一次函数与二元一次方程的关系
二元一次方程组与一次函数 1 （导学案 ）
超化二初中 崔松敏
学习目标：
1、知道二元一次方程（组）与一次函数关系.
2、能根据一次函数图像求二元一次方程组近似解.
3、经历探索新知过程，体会数形结合思想，提高归纳概括能力.
学习重点：
1、二元一次方程和一次函数的关系.
2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
学习难点：方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力.
学习过程：
复习引入新课
解下列二元一次方程组：
（1） ???=-=+123242y x y x （2）???=+=-7
32123y x y x 探究新知：
学生看课本P 238----239 的内容，5分钟后，
1.自主解决：（若不能独立解决，可以俩人商量解决）
（1）你们能否将方程转化为一次函数的形式呢？如果能，请你在平面直角坐标系中画出它的图象。
（2）直线上任意一点的坐标一定是方程的解吗？是否任意的二元一次方程都可以转化为一次函数的形式呢？是否所有直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解呢？
（3）在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x 和y=2x －1的图像，这两个
图像有交点吗？交点的坐标与方程组521x y x y +=??-=?
的解有什么关系？你能说明理由吗？
2.小组合作解决：
（1）二元一次方程与一次函数有什么关系？
（2）二元一次方程方程组与一次函数有什么关系？解二元一次方程组的方法有哪几种？
（3）有图像法解二元一次方程组的解题步骤是什么？
(4）有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？
一次函数y=2－x ，y=5－x 的图像之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？ 学生展示后教师点拨：
(1)以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图像与一次函数y=-b
c x b a +的图像相同。 (2)二元一次方程组???=+=+222
111c y b x a c y b x a 的解可看做两个二元一次函数y=-11
11b c x b a +和y=-2
222b c x b a +的图像的交点。 （3）解二元一次方程组除了代入法和加减外还可以用图像法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：
1、把二元一次方程化成一次函数的形式
2、在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。
3、交点坐标就是方程组的解。
目标检测 ：
1、一次函数y=5-x 与y=2x-1图象的交点为(2,3),
则方程组 的解为 .
2、若二元一次方程组 的解为 ,
则函数 与
的图象的交点坐标为 .
3．根据下列图象，你能说出是哪些方程组的解?这些解是什么?
???=--=-2222y x y x ???==22y x 121+=x y 22-=x y ???=-=+125y x y x
小结：结合学习目标，小组内交流，你学到了什么？（要向他人多请教） 作业：
必做题 第240页1， 2题
选作题 第240页第3题
二元一次方程组与函数
第8讲 二元一次方程组与一次函数(A) 姓名：____________ ◆【基础知识及应用】 一、交点坐标的求法： 1 2 二、一次函数图像的平移与应用 12、与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化，充分运用已知点的坐标求解； 三、图像理解与应用 ◆【典例精讲】 考点一、求交点坐标： 【例1】直线122y x =-与直线14y x a =-+相交于x 轴上一点，则直线1 4 y x a =-+不经过 （ ） A 、第四象限 B 、第三象限 C 、第二象限 D 、第一象限 练习：若直线m x y +=与直线42+-= x y 的交点在x 轴上，则=m ； 【例2】已知点A （0，2，B （1，4，C （c ，4c +）在同一直线上，求c 的值。 考点二、一次函数与面积有关的问题： 【例3】（黄石）梯形ABCD 的四个顶点坐标分别为A （1-，0），B （5，0），C （2，2）， D （0，2） ，直线2y kx = +将梯形分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ） A 、－32 B 、－9 2 C 、－74 D 、－72
【例4】变式：如图所示：直线43 4+-=x y 与y 轴交于点A ，与直线54 54+=x y 交于点B ，且 直线5 4 54+= x y 与x 轴交于点C ，求ABC ?的面积； ◆目标训练1： 1、若直线13-=x y 与k x y -=的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ） A 、31< k B 、13 1 <
二次函数和一元二次方程的关系
二次函数和一元二次方程的关系教学设计一教学设计思路通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。 教学目标二 1 知识与技能(1).经历探索函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根. (2).会利用图象法求一元二次方程的近似解。 2 过程与方法 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 情感态度价值观三 通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况培养学生自主探索意识，从中体会事物普遍联系的观点，进一步体会数形结合思想. 教学重点和难点四页 1 第 重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一
元二次方程的近似解。 难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 教学方法五 讨论探索法六教学过程设计(一)问题的提出与解决问题如图，以20m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系 h=20t5t2。考虑以下问题 (1)球的飞行高度能否达到15m?如能，需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如能，需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? ?(4)球从飞出到落地要用多少时间分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t-5t2。 所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一页 2 第 元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。 解：(1)解方程15=20t5t2。t24t+3=0。t1=1,t2=3。
二次函数和一元二次方程-辅导讲义
讲义内容 知识概括 知识点一： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x 1，0)(x 2 ，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 不等实根△=b2-4ac>0。 (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个相等实根， (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。 方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数2 y ax bx c =++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0) ax bx c a ++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0 a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： ?>抛物线与x轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 ?=抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0 ?<抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.
