差分方程模型习题+答案#(精选.)
1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？
分析：(1) 假设k 个月后尚有
k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，
根据题意，建立如下的差分方程：
1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1)
每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出
k A 的值。
(2) 多少岁时将基金用完，何时
0k A =由（1）可得：
01
k k k a A A a b r
-=-
若0n A =，01
n
n A ra b a =-
(3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，
240
0A =，240
02401
A ra b a =-
利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc
x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)';
y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1'])
function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0;
for k=1:n
x(k+1)=a*x(k)-b; end
(2)用MA TLAB 计算：
A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240
思考与深入：
(2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完
(3) A0 = 1.5409e+005
结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。
2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？
分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为
x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2…
在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。
编写M 文件如下:
function x=exf11(x0,n,r,b)
a=1+r;
x=x0;
for k=1:n
x(k+1)=a*x(k)+b;
end
MATLAB计算并作图:
k=(1:140)';
y=exf11(100000,140,0.0005,-1000);
所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。
如果要10年即n=120 还清，则模型为：
r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]
用MA TLAB 计算如下：
>> x0=100000;
>> r=0.005;
>> n=120;
>> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]
b= 1.1102e+003
所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。
3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为
2r ；田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为2a 。建立差
分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出50年的变化过程。 (1) 设12120.2,0.3,0.001,0.002,r r a a ====开始时有100只田鼠和50只猫头
鹰。
（2）1212,,,r r a a 同上，开始时有100只田鼠和200只猫头鹰。 （3）适当改变参数12,a a （初始值同上） （4）求差分方程的平衡点，它们稳定吗？
分析：记第k 代田鼠数量为k x ，第k 代猫头鹰数量为k y ，则可列出下列方程：
1111
22()()k k k k k k k k x x r a y x y y r a x y ++=+-??=+-+?
运用matlab 计算，程序如下：
function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2) x=x0;y=y0; for k=1:49
x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k); y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k); end
z=[x',y'];
(1)
z=disanti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1)); hold on;
plot(1:50,z(:,2),'r')
(2)
z=disanti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1)); hold on;
plot(1:50,z(:,2),'r')
(3)
当a1,a2分别取0.002,0.002时，得到如下图像：
05101520253035404550
可见，当a1,a2参数在一定范围内改变时，猫头鹰与田鼠数量在一定范围内震荡，且不灭绝。 (4) 令1k
k x x x +==；1k k y y y +==
解方程得到如下结果： x=150 y=200
经matlab 验证如下：
z=disanti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3) plot(1:50,z(:,1)); hold on;
plot(1:50,z(:,2),'r')
由此可知：平衡点为：x=150 y=200
4. 研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。草的生长遵从Logistic 规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉1.6（密度单位）的草。若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为1.5。作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况进行讨论：
（1）比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况。 （2）适当改变参数，观察变化趋势。
模型假设：
