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第七章振动和波动

7-1 说明下列运动是否简谐振动： (1)拍皮球时球的上下运动；

(2)一个小球沿着半径很大的光滑凹球面往返滚动，小球所经过的弧线很短，如题图所示；

(3)竖直悬挂的轻弹簧的下端系一重物，把重物从静止位置拉下一段距离(在弹簧的弹性限度内)，然后放手任其运动 (忽略阻力影响)。

解：（1）不是简谐振动

F kx ?（小球在空中受力为mg ）

(2)可以近似看成简谐振动，

弧线很短，半径很大如图示 sin q

小球的振动方程为：22sin d mR mg dt

q =-

即得：2220d dt q w q += 其中2

q l

w = 此方程即为简谐振动方程

（3）是简谐振动

由胡克定律：0mg kx = 得0mg

x k

重物在任一位置时，所受的合力为： 0()F kx mg k x x =-+=--

由牛顿第二定律 22d x F m dt

= 令： '0x x x =- 则得：2''

2d x kx m dt -=

即得：2'2'20d x x dt w += 其中：2

k m

w = 此方程即为简谐振动方程。

7-2 一个运动质点的位移与时间的关系为：5

0.1cos 2

3x t ππ??

???

, 其中x 的单位是m ，t 的单位是s 。试求： (1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；

(2) 2t s 时质点的位移、速度和加速度。解：（1）

0.1cos()23

x t m p p =+

52rad s w p \=

； 24

T s p p == ； 524hg w n p = 振幅： 0.1A m = 初相位： 3

rad p

j =

（2）2t s =时： 0.1cos(5)0.1cos 0.0533

x m p p

p =+=-=-

1255

0.1sin()0.10.6822

2t s

dx t ms dt p

u p p p

-==

=-?=创 2

222255

0.1cos 0.1 3.0822

t s d x a t ms dt p

p p p -=骣骣骣鼢?珑?==-?=创=鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫

7-3 一个质量为2.5 kg 的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。若弹簧受10 N 的拉力，其伸长量为5.0 cm ，求物体的振动周期。

解：2100

210210510

o o F F kx k N m x --=\=

==醋′ 物体作简谐振动：2

2102.5k m w ′== 18.94rad s w -\=? 故： 20.702T s p

= 7-4 求题图所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m m ，两个轻弹簧的劲度系数分别为1k 和2k 。

解：如图：物体在任一位置受到的弹力为： 1212()F k x k x k k x =--=-+

2122()d x

F m k k x dt

\==-+

即得：2220d x x dt w += 其中 2

12k k m

w +=

2w n p =

=7-5 求图所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m ，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2。

解：

是轴弹簧；\两弹簧受到的弹力相同，均为F 又：两弹簧伸长量为12x x x =+ 设：两弹簧串联后的劲度系数为k 则：F

x K -=

又：11F x K -= 22

F x K -=

12F F F

K K K \

=+ 即得：1212

K K K K K =+ 由牛顿第二定律：2222

0d x d x F m x dt dt

w =\+=

w =

2w n p ==

7-6 仿照式(6-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

解： 0cos()t q q w j =+ 201

(1cos )2

p E mgl E mgh mgl q q ===- 22011

(1cos )22

k p E E E m mgl mgl n q q \

=+=

+-+ 故：

n =?

l =?

7-7 与轻弹簧的一端相接的小球沿x 轴作简谐振动，振幅为A ，位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在0t =时，小球的运动状态分别为

(1)x A =-； (2)过平衡位置，向轴正方向运动； (3)过2

A x =处，向轴x 负方向运动； (4)

过x =处，向x 轴正方向运动。

试确定上述各状态的初相位。

解：（1）0cos x A a j =-= c o s 1j j

\=-= （2）00cos x A j == 0s i n

0v A w j =-> 3

j p \=

（3）0cos 2A x A ?== 0sin 0v A ω?=-< 3

π?∴= （4）

0cos x A ?=

= 0sin 0v A ω?=-> 4π?∴=-

7-8 长度为l 的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l s +，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。

(1)证明重物的运动是简谐振动；

(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；

(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。

解： (1) 如图，椐题意由胡克定律：ks mg = mg

k s

∴= 重物在任一位置时，所受的合力为：

()F kx mg k x s =-+=--

由牛顿第二定律：22;d x F m dt

= 令'

x x s =-

则得：2''

2d x kx m dt -= 即得：2'22'0d x x dt ω+= 其中： 2

k g m s

ω== 即为简谐振动。

（2）平衡位置为：x s =

初始状态为弹簧缩回到原来的长度：A s ∴=

ω=

= 2ωνπ=

== （3）据题意，如图：0cos x A A ?=-=；00v = ?π∴= 振动位移与时间的关系为：cos()x A t ωπ=+

7-9 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率ν作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为0μ ，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。

解：简谐振动的最大作用力为：

2cos()F ma mA t ωω?==-+

20m m F ma mA mg ωμ∴==-=

故：0002222(2)4g g g

A v v

μμμωππ=

== 7-10 一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方向上以频率ν作简谐振动。试求物体和木板一起振动的最大振幅。

解：简谐振动的最大加速度为g （据题意）

2g A ω= 2

222

(2)4g

g g

A v v

ωππ∴=

= 7-11 一个系统作简谐振动，周期为T ，初相位为零。问在哪些时刻物体的动能与势能相等？

解：据题意，简谐振动方程为： 2c o s ()x A t T

= 22sin()dx v A t dt T T

ππ∴=

=- 由机械能守恒定律：2

2112()22m E mV m A T

π==-

K P E E E =+ 当 K P E E = 时： 1

K E E =

122112[sin()]()222A t A T T T

πππ∴= 即得： 2sin()2t T π=±

21()424T t n t n T πππ∴

=±?=± 即：(41)8

t n =± 7-12 质量为10 g 的物体作简谐振动，其振幅为24 cm ，周期为1.0 s ，当t=0时，位移为+24 cm ，求：

(1)1

t s =

时物体的位置以及所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x=12 cm 处所需要的最少时间；

(3)在x=12 cm 处物体的速度、动能、势能和总能量。

解：据题意物体的振动方程为： ()()()224cos 00.24cos 21.0x t cm t m ππ??

=+= ???

（1）124cos 16.9784

t s x cm π

∴=

===时： ()()2

232210102 3.1416.9710 6.710F ma m x N ω---==?-=-?????=-?

（2）当x=12cm 时： 1c o s 2223t t πππ=

?= 1

0.176

t s ∴== (3) ()()0.242sin 20.48sin 2;

0.242m v t t v πππππ=-?=-=?

112cos 22

x cm t π==

当时 110.481 1.32v m s π-??

∴=?-=? ???

()232311

1010 1.38.51022k E mv J --==???=?

()()2

2321110100.242 1.141022

m E mv J π--==????=?

230.2910 2.910p k E E E J J --∴=-=?=?