一次函数与方程和不等式的关系
一次函数与方程和不等式的关系 1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（?）A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 （1）（2） 2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（?）A．y>0 B．y<0 C．-2
8．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>?0；?当________?时，?2x+?4
二元一次方程组与函数
第8讲 二元一次方程组与一次函数(A) ：____________ ◆【基础知识及应用】 一、交点坐标的求法： 1 2 二、一次函数图像的平移与应用 12、与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化，充分运用已知点的坐标求解； 三、图像理解与应用 ◆【典例精讲】 考点一、求交点坐标： 【例1】直线122y x = -与直线14y x a =-+相交于x 轴上一点，则直线1 4 y x a =-+不经过（ ） A 、第四象限 B 、第三象限 C 、第二象限 D 、第一象限 练习：若直线m x y +=与直线42+-=x y 的交点在x 轴上，则=m ； 【例2】已知点A （0，2），B （1，4），C （c ，4c +）在同一直线上，求c 的值。 考点二、一次函数与面积有关的问题： 【例3】（）梯形ABCD 的四个顶点坐标分别为A （1-，0），B （5，0），C （2，2）， D （0，2） ，直线2y kx =+
A 、－32 B 、－92 C 、－74 D 、－7 2 【例4】变式：如图所示：直线434+-=x y 与y 轴交于点A ，与直线5 4 54+=x y 交于点B ，且 直线5 4 54+=x y 与x 轴交于点C ，求ABC ?的面积； ◆目标训练1： 1、若直线13-=x y 与k x y -=的交点在第四象限，则k 的取值围是（ ） A 、31< k B 、13 1 <
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935
函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
一次函数与方程,不等式基础知识
一次函数与方程、不等式 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（） 上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。 知识点睛
一、一次函数与一元一次方程综合 【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ， ，则a b +=______． 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接 得到方程3kx b +=的解是x =______． 二、一次函数与一元一次不等式综合 【例4】 已知一次函数25y x =-+． （1）画出它的图象； （2）求出当3 2 x = 时，y 的值； （3）求出当3y =-时，x 的值； （4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y < 【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在： （1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限． 【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值围是（ ） A ．5x > B ．1 2 x < C ．6x <- D ．6x >- 【例7】 已知一次函数23y x =-+ 例题精讲
二次函数与方程
中考压轴专题之二次函数与方程综合 姓名 1.（08天津市卷26题） 已知抛物线c bx ax y ++=232， （Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标； （Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<
一次函数和方程不等式的关系
求一次函数解析式专项练习 1．已知A（2，﹣1），B（3，﹣2），C（a，a）三点在同一条直线上． （1）求a的值； （2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积． 2．已知一次函数的图象经过（1，2）和（﹣2，﹣1），求这个一次函数解析式及该函数图象与x轴交点的坐标． 3．如图所示，直线l是一次函数y=kx+b的图象． （1）求k、b的值； （2）当x=2时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值． 4．已知y与x+2成正比例，且x=0时，y=2，求： （1）y与x的函数关系式； （2）其图象与坐标轴的交点坐标． 5．如果y+3与x+2成正比例，且x=3时，y=7． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）画出该函数图象；并观察当x取什么值时，y＜0？ 6．直线y=kx+b是由直线y=﹣x平移得到的，此直线经过点A（﹣2，6），且与x轴交于点B． （1）求这条直线的解析式； （2）直线y=mx+n经过点B，且y随x的增大而减小．求关于x的不等式 mx+n＜0的解集．