1．草独立生存，独立生存规律遵从Logistic 规律； 2．草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；
3．鹿无法独立生存。没有草的情况下，鹿的年死亡率一定； 4．假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数； 5．每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。
记草的固有增长率为r ，草的最大密度为N ，鹿独立生存时的年死亡率为d ，草最茂盛时鹿的食草能力为a ，草对鹿的年补偿作用为b ；第k ＋1年草的密度为 1k x +，鹿的数量为1k y +，
第k 年草的密度为k x ，鹿的数量为
k y 。
草独立生存时，按照Logistic 规律增长，则此时草的增长差分模型为
1(1)k
k k k x x x r x N
+-=-，但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如下
方程：1(1), (0,1,2,)k k k
k k k x ax y x x r x k N N
+-=--= （1） 鹿离开草无法独立生存，因此鹿独立生存时的模型为
1k k k y y dy +-=-，但是草的存在
会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程：
1(), (0,1,2,)k
k k k bx y y d y k N
+-=-+= （2）
另外，记初始状态鹿的数量为
0y ，草场密度初值为0x ，各个参数值为：
，
，
，
，
利用MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：
%定义函数diwuti ，实现diwuti-Logistic 综合模型的计算，计算结果返回种群量 function B =disiti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) % 描述diwuti-Logistic 综合模型的函数 x(1) = x0; % 草场密度赋初值
y(1) = y0; % 鹿群数量赋初值
for k = 1 : n;
x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N; y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k); end
B = [x;y];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all
C1 =disiti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50); C2 = disiti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50); k = 0 : 50;
plot(k,C1(1,:),'b',k,C1(2,:),'b',k,C2(1,:),'r',k,C2(2,:),'r') axis([0 50 0 3000]); xlabel('时间/年')
ylabel('种群量/草场：单位密度，鹿：头') title('图1.草和鹿两种群数量变化对比曲线') gtext('x0=1000') gtext('x0=3000') gtext('草场密度') gtext('鹿群数量')
比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况（绘制曲如图1所示）：
由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为3000时，两种群的变化情况。观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约40-50年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。
使用MatLab 计算可以得到，当(,
)(1800,600)k k k y y →∞=，即两种群数量的平衡
点为（1800，600）。
为进一步验证此结论，下面通过改变相关参数，研究两种群变化情况，找到影响平衡点的因素：
（1）改变草场密度初始值；
从图2中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。
（2）改变鹿的数量初值
由图2可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上也不会改变最终种群数量的平衡值。
但是，我们可以看到，y0=2000的那条曲线（紫色曲线），在5－15区间内降低到了非常小的值，这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的，因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。
同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。
综合上面分析，可以在此得出一个结论：最大密度一定的草场所能承载的鹿的数量存在上限。
（3）改变草场的最大密度N，画图比较结果；
如图4所示，如果草场密度的最大值N发生变化，则最终两种群数量的平衡点也会发生相应的变化。结论：N值越大，平衡点两种群的数量就越大；N越小，平衡点两种群的数量就越小。
（4）改变鹿群独立生存时的死亡率
实验中，改变了鹿单独生存的死亡率得到如图5.1和5.2两幅图，可以得出结论：鹿单独生存的死亡率越大，则两种群数量达到平衡点的时间越短；相反，鹿单独生存的死亡率越小，则两种群数量达到平衡点的时间越长（甚至有可能会出现分叉、混沌）。
（5）草场密度对鹿数量的补偿作用变化（b变化）
从图中可以看到，如果b增大，则达到稳定点的时间会加长，但如果b减小则会有一个域值，当b低于域值时，草－鹿种群数量的平衡时将不收敛于同一个平衡点，出现多值性。
5. Leslie种群年龄结构的差分方程模型
已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给出了变化过程的基本规律）。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？
分析：
将两周分成一个时段，设k时段2周后幼虫数量为：x1(k), 2到4周虫的数量为：x2(K), 4到6周虫数量为：x3(K)。
据题意可列出下列差分方程：
x1(k+1)=x2(k)*100+x3(k)*150
x2(k+1)=x1(k)*0.09
x3(k+1)=x2(k)*0.2
运用matlab编写的程序如下：
function z=diwuti(a,r1,r2,n)
x(1) =a;y(1)=a;w(1)=a;
for k=1:n
x(k+1)=y(k)*100+w(k)*150;
y(k+1)=x(k)*r1;
w(k+1)=y(k)*r2;
end
z=[x',y',w'];
for k=1:n+1
m=x(k)+y(k)+w(k)
end
plot(1:n+1,x);
hold on
plot(1:n+1,y,'r');
hold on
plot(1:n+1,w,'k'),
grid