7-13 质量为0.10 kg 的物体以22.010m -?的振幅作简谐振动，其最大加速度为2

4.0m s -?，求：

(1)振动周期；(2)通过平衡位置的动能；(3)总能量。

解：（1）令振动方程为：()cos x A t ω?=+ 则：()22

2cos d x a A t dt

ωω?==-+

24.0 2.010m a m s A m --=?=? 22

42102.010

m a A ω-∴=

==?? 1

14.14rad s ω-=?22 3.14

0.4414.14

T s π

ω?=

（2）通过平衡位置的动能为：222

1122

k E E mv mA ω===

（3）总能量为：()()223

10.01 2.01014.14 4.0102

km E E J --==????=?

7-14 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：(

)

10.05cos 23x t π

=+和

(

)

120.06cos 23x t π

=- (式中x 的单位是m

，t 的单位是s)，求合振动的振幅和初相位。

解：1220.05cos 20.06cos 233x x x t t ππ??

=+=+

+- ? ??

220.05cos 2cos sin 2sin 0.06cos 2cos sin 2sin 3333t t t t ππππ???

?=?-?+?+?????????

110.05cos 20.0520.06cos 20.06222t t t t =?--?+

10.01cos 2222

t t =-?+

10.01cos 2222t t ??=-+????

440.01cos cos 2sin sin 233t t ππ??

=?-????

40.01c o s 23t π??=+

另解：1220.05cos 20.06cos 233x x x t t ππ??

=+=+

+- ? ????

20.05cos 20.06cos 2233t t ππππ???

?=-++++-

? ????

440.05cos 20.06cos 233t t ππ?

?=-+

++ ?

40.01cos 23

t π??=+

7-15 有两个在同一直线上的简谐振动：(

)130.05cos 104x t π

=+和

(

)

0.06cos 104x t π

=-，试问：

(1)它们合振动的振幅和初相位各为多大？

(2)若另有一简谐振动()30.07cos 10x t ?=+，分别与上两个振动叠加，?为何值时，13x x +的振幅为最大？?为何值时，23x x +的振幅为最小？

解：（1）1240.05cos 100.06cos 103

4x x x t t ππ?

?=+=+

+- ? ??

???

30.05cos 100.06cos 1044t t πππ?

?=+

-+- ? ?????

330.05cos 100.06cos 1044t t ππ?

?=+

-+ ?

???

30.01cos 104t π?

=-+

0.01cos 104t π?

?=- ??

∴合振动的振幅为0.01m 。初相位为1

π-。（2）()30.07cos 10x t m ?=+ ()1330.05cos 100.07cos 104

x x x t t π???

=+=+

++ ??

当max 332''0.12cos 104

4k x x t m ππ?π?

?=+

=+ ???

时最大，

()''230.06cos 100.07cos 104x x x t t π??

?=+=-++ ??

''''max 0.13cos 104

4x t m π

π?π?

?=- ??

?当=2-

时,

最大.x

()()''''min 32120.01cos 104

4k k x t m π

π?ππ?

?+=+

=-- ??

?当=-

k 为自然数时,

最小.x

7-16 在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04 m 和0.03 m ，当它们的合振动振幅为0.06 m 时，两个分振动的相位差为多大？

解：

A =

()222222

1221120.060.040.03cos 0.4583220.040.03

A A A A A ??-----∴===??

2162.76242'??-==故：

7-17 一个质量为5.00 kg 的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动。在无阻尼的情况下，其振动周期为13

T π

；在阻尼振动的情况下，其振动周期为22

T π

。求阻力系数。

解：无阻尼 2

2k T m

∴=

有阻尼 2

2;2r T m π

ωωβ

βω

=-=

其中 2

222T T T T T T

ππββ?

?∴=-== ? ? ?

?????

144 5.0044.72r kg s π

-==?==?

7-18 试证明受迫振动的共振频率和共振时振幅的峰值分别为：

r ω= r A =

式中0ω是振动系统的固有角频率，β是阻尼常量解：受迫振动达到稳定状态时的解为：()'

cos

x A t ω?=-

而受迫振动的微分方程为： 22'22cos d x dx

x h t dt dt

βωω+== 其中， 2'cos 2r

k F h t h m

m βωω?

= ???

是策动力。

()()()'2''2''cos 2sin cos cos A t A t A t h t ωω?βω?ωω?ω∴----+-=

2'2''2'2'''00[()cos 2sin ]cos [()sin 2cos ]sin cos A A t A A t h t ωω?βω?ωωω?βω?ωω-++--=

比较系数得： ()

()

2'2'

02'2'

0()cos 2sin 1()sin 2cos 0

2A A h

A A ωω?βω?ωω?βω??-+=??--=??

由（2）式得： '

2'2

02a r c t g βω?ωω

()()

12+得：22'2222'22

0()4A A h ωωβω-+=

A ∴=

当2'222'2

0()4ωωβω-+最小时

r A A =最大。发生共振。

2'222'2'0[()4]0ωωβω∴-+= 得：2'2'2'202()(2)80ωωωβω--+= 2'22020ωωβ∴--+=

即：'ω=

代入：A =得：r A

证毕

7-19 波动与振动有何区别和联系？答：波动是振动在弹性介质中的传播。以谐振动和简谐波为例进行比较：

、u

v λ

（或T 、ω）2k ?π=2k ?=

+（210??-=x

7-20 机械波形成的条件是什么？答：（1）波源（振源）；（2）弹性介质

7-21 某一声波在空气中的波长为0.30 m ，波速为1

340m s -?。当它进入第二种介质后，波长变为0.81 m 。求它在第二种介质中的波速。

已知：10.30m λ= 1

1340u m s -=? 20.81m

λ= 求：2u 解：

u u νλλ=

122110.81

3409180.30

u u m s λλ-∴=

=?=? 7-22 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波，它们的波长是否可能相等？为什么？如果这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长是否可能相等？为什么？

答：同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波，它们的波长不可能相等，因为：u

λν

而：u =

（u =

u =

）只取决介质的性质，所以：当12νν≠时，12λλ≠。而这两列波分别在两种介质

中传播时，它们的波长可能相等。（

u λν=

）

7-23 已知平面简谐波的角频率为2

15.210rad s ω-=??，振幅为2

15.210A m -=?，波长为 1.10m λ=，求波速u ，并写出此波的波函数。

已知：平面简谐波：2

15.210rad s ω-=??；2

1.5210A m -=?； 1.10m λ=

求：u ；并写出波函数

解：2

215.210 2.421022 3.14

Hz ωνπ?===?? 2212.4210 1.10 2.6610u m s νλ-∴==??=??

波函数为：cos x y A t u ω???

?=-

+ ???????

2221.2510cos 15.210 2.6610x t ?-????

=??-+ ?

???????

