湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(一)数学试题

长郡中学2021届高三月考试卷（一）

数学

本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给田的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}22A x x =-≤≤∣，{}

lg(1)B x y x ==-∣.则A B =（ ）

A.{}

2x x ≥-∣

B.{}

12x x <<∣

C.{}

12x x <≤∣

D.{}

2x x ≥∣

2.已复数z 满足(34)25z i -=，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.已知实数a ，b ，c 满足a b c <<，且0a b c ++=，则下列不等式中正确的是（ ） A.2

2

2

a b c <<

B.22

ab cb <

C.ac bc <

D.ab ac <

4.在ABC △中， 2BD DC =，AE ED =，则BE =（ ）

A.

15

36AC AB - B.15

36AC AB -

+ C.1136

AC AB -+

D.1136

AC AB - 5.设函数2()log x

f x x m =+-，则“函数()f x 在1,42??

???

上存在零点”是(1,6)m ∈的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知实数a ，b ，c 满足1

lg 10b a c

==，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A.a b c >> B.a c b >>

C.c a b >>

D. c b a >>

7.已知3sin cos 72sin 3cos αα

αα

+=-，则函数2()sin 2tan |cos |6f x x x α=+-的最小值为（ ）

A.-5

B.-3

C.

D.-1

8.设函数2

()ln 2f x x x x =-+，若存在区间1[,],2a b ???+∞????

，使得()f x 在[],a b 上的值域为

[(2), (2)]k a k b ++，则是k 的取值范围是（ ）

A.92ln 21,

4+??

????

B.92ln 21,

4+??

???

C.92ln 21,

10+??

????

D.92ln 21,

10+??

???

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分. 9.下列命题中正确的是（ ） A.(0,)x ?∈+∞，23x

x

>

B.(0,1)x ?∈，23log log x x

<

C.(0,)x ?∈+∞，13

1log 2x

x

??> ???

D.10,3x ???∈ ???，13

1log 2x

x

??< ???

10.已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的

是（ ）

A.数列{}n a 为等比数列

B.1p =时，415

16

S =

C.当1

2

p =

时，()*,m n m n a a a m n N +?=∈ D.3856a a a a +=+

11.已知函数()f x 满足:对于定义域中任意x ，在定义城中总存在t ，使得()()f t f x =-成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（ ） A.()1f x x =-

B.4

()f x x =

C.1

()2

f x x =

+ D.()ln(21)f x x =-

12.下图是函数()sin()f x A x ω?=+（其中0A >，0ω>，0||x ?<<）的部分图象，下列结论正确的是（ ）

A.函数12y f x π??

=-

??

?

的图象关于顶点对称 B.函数()f x 的图象关于点,012π??

-

???

C.函数()f x 在区间,34ππ??

-

????

上单调递增

D.方程()1f x =在区间23,1212ππ??

-

????

上的所有实根之和为83π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量a ，b 满足||2a =，||2b =，若()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为___________.

14.已知2log(4)2log a b +=，则a b +的最小值是___________.

15.《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的过长为8m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2m ，则每块八卦田的面积为___________2m .

16.已知数列{}n a 满足1(1)21n

n n a a n ++-=-，则{}n a 前48项之和为___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题

①2

2

52b c +=；②ABC △的面积为2

6AB AB BC +?=-.

在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A 为钝角，sin A = （1）求边a 的长； （2）求sin 26C π??

-

??

?

的值. 18.（12分）已知()x x m

f x e e

-=+是偶函数. （1）求实数m 的值；

（2）解不等式(2)(1)f x f x ≥+；

（3）记{}

()ln (3)()1ln 32x g x a f x e a x -??=--+--??，若()0g x ≤对任意的[0,)x ∈+∞成立，求实数a

的取值范围.

19.（12分）已知正项等差数列{}n a 中， 12a =，且1a ，21a -，3 a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为

n S . 11

2

b =

，122n n n S S b +=+. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）这1

1

n n n n c b a a +=+

，求数列{}n c 的前n 项和n T 的取值范围. 20.（12

分）已知函数2())2sin 1(0,0)2

x f x x ωθω?ω?π+??

=++-><< ???

为奇函数，且相邻同对称轴间的距离为

2

π

.

（1）当,24x ππ??

∈-

????

时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移

6

π

个单位长度，再把横坐标缩小为原来的

1

2

（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ??

∈-????

时，求函数()g x 的值域.

21.（12分）习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为3

2mg/m ，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为3

1.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ，可由函数模型

()0.50015n p n r r r r +=--?()*,p R n N ∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数.

（1）试求改良后石的函数模型，

（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过3

0.08mg/m . 试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取lg20.3=）

22.（12分）已知点,1x e P x ??