7．已知，直线AB 经过A （﹣3，1），B （0，﹣2），将该直线沿y 轴向下平移3个单位得到直线MN ． （1）求直线AB 和直线MN 的函数解析式； （2）求直线MN 与两坐标轴围成的三角形面积． 8．已知：关于x 的一次函数y=（2m ﹣1）x+m ﹣2若这个函数的图象与y 轴负半轴相交，且不经过第二象限，且m 为正整数． （1）求这个函数的解析式． （2）求直线y=﹣x 和（1）中函数的图象与x 轴围成的三角形面积． 一次函数与方程不等式关系 1、直线l 1∶y ＝k 1x ＋b 与直线l 2∶y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图， 则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为( ) A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞－2 D ．x ＜－2 2、如图,已知直线y 1=x+m 与y 2=kx-1相交于点P(-1,1),则关于x 的不等式x+m>kx-1的解集在数轴 上表示正确的 是( ) 3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作 出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元 一次方程 组是 （ ）
初三数学二次函数与圆知识点总结
初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=， ； ※ 5．当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2 -4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 a b -= 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 a c = 0且a b -≠0 c = 0且b ≠0； （4）有两个零根 a c = 0且a b -= 0 c = 0且b=0； （5）至少有一个零根 a c =0 c=0； （6）两根异号 a c ＜0 a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 a c ＜0且a b -＞0 a 、c 异号且a 、b 异号； （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 a c ＜0且a b -＜0 a 、c 异号且a 、b 同号； （9）有两个正根 a c ＞0，a b -＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；
八年级数学 一次函数与方程、不等式综合专题复习讲义
一次函数与方程、不等式综合专题复习讲义 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k - 就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。 一、一次函数与一元一次方程综合 【例1】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60， ，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 【例2】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 知识点睛 中考要求 例题精讲
【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ， ，则a b +=______． 二、一次函数与一元一次不等式综合 【例3】 已知一次函数25y x =-+． （1）画出它的图象； （2）求出当3 2 x =时，y 的值； （3）求出当3y =-时，x 的值； （4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y < 【例4】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在： （1）x 轴下方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限． 【巩固】当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在： （1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限．
一次函数与方程、不等式之间的关系
一次函数与方程、不等式之间的关系 人教版九年制义务教育八年级数学下册 宁都县赖村中学谢新华 教学重点、难点： 一次函数与方程、不等式之间的关系 教学目标： 1.让学生理解一次函数与方程、不等式之间的关系，从而解答有关的函数坐标、函数值等问题 2.通过探索一次函数与方程、不等式之间的关系，经历具体到抽象再到具体，到抽象，最后具体的学习过程，体会探索的严谨性，科学性，掌握循序渐进的学习方法，树立数形结合的学习函数的思想方法 3.经历了探索一次函数与方程、不等式之间的关系过程，掌握了学法，树立起了学好函数的信心，体会到成功的喜悦 教学策略： 运用多媒体技术，讲练结合与小组讨论法 教学教学过程
谭金林说：可是这两个点怎么画呢?当函数值大于某值时，x怎 样取值？ 这下难住了他们，为此他们举出一个例子已知一次函数y=2x+8，请你帮他们画出两点，作出直线？当y>4时，x取何值？ 设计意图：通过举自己身边的两位同学的例子引入课题，从而让问题变得那么的贴近自身实际，提高学习的兴趣 板书：一次函数与方程、不等式之间的关系学习目标 1.能理解感悟一次函数与方程、不等式之间的数形关系，并能运用这种关系解决有关一次函数的问题 2.通过问题解决，经历探索一次函数与方程、不等式之间关系的过程，体验知识产生、发展、形成的过程，感悟数形结合思想 3.通过问题解决，经历探索一次函数与方程、不等式之间的数形关系，掌握了学习函数的方法 设计意图：明确学习目标，使学习更具针对性 一、动动手，填一填 (1)当x 取___值时，函数值等于3. (2)当x 取___值时，函数值等于0. (3)当x 取___值时，函数值等于-1 2.已知一次函数y=2x+3的图像（如右上图）及图像上的一
二元一次函数与二次函数练习