（其中?为波源的初相角） 7-24 一平面简谐波沿x 轴的负方向行进，其振幅为1.00 cm ，频率为550 Hz ，波速为1

330m s -? ，求波长，并写出此波的波函数。

已知：平面简谐波沿x 轴负方向行进： 1.00A m =；550Hz ν=；1

330u m s -=? 求：λ；并写出波函数解：330

0.6550

m λν

= 21100ωπνπ

== 因为波沿x 轴负方向行进，所以，波函数为：

cos x y A t u ω?????=++ ??????? 1.00cos 1100330x t ????

?=++ ???

????

7-25 在平面简谐波传播的波线上有相距3.5 cm 的A 、B 两点，B 点的相位比A 点落后45°。已知波速为

115cm s -?，试求波的频率和波长。

已知： 3.5x cm ?=；0

45??=；1

15u cm s -=?

求：ν，λ

解： x x x x

t t u u u ?ω?ω?ω?+??????????=-

+--+=? ? ?????????????

415

153.514

u x ?πωπ?∴=

?=?=? 15140.5422Hz πωνππ===

1527.80.54

u cm λν===

7-26 证明 ()cos y A kx t ω=- 可写成下列形式：()cos y A k x ut =-；cos 2x y A t πνλ??=-

???

；cos 2x t y A T πλ??=- ???，以及cos x y A t u ω??

=- ???

证：

22T πωπν==

2k πλ= 2u k k

ωπν

νλ===? ()()cos cos cos t y A kx t A k x A k x ut k ωω?

?∴=-=-=- ??

cos cos x x A t A t k u ωωω????

=-=- ? ?????

cos 2cos 22x x A t A t k πνπνπλ??

?=-=- ? ?????

cos 2cos 22x t x t A A T T k πππλ????

?=-=- ? ?????

证毕

7-27 波源作简谐振动，位移与时间的关系为 ()

34.0010cos 240y t

m π-=?，它所激发的波以

130.0m s -? 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。

解：22240T πωπνπ=== 3

2218.3310240120

T s ππωπ-∴===?

0.250u

u T m

λν

== 波函数为：()

4.0010c o s 24030.0x y t m π-?

?=?

- ?

7-28 为什么在振动过程中振动物体在平衡位置时动能最大，而势能为零；在最大位移处动能为零。而势能最大？为什么在波动过程中参与波动的质点在振动时，却是在平衡位置动能和势能同时达到最大值，在最大位移处又同时为零？

答：在振动系统中，总能量是恒定的（机械能守恒），振动过程中动能与势能相互转化，在平衡位置时，质点运动速度最大，所以动能最大。此时，势能为零，而在最大位移处，质点速度为零，所以动能为零，此时势能最大。

而在行波传播过程中，介质中给定质点的总能量不是常量（2

sin p k x W W W A t u ρωω?

=+=-

???

），

它是随时间作周期性变化的变量，因为介质中所有参与波动的质点都在不断地接受来自波源的能量，又不断把能量释放出去。参与波动的质点在振动时，动能和势能是同步的。

7-29 沿绳子行进的横波波函数为()10cos 0.012y x t cm ππ=-，式中长度的单位是cm ，时间的单位是s 。试求：

(1)波的振幅、频率、传播速率和波长； (2)绳上某质点的最大横向振动速率。已知：()10cos 0.012y x t cm ππ=- 求：（1）A ，ν，u ，λ；（2）max v 解：（1）100.10A cm m ==

2ωπ= 1.0Hz ν=

()10cos 0.01210cos 2200x y x t t πππ?

?=-=- ???

112002u cm s m s --∴=?=?

2.0

2.01.0

m λν

= （2）

102sin 2200dy x t dt ππ??=-?- ???

11max 10262.80.628v cm s m s π--∴=?=?=?

7-30 证明公式ku ω=。证：

()cos cos x y A t A t kx u ω?ω???

??=-+=-+ ???????

k ku u

ω∴=

=故：证毕

7-31 用横波的波动方程2222y G y t x ρ??=??和纵波的波动方程2222

y Y y

t x

ρ??=??证明横波的波速和纵波的波速分

别为u =

和u =

。

证：cos x y A t u ω???

?=-

+ ???????

sin ;y x A t t u ωω??????∴=--+ ???????? 222cos y x A t t u ωω??????=--+ ????????

sin ;y x A t x u u ωω??????=--+ ????????

22c o s y x A t x u u ωω??????

??=--+ ? ?????????? 对于纵波波动方程：2222y G y t x ρ??=?? 得：22

G A A u ωωρ

??-=-? ???

u u ρ

∴=

=故：

同理，对于横波：u =

证毕

7-32 在某温度下测得水中的声速为31

1.4610m s -??，求水的体变模量。

已知：1

1.4610v m s -=?

求：B

解：v ()2

23391.0010 1.4610 2.1310B v Pa ρ∴==???=?

7-33 频率为300 Hz 、波速为1

330m s -?的平面简谐声波在直径为16.0 cm 的管道中传播，能流密度为

31210.010J s m ---???。求：

(1)平均能量密度； (2)最大能量密度；

(3)两相邻同相位波面之间的总能量。已知：1

31230033016.010.010Hz U m s

D cm I J s m ν----====?

求：m

E ω

解：3

533.0310 3.0310330

I J m u ω---?==

=?① 5

2 6.0610m J m ωω--==?②

527116.03.031010330 6.70103002E T Au J ωνωπ---??

=??=??=??????=? ???

③

7-34 P 和Q 是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波源，其频率为ν、波长为λ，P 和Q 相距32

。R 为P 、Q 连线延长线上的任意一点，试求：

(1)自P 发出的波在R 点引起的振动与自Q 发出的波在R 点引起的振动的相位差； (2) R 点的合振动的振幅。已知：3

x λ?=±

如图P 、Q 是两个相干波源，R 为P 、Q 连线延长线上的任意一点

求：（1）?? （2）R 点的合振动的振幅

解：设P 点为坐标原点，P 点波源振动为：()t πν?+y=Acos 2 则：P 点在R 点产生的波为：x u t πν????

+ ???????y=Acos 2 同样得Q 点在R 产生的波为：x-x u t πν????

+ ????

???

y=Acos 2 （1）3x x-x x 2u u t t u u λ?πν?πν?πνπν±???????????=-+--+=?=? ? ?????????????

22223232ππ=±?=± （2）2x x-x 3u u y t t πν?πν?π??????

???

+=-

++-++ ? ?????????????

1y=y Acos 2Acos 2 x x 0u u t t πν?πν?????????

=-+--+= ? ?????????????

Acos 2Acos 2

7-35 弦线上的驻波相邻波节的距离为65 cm ，弦的振动频率为2

2.310Hz ?，求波的传播速率u 和波长λ。已知：驻波相邻波节的距离为65cm ，2

2.310z H ν=? 求：传播速率u 和波长λ 解：=265cm=130cm=1.3m λ?

221= 2.310 1.30 3.010u m s νλ-=??=?