计算前三年的结果为：
z=diwuti(100,0.009,0.2,2)
m
0.5
1
1.5
2
2.5
4
（蓝线为0~2周的虫，红线为2~4周的虫，黑线为4~6周的虫）
其中，m 表示三个不同生长周期的虫的总数，可见虫并未灭绝。当年份足够长时，可观察到各年龄段虫的数量变化：
>> z=diliuti(100,0.009,0.2,20) m
5
10
15
20
25
00.511.522.533.544.554
由此可见，0~2周的虫的数量急剧增多，2~4周的虫的数量也增多，而4~6周的虫的数量相对很少。三者并无太多比例关系。最终整个种群数量增多。
当使用杀虫剂时：
z=diwuti(100,0.0045,0.1,20) m
0.5
1
1.5
2
2.5
4
可见虫的数量受到控制，杀虫剂效果很好。
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数学建模常用模型方法总结精品
【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型
数学建模例题及解析
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型 一. 引言 数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ，则
第七章差分方程模型概论
第7章 差分方程模型 7.1 市场经济中的蛛网模型 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长 §7.1 市场经济中的蛛网模型 例1 蛛网模型问题 [问题的提出] 蛛网模型现象 供大于求 -> 价格下降 -> 减少产量 ↑ 数量与价格在振荡 ↓ 增加产量 <- 价格上涨 <- 供不应求 提出的问题 1.描述商品数量与价格的变化规律 2.商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 3.当不稳定时政府能采 取什么干预手段使之稳定 [模型分析与假设] 蛛网模型 设 k x ~第k 时段商品数量； k y ~第k 时段商品价格 消费者的需求关系 → 需求函数 ) (k k x f y = → 减函数 生产者的供应关系 → 供应函数 ) (1k k y h x =+ → 增函数 ↓ ) (1+=k k x g y f 与 g 的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0 xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 y x0 y0
方程模型 在P0点附近用直线近似曲线 ) (k k x f y =→ ) 0()(00>--=-ααx x y y k k ) (1k k y h x =+→ ) 0()(001>-=-+ββy y x x k k )(001x x x x k k --=-+αβ )()(0101x x x x k k --=-+αβ 1<αβ )/1(βα< → 0x x k → P0稳定 g f K K < 1>αβ )/1(βα> → ∞→k x P0不稳定 g f K K > 方程模型与蛛网模型的一致 f K =α g K =β/1 [模型的求解] 考察α ,β 的含义 xk~第k 时段商品数量；yk~第k 时段商品价格 ) (00x x y y k k --=-α α~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ) (001y y x x k k -=-+β β~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 α~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β~ 生产者对价格的敏感程度 β小, 有利于经济稳定 → 1<αβ 经济稳定 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使α尽量小，如α=0 → 需求曲线变为水平 → 以行政手段控制价格不变 2. 使β尽量小，如β =0 → 供应曲线变为竖直 → 靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f
差分方程模型的稳定性分析分析解析
分类号 学号密题 目 （中、英文） 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学
咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文） 摘要 微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。 关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性
差分方程模型的稳定性分析 Abstract Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation. Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability
第七章 差分方程模型
第七章 差分方程模型 教学目的：通过经济学中蛛网模型的实例讨论，介绍一类动态离散模型------差分方程模型的 建模方法. 教学要求：1 让学生学会运用差分思想建立数学模型的基本方法，进一步熟悉数学建模的基 本过程. 2使学生掌握运用解析方法或数学软件求解差分方程模型. 3帮助学生运用差分方程的平衡点及其稳定性有关理论来分析实际问题. 教学重点：1蛛网模型的图形描述，并通过建立差分方程模型对其进行理论解释. 2运用差分思想建立数学模型和求出模型解析表达式或数值解. 教学难点：1差分方程在稳定点附近有关稳定条件的实际意义. 2差分方程在稳定点附近有关稳定条件的推广. 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具.下面我们对差分方程作一简单的介绍. §7.1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数.记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y -=?+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=?-?=??=?+++1212 2)(为t y 的二阶差分.类似地， 可以定义t y 的n 阶差分t n y ?. 由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶.差分方程也可以写成不显含差分的形式.例如，二阶差分方程 02=+?+?t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y . 满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解.类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解.若解中不含任意常数，则称此 解为满足某些初值条件的特解. 称如下形式的差分方程 )(110t b y a y a y a t n t n t n =+++-++ （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10 是常数，00≠a .其对应的齐次方程为 0110=+++-++t n t n t n y a y a y a （2） 容易证明，若序列) 1(t y 与) 2(t y 均为（2）的解，则) 2(2) 1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的解，其 中21,c c 为任意常数.若)1(t y 是方程（2）的解，) 2(t y 是方程（1）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是
