循环群·变换群和置换群
（V ）循环群·变换群和置换群
一、定义及例子
1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】
2、例子：
（1）Z =（1）
（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11])
注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】
（3）n 次单位根群Un 【Unit 】
)(),(},1|{0ω=??∈==∈≠*C C x x x U N
n n n
n n i ππω22
sin cos +=
二、生成元，循环群
1、循环群的元素
???∞
=∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元
（1）1,)(±=?∞=r a a o r
是生成元
（2）1),(,)(=?=n r a n a o r 是生成元 {}
x
i x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。
的数中与：小于欧拉数??
如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])
三、循环群的子群
1、循环群的子群是循环群
2、循环群子群的分类 }
|1|){(G ),(,0)()2(}
0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为
则设的所有子群为
则设≤≤=>=≥=∞=
变换群和置换群
·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。 ·(ij)=(1i)(1j)(1i)
·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质
)
()...()()...(6],...,,[)()(5/
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...()...(3))...((2)
...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i r
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高中数学1置换与置换群试题
高中数学1置换与置换群 试题 2019.09 1,在极坐标系中，点P 1 6sin 6 112=??? ?? -??? ??πθρπ到直线， 的距离等于________。 2,已知二项分布满足X ～B （6，32 ），则P(X=2)= ________。 3,已知点P （-3，2），若极点O '的直角坐标为（-2，1），极轴方向与x 轴 相同，两个坐标系的长度单位相同，则点P 的极坐标为_____。 4,如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外围是由四个不同形状的色块构成，可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有________种（用数字作答）。 5,过点A （5，-2）的直线l 交 224424360x y x y ----=于1P 、2P 两点，A 恰为线段12P P 的中点，求线段12P P 的长。 6,从数字0、1、3、5、7中取出不同的3个数作系数，可以组成多少个不 同的一元二次方程2 0ax bx c ++=？其中有实根的方程有多少个？ 7,(12)n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等 （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项。 8,袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为1 7，现 有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取、、、、、、
取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的。 （1）求袋中所有的白球的个数； （2）用ξ表示取球终止所需要的取球次数，求随机变量ξ的概率分布列； （3）求甲取到白球的期望。 9,已知直线k x y +=2被抛物线y x 42 =截得的弦长AB 为20，O 为坐标原 点． （1）求实数k 的值； （2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时，△ABC 面积最大？ 10,6个人坐在一排10个座位上，问： （1）空位不相邻的坐法有多少种？ （2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？ （3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？（答案用数字表示） 11,已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若//,,a a b βααβ??=则a ‖b ；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；其中真命题的序号是 .（要求写出所有真命题的序号） 12,若集合 }1 |{2 x y y M = =,{|P y y ==,那么=P M A ．),0(+∞ B ．),0[+∞ C ．),1(+∞ D ． ),1[+∞
循环群·变换群和置换群
（V ）循环群·变换群和置换群 一、定义及例子 1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】 2、例子： （1）Z =（1） （2）(Z 12，+)=（[1]）=([11]) 注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】 （3）n 次单位根群Un 【Unit 】 )(),(},1|{0ω=??∈==∈≠*C C x x x U N n n n n n i ππω22 sin cos += 二、生成元，循环群 1、循环群的元素 ???∞ =∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元 （1）1,)(±=?∞=r a a o r 是生成元 （2）1),(,)(=?=n r a n a o r 是生成元 {} x i x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。 的数中与：小于欧拉数?? 如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11]) 三、循环群的子群 1、循环群的子群是循环群 2、循环群子群的分类 } |1|){(G ),(,0)()2(} 0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为 则设的所有子群为 则设≤≤=>=≥=∞= 变换群和置换群
·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。 ·(ij)=(1i)(1j)(1i) ·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质 ) ()...()()...(6],...,,[)()(5/ */*)...)(...()...)( (4) ...()...(3))...((2) ...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i r r r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i r i i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====???======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、
特殊群(循环群)
阿贝尔群、循环群、置换群：各种不同的群。
?什么是阿贝尔群 ?若群
知识回顾 ?生成子群 设G为群, a G, 即a的所有的幂构成的集合, 为G的子群, 称为由a生成的子群.