7-36 在某一参考系中，波源和观察者都是静止的，但传播波的介质相对于参考系是运动的。假设发生了多普勒效应，问接收到的波长和频率如何变化？

答：因为波源和观察者都是相对静止的，所以接受到的波长和频率都不变化，即不发生多普勒效应。 7-37 火车汽笛的频率为ν，当火车以速率V 通过车站上的静止观察者身边时，观察者所接收到的笛声频率的变化为多大？已知声速为u 。

答：火车远去时，观察者所接收到的笛声频率为：'u

u V

νν

=+ 火车迎面驶来时，观察者所接收到的笛声频率为：''u

u V

νν

=- 观察者所接收到的笛声频率的变化为：2

2'''u u Vu

u V u V u V

ννννν

ν?=-=-=-+- 7-38 道路交通管理条例中规定，在城市街道上小型客车的行驶速度不得超过1

70km s -?，为了检查过往车辆的行驶速度，某岗亭上装置了超声波探测器，它能够发出频率为100kHz 的超声波频率为112kHz ，已

知此时空气中的声速为1

340m s -?，试问该车辆是否违章？

解：当超声波从探测器传向车辆时，车辆是观察者，车辆接收到的超声波的频率为'u V

νν

+=；式中u 是空气中的声速，V 是车辆的行驶速度，ν是探测器发出的超声波的频率。在超声波被车辆反射回探测器的过程中，车辆变为波源，而探测器成为观察者。这时探测器所接收到的反射波频率为：'''u

u V

νν=- 所以得： ''u V u V νν+=- 由上式解出车辆的行驶速度为：1''112100

34019.2'112100

V u m s νννν---==?=-?++ 而：1

117019.419.2km h m s m s ---?=?>? 所以该车没有违章。

第4章-振动与波动-

第4章振动与波动题目无答案一、选择题 1. 已知四个质点在x 轴上运动, 某时刻质点位移x 与其所受合外力F 的关系分别由下列四式表示(式中a 、b 为正常数)．其中不能使质点作简谐振动的力是 [ ] (A) abx F = (B) abx F -= (C) b ax F +-= (D) a bx F /-= 2. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是 [ ] (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 (B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动 (C) 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块 (D) 拍皮球时球的运动 3. 欲使弹簧振子系统的振动是简谐振动, 下列条件中不满足简谐振动条件的是 [ ] (A) 摩擦阻力及其它阻力略去不计 (B) 弹簧本身的质量略去不计 (C) 振子的质量略去不计 (D) 弹簧的形变在弹性限度内 4. 当用正弦函数或余弦函数形式表示同一个简谐振动时, 振动方程中不同的量是 [ ] (A) 振幅 (B) 角频率 (C) 初相位 (D) 振幅、圆频率和初相位 5. 如T4-1-5图所示，一弹簧振子周期为T ．现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体, 则新的弹簧振子周期为 [ ] (A) T (B) 2T (C) 3T (D) 0.7T 6. 三只相同的弹簧(质量忽略不计)都一端固定, 另一端连接质量为m 的物体, 但放置情况不同．如T4-1-6图所示，其中一个平放, 一个斜放, 另一个竖直放．如果让它们振动起来, 则三者的 [ ] (A) 周期和平衡位置都不相同 (B) 周期和平衡位置都相同 (C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同 7. 如T4-1-7图所示，升降机中有一个做谐振动的单摆, 当升降机静止时, 其振动周期为2秒; 当升降机以加速度上升时, 升降机中的观察者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期相比，将 T 4-1-6图 T 4-1-5图

大学物理-机械振动习题-含答案

t （s ） v （m.s -1） 12m v m v o 1.3题图第三章机械振动一、选择题 1．质点作简谐振动，距平衡位置2。0cm 时，加速度a=4.0cm 2 /s ,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ C ） A:1.2s B: 2.4s C:2.2s D:4.4s 解： s T t T x a x a 2.2422,2 222,22===∴== ===ππ ω πωω 2．一个弹簧振子振幅为2 210m -?, 当0t =时振子在2 1.010m x -=?处，且向正方向运动，则振子的振动方程是：[ A ] A ：2 210cos()m 3 x t πω-=?-； B ：2 210cos()m 6x t π ω-=?-； C ：2 210cos()m 3 x t π ω-=?+ ； D ： 2210cos()m 6 x t π ω-=?+；解：由旋转矢量可以得出振动的出现初相为：3 π- 3．用余弦函数描述一简谐振动，若其速度与时间（v —t ）关系曲线如图示，则振动的初相位为：[ A ] 1.2题图 x y o

A ：6π； B ：3π； C ：2 π ； D ：23π； E ：56π 解：振动速度为：max sin()v v t ω?=-+ 0t =时，01sin 2?=，所以06π?=或0 56 π ?= 由知1.3图，0t =时，速度的大小是在增加，由旋转矢量图知，旋转矢量在第一象限内，对应质点的运动是由正最大位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的，旋转矢量在第二象限内，对应质点的运动是由平衡位置向负最大位移运动，速度是逐渐减小的，所以只有0 6 π?=是符合条件的。 4．某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移1毫米，测得此钟每分快0。1秒，则此钟摆的摆长为（ B ） A:15cm B:30cm C:45cm D:60cm 解：单摆周期 ,2g l T π=两侧分别对T ，和l 求导，有： cm mm T dT dl l l dl T dT 3060) 1.0(21 21,21=-?-==∴= 二、填空题 1．有一放置在水平面上的弹簧振子。振幅 A = 2.0×10－2m 周期 T = 0.50s , 3 4 6 5 2 1 x /1 2题图 x y

大学物理答案第八章振动

第八章振动 8-1 解：取固定坐标xOy ，坐标原点O 在水面上（图题所示）设货轮静止不动时，货轮上的A 点恰在水面上，则浮力为S ρga .这时 ga s Mg ρ= 往下沉一点时，合力 )(y a g s Mg F +-=ρ gy s ρ-=. 又 2 2 d d t y M Ma F == 故0d d 22 =+gy s t y M ρ 02 2=+y M g s dt dy ρ 故作简谐振动 M g s ρω= 2 )(35.68 .910102101022223 33 4s g s M T =?????===πρπωπ 8-2 解：取物体A 为研究对象，建立坐标Ox 轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l 0处，此时： )(1.0sin 0m k mg l == θ (1) (1) A 物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有 T =kx 列出A 在任一位置x 处的牛顿方程式 220d d )(sin sin t x m x l k mg T mg =+-=-θθ 将（1）式代入上式，整理后得 0d d 2 2=+x m k t x 故物体A 的运动是简谐振动，且)rad/s (7== m k ω 习题8-1图

