2015高考数学一轮题组训练：9-1直线的方程
第九篇 解析几何
第1讲 直线的方程
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为________．
解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝π
3. 答案 π
3
2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3
4.则直线l 的方程为________． 解析 由点斜式，得y －5＝－3
4(x ＋2)， 即3x ＋4y －14＝0. 答案 3x ＋4y －14＝0
3．(2014·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.
由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 4
4．(2014·泰州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.
解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k
3. 则有k 4－k
3＝2，所以k ＝－24. 答案 －24
5．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m ＝________.
解析 由题意可知2m 2
＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－3
2，在x 轴上截距为
4m －12m 2
＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或－1
2. 答案 2或－1
2
6．(2014·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足________．
①ab >0，bc <0；②ab >0，bc >0；③ab <0，bc >0；④ab <0，bc <0.
解析 由题意，令x ＝0，y ＝－c b >0；令y ＝0，x ＝－c
a >0.即bc <0，ac <0，从而a
b ＞0. 答案 ①
7．(2014·淮阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝1
2，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪? ??
??12，＋∞.
答案 (－∞，－1)∪? ??
??12，＋∞
8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．
解析 设所求直线的方程为x a ＋y
b ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2
b ＝1.
①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②
由①②可得(1)??? a －b ＝1，ab ＝2或(2)???
a －
b ＝－1，ab ＝－2.
由(1)解得??? a ＝2，b ＝1或???
a ＝－1，
b ＝－2，方程组(2)无解．
故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y
－2＝1，
即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 二、解答题
9．(2014·临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．
解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得a －2
a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.
综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴??? －(a ＋1)＞0，a －2≤0或???
－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．
10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下：
设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ? ?
???2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB
的面积S ＝12(1－2k )? ????2－1k ＝12??????4＋(－4k )＋? ????－1k ≥1
2(4＋4)＝4.当且仅当－4k
＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－1
2(x －2)，即x ＋2y －4＝0.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为________．
解析 |AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝1
2，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±3
3(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －3
3. 答案 y ＝33x ＋33或y ＝－33x －3
3
2．若直线l ：y ＝k x －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．
解析 如图，直线l ：y ＝k x －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝3
3，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是? ??
??
π6，π2.
答案 ? ??
??
π6，π2
3．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．
解析 直线方程可化为x
2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2
＋2b ＝－2? ????b －122＋12
，由于0≤b ≤1， 故当b ＝12时，ab 取得最大值1
2. 答案 1
2 二、解答题
4．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1
2x 上时，求直线AB 的方程．
解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－3
3，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ， 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ? ????
m －3n 2，m ＋n 2，
由点C 在y ＝1
2x 上，且A ，P ，B 三点共线得
?????
m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，
解得m ＝3，所以A (3，3)．
又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝3
3－1
＝3＋32， 所以l AB ：y ＝
3＋3
2(x －1)，
即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.