专题：二元一次与二次函数 练习一 1、已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ． 2、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式． 】 3、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x=4； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式． > 4、已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围； （2）判断点P（1，1）是否在抛物线上； （3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图． &
练习二 1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证． （1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3． ? 2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点 { 3、已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10． （1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3 （2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数 （3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积． 】
4、在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ） 的关系满足y=－5 1 x 2＋10x ． （1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点最高点的高度是多少 （2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸 ' 5、已知抛物线y=x 2－（k ＋1）x ＋k ．（1）试求k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的负半轴交于点C ，试问：是否存在实数k ，使△AOC 与△COB 相似若存在，求出相应的k 值；若不存在，请说明理由． ￥
一次函数与方程不等式综合测试题
《一次函数与方程、不等式》测试题 一、 填空题（每小题3分，共24分） 1、若32k -有意义，则函数1y kx =-的图象不经过第 象限。 2、一次函数22+=x y 的图象如图所示，则由图象可知，方程022=+x 的解为 。 4、一次函数b kx y +=的图象如图所示，由图象可知，当x 时，y 值为正数，当x 时，y 为负数。 5、已知方程组???=+=-82237y x y x 的解为???==42 y x ，那么一次函数____=y 与一次函数 ____=y 的交点为（2,4） 。 6、一次函数12+-=x y 与一次函数93--=x y 两图象有一个公共点，则这个公共点的坐标为 。 7、一次函数b ax y +=的图象过点（0，－2）和（3,0）两点，则方程0=+b ax 的解为 。 8、直线a x y += 2 1 与直线1-=bx y 相交于点（1，－2），则a ＝ ，b= 。 二、选择题（每小题3分，共24分） 1、如图，一次函数b kx y +=与x 轴的交点为（－4,0），当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）
A 、4->x B 、0>x C 、4-
二次函数与方程的关系
淇滨区第一中学教案 九年级班执课教师：执课时间：年月日课题二次函数与方程的关系课时安排第课时 教学课型新授课□实（试）验课□复习课□实践课□其他□ 教学目标1理解一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值。 2. 会用一次函数与二次函数的图象的交点求方程组的解及由方程组的解求交点坐标 教学重点 利用一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值教学难点 抛物线图象与x轴交点的位置来判断方程的根． 课前准备二次函数的解析式中的一般式是: y = a x2+ bx +c (a≠0) 顶点式：y = a(x-h) 2+ k 交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 教学环 节 内容设计意图 教学构架 一、知识梳理二、错题再现三、知识新授四、小结与 预习 一、一元二次函数与一元二次方程的关系 1、从形式上看： 二次函数：y=ax2＋bx＋c (a≠0) 一元二次方程：ax2＋bx＋c=0 (a≠0) 2、从内容上看： 二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解； 一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值 3、相互关系： 二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的 根。 如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二 次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3 （1）二次函数y=a x2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: a、有两个交点, b、有一个交点, c、没有交点. (2)当二次函数y=a x2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横 坐标就是当y=0时自变量x的值, 即 一元二次方程a x2+bx+c=0的根.