由初始条件,000?? ?=-=v l x 求得,1.00???===π ?m l A 故物体A 的运动方程为 x =0.1cos(7t+π)m (2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T 1、T 2,则对A 列出任一位置x 处的牛顿方程式为: 221d d sin t x m T mg =-θ (2) 对滑轮列出转动方程为： 22 221d d 2 1 21t x Mr r a Mr J r T r T =??? ??==-β (3) 式中,T 2=k (l 0+x ) （4）由式（3）、(4)知2 201d d 21)(t x M x l k T ++=代入(2)式知 22 021)(sin dt x d m M x l k mg ??? ??+=+-θ 又由（1）式知0sin kl mg =θ 故0d d )21(22=++kx t x m M 即0)2 (d d 22=++ x m M k t x m M k += 2 2 ω 可见，物体A 仍作简谐振动，此时圆频率为：rad/s)(7.52 =+= m M k ω 由于初始条件：0,000=-=v l x 可知，A 、?不变，故物体A 的运动方程为: m t x )7.5cos(1.0π+= 由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率 . 习题8-2图

大学物理习题解答8第八章振动与波动(1)

第八章振动与波动本章提要 1. 简谐振动 · 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程 ()cos x A t ω?=+ 其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+?）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位? 称为初相位。 · 简谐振动速度方程 d ()d sin x v A t t ωω?= =-+ · 简谐振动加速度方程 222d ()d cos x a A t t ωω?==-+ · 简谐振动可用旋转矢量法表示。 2. 简谐振动的能量 · 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为 212 k E mv = · 弹簧的势能为 212 p E kx = · 振子总能量为 P 22222211 ()+()221=2sin cos k E E E m A t kA t kA ωω?ω?=+= ++ 3. 阻尼振动

· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。 · 阻尼振动的动力学方程为 22 2d d 20d d x x x t t βω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γ β= 。（1）当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。（2）当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。（3）当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。 4. 受迫振动 · 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为 22 P 2d d 2d d cos x x F x t t t m βωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。 · 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。 5. 简谐振动的合成与分解（1）一维同频率的简谐振动的合成若任一时刻t 两个振动的位移分别为 111()cos x A t ω?=+ 222()cos x A t ω?=+ 合振动方程可表示为 ()cos x A t ω?=+ 其中，A 和? 分别为合振动的振幅与初相位 221112212()cos A A A A A ??=++-

大学物理习题_机械振动机械波

机械振动机械波一、选择题 1．对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的（A ）物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；（B ）物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；（C ）物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；（D ）物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2．质点作简谐振动，振动方程为)cos(φω+=t A x ，当时间2/T t =（T 为周期）时，质点的速度为（A ）φωsin A v -=；（B ）φωsin A v =；（C ）φωcos A v -=；（D ）φωcos A v =。 3．一物体作简谐振动，振动方程为??? ? ? +=4cos πωt A x 。在4T t =（T 为周期）时刻，物体的加速度为（A ）2221ωA - ；（B ）2221 ωA ；（C ）232 1 ωA - ；（D ）2321ωA 。 4．已知两个简谐振动曲线如图所示，1x 的位相比2x 的位相（A ）落后2π；（B ）超前2π ；（C ）落后π；（D ）超前π。 5．一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为?? ? ?? +?=-ππ312cos 10 42 t x （SI ）。从0=t 时刻起，到质点位置在cm x 2-=处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为第题图

（A ）s 8/1；（B ）s 4/1；（C ）s 2/1；（D ）s 3/1。 6．一个质点作简谐振动，振幅为 A ，在起始时刻质点的位移为2/A ，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 7．一个简谐振动的振动曲线如图所示。此振动的周期为（A ）s 12；（B ）s 10；（C ）s 14；（D ）s 11。 8．一简谐振动在某一瞬时处于平衡位置，此时它的能量是（A ）动能为零，势能最大；（B ）动能为零，机械能为零；（C ）动能最大，势能最大；（D ）动能最大，势能为零。 9．一个弹簧振子做简谐振动，已知此振子势能的最大值为1600J 。当振子处于最大位移的1/4时，此时的动能大小为（A ）250J ；（B ）750J ；（C ）1500J ；（D ） 1000J 。 10．当质点以频率ν作简谐振动时，它的动能的变化频率为（A ）ν；（B ）ν2 ；（C ）ν4；（D ） 2 ν。 11．一质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是（A ）T ／4；（B ）T/2；（C ）T ；（D ）2T 。 x （A ）（B ）（C ）（D ） )s 2 1 -

波动和声物理力学答案

第十章波动和声思 10.1 因为波是振动状态的传播，在媒质中各体元都将重复波源的振动，所以一旦掌握了波源的振动规律，就可以得到波动规律，对不对？为什么？解：不对。因为要知道波动规律，不仅要知道波源的振动规律，还要知道媒质的情况。 10.2在振源和无色散媒质的条件下传播机械波。（1）若波源频率增加，问波动的波长、频率和波速哪一个将发生变化？如何变？（2）波源频率不变但媒质改变，波长、频率和波速又如何变？（3）在声波波源频率一定的条件下，声波先经过温度较高的空气，后又穿入温度较低的空气，问声波的频率、波长和波速如何变化？解：（1）频率、波长将发生变化。频率增加，波长减小。（2）波速、波长变化，波的频率不变。（3）因为μ γRT v = ，声速与温度有关，所以声波先经过温度较高的空气，波速大，穿入温度较低的空气，波速变小。声波频率不变。波长变短。 10.3平面简谐波中体元的振动和前一章所谈质点作简谐振动有什么不同？解：（1）平面简谐波中作简谐振动的体元的园频率ω并非决定于振动系统本身性质，而取决于波源的频率，前一章所谈质点作简谐振动的频率决定于振动系统本身的性质。（2）平面简谐波中体元振动的动能、势能可同时达到最大值，能量以波速向外传播，而且体元的势能是因形变而为体元所有。前一章所谈质点作简谐振动时，当动能最大时势能为零，势能最大时动能为零，振动系统的能量守衡，不向外传播，而势能属于振动质点和其它物体所共有，如：弹簧振子的势能为质点和弹簧所共有。 10.4 平面简谐波方程)(cos v x t A y - =ω中x 取作某常数，则方程表示位移y 作简谐振动；若取t 等于某常数，也表示位移作简谐振动。这句话对不对？为什么？解：不对。因为平面简谐波方程)(cos v x t A y - =ω中x 取作某常数，，而ω不决定于振动系统本身性质，而取决于波源的频率，所以不表示位移y 作简谐振动。当t 等于某常数时，表示t 时刻波线上各体元位移分布、波形，不表示位移y 作简谐振动。 10.5 波动方程 2 2 2 2 x y t y ??= ??ρω的推导过程用到那些力学基本规律？其使用范围如何？解：波动方程的推导过程用到胡克定律、牛顿第二定律。使用范围：弹性媒质并且各质点的形变是在弹性限度内。 10.6用手抖动张紧的弹性绳的一端，手抖的越快，振幅越大，波在绳上传播得越快，又弱又慢的抖动，传播得较慢，对不对，为什么？解：不对，因为波速仅与介质有关，而于波源的频率、振幅无关。手抖的快，波源频率大，但波速不变，所以传播的并不快，抖度即幅度决定于振源的振幅，所以幅度并不一定大 10.7波速和媒质内体元振动的速度有什么不同？解：波速是一定振动状态（位相）向前传播的速度，媒质内体元振动的速度是质点位移随时间变化的速度。 10.8所谓声压即有波传播的媒质中的压强，对不对？解：不对。因为在有声波传播的空间，某一点在某一瞬时的压强p 与没有声波时压强0p 的差，叫做该点处该瞬时的声压。 10.9举例说明波的传播的确伴随着能量的传播，波传播能量与粒子携带能量有什么不同？