???

，(,sin )Q x mx x +，O 为坐标原点，设函数()()f x OP OQ m R =?∈.

（1）当2m =-时，判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （2）若0x ≥时，不等式()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.

长郡中学2021届高三月考试卷（一）

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.C 【解析】由题意得，{}{}lg(1)1B x y x x x ==-=>∣∣，{}22A x x =-≤≤∣ ，所以{}12A B x x =<≤∣，

故选C. 2.D 【解析】2525(34)

3434(34)(34)

i z i i i i +=

==+--+，则34z i =-，z 在复平面内对应的点是()3,4-，在第四象限，故选D.

3.C 【解析】0a b c ++=且a b c <<，则0a <，0c >.所以ac bc <.故选C.

4.A 【解析】111121

115()222232

336BE BA BD BA BC BA AC AB AC AB ??=

+=+?=+-=- ???，故选A. 5.B 【解析】函数2()log f x x x m =+-在区间()0,+∞上单调递增， 由函数()f x 在1,42??

???上存在零点，则11022f m ??

=--< ???

，(4)60f m =->，

解得162m -

<<，故“函数()f x 在1,42??

???

上存在零点”是“(1.6)m ∈”的必要不分条件. 故选B.

6.D 【解析】设1lg 10b a t c ==

=，0t >，则10t a =，lg b t =，1

c t

=， 在同一坐标系中分别画出函数10x

y =，lg y x =，1y x

=的图象，如图，当3t x =时，a b c >>；当2

t x =时，a c b >>；当1t x =时，c a b >>.故选D

7.A 【解析】由

3sin cos 72sin 3cos αααα+=-，有3tan 1

72tan 3

αα+=-，解得tan 2α=，

故2

2

2

()sin 2tan |cos |6cos 4|cos |5(|cos |2)1f x x x x x x α=+-=-+-=---， 故当|cos |0x =时，()f x 取最小值-5，故选A.

8.D 【解析】

()2ln 1f x x x '=--∣，1

()2f x x

''=-， ∴当1

2x ≥

时，()0f x ''≥， ∴()f x '在1,2

??+∞????

上单调增，

∴11()ln 022f x f ??''≥=->

???

， ∴()f x 在1,2

??+∞????

上单调递增，

∵1[,],2a b ???+∞????

，∴()f x 在[],a b 上单调递增，

∵()f x 在[],a b 上的值域为[(2), (2)]k a k b ++，∴()(2)

()(2)f a k a f b k b =+??=+?

，

∴方程()(2)f x k x =+在1

,2??+∞????

上有两解a ，b .

作出()y f x =与直线()2y k x =+的函数图象，则两图象有两交点.

若直线(2)y k x =+过点191,ln 2242??

+ ???

， 则92ln 2

10

k +=

， 若直线(2)y k x =+与()y f x =的图象相切，设切点为()00,x y ，

则()002

00000

02ln 22ln 1y k x y x x x x x k

=+??=-+??-+=?，解得01x =，1k =. ∴92ln 2

110

k +<≤

，故选D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.BD 【解析】对于A ，当0x >时，22133x

x x ??=< ?

??

，23x x

<恒成立，A 错误；

对于B ，

23log lg lg 3lg 3

1log lg 2lg lg 2

x x x x =?=>，23log log x x <，B 正确；

对于C ，当12x =时，122x

??

= ???，12log 1x =，则12

1log 2x

x ??> ???，C 错误；

对于D ，当13x =，13log 1x =，由对数函数与指数函数的性质可知，当10,3x ??

∈ ???时，13

11log 2x

x ??<< ?

??恒

成立，D 正确. 故选BD.

10.AC 【解析】由122(2)n n S S p n --=≥，得22

p

a =

. 3n ≥时，1222n n S S p ---= ，相减可得120n n a a --=，

又

2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1

2

的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，441

11521812

S -

==-，故B 错误； 由A 可得m n m n a a a +?=

1

2

p =

，故C 正确； 38271133||||22128a a p p ??+=+=?

???，56451112||||22128a a p p ??

+=+=? ???

， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选AC.

11.ACD 【解析】函数()f x 的值域关于原点对称，

对A ，函数()1f x x =-的值域为R ，关于原点对称，符合题意； 对B ，函数4

y x =的值域为[0,)+∞，不关于原点对称，不符合题意； 对C ，函数1

()2

f x x =

+的值域为(,0)(0,)-∞+∞关于原点对称，符合题意； 对D ，函数()ln(21)f x x =-的值域为R ，关于原点对称，符合题意； 故选ACD.

