5.1第2课时 矩形的判定同步练习

5.1矩形

第2课时矩形的判定

知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形

1.如图5-1-15,要使?ABCD成为矩形,需要添加的条件是()

图5-1-15

A.∠A+∠B=180°

B.∠B+∠C=180°

C.∠A=∠B

D.∠B=∠D

2.已知在四边形ABCD中,∠ABC=90°,再补充一个条件使得四边形ABCD为矩形,这个条件可以是()

A.AC=BD

B.AB=BC

C.AC与BD互相平分

D.AC⊥BD

3.如图5-1-16是一个平行四边形的活动框架,对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条对角线的长度也会发生改变.当∠α是度时,两条对角线的长度相等.

图5-1-16

知识点2有三个角是直角的四边形是矩形

4.已知O为四边形ABCD对角线的交点,下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是()

A.OA=OC,OB=OD

B.AC=BD

C.AC⊥BD

D.∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°

5.如图5-1-17,?ABCD的四个内角的平分线分别交于点E,F,G,H,则四边形EFGH是

形.

图5-1-17

6.如图5-1-18,O是射线AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分

∠COB,CF⊥OF于点F.求证:四边形CDOF是矩形.

图5-1-18

知识点3对角线相等的平行四边形是矩形

7.在?ABCD中,AC,BD是对角线,如果添加一个条件,即可推出?ABCD是矩形,那么这个条件可以是()

A.AB=BC

B.AC=BD

C.AC⊥BD

D.AB⊥BD

8.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等,然后测量两条对角线是否相等,这样做的依据是________________________.

9.如图5-1-19,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.求证:四边形EFGH是矩形.

图5-1-19

10.[2019·临沂]如图5-1-20,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连结AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是()

图5-1-20

A.OM=AC

B.MB=MO

C.BD⊥AC

D.∠AMB=∠CND

11.如图5-1-21,△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是()

图5-1-21

A.2

B.3

C.4

D.4

12.如图5-1-22,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,D为斜边AB上一动点,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则线段EF的长度的最小值为 ()

图5-1-22

A.B.C.D.

13.在数学活动课上,老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形.下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方法:①测量对角线是否互相平分;②测量两组对边是否分别相等;③测量一组对角是否都为直角;④测量其中三个角是否都为直角.其中正确的是(填序号). 14.如图5-1-23,?ABCD中,AC,BD交于点O,P是?ABCD外一点,且∠APC=∠BPD=90°,

求证:?ABCD是矩形.

图5-1-23

15.如图5-1-24,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.

(1)求证:四边形ABCD是矩形;

(2)若∠ADF∶∠FDC=3∶2,DF⊥AC,则∠BDF的度数是多少?

图5-1-24

16.如图5-1-25 ①,四边形ABCD是平行四边形,BD是它的一条对角线,过顶点A,C分别作AM ⊥BD,CN⊥BD,垂足分别为M,N.

(1)求证:AM=CN;

(2)如图②,在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E,F,使BE=DF,连结AE,CF,AF,CE,AC,试探究:当EF满足什么条件时,四边形AECF是矩形?并加以证明.

图5-1-25

详解详析

1.C

2.C[解析] ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形,

∴只要四边形ABCD是平行四边形,即可判定四边形ABCD是矩形,

∴添加AC与BD互相平分.

故选C.

3.90[解析] ∵平行四边形活动框架的两条对角线的长度相等,

∴该平行四边形是矩形.

∵矩形的每个内角都等于90°,

∴∠α=90°.

4.D

5.矩[解析] 如图,根据题意,有∠1=∠2,∠3=∠4.

又∵AD∥BC,

∴∠BAD+∠ABC=180°,

∴∠1+∠3=90°,

∴∠AFB=∠EFG=90°.

同理,∠E=∠G=∠GHE=90°,即平行四边形的四个内角平分线围成的四边形,其四个内角一定是直角,即该四边形是矩形.

6.证明:∵OA=OC,OD平分∠AOC,

∴OD⊥AC,∴∠ODC=90°.

∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,

∴∠DOF=(∠AOC+∠COB)=90°.

∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,

∴四边形CDOF是矩形.

7.B

8.两组对边分别相等的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形

[解析] 先测量两组对边是否相等,如果相等,那么四边形为平行四边形,其根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.然后测量两条对角线是否相等,如果对角线相等,那么该平行四边形是矩形,其根据是对角线相等的平行四边形是矩形.

9.证明:∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

∴OA=OB=OC=OD.

又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,

∴EO=FO=GO=HO,

∴四边形EFGH是平行四边形,EG=HF,

∴四边形EFGH是矩形.

10.A[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC,OB=OD.

∵对角线BD上的两点M,N满足BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,

∴四边形AMCN是平行四边形.

∵OM=AC,

∴MN=AC,

∴四边形AMCN是矩形.

故选A.

11.A[解析] ∵DE是AC的垂直平分线,F是AB的中点,

∴DF∥BC,∠ADE=∠EDC=90°,∴∠C=90°.

又∵∠E=90°,

∴四边形BCDE是矩形.

∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,

∴AB=4,∴AC==2,

∴CD=AC=,

∴四边形BCDE的面积为2×=2.

故选A.

12.D[解析] 如图,连结CD.

∵DE⊥BC,DF⊥AC,

∠ACB=90°,

∴四边形CEDF是矩形,

∴EF=CD.

由垂线段最短可得CD⊥AB时,线段EF最短.

∵AC=3,BC=4,

∴AB==5.

∵四边形CEDF是矩形,

∴CD=EF==.

故选D.

13.④[解析] 由矩形的判定定理:有三个角为直角的四边形为矩形可得答案.

14.证明:连结PO.

∵四边形ABCD为平行四边形,∴OB=OD.

在Rt△PBD中,

∵O为BD的中点,∴PO=BD.

同理,在Rt△APC中,∵O为AC的中点,

∴PO=AC,∴AC=BD.

又∵四边形ABCD是平行四边形,

∴?ABCD是矩形.

15.解:(1)证明:∵AO=CO,BO=DO,

∴四边形ABCD是平行四边形,

∴∠ABC=∠ADC.

又∵∠ABC+∠ADC=180°,

∴∠ABC=∠ADC=90°,

∴四边形ABCD是矩形.

(2)∵∠ADC=90°,∠ADF∶∠FDC=3∶2,

∴∠FDC=36°.

∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°-36°=54°.

∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC,

∴∠ODC=∠DCO=54°,

∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18°.

16.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADM=∠CBN.

∵AM⊥BD,CN⊥BD,

∴∠AMD=∠CNB=90°.

在△AMD和△CNB中,

∴△AMD≌△CNB,∴AM=CN.

(2)猜想:当EF=AC时,四边形AECF是矩形.证明:由(1)得△AMD≌△CNB,

∴DM=BN.

∵BE=DF,

∴DM+DF=BN+BE,即MF=NE.

在△AMF和△CNE中,

∴△AMF≌△CNE,

∴AF=CE,∠AFE=∠CEF,

∴AF∥CE,

∴四边形AECF是平行四边形.

又∵EF=AC,

∴四边形AECF是矩形.