大学物理知识总结习题答案(第八章)振动与波动

尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。 · 阻尼振动的动力学方程为 222d d 20d d x x x t t βω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γ β= 。（1）当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。（2）当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。（3）当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。 4. 受迫振动 · 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为 22 P 2d d 2d d cos x x F x t t t m βωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。 · 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。 5. 简谐振动的合成与分解（1）一维同频率的简谐振动的合成若任一时刻t 两个振动的位移分别为 111()cos x A t ω?=+ 222()cos x A t ω?=+ 合振动方程可表示为 ()cos x A t ω?=+ 其中，A 和? 分别为合振动的振幅与初相位 A = 1122 1122 sin sin tan cos cos A A A A ?????+= +

大学物理机械振动与机械波

大学物理单元测试（机械振动与机械波）姓名：班级：学号：一、选择题（25分） 1 一质点作周期为T 的简谐运动，质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为（ D ） (A ）T/2 （B ）T/4 (C)T/8 （D ）T/12 2 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（ E ） (A ）7/16 (B ）9/16 (C ）11/16 (D ）13/16 (E ）15/16 3 一质点作简谐运动，其振动方程为 )3 2cos( 24.0π π + =t x m, 试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到 x =-0.12 m,v <0的状态所经过的最短时间。（C ）（A ）0.24s （B ） 3 1 （C ）3 2 （D ）2 1 4 一平面简谐波的波动方程为：)(2cos λνπx t A y - =，在ν 1 = t 时刻，4 31λ= x 与 4 2λ = x 两处质点速度之比：（ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）3 （D ）1/3 5 一平面简谐机械波在弹性介质中传播,下述各结论哪个正确？（ D ） (A)介质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒. (B)介质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但两者相位不相同 (C)介质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但两者数值不同. (D)介质质元在其平衡位置处弹性势能最大. 二、填空题（25分） 1 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为0.3 2 N/m ，重物的质量为0.02 kg ，则这个系统的固有频率为____0.64 Hz ____，相应的振动周期为___0.5π s______． 2 两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比 ν1：ν2 = _2:1__ __，加速度最大值之比a 1m ：a 2m = __4:1____，初始速率之比 v 10 ：v 20 = _2:1__ ___.

第十章波动和声

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第十章波动和声习题解答 10.2.1频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉。时，空气中的声速为331.5m/s，求这两种频率声波的波长b5E2RGbCAP 解：根据公式得 10.2.2一平面简谐声波的振幅为0.001m，频率为1483Hz，在200C的水中传播，写出其波方程。p1EanqFDPw 解：此声波在200C的水中传播，其波速为角频率 A=0.001m 波方程为

10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0. 1cm，波长1m，周期为10-2s，写出波方程<最简形式）。又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？ DXDiTa9E3d 解：选波源处为坐标原点，初相位为零的时刻为计时起点波方程处振动相位处振动相位位相差 10.2.4写出振幅为A,波速为,沿ox轴正方向传播的平面简谐波方程．波源在原点o，且当t＝０时，波源的振动状态被称为零，速度沿ox轴正方向．RTCrpUDGiT 解：根据题意波源的振动方程为

解之得则波方程 10.2.5已知波源在原点(x=0 >的平面简谐波方程为 y=Acos(bt-cx> ,A,b,c均为常量.试求(1>振幅、频率、波速和波长；<2）写出在传播方向上距波源处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何？5PCzVD7HxA 解：<1）振幅A 频率波速波长 <2）距波源处一点的振动方程式 y=Acos(bt-c> 其振动初位相为-c

10.2.6 一平面简谐波逆x 轴传播，波方程为 , 试利用改变计时起点的方法将波方程化成最简形式。解：设相对于原来计时起点的某一时刻为，相对于新的计时起点此瞬时为，且新计时起点可使原点初位相为零，则jLBHrnAILg 这样原波方程化为计时起点提前3秒。 10.2.7平面简谐波方程，试用两种方法画出t=时的波形图。平移法

第八章波动学基础

第八章波动学基础 8.1已知波源在原点(x=0)的平面简谐波的方程为)cos(Cx Bt A y ?=式中A ,B ,C 为正值恒量.试求： (1)波的振幅,波速,频率,周期与波长； (2)写出传播放向上距离波源l 处一点的振动方程；(3)试求任何时刻,在波传播方向上相距为D 的两点的位相差. 解:(1)∵A、B、C 为正值恒量，所以该波沿X 轴正方向传播，与平面简谐波的波动方程)(cos c x t A y ?=ω比较系数，可得波的振幅为A，B =ω,C c =ω，∴B T π2=，π2B f =，C B C c = =ω∵f c λ=，∴C B C B CT π πλ22=?==． ∴该波的振幅为A,波速为 C B ,频率为π2B ,周期为B π2,波长为C π 2.(2)已知平面简谐波的方程为)cos(Cx Bt A y ?=，令式中的l x =即为传播方向上距波源l 处一点的振动方程：)cos(Cl Bt A y ?=.(3)设t 时刻，传播方向上相距为D 的两点分别为1x ，2x 那么这两点所对应的波动方程分别为： )cos(11Cx Bt A y ?=) cos(22Cx Bt A y ?=∴这两点的相位差φ?为：CD x x C =?=?=?1221φφφ. 8.2一列横波沿绳子传播时的波动方程为)410cos(05.0x t y ππ?=，式中x,y 以m 计，t 以s 计. (1)求此波的振幅、波速、频率、和波长； (2)求绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； (3)求x=0.2m 处的质点在t=1s 时的位相,它是原点处质点在哪一时刻的位相？这一位相所代表的运动状态在t=1.25s 时刻到达哪一点?在t=1.5s 时刻到达哪一点?

