

等式(等式)，借助于不等式、方程与函数的知识求解。

可利用的不等式(等式)有：

（1）圆锥曲线特征参数a、b、c、e、p的特殊要求；

（2）圆锥曲线上的动点的范围限制；

（3）点在圆锥曲线的含焦点区域内（外）的条件；

（4）题设条件中已给定某一变量的范围（要求另一变量的范围）；

（5）直线方程与圆锥曲线方程联立后产生的特征方程的根的

分布条件；

（6）目标函数的值域；

（7）平面几何知识，如对图形中某些特殊角、线段长度的要求。

5.其它一些解题经验:

将解答问题过程中的方程转化为圆锥曲线的标准方程，

可以看出其中的特征量、几何特征，进而引发出有效的解题

思维链；

平面几何的一些简单性质在解答某些解几题时，有时可以起到化繁为简、化难为易的作用；

代入消元-建立一元二次方程-判别式-韦达定理-弦长公式-中点坐标公式…，是很实用的解题路线图。解题（书写）的过程往往吻合于作图步骤；回归定义，出奇制胜。

向量既是工具,也是背景。

例1已知动点P 与双曲线x 22－y 2

＝1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值2a(a ＞5)，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－19

. (1)求动点P 的轨迹方程； (2)若已知D(0，3)，M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM → ＝λDN → ，求实数λ的取值范围. 解(1)∵F 1(－5，0)、F 2(5，0)且｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝2a ＞｜F 1F 2｜ (a ＞5) ∴P 的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆E ，可设E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (其中b 2＝a 2－5) 在△PF 1F 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝| PF 1 |2＋| PF 2 |2－| F 1F 2 |22| PF 1 | | PF 2|＝2a 2－10| PF 1| | PF 2|

－1

又| PF 1 |·| PF 2 |≤(| PF 1 |＋| PF 2 |2

)2＝a 2

∴当且仅当| PF 1 |＝| PF 2 |时，| PF 1 |·| PF 2 |取最大值，此时cos ∠F 1PF 2取最小值2a 2－10a 2

－1 令2a 2－10a 2－1＝－19 a 2＝9 ∵c ＝ 5 ∴b 2＝4故所求P 的轨迹方程为x 29＋y 2

＝1 (2)设N(s ，t )，M(x ，y )，则由DM →＝λDN →，可得(x ，y －3)＝λ(s ，t －3) ∴x ＝λs ，y ＝3＋λ(t －3) 而M 、N 在动点P 的轨迹上，故s 29＋t 2

4＝1且(λs)29＋(λt ＋3－3λ)24＝1 消去S 得(λt ＋3－3λ)2－λ2t 24＝1－λ2

解得t ＝13λ－56λ 又| t |≤2 ∴| 13λ－56λ |≤2，解得15≤λ≤5，故λ的取值范围是[1

5，5]

五、数列题

1、数列多与函数、不等式、方程、三角函数、解析几何等知识相交汇，可能出现的题型是：

(１)数列内部的综合：等差与等比；数列与极限；数列与数学归纳法； (２)数列与相关知识的综合：数列与函数、数列与不等式、方程；数列与点列；

数列题能力要求较高：运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力；

2、解法要领：

（1）研究数列，关键是要抓住数列的通项，探求一个数列的通项常用：观察法、公式法、归纳猜想法；（2）关于数列的求和，常用方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项法。

（3）关于等差（比）数列，要抓住首项和公差（比）这两个基本元素。

（4）数列是特殊的函数，所以数列问题与函数、方程、不等式有着密切的联系，函数思想、方程观点、化归转化、归纳猜想、分类讨论在解题中多有体现。

例1 等差数列{an}的前n 项的和为Sn, 已知S10 =100，S100=10, 求S110. 方法一设等差数列的首项与公差分别为a1、d.

用基本量方法二

我们把 …+a 10 看作为一项，记为 A 1 ，

这时s 100

就是 …+ A 10

，因为{a n }是等差数列，所以{A n }也是等差数列.

此数列的首项A 1=100，设其公差D,由题意知：

+++321a a a ++21A A

???