数学建模之差分方程
差分方程模型 ①建立差分方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1） ②求解一阶常系数齐次线性差分方程 10,(0)t t y ay a +-=≠（2） 常用的两种解法 1）迭代法 假设0y 已知，则有 2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----====== 一般有 0(0,1,2,).t t y a y t == 10t t y ay +-=（3） 2）特征方程法 假设 (0)t Y λλ=≠ 为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程 10(0),t t a λλλ+-= ≠ 解得特征根：.a λ= 则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数) 例题： 设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？ 解：设每月应付x 元，月利率为12 r ，则第一个月应付利息为 1.12224 r a ra y =?=
第二月应付利息为 2111,2121212a r r rx y x y y ????=-+?=+- ? ????? 以此类推得到 11,1212t t r rx y y +??=+- ??? 此方程为一阶常系数非线性差分方程。其相应的特征方程为 (1)012 r λ-+= 特征根为112 r + 则得到通解为 1(12t t r y c c ??=+ ??? 为任意常数). 解得特解为 t y x *= 所以原方程通解为 112t t r y c x ??=++ ??? 当112224r a ra y =?=时，解得24112 ra x c r -=+。 所以解得满足初始条件的特解为 1124112112 11. 2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---??=++ ???+????=??++-+ ? ????? 于是得到n 年的利息之和为 11212121212121221112n n n I y y a r r a n r =++???+? ???=?-??+- ??? 元，
差分方程模型习题+答案
1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？ 分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程： 1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1) 每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得： 01k k k a A A a b r -=- 若0n A =，01 n n A ra b a = - (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，240 0240 1 A ra b a =- 利用 MA TLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2)用MA TLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240
思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。 2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2… 在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。 编写M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MA TLAB计算并作图: k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MA TLAB 计算如下： >> x0=100000; >> r=0.005; >> n=120; >> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为
差分方程模型理论与方法
差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易
差分方程模型
差分方程模型 数学建模讲座 一、关于差分方程模型简单的例子 1. 血流中地高辛的衰减 地高辛用于心脏病。考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平上的剂量处方。假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可建立模型如下： 设某病人第n 天后血流中地高辛剩余量为n a ， 则 1.05.01+=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程) n n n n a a a a 5.01?=?=?+ 2. 养老金问题 对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提款， 直到提尽为止。月利息为1℅，月提款额为1000元，则可建模型如下： 设第n 月的存款额为n a ，则 100001.11?=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程)
3. 兔子问题（Fibonacci 数） 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时(即第三个月)开始,每月初产雌雄各一的一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n 月末共有n F 对兔子，则建模如下： ==+=??12 12 1F F F F F n n n (二阶线性差分方程初值问题) 342 3214 3 21221 1 F F F F F F F F F F ≠+=+ 注意上月新生的小兔不产兔 (因第n 月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的为1?n F ， 另一部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数) 4．车出租问题 A ， B 两地均为旅游城市，游客可在一个城市租车而在另一个城市还车。 A ， B 两汽车公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要，以便估算成本。分析历史记录数据得出： n x ： 第n 天营业结束时A 公司的车辆数 n y ：第n 天营业结束时B 公司的车辆数 则 +=+=++n n n n n n y x y y x x 7.04.03.06.01 1 (一阶线性差分方程组) (问题模型可进一步推广)