第8章弹性体振动

第八章弹性体振动 §8-1 概述任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。 x x ) a ) b (( 图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴的振动，而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广义坐标的变化是连续的。此外，我们的讨论只局限在线性范围内，即认为弹性体的应力应变关系服从虎克定律，而且是均质各向同性的。

第5章振动和波动课后答案

第5章振动和波动 5-1一个弹簧振子0.5kg m =，50N m k =，振幅0.04m A =，求 (1)振动的角频率、最大速度和最大加速度； (2)振子对平衡位置的位移为x =0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力； (3)以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。解：（1）)s rad (105 .050 === m k ω (2) 设当(3) 5-2 解： ν= 5-3式中1,k 10x ,弹簧2所受的合外力为由牛顿第二定律得2122d ()d x m k k x t =-+ 即有2122() d 0d k k x x t m ++ = 上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为

振动的频率为2π ω ν= = 5-4如图所示，U 形管直径为d ，管内水银质量为m ，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。振动周期5-5 5-6如图所示，轻弹簧的劲度系数为k ，定滑轮的半径为R 、转动惯量为J ，物体质量为m ，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。习题

解：设任意时刻t ，物体m 离平衡位置的位移为x ，速率为v ，则振动系统的总机械能式中于是5-7已知5-8平衡位置距O '点为：000l x l k +=+ 以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox ，当物体运动到离开平衡位置的位移为x 处时，弹簧的伸长量就是x x +0,所以物体所受的合外力为物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为 5-9两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们相差，并用旋转矢量图表示出来。习题5-6图

第3章振动、波动和声详细答案

思考题 3-1 如何判断简谐振动？ 3-2 两个同方向同频率的简谐振动相遇后各点要始终保持不振动，应具备什么条件？ 3-3 旋转矢量法如何来计算振动方程的初相？ 3-4 简谐振动的速度和加速度都有负号，是否意味着速度和加速度一定是负值，二者的方向相同吗？ 3-5 振动的能量由什么决定？ 3-6 什么是阻尼振动？阻尼振动与简谐振动有什么不同？受迫振动和阻尼振动一样吗？ 3-7 什么是共振？ 3-8 产生机械波要具备什么条件，波在不同介质中传播波长，周期，波速哪些量不变化哪些量会变化？ 3-9 波动方程和振动方程有什么区别？ 3-10 简谐振动和简谐波的能量有什么特点？ 3-11 什么是波的干涉？两列波相遇后一定会发生干涉现象吗？ 3-12 什么是驻波？驻波和简谐波有什么区别？ 3-13 什么是闻阈和痛阈？人耳对声音的反应主要决定是什么？ 3-14 听觉域的范围是什么？闻阈最敏感的频率是多少？ 3-15 声强级大的响度级一定高吗？声强级相同的响度级也一定相同吗？ 3-16 什么是多普勒效应？ 3-17 超声波和次声波哪种波传的远？哪种波容易阻挡？参考答案 3-1 满足下列方程之一，就可以认为是简谐振动： ①ks F -=；②02=+s dt ds ω；③)cos(?ω+=t A s ； 3-2 当相位差为π的奇数倍时，合振动的振幅最小，等于二者的分振动振幅之差，所以要具备两个条件，分振动的相位差为π的奇数倍，分振动的振幅相等，在相遇的区域满足这两个条件的合振动振幅为零，即质点始终保持不振动. 3-3 位移S 轴的正方向与旋转矢量的初始位置的夹角称为初相，沿逆时针方向的夹角取正，沿顺时针方向的夹角取负.一般在2π内，小于π取正，大于π取负.例如，初相位2 3π，一

第8章波动学基础

第八章波动学基础 ◆本章学习目标 1．了解波的基本概念； 2．掌握最基本的波动——平面间谐波的波动方程及运动规律； 3．掌握波的能量特点； 4．掌握波具有的基本现象——反射、折射、干涉和驻波； 5．了解多普勒效应； 6．了解声波、超声波和次声波。 ◆本章教学内容 1．机械波的产生及间谐波； 2．波速、波长、周期和频率； 3．波动方程； 4．波的能量和能流； 5．惠更斯原理波的反射和折射； 6．波的叠加原理波的干涉； 7．驻波； 8．多普勒效应； 9．声波、超声波、次声波 ◆本章教学重点 1．间谐波方程及运动规律； 2．波的叠加及驻波。 ◆本章教学难点 1．波方程的建立及其意义； 2．驻波的运动特点； 3．多普勒效应。

§8.1 机械波的产生和传播简谐波振动和波动是密切关联又相互区别的两种运动形式。任何波动都是有振动引起的，激发波动的振动系统称为波源。波动分为两大类：一类是机械振动在媒质中的传播，称机械波。另一类是变化的电场和变化的磁场在空间的传播，称为电磁波。一、机械波的产生机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波。就每一质点来说，只是做振动，就全部媒质来说，振动传播形成机械波。产生机械波的条件是：具有波源和弹性媒质。二、横波和纵波在波动中，如果质点的振动方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。如果质点振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。各种复杂的波都可分解为横波和纵波。在波动中真正传播的是振动、波形和能量；波形传播是现象，振动传播是实质，能量传播是波动的量度。如果产生波动的波源作简谐振动，在振动传播过程中，从波源所在位置开始，媒质中各质点相继开始做简谐振动，如果媒质是各向同性均匀且完全弹性的（即媒质不消耗能量），则媒质中各质点的振动频率和波源相同，且各质点具有相同的振幅。这种波称为简谐波。三、波振面和波射线把波振面为球面的波动称为球面波，点波源在均匀媒质中产生的波就是球面波。把波振面为平面的波称为平面波。波的传播方向称为波射线。显然，在波振面上每一点，波射线总是和波阵面正交。图8-1所示，画出了这两种典型波的波阵面和波射线。图8-1波阵面和波射线

第4章振动与波动

第4章振动与波动一、选择题 1. 已知四个质点在x 轴上运动, 某时刻质点位移x 与其所受合外力F 的关系分别由下列四式表示(式中a 、b 为正常数)．其中不能使质点作简谐振动的力是 [ ] (A) abx F = (B) abx F -= (C) b ax F +-= (D) a bx F /-= 2. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是 [ ] (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 (B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动 (C) 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块 (D) 拍皮球时球的运动 3. 欲使弹簧振子系统的振动是简谐振动, 下列条件中不满足简谐振动条件的是 [ ] (A) 摩擦阻力及其它阻力略去不计 (B) 弹簧本身的质量略去不计 (C) 振子的质量略去不计 (D) 弹簧的形变在弹性限度内 4. 当用正弦函数或余弦函数形式表示同一个简谐振动时, 振动方程中不同的量是 [ ] (A) 振幅 (B) 角频率 (C) 初相位 (D) 振幅、圆频率和初相位 5. 如T4-1-5图所示，一弹簧振子周期为T ．现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体, 则新的弹簧振子周期为 [ ] (A) T (B) 2T (C) 3T (D) 0.7T 6. 三只相同的弹簧(质量忽略不计)都一端固定, 另一端连接质量为m 的物体, 但放置情况不同．如T4-1-6图所示，其中一个平放, 一个斜放, 另一个竖直放．如果让它们振动起来, 则三者的 [ ] (A) 周期和平衡位置都不相同 (B) 周期和平衡位置都相同 (C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同 7. 如T4-1-7图所示，升降机中有一个做谐振动的单摆, 当升降机静止时, 其振动周期为2秒; 当升降机以加速度上升时, 升降机中的观察者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期相比，将 [ ] (A) 增大 (B ) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 T 4-1-6图 T 4-1-7图 T 4-1-5图