????

=?+=?+10

29910010010029101011d a d a

10 A 1+ , 又A 1=100，

所以有：因为{a n }是等差数列，所以{A n }也是等差数列.

此数列的首项A 1=100，设其公差D,由题意知： 10 ×100 +

解得： D=－22 ，用整体,

是 A 11=A 1+10 D =100+ 10×(－22)=－120 ,

既，S 110 = …+ A 11=10+(－120)=－110 .

方法三

∵ s n =an 2+bn ，

∴ ，

由于{an+b}也是等差数列，记为{b n }，由已知

可得： b 10=10 , b 100= , 很快地计算{b n }的公差，

再求出b 110 , 最后利用 s 110=110×b 110. 用转化

方法四

用性质方法五

用函数的思想方法(略)

例2. 把集合{2t +2s |0≤s

3 5 6 9 10 12

10=?D 10

10=?D ++21A A b

an n bn

an n s n +=+=210010

)(552)(110),(4510011110111010011100121110100a a a a s a a a a a s s +=+=+=+++=-

…… …… …… （1）写出塔形的第四、五行；（2）求a 100；

观察找规律 3 5 6 9 10 12 17 18 20 24

33 34 36 40 48

..............................................

第一行1个数，第二行2个数，……，第n 行n 个数， 1+2+3+……+n≥100≥ 1+2+3+……+n -1, 得n=14, 说明a 100在第14行，每一行的第一个数分别为2+1，22+1，23+1，24+1，25+1，26+1，……214+1， ∵前13行用了91个数.∴ a 100在第14行的第9个数， a 100 =214+1+1+2+4+8+16+32+64+128=16640.

理性思维 (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) …………(0,n) (1,2) (1,3) (1,4) …………(1,n) (2,3) (2,4) …………(2,n) (3,4) ………… (3,n) …………

(n-1,n)

17 33 18 34 20 36 24 40 48 a 100在第14列对应第9个数组， (8,14) a 100=214+28=16640.

列对应的二元数组为列，第在第1414,14,1002

)1(321100a n n n n ≥≥+=++++

六、函数与不等式综合题

1、可能出现的题型：

函数的单调性，最值问题的探究；函数与证明不等式综合；求参数的取值范围；

构造函数与不等式的实际应用性问题；涉及函数的不等式求解；判断方程根的个数，等等。

2、解决函数、不等式综合题的必备知识是：

基本初等函数的定义域、值域、对应法则、图象及其它性质（单调性、奇偶性、周期性、最值）,不等式的基本性质。３、研究函数性质及解不等式、证明不等式的基本方法要熟练掌握，尤其是：构造函数、建立方程、挖掘不等式关系，含参字母的分类讨论，比较法、分析法、综合法等。 4.特别注意利用导数研究函数： (1)利用导数求函数的单调区间；

(2)利用导数与函数单调性的关系求字母的取值范围； (3)利用导数研究函数的极值、最值； (4)利用导数证明不等式.

(5)利用导数研究函数图象的交点. 5.二次函数是常青树几个关系

1 0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系．

0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定．如函数3)(x x f =在)

,(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，所以0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件．

2 0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系．

若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f ．所以当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件．

3 0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系．

)(x

f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即

为0)(>'x f 或0)(='x f ．当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性．所以0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件．

32(21)11()(1)114326B f x x ax a x a =-+-++∞例1：

全国卷文科第题若函数在区间（，）

内为减函数，在区间（，

）上为增函数，试求实数的取值范围。解法一：

）为增函数，在区间区间（

）内为减函数，在区间（??

?∞+-+-=6)(41)(1)(2/x f x f a ax x x f .

11012-===-+-a x x a ax x 或的两个根为/2/(1)11()1114()0,14.

a f x x ax a x f x -≤=-+->当时，函数是开口向上的抛物线，且与轴的另一个

交点在的左侧，则在区间（，）内那么在（，）内为增函数，不合题意

)

(

)

(

)2(

题意

）内不为减函数，不合

，

那么在（

不恒成立

）内

，

的之间，则在区间（

与

交点在

轴的另一个

且与

是开口向上的抛物线，

时，函数

当

/2/2

()1

()14()6()114()16(1)0(4)0557(6)07f x x ax a f x f x f x x ax a f x x ax a f a R f a a f a =-+-??