12.ABD 【解析】由已知，2A =，2543124T πππ=-=，因此T π=，∴22πωπ

==， 所以()2sin(2)f x x ?=+，过点2,23π??- ???

， 因此

43232

k ππ

?π+=+，k ∈Z ，又0||?π<<， 所以6

π

?=

，∴()2sin 26f x x π?

?

=+

??

?

， 对A ，2sin 212y f x x π??

=-

= ??

?

图象关于原点对称，故A 正确； 对B ，当12

x π

=-

时，012f π??

-

= ???

，故B 正确； 对C ，由2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

，有3

6

k x k π

π

ππ-

≤≤+

，k ∈Z 故C 不正确；

对D ，当231212x π

π-

≤≤

时，2[0,4]6

x π

π+∈，

所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，12317822663

x x x x πππ

+++=?+?=

，故D 正确. 故选ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.

4

π

【解析】由已知()0a b a -?=，2

0a a b -?=，则2

||||cos ||a b a θ=，

则cos θ=，又[0,]θπ∈，故4

πθ=. 故答案为4

π

.

14.

9

4

【解析】∵222log (4)2log log (4)a b ab +==， ∴44a b ab +=，且0a >，0b >， ∴

14

4b a

+=，

则1141419()554444

a b a b a b b a b a ??????+=++=++≥= ? ? ? ???????，

当且仅当244a b a b ab =??+=?，即32

34

a b ?

=????=??时取等号，

则a b +的最小值是94

.

15.162

π

-

【解析】由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为

360458

=?

?，设等腰三角形的腰长为a ， 由正弦定理可得

8

135sin 45sin 2

a =

??

，解得1352a ?=，

所以三角形的面积2

11351cos135sin 451)222

S ?-?

??=?== ?

??，

则每块八卦田的面积为()22

11)216m 8

2

π

π-??=-

. 16.1176【解析】由1(1)21n

n n a a n ++-=-，则

211a a =+，32132a a a =-=-，431 57a a a =+=-，

5417a a a =-=，65199a a a =+=+，761112a a a =-=-，8711315a a a =+=-，…

可知相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.

因()()()1357451721224a a a a a a ++++???++=?=，

()()246816482610464818a a a a a a a a a a a a a ++++???++=+++???++++???+，

而()()()2610461111198954012a a a a a a a a +++???+=++++???++=+，

()()()484811117159561212a a a a a a a ++???+=-+-+???+-=-，

所以数列{}n a 前48项之和为()()112454012612121176a a +++-=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】方案一：选择条件①

（1）由22522

b c b c ?+=?-=?，解得6

4b c =??=?，

A 为钝角，sin A =

，1cos 4

A =-， 则2

2

2

12cos 3616264644a b c bc A ??

=+-=+-???-= ???

， 故8a =；

（2）2226436167

cos 22868

a b c C ab +-+-=

==??，

∴sin 8

C ==，

∴217

cos 22cos 132

C C =-=

，sin 22sin cos C C C ==

∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666

C C C πππ

?

?

-

=- ??

?

171322=

-?=； 方案二：选择条件②

（1）sin 4

A =

，1sin 28ABC S bc A ==

=△，∴24bc =， 由24

2

bc b c =??

-=?，解得64b c =??=?，

则22212cos 3616264644a b c b A ??

=+-=+-???-= ???

， 故8a =； （2）同方案一. 方案三：选择条件③：

（1）A 为钝角，sin 4A =

，1cos 4

A =-， 2

()cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A +?=?+=?==-，24bc =， 由24

2bc b c =??-=?

，解得6b =，4c =，

则2

2

2

12cos 3616264644a b c bc A ??

=+-=+-???-= ???

， 故8a =； （2）同方案一.

18.【解析】（1）因为()x x m

f x e e

=+是偶函数，则()()f x f x =-对任意实数x 恒成立， 即x

x x

m m e e

x e --+

=+， 1(1)0x x m e e ??

??--=?? ???????

对任意实数x 恒成立，则1m =；

（2）1()x x f x e e =+

，1()x

x

f x e e '=-， 当0x >时，()0f x '>，()f x 在[0,)+∞上是增函数， 又因为()f x 是偶函数，

∴(2)(1)(|2|)(|1|)|2||1|f x f x f x f x x x ≥+?≥+?≥+， 两边平方可得2

3210x x --≥，解得1x ≥或1

3

x ≤-；

故不等式的解集为11, 3x x x ?

?≥≤-????