循环群的定义 定义8.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={a k| k∈Z} 则称G是循环群，记作G=，称a 为G 的生成元. 循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=是循环群，若a是n 阶元，则 G = { a0=e, a1, a2, … , a n-1 } 那么|G| = n，称G 为n 阶循环群. 若a 是无限阶元，则 G = { a0=e, a±1, a±2, … } 称G 为无限循环群. 实例：
例10 (1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则φ(12)=4. 小于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理8.13可知a, a5, a7和a11是G的生成元. (2) 设G=
组合数学(5)置换群与Pólya定理
ACM 暑期集训 组合数学（5） 置换群与P ólya 定理 1 群的基本概念 b a e a b b a a a e e a a b b a c b a c b a A A b a A b a A =======∈∈?-1543)()(21,,，则）逆元：（）单位元：（）可交换性：（）可结合性：（）封闭性 （算的性质上的二元运算。二元运为，则称都有，如果对于，运算设非空集合 上的二元运算。 是非空集合，代数系统A A ?? 为无限群。 为有限群。否则，称是有限集合，称如果。，下是一个群，记作群在运算则称集合存在逆元）对于（）存在单位元（是可结合的）运算（是封闭的）运算（，满足下述条件：，设给定代数系统G G G G G G G a G a e G *??=*∈∈?***??-1,43212 置换群 {}个不同的置换。 次置换共有例如：到自身的双射 ，，，次置换：集合!14234321321 ,3213 2 1 n n s k k k k n n X n n ??? ? ??=???? ??== ? ?? ? ? ??=???? ??????? ? ?=???? ? ? ?=???? ??=?≠?=??43124321 32144321142 3432 1321443 211423 4321 ))(()(t s t s s t t s i s t i t s X t s t s X 则例如律。。即置换的乘法无交换。一般地，为上的一个置换，且定义仍是，置换的乘法和上的置换设 ?? ? ? ??=? ??? ??=???? ??=-n k k k k s k k k k n s n n I n n X 32 13213213213211 321的逆置换为为恒等置换。 称 {}，称为置换群。 乘法运算下构成一个群在置换的 的置换组成的集合，是由集合设G X t t t G m ,,,21 = ?? ???????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ? ?=312321,123321,231321,213321,132321,3213213S S n X n 次对称群，记作法下构成一个上的全体置换在置换乘集合 POJ 2369 Permutations 求置换P 的秩k （order ）：P k =I POJ 1026 Cipher 求置换P 的k 次幂P k 。题目大意：首先输入长度为n 的数字串构成置换P 。然后求字符序列Src 进行k 次置换后的字符序列。 POJ 1721 CARDS 已知置换P 的k 次幂P k ，求P （是k 次方根吗） 2 置换的奇偶性 [][][][][] 151411131210873296541141510131112128965734151413121110987654321????=? ?? ? ??=f f X s X 表示为例如，的一个划分。 所有的轮换构成了通分支称为一个轮换。的置换图中，每一个连的置换集合
置换群
第九讲 §置换群(pormutation group) 本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主要要求： 1o弄清置换与双射的等同关系。 2o掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3o置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。 4o对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。 本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。 注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。 变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。 一．置换群的基本概念 定义 1.任一集合A到自身的映射都叫做A的一个变换，如果A是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A的一个置换。 有限集合A的若干个置换若作成群，就叫做置换群。含有n个元素的有 限群A的全体置换作成的群，叫做n次对称群。通常记为 S. n 明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n次对称群 S也就是有限集合A的完全变换群。 n
置换群
11.7 循环群与置换群 一、循环群 1. 循环群的定义 定义11.14 设G 是群，若a G ?∈使得{|}k G a k Z =∈, 则称G 是循环群，记作 G a =<> ，称a 为G 的生成元。 注意：(1) 对于任何群G ，由G 中元素a 生成的子群是循环群。 (2) 任何素数阶的群都是循环群。 设G 是循环群，若a 是n 阶元，则 012 1 {,,,,}n G a e a a a - == ， 那么|G|=n ，称G 为n 阶循环群。 若a 是无限阶元，则 1 2 {,,, }G a e a a ±± == ， 这时称G 为无限阶循环群。 例如 (1)G=