一元一次方程与一次函数的关系
一元一次方程、一次函数、二元一次方程组等之间的关系 1. 一元一次方程与一次函数的关系： (0)0y kx b k kx b =+≠??+=? ,0b x k ???? ?函数图像与轴交点(-)的横坐标即为方程的解通过求kx+b=0的解来得到函数图像与x 轴的交点坐标 例如： （1）方程320x +=的解为x= ，一次函数32y x =+与x 轴的交点坐标 。 （2）已知一次函数(0)y kx b k =+≠图像与x 轴的交点坐标为（4,0），那么方程0kx b +=的解为x= 。 2. 一元一次不等式与一次函数的关系： (0)0(0)y kx b k kx b =+≠??+>的解集为x>4，则一次函数与x 轴的交点坐标为 ，k 0（大小关系）。 3. 一次函数与二元一次方程组的关系： （1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 a c y x b b =-+的图象相同. （2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数的图象的交点.
x y O P y=x+b 1y=ax+3例如： （1）已知二元一次方程335x y x y +=-=与有一组公共解21 x y =??=?，那么一次函数335y x y x =-=-与的图像交点坐标为 。 （2）如图所示，已知函数y ax b y kx c =+=+和的图像交于点P ，则根据图像可 知，关于x,y 的二元一次方程组y ax b y kx c =+??=+?的解是 。 （3）直线5253y x y x =-+=--与互相平行，则方程组5253y x y x =-+??=--? 的解得情况为 。 （4）已知一次函数263y x y x =-=-+与的图像交于点P ，则点P 的坐标为 。 （5）已知直线L 1经过点A （0，-1），B （2,7），直线L 2经过点C （-3,0），D （-1,1.5），求两直线交点P 的坐标 （6）如图所示，已知函数3y x b y ax =+=+与的图像交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为 。 （7）直线L 1`与直线L 2相交于点P ，点P 的横坐标为-1，直线L 2交y 轴与点A （0，-1），直线L 1的函数表达式为y=2x+3. 求直线L 2的函数表达式。
一次函数一二元一次方程组的关系(知识点+例题)
一次函数与二元一次方程(组) 【教学目标】 1. 理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组； 2. 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法； 【重点难点】 1. 对应关系的理解及实际问题的探究 2.二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解 【教学内容】 一、提出问题，y =3x +1是什么？ 一次函数，二元一次方程. 从而引入新课. 二、新课讲解 1.探究一次函数与二元一次方程的关系 (1)对于方程358 x y +=,如何用x 表示y ? 38 55 y x =-+ (2)是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢？ ① 30x y -= ② 11 =623x y + 3y x = 3 182 y x =-+ 你对二元一次方程与一次函数的解析式之间的关系有什么看法？ 一一对应 (3) 直线38 55 y x =-+上每一点的坐标,)x y （都是方程358x y +=的解吗？ 是 (4)你对二元一次方程与一次函数的图像之间的关系有什么看法？ 总结： 一次函数与二元一次方程的关系 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上. 反过来：一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 即每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.
2.探究一次函数与二元一次方程组的关系 (1)在同一直角坐标系中画一次函数38 55 y x =-+ 与21y x =-的图象， 它们有交点吗？交点坐标是多少？ 是方程组385521 y x y x ? =-+ ???=+?的解吗?为什么？ (2)当自变量x 取何值时,函数3 8 55 y x =-+ 与21y x =-的值相等，这个值是多少？1y 1 x ==时它们的值相等， 我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法，比如可以用代人法，也可以用加减法．我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢? 首先，任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合．比如 ?? ????????-=+ -=?=-=+125853152853x y x y y x y x ① 对于①，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x 取什么数值时，两个—次函数的y 值相等?它反映在图象上，就是求直线5 8 53 + -=x y 和直线12-=x y 的交点坐标. 教师点拨：根据方程组解的意义和函数的观点，解方程组就是求当x 取何值时，两个函数的 y 值相等；从图象上看就是求两条直线的交点坐标. 我们可以从数形两个方面归纳一次函数与二元一次方程组的关系.渗透数形结合思想. 一次函数与二元一次方程组的关系： 1 1 y o y =2x －1y = x ＋53-5 8 x P(1,1)从数 的角 度看：从形的角度看： 求二元一次方程组的解求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标 x 为何值时，两个函数的值相等