∣或；

（3）()ln (3)1ln32x g x a e a x ??=-+--??，问题即为ln (3)1ln32x

a e a x ??-+≤+??恒成立，显然0a >，

首先(3)10x

a e -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即130

x

a e a ?<+???>?， 因为[0,)x ∈+∞，则1

334x e

<

+≤，所以03a <≤， 其次，ln (3)1ln32x

a e a x ??-+≤+??，即为ln32(3)1x

a x

a e e

+-+≤，

即23(3)10x

x ae

a e +--≥成立，

亦即()()

3110x x e ae +-≥成立，

因为310x

e +>，所以10x

ae -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立， 即max

1x a e ??

≥

?

??所以1a ≥， 综上，实数a 的取值范围为[]1,3.

19.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由12a =，且1a ，21a -，3a 成等比数列， ∴2

(1)2(22)d d +=+，即2

230d d --=， 由已知0d >，∴3d =， 31n a n =-；

由122n n n S S b +=+得，11222n n n n S S b b ++-==，∴

11

2

n n b b +=， 数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，则12n

n b ??

= ???

；

（2）111111112(31)(32)233132n n

n n n n c b a a n n n n -??????=+=+=+- ? ? ?-+-+??????， ∴2

111111111

1222325583132n

n T n n ????????????=++???++-+-+???+- ? ? ? ? ???-+????????????

1112211171113232623(32)12

n

n

n n ????-?? ?????????????=

+-=-+

?? ?

?++????????

-， ∵11023(32)

n

n ??

+> ?+??，则76n T <，

又数列{}n T 单调递增，则1711362155

n T T ??≥=

-+= ???， 则n T 的取值范围是37,

56??

-????

. 20.【解析】（1

）())cos()2sin 6f x x x x πω?ω?ω??

?

=+-+=+- ??

?

， 因为相邻两对称轴间的距离为2π

，所以T π=，2ω=，

因为函数为奇函数，所以6

k π

?π-=，6

k π

?π=

+，k Z ∈.

因为0?π<<，所以6

π

?=

，函数为()2sin 2f x x =.

,24x ππ??

∈-????

时，22x ππ-≤≤，()f x 单调递减，需满足22x ππ-≤≤-，24x ππ-≤≤-，

所以函数()f x 的单调递减区间为,24x ππ??

∈-

-????

. （2）由题意可得：()2sin 43g x x π??

=-

??

?

， ∵,126x ππ??

∈-

????

，∴24333x πππ-≤-≤，

∴1sin 432

x π?

?

-≤-

≤ ?

?

?，

()[g x ∈-，即函数()g x

的值域为[-.

21.【解析】（1）由题意得02r =，1 1.94r =， 所以当1n =时，()0.510015p

r r r r +=--?，

即0.5 1. 942(2 1.94)5

p

+=--?，解得0.5p =-，

所以()

0.50.5*20.065n n r n N -=-?∈，

故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()

0.50.5*20.065n n r n N -=-?∈.

（2）由题意可得，0.50.5

20.065

0.08n n r -=-?≤， 整理得0.50.5 1.9250.06

n -≥

，即0.50.5

5

32n -≥， 两边同时取常用对数，得lg 32

0.50.5lg 5

n -≥

， 整理得5lg 2

211lg 2

n ≥?

+-，

取lg 20.3=代入，得5lg 230

211 5.31lg 27

?

+=+≈-，

又因为n N ∈，所以6n ≥.

综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.

22.【解析】（1）由已知，(),1(,sin )sin x x

e f x OP OQ x mx x e mx x x ??=?=?+=++ ???

，

当2m =-时，()2sin x

f x e x x =-+，()2cos x

f x e x '=-+， 当0x <时，1x

e <，又cos 1x ≤， 则()2cos 0x

f x e x '=-+<， 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减；

（2）①当0x =时，()11f x =≥，对于m R ∈，()1f x ≥恒成立； ②当0x >时，()cos x

f x e m x '=++，设()cos x

g x e m x =++， 则()sin x

g x e x '=-，因为1x

e >，又sin 1x ≤， 所以()sin 0x g x e x '=->，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(0)2g m =+，所以()2g x m >+，

所以()f x '在(0,)+∞上单调递增，且()2f x m '>+，

（ⅰ）当2m ≥-时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，

因为(0)1f =，所以()1f x >恒成立； （ⅱ）当2m <-时，(0)20f m '=+<， 因为()f x '在(0,)+∞上单调递增， 又当ln(2)x m =-时，ln(2)

()cos 2cos 0m f x e

m x x -'=++=+>，

则存在0(0,)x ∈+∞，对于()00,x x ∈，()0f x '<恒成立， 故()f x 在()00,x 上单调递减，

所以，当()00,x x ∈时，()(0)1f x f <=，不合题意. 综上，所求m 的取值范围为[2,)-+∞.