第七章线性差分方程模型的辨识
第七章线性差分方程模型的辨识 根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。 线性差分方程模型的最小二乘估计 首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。 辨识问题的提法 设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述： y(k) + a^y(Jc—1) + ?? - a n y(k— n) = bju(k) + biu(k— 1) ---------- 卜b n u(k— n) 系统方程也写成如下算子形式： A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k), 其中， = 14- fliQ-1 + a2q~2+ …+ 如厂"，B(q_1) = 14- bq_1 + ①厂？H ------------- F bq~n, 辨识问题的提法，已知： (1)由方程描述的系统都是稳定的。 (2)系统的阶是n阶。 (3)输入输出观测数据{u (k) },{y(k)}(k“,2,...,N+n), 要求根据上述己知条件来估计差分方程的参数： a】, b](i = 1,2, ???N + n), 参数最小二乘估计的慕本思根是，选择 b x(i = 1,2, ...N + n), 使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测最误差，模型方程改为： A(q")y(k) = B(q_1)u(k) + e(k), 其中，e(約称为模型残差，乂称方程误差。 现在的问题就是决定A(q"), B(g")的系数，是e2最小 最小二乘估计 将下式 A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k\ 改成以下形式
差分方程模型的理论和方法
第九章 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、 差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为：
差分方程数学建模举例
差分方程建模举例 差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历 背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。 当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。 模型1 种群生态学中的虫口模型：
在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。 建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。 模型建立：假设第n 年的虫口数目为 n P ，每年一个成虫平均产 卵c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有： n n cP P =+1，这是一种简单模型； 如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为 )1(2 1 -n n p p 221n p ≈，故减少数应当与它成正比，从而有： 2 1n n n bP cP P -=+ 这个模型可化成：)1(1n n n x x x -=+λ，这是一阶非线性差分方程。这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法来获得。 如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、增量关系等等。
差分方程模型习题+答案
1. 一老人 60 岁时将养老金 10 万元存入基金会，月利率 0.4%， 他每月取 1000 元作为生活 费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到 80 岁，问 60 岁时应存入多少钱？ 分析： (1) 假设 k 个月后尚有 A k 元，每月取款 b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款， 根据题意，建立如下的差分方程： A k 1 aA k b ，其中 a = 1 + r 每岁末尚有多少钱 ,即用差分方程给出 A k 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时 A k 0 由（ 1）可得： A A a k b a k 1 k 0 r n 若 A n 0 ， b A 0 ra n a1 (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝ (80-60)*12=240 时， A 240 0 ， b A 0 ra 240 (1) 240 利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2) 用 MATLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240 a 1
思考与深入： (2)结论： 128 个月即 70 岁 8 个月时将基金用完 (3)A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80 岁， 60 岁时应存入15.409 万元。 2.某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10 万元，月利率 0.5%，他每月还 1000 元。建立 10 年还清，每月需还多差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要 少？ 分析：记第k 个月末他欠银行的钱为 x（ k），月利率为r，且a=1+r，b 为每月还的钱。则第k+1 个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2? 在r=0.005 及 x0=100000 代入，用 MATLAB 计算得结果。 编写M文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MATLAB 计算并作图 : k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000 元，则需要11 年 7 个月还清。 如果要 10 年即 n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MATLAB 计算如下： >>x0=100000; >>r=0.005; >>n=120; >>b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10 年还清，则每年返还1110.2 元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为r1，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为a1；猫头鹰的年平均减少率为