二次函数与直线一元二次方程的关系
二次函数与直线、一元二次方程的关系 一、二次函数与直线的关系 （1）抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点是()0,c ； （2）抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点，因为x 轴上的点的纵坐标都为0， 所以令0y =，代入得2 0ax bx c ++=，解这个一元二次方程得x =，所 以抛物线与x 轴的交点坐标是2b a ??-- ? ???和2b a ?? -+ ? ??? ； （3）一次函数()0y kx b k =+≠的图象与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象 的交点的个数，由方程组2 y kx b y ax bx c =+??=++?的解的数目确定： ①方程组有两组不同的解?两函数图象有两个交点； ②方程组只有一组解?两函数图象只有一个交点； ③方程组无解?两函数图象没有交点。 例1、已知：抛物线的解析式为()2 2 21y x m x m m =--+-。 （1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线34y x m =-+的一个交点在y 轴上，求m 的值。 变式1-1、在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数()2 14y x k x =-+-+的图象与y 轴交于点A ， 与x 轴的负半轴交于点B ，且6OAB S ?=。 （1）求点A 与点B 的坐标；
（2）求此二次函数的解析式； （3）如果点P 在x 轴上，且ABP ?是等腰三角形，求点P 的坐标。 二、二次函数与一元二次方程的关系 方程20ax bx c ++=的两个实数根为12x x 、，与x 轴的交点为A B 、，如下表： 判别式的情况 抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 二次方程 20ax bx c ++=的实根 有两个不相等的实根1212,x x AB x x =-、 有两个相等的实 根12x x = 无实根 例2、（2011?潍坊）已知一元二次方程()2 00ax bx c a ++=>的两个实数根12x x 、满足124 x x +=和123x x ?=，那么二次函数()2 0y ax bx c a =++>的图象有可能是（ ）。 变式2-1、（2011?呼和浩特）已知一元二次方程2 30x bx +-=的一根为3-，在二次函数 23y x bx =+-的图象上有三点123451,,,546y y y ?????? -- ? ? ??????? 、、，则123y y y 、、的大小关系是 。
专题__一次函数与方程和不等式典型题
一次函数与方程和不等式典型练习 1、一次函数y =kx +b 的图象如图所示，则方程kx +b =0的解为( ) A ．x =2 B ．y =2 C ．x =1- D ．y =1- 2、一次函数y =ax +b 的图象如图所示，则不等式ax +b ＞0的解集是( ) A ．x ＜-2 B ．x ＞-2 C ．x ＜1 D ．x ＞1 3、已知一次函数y =ax +b 的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点(2，0)，则关于x 的不等式a (x -1)-b ＞0的解集为( ) A ．x ＜-1 B ．x ＞-1 C ．x ＞1 D ．x ＜1 4、如图，已知函数y =ax +b 和y =kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二 元一次方程组y ax b y kx =+=??? 的解是 ． 5、(1)已知关于x 的方程mx +n =0的解是x =-2，那么，直线y =mx +n 与x 轴的交点坐标是 ． (2)如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y =kx +b 与直线OA ：y =mx 相交于点A (-1，-2)，则关于x 的不等式kx +b ＜mx 的解是 ．
6、(1)已知方程2x+1=-x+4的解是x=1，那么，直线y=2x+1与直线y=-x+4的交点坐标是__ __ ． (2)在平面直角坐标系中，直线y=kx+1关于直线x=1对称的直线l刚好经过点(3，2)，则不等式3x＞kx+1的解集是__ __ ． (3)如图，直线l1、l2交于点A，试求点A的坐标． 8、如图，已知一次函数的图象经过点A(-1，0)、B(0，2)． (1)求一次函数的关系式； (2)设线段AB的垂直平分线交x轴于点C，求点C的坐标． 9、如图，已知直线y=kx+b经过点A(1，4)，B(0，2)，与x轴交于点C，经过点D(1， 0)的直线DE平行于OA，并与直线AB交于点E． (1)求直线AB的解析式； (2)求直线DE的解析式； (3)求△EDC的面积． 10、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(1，1)，在x轴上确定点P，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P的个数为个． 11、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(2，0)、(2，4)，点P在坐标轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有个．
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