清华大学《大学物理》习题库试题及答案--04-机械振动习题

一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π21 cos(2-+=αωt A x (C) ) π23 cos(2-+=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 (B) 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(1042π+π?=-t x (SI)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 81 (B) s 61 (C) s 41 (D) s 31 (E) s 21 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) ) 21/cos(π-=t m k A x (C) ) π21/(cos +=t k m A x (D) )21/cos(π-=t k m A x (E) t m /k A x cos = 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取 v 2 1

大学物理习题解答8第八章振动与波动 (2)

第七章电磁感应本章提要 1. 法拉第电磁感应定律 · 当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，导体回路中就将产生电流，这种现象称为电磁感应现象，此时产生的电流称为感应电流。 · 法拉第电磁感应定律表述为：通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化石，回路中产生地感应电动势i e 与磁通量m Φ变化率的关系为 d d t ＝－F e 其中Φ为磁链，负号表示感应电动势的方向。对螺线管有N 匝线圈，可以有 m N Φ=Φ。 2. 楞次定律 · 楞次定律可直接判断感应电流方向，其表述为：闭合回路中感应电流的方向总是要用自己激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化。 3. 动生电动势 · 磁感应强度不变，回路或回路的一部分相对于磁场运动，这样产生的电动势称为动生电动势。动生电动势可以看成是洛仑兹力引起的。 · 由动生电动势的定义可得： ()d b ab a e 醋ò＝v B l · 洛伦兹力不做功，但起能量转换的作用。 4. 感生电动势 ·当导体回路静止，而通过导体回路磁通量的变化仅由磁场的变化引起时，导体中产生的电动势称为感生电动势。 d d d d d d L S t t e F =??蝌?－＝－i E r B S 其中E i 为感生电场强度。 5. 自感

· 当回路中的电流发生变化，它所激发的磁场产生的通过自身回路的磁通量也会发生变化，此变化将在自身回路中产生感应电动势，这种现象称为自感现象，产生的电动势为自感电动势，其表达式为： d d L i L t e =-（L 一定时）负号表明自感电动势阻碍回路中电流的变化，比例系数L 称为电感或自感系数。 · 自感系数表达式为： L i Y = · 自感磁能 21 2 m W LI = 6. 互感 · 对于两个临近的载流回路，当其中一回路中的电流变化时，电流所激发的变化磁场在另一回路中产生感应电动势。这种现象称为互感现象，对应产生的电动势称为互感电动势，其表达式为： 121d d i M t e =-（M 一定时）其中M 为互感系数。 2112 12 M i i Y Y = = 7. 麦克斯韦方程组回顾有关描述静电场和稳恒磁场的基本性质的4个方程： ● 静电场高斯定理 0d D S S q ?=?? ● 稳恒磁场的高斯定理 d 0B S S =??? ● 静电场的环路定理 d 0E l l ?=? ● 稳恒磁场的安培环路定理 0d H l L I ?=? 根据上述4个方程，考虑电场或磁场的变化，麦克斯韦对上述方程进行修改，得到如下一组描述任何电场和磁场的方程组。 0d S q =??D S

(完整版)大学物理(第四版)课后习题及答案机械振动

13 机械振动解答 13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m ，周期T=1.0s ，初相?=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。 13-1 分析弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A 、初相?、角频率ω是简谐运动方程 ()?ω+=t A x cos 的三个特征量。求运动方程就要设法确定这三个物理量。题中除A 、?已知外， ω可通过关系式T π ω2= 确定。振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。解因T π ω2=，则运动方程 ()?? ? ??+=+=?π?ωt T t A t A x 2cos cos 根据题中给出的数据得 ]75.0)2cos[()100.2(12ππ+?=--t s m x 振子的速度和加速度分别为 ]75.0)2sin[()104(/112πππ+??-==---t s s m dt dx v πππ75.0)2cos[()108(/112222+??-==---t s s m dt x d a x-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示 13-2 若简谐运动方程为?? ???? +=-4)20(cos )01.0(1ππt s m x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。 13-2 分析可采用比较法求解。将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()?ω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量。运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。解（l ）将]25.0)20cos[()10.0(1ππ+=-t s m x 与()?ω+=t A x cos 比较后可得：振幅A= 0.10 m ，角频率120-=s πω，初相π?25.0=，则周期 s T 1.0/2==ωπ，频率Hz T 10/1==ν。（2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为 m m x 21007.7)25.040cos()10.0(-?=+=ππ )25.040sin()2(/1πππ+?-==-s m dt dx v

普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第十章波动和声

第十章波动和声习题解答 10.2.1 频率在20至20000Hz 的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉。0oC 时，空气中的声速为331.5m/s,求这两种频率声波的波长。解：m v V v V v V 58.16/, /,20 5.33111≈= ==∴=λλλ m v V 3 2210 58.1620/5.331/-?≈==λ 10.2.2 一平面简谐声波的振幅A=0.001m ，频率为1483Hz ，在20oC 的水中传播，写出其波方程。解：查表可知，波在20oC 的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x 轴沿波传播方向，x 表示各体元平衡位置坐标，y 表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则： )22966cos(001.0)(2cos x t t v A y V x πππ-=- = 10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0.1cm,波长1m,周期为10-2 s,写出波方程（最简形式）.又距波源9m 和10m 两波面上的相位差是多少？解：取坐标原点处体元初相为零，o-x 轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为 )100(2cos 10 )(2cos )(cos 3 x t A t A y x T t V x -=- =- =-ππωλ πππ2)10100(2)9100(2=---=?Φt t 10.2.4 写出振幅为A,频率v =f ,波速为V=C,沿o-x 轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点o,且当t=0时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x 轴正方向。解：设波源振动方程为)cos(φω+=t A y . ∵t=0时，2 ,0sin ,0cos π φφωφ- =∴>-== ==A u A y dt dy ∴波方程])(2cos[])(2cos[2 2 π πππ- -=--=C x V x t f A t v A y 10.2.5 已知波源在原点（x=0）的平面简谐波方程为 ),cos(cx bt A y -=A,b,c 均为常量.试求：⑴振幅、频率、波速和波长；⑵写出在传播方向上距波源l 处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何？解：⑴将)cos(cx bt A y -=与标准形式)cos(kx t A y -=ω比较，ω=b,k=c,∴振幅为A,频率v =ω/2π=b/2π,波速V=ω/k=b/c,波长λ=V/v =2π/c. ⑵令x=l , 则)cos(cl bt A y -=，此质点振动初相为 – c l .

第七章 振动和波动

第4章-振动与波动-

大学物理-机械振动习题-含答案

大学物理答案第八章 振动

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波动和声物理力学答案

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