+∞??=-+-???=-+-+∞??≤∈???

≤?≥?≤≤??≥≤?

在区间（，

）内为减函数在区间区间（，

）为增函数区间（，）小于等于零区间（，

）大于等于零

高考数学常考题型的总结(必修五)

高考数学常考题型的总结（必修五）对高三理科来说，必修五是高考的必考内容，它不仅要考查基础知识点，而且还要考查解题方法和解题思路的问题。同学们在复习过程中，一定要明白什么是重要，什么是难点，什么是常考知识点。对重难点要了如指掌，能做到有的放矢。同学们不仅要掌握课本上的知识点，更重要的要对知识点理解的有深度，对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。人们常说，只有你多于一桶水的能力，在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来，否则，基本不可能考出相对理想的成绩来。必修五主要包括三大部分内容：解三角形、数列、不等式。高考具体要考查那些内容呢？这是我们师生共同研究的问题。虽然高考题不能面面俱到，但是我们在复习的时候，一定要不留死角，对常考题型的知识点和方法能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解：解三角形解三角形是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为5-12分。考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与三角函数，平面向量等知识点进行综合考查，难度一般不是很大，如果出解答题，一般是第17题，属于拿分题。知识点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB C ?的外接圆半径）余弦定理：C ab c b a cos 22 2 2 =-+，B ac b c a cos 22 2 2 =-+，A bc a c b cos 22 2 2 =-+ （变形后） C ab c b a cos 2222=-+，B ac b c a cos 2222=-+，A cb a b c cos 22 22=-+ 三角形的面积的公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21===?。知识点分解：（1）两边一角，求另外两角一边，可以用正弦定理，也可以用余弦定理，特别注意两种三角形的情况。（2）两角一边，求另外一角和两边，肯定是正弦定理。（3）等式两边都有边或通过转化等式两边都有边，用正弦定理。（4）知道三边的关系用余弦定理。