差分方程模型应用
第七章 差分方程模型 差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。 7.1个人住房抵押贷款 随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如表7.1所列: 表7.1 中国人民银行贷款利率表 贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率﹪ 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率做出相应调整。表7.2和表7.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。 表7.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表 贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 利率﹪ 6.12 6.255 6.390 6.525 6.660 表7.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表（元） 贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 月还款 一次还清 本息总和 10612.0 444.36 10664.54 305.99 11015.63 237.26 11388.71 196.41 11784.71 一个自然的问题是,表7.2和表7.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？ 我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为6.255﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。 设贷款后第k 个月时欠款余额为k A 元，月还款m 元,则由k A 变化到1k A +,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为r ,从而得到 1k k k A A rA m +-=-
差分方程在经济学中的应用应用数学
本科毕业论文(设计) 论文题目：差分方程在经济学中的应用 学生姓名：雷晶 学号： 1004970226 专业：数学与应用数学 班级：数学1002班 指导老师：舒蕊艳 完成日期：2014年5月20日
差分方程在经济学中的应用 内容摘要 本文叙述了研究差分方程的意义和背景、差分方程的定义、常见的解法以及差分方程相关模型,重点介绍差分方程经济学中的应用模型—筹措教育经费模型,包括问题的提出、模型举例和分析、提出假设、模型建立、模型求解、结果分析等等步骤对模型进行了更深层次的分析,做了进一步的推广. 本文所介绍的筹措教育经费模型主要研究的是子女的教育费用,假定某家庭从孩子m岁起,每月拿出一部分钱存进银行,用于投资子女的大学教育,并计划n年后支出一些,直到孩子大学毕业,全部用完账户中的资金. 差分方程的理论研究近十年来发展十分迅速,尤其是在经济领域,帮助人们解决了很多实际问题,筹措教育经费模型的建立为广大中国家庭子女教育的费用问题提供了明确的解决方法,是差分方程理论最贴近实际的模型之一. 关键词：差分方程存款模型经济增长模型筹措教育经费模型
, . . , , , , . a . ’s . , ’s ’s m n , . , . a . a ’s . 目录 一、绪论 (1) （一）研究差分方程在经济学中的应用的目的意义 (1) （二）研究背景 (2) 二、研究的理论基础 (2) （一）差分 (2) （二）差分方程 (3) （三）差分方程的解 (4) （四）特征根法 (4)
三、差分方程的经济应用模型简介 (5) （一）贷款模型 (5) （二）存款模型 (6) （三）乘数-加速数模型 (7) （四）哈罗德-多马经济增长模型 (10) （五）投入产出模型 (11) （六）筹措教育经费模型 (12) 四、总结 (14) 参考文献 (16)
数学建模作业_差分方程
猫头鹰—老鼠种群数量差分方程模型 假定斑点猫头鹰的食物来源是单一的食饵：老鼠. 生态学家希望预测在一个野生了鸟类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平. 令M n表示n年后老鼠的种群量，而O n表示n年后斑点猫头鹰的种群量，生态学家提出了下列模型： M n+1 = 1.2 M n– 0.001 O n M n O n+1 = 0.7 O n + 0.002 O n Mn 生态学家想知道在栖息地中两个种群能否共存以及结果是否对起始种群量敏感. (a)模型分析： 在该模型中，系数1.2代表了老鼠的繁殖能力，即在没有天敌（栖息地不存在斑点猫头鹰）而资源充足的情况下，模型适用的时间段内老鼠的种群数量将以J曲线的形式指数上涨，增长率是1.2；而系数0.7则代表了斑点猫头鹰的死亡率，即在不存在老鼠的情况下斑点猫头鹰种群量的衰减率. 该模型又假设，两个物种之间相互影响的效果可用两物种相互作用的次数来决定，而相互作用次数又与O n以及M n成正比关系，因此O n M n项及其前面的系数就代表了两物种间相互作用的效果，系数为正号表示两物种相互作用有利于该物种数量的增长，负号则表示不利. (b)对下表中的初始种群量进行检验并预测其长期行为： 情形A O0 = 150 M0 = 200 持续69年：
情形B O0 = 150 M0 = 300 持续39年： 情形C O0 = 100 M0 = 200 持续96年： 情形C O0 = 100 M0 = 200 持续26年：
(c)系数敏感情况分析： 改变老鼠的繁殖力系数且只对情况B做实验分析，则： 老鼠繁殖力系数持续时间/年 1.2 39 1.4 7 1.6 6 1.8 5 非常敏感 改变猫头鹰死亡率系数且只对情况B做实验分析，则： 猫头鹰死亡率系数持续时间/年 0.9 99 0.7 39 0.5 58 0.3 32 较敏感 改变对老鼠相互作用系数且只对情况B做实验分析，则： 对老鼠相互作用系数持续时间/年-0.0005 47 -0.001 39 -0.002 36 -0.003 37 -0.004 42 -0.005 50 不敏感 改变对猫头鹰相互作用系数且只对情况B做实验分析，则： 对猫头鹰相互作用系数持续时间/年 0.001 111 0.002 39 0.003 54 0.004 5 0.005 4 非常敏感