高考数学题型分析

一、题型分析 2011年数学试卷的难度较2010年数学试卷的难度有所降低，据专家分析2011年的数学试卷是基于高中课改的要求，但由于考生答题不规范，成绩仍不够理想。 2011年数学试题的题型与近几年的题型基本相同，理科12个选择题中有8个题比较简单，第6，10，11，12题较难，其中6，10计算量较大，11，12题技巧性较强，得分较低，全省理科选择题平均分为33.49，比08，09年有所下降。文科的12个选择题中第8，10，11，12较难，全省平均分为30.32，也比08，09年有所下降。填空题仍是二个比较容易，一个中等，一个较难。理科文科平均分数分别是8.77分和6.54分，和前几年差别不大。在解答证明的六个题目中，三角函数类题仍要用到正弦定理，诱导公式，和差角公式，特殊角的值等知识点求角c,难度不大，但学生解答不够理想，理科平均分为3.93分，是近几年最低的，文科题用到正弦和余弦定理及和角公式，难度适中，平均分为3.4分，是近几年最高的。数列类题目理科题要会观察、审题及判断，即可得一等差数列，并给出其通项公式，再利用无理函数项分项的技巧证明一个不等式，本题难度是近几年较低的，但平均分仅为2.26分，是三年最低的。分析其原因是学生不会破题及解题方法错误。文科题很规范，难度较低，平均分为4.4分，是近几年比较高的。立体几何类题有一定变化，一改近几年出的棱柱形题目，而是以四棱锥题型出现，难倒了许多学生，又由于给出的已知条件比较多，学生不会理清条件，解答不好。其实第一问用传统方法证明时仅涉及到勾股弦定理及直线与平面垂直的条件即可得出。若用向量代数的方法解答第一问时，有一个点的坐标要设三个参数，用已知条件可解出所设的三个参数，对考生而言是比较困难的。第二问用传统方法难度较大，用向量代数方法求解也要解三个参数求出平面的法向量才能解出直线与平面所成的角。理科、文科全省平均分分别是4.21分和1.82分，分数虽不高，但比前两年略有增加。概率应用题应该是近几年最简单的，涉及到的知识点也不多，计算量也不大，但由于考生没有假设事件，叙述不清楚，很多考生答案虽然正确，但附加了购买甲、乙两种保险的独立性，改变了题意，被扣了3分。概率题如何规范答题一直未引起老师和考生高度重视。概率题解答哪些过程可以省略，哪些步骤决不能省略，老师和考生应分析及研究到位。2011年理科、文科全省平均分分别是1.99分和1.72分，这也是近几年来最低的，理科仅有2人得满分，7人得11分，文科高分也很少。解析几何题由于二问都是证明题，考生认为该题难度太大，得分较低。其实第一问是解答形式的证明，对理科考生而言不应太难，第二问证明椭圆周上的四点共圆，其证明思路本身就较难，加上该题计算量大，得高分很不容易。全省满分仅有117人，平均分3.52分，近几年处于中间水平。但文科考生就感到难度太大，全省10到12分的仅有3人，平均分仅有0.66分，是近几年最低的。导数应用题理科题比较新颖，第一问很简单，是一个很规范的证明题，考生容易得分，第二问结合概率证明不等式，构思巧妙，且综合性强，全省满分有19人，平均分为2.55分，是近几年较高的。而文科考题较规范，仍是一个带参数的三次多项式，求一条切线方程及取得极值后讨论参数的取值范围，全省平均分为2.23分，比2010年增加较多。近几年数学试卷考题难度大致相当，2010年考题难度有所增加，仍是贴近教学，立足基础、覆盖全面、稳中有变、特别注意变化的形式，综合性强、展现考生能力。 2010年数学考试题是自2003年数学试题难度最大的一年试题，全省文理科考生的数学成绩最高分均未超过140分，平均成绩也有较大幅度的下降。 2010年理科类三角函数二小一大共20分，立体几何三小一大共27分，解析几何二小

椭圆的常见题型及解法(一).

椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导设P （，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。证法1：。因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴，证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所以，而。

∴，。 2.公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为，则、、。 ∵ ，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。解：设，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。解：由已知可得，所以直线AB 的方程为，代入椭圆方程得设，则，从而变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为

高考数学最常考的几类题型

高考数学最常考的几类题型要想提高高考数学成绩必须要花一定的时间来研究历年来高考常考题型，精准把握高考最新动态，综合分析往年高考的常规题型，我们发现这七个题型是非常常考的：第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。

单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事

高考数学的固定题型具体分析

高考数学的固定题型具体分析集合与常用逻辑用语集合是高考每年的必考内容，对集合的考查主要有：集合的运算、集合间的关系和集合语言的运用三个方面，通常以选择题的形式出题。集合知识经常与函数、方程、不等式等知识交汇在一起命题，因此应注意相关知识在解题中的应用. 常用逻辑用语也是每年高考的必考内容，重点考查：充分必要条件的推理判断、四种命题及其相互关系和全称命题与特称命题。同样的经常以选择题的形式出现，这个考点的试题除了考查常用逻辑用语本身的有关概念与方法，还与其他数学知识联系在一起，所以还要注意知识的灵活运用。函数与导数函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容，主要考查：函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等。其中函数的性质、函数与方程、基本初等函数等以选择题和填空题的形式考查，并且以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等对导数的考查主要有以下几个方面：考查导数的运算与导数的几何意义、考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等、考查导数的综合应用、以及对于导数的综合应用。通常在填空题和解答题出现。立体几何与空间向量高考数学理科对立体几何与空间向量的考查主要有三个方面：一是查空间几何体的结构特征、直观图与三视图，二是考查空间点、线、面之间的位置关系，三是考查利用空间向量解决立体几何问题。通常在选择题和填空题中出现。高考数学文科对立体几何的考查主要有两个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图二是考查空间点、线、面之间的位置关系，同样的也是在选择题中和填空题中出现。

第13讲函数的零点个数问题的求解方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(

教育部考试中心权威评析：2020年高考数学全国卷试题评析

教育部考试中心权威评析：2020年高考数学全国卷试题评析 2020年高考数学全国卷试题评析（考试中心权威解析） 2020年高考数学试题落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。试题展现了我国社会主义建设成就与科学防疫的成果，紧密联系社会实际，设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色。试卷体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，难度设计科学合理，很好把握了稳定与创新、稳定与改革的关系，对协同推进高考综合改革、引导中学数学教学都将起到积极的作用。 1 发挥学科特色，“战疫”科学入题一是揭示病毒传播规律，体现科学防控。用数学模型揭示病毒传播规律，如新高考Ⅰ卷（供山东省使用）第6题，基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果，考查相关的数学知识和从资料中提取信息的能力，突出数学和数学模型的应用；全国Ⅲ卷文、理科第4题以新冠肺炎疫情传播的动态研究为背景，选择适合学生知识水平的Logistic模型作为试题命制的基础，考查学生对指数函数基本知识的理解和掌握，以及使用数学模型解决实际问题的能力。二是展现中国抗疫成果。全国疫情防控进入常态化后，各地有序推进复工复产复学。新高考Ⅱ卷（供海南省使用）第9题以各地有序推动复工复产为背景，取材于某地的复工复产指数数据，考查学生解读统计图以及提取信息的能力。三是体现志愿精神。如全国Ⅱ卷理科第3题（文科第4题）是以志愿者参加某超市配货工作为背景设计的数学问题，考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决实际问题的能力。

高考数学一轮复习最实用的填空题答题方法

2019年高考数学一轮复习最实用的填空题答题方法数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一。查字典数学网为大家精心准备了最实用的最实用的填空题答题方法，供大家参考学习，希望对大家有所帮助! 填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等

过程，直接得到结果。例1设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。解：∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。例2已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是。解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为。解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。例4 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则。解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。例5 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，

高考数学题型归纳完整版

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合题型1-1 集合的基本概念题型1-2 集合间的基本关系题型1-3 集合的运算第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型1-7 判断命题的真假题型1-8 含有一个量词的命题的否定题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围第二章函数第一节映射与函数题型2-1 映射与函数的概念题型2-2 同一函数的判断题型2-3 函数解析式的求法第二节函数的定义域与值域（最值）题型2-4 函数定义域的求解题型2-5 函数定义域的应用题型2-6 函数值域的求解第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断题型2-8 函数单调性（区间）的判断题型2-9 函数周期性的判断题型2-10 函数性质的综合应用第四节二次函数题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型2-12 二次方程的实根分布及条件题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题第五节指数与指数函数题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质题型2-16 指数函数中恒成立问题第六节对数与对数函数题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式题型2-18 对数函数的图象与性质题型2-19 对数函数中恒成立问题第七节幂函数题型2-20 求幂函数的定义域题型2-21 幂函数性质的综合应用第八节函数的图象题型2-22 判断函数的图象题型2-23 函数图象的应用第九节函数与方程题型2-24 求函数的零点或零点所在区间题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范围题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性问题第十节函数综合题型2-27 函数与数列的综合题型2-28 函数与不等式的综合题型2-29 函数中的信息题第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型3-1 导数的定义题型3-2 求函数的导数第二节导数的应用题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间题型3-5 函数的极值与最值的求解题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调，求参数的取值范围题型3-7 讨论含参函数的单调区间题型3-8 利用导数研究函数图象的

高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法

高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法【知识要点】一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化（1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；（2）设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）；（3）列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件,列出方程；（4）代点坐标到方程；（5）化简：化方程为最简形式；（6）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.（可以省略）三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法待代直参（1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程. （2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程. （3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程. （4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参. 四、轨迹和轨迹方程轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程

只求那个方程即可，不需描述曲线的特征. 【方法讲评】【例1】线段与互相垂直平分于点，，，动点满足，求动点的轨迹方程．【解析】【点评】（1）这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；（2）这道题是直接用坐标化简已知中的得到的轨迹方程，运用的是直接法. 【例2】已知圆：，由动点向圆引两条切线、，