再根据f (1)g (1)+f (-1)g (-1)=52,得a +1a =52,解得a =2(舍去)或者a =12.所以f (n )g (n )=????12n
,数列
????
??f (n )g (n )的前n 项和是12??
??1-12n 1-12=1-12n ,由于1-12n =31
32,所以n =5.
二、填空题 9.观察下列等式
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律,第n 个等式为________.
答案 n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2
解析 第n 个等式是首项为n ,公差为1,项数为2n -1的等差数列,即n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2.
10.若数列{a n }的通项公式a n =1
(n +1)2
,记f (n )=2(1-a 1)·(1-a 2)…(1-a n ),试通过计算f (1),
f (2),f (3)的值,推测出f (n )=________.
答案 n +2n +1
解析 f (1)=2(1-a 1)=32=1+2
1+1
,
f (2)=2(1-a 1)(1-a 2)=2????1-14???
?1-19 =43=2+22+1, f (3)=2(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)
=2????1-14????1-19????1-116=54=3+23+1,
可猜测f (n )=n +2
n +1
.
11.二维空间中圆的一维测度(周长)l =2πr ,二维测度(面积)S =πr 2,观察发现S ′=l ;三维
空间中球的二维测度(表面积)S =4πr 2,三维测度(体积)V =4
3
πr 3,观察发现V ′=S .则四
维空间中“超球”的四维测度W =2πr 4,猜想其三维测度V =________. 答案 8πr 3
解析 由已知,可得圆的一维测度为二维测度的导函数;球的二维测度是三维测度的导函数.类比上述结论,“超球”的三维测度是四维测度的导函数,即V =W ′=(2πr 4)′=8πr 3.
12.函数f (x )的定义域为A ,若x 1,x 2∈A ,且f (x 1)=f (x 2)时总有x 1=x 2,则称f (x )为单函数.例
如f (x )=2x +1 (x ∈R )是单函数,下列命题:①函数f (x )=x 2 (x ∈R )是单函数;②指数函数f (x )=2x (x ∈R )是单函数,③若f (x )为单函数,x 1,x 2∈A 且x 1≠x 2,则f (x 1)≠f (x 2);④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是__________(写出所有真命题的编号). 答案 ②③④
解析 由x 21=x 22,未必有x 1=x 2,故①不正确;对于f (x )=2x
,当f (x 1)=f (x 2)时一定有x 1
=x 2,故②正确;当f (x )为单函数时,有f (x 1)=f (x 2)?x 1=x 2,则其逆否命题f (x )为单函数时,x 1≠x 2?f (x 1)≠f (x 2)为真命题,故③正确;当函数在其定义域上单调时,一定有f (x 1)=f (x 2)?x 1=x 2,故④正确. 三、解答题
13.(2012·福建)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin 213°+cos 217°-sin 13°cos 17°; ②sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°; ③sin 218°+cos 212°-sin 18°cos 12°;
④sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解 方法一 (1)选择②式,计算如下: sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°
=1-12sin 30°=1-14=34.
(2)三角恒等式为
sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.
证明如下:
sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=sin 2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=sin 2α+34cos 2α+32sin αcos α+14sin 2α-32sin αcos α-12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=3
4.
方法二 (1)同解法一.
(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=3
4.
证明如下:
sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α) =1-cos 2α2+1+cos (60°-2α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=12-12cos 2α+12+12(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-32sin αcos α-12sin 2α =12-12cos 2α+12+14cos 2α+34sin 2α-3
4sin 2α- 14(1-cos 2α)=1-14cos 2α-14+14cos 2α=34. 14.设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合. ①a n +a n +22
≤a n +1;②a n ≤M ,其中n ∈N *,M 是与n 无关的常数.
(1)若{a n }是等差数列,S n 是其前n 项的和,a 3=4,S 3=18,试探究{S n }与集合W 之间的关系;
(2)若数列{b n }的通项为b n =5n -2n ,且{b n }∈W ,M 的最小值为m ,求m 的值;
(3)在(2)的条件下,设c n =1
5[b n +(m -5)n ]+2,求证:数列{c n }中任意不同的三项都不
能成为等比数列. (1)解 ∵a 3=4,S 3=18,
∴a 1=8,d =-2,
∴S n =-n 2+9n ,S n +S n +2
2
S n =-????n -922+81
4,当n =4或5时,S n 取最大值20. ∴S n ≤20满足条件②, ∴{S n }∈W .
(2)解 b n +1-b n =5-2n 可知{b n }中最大项是b 3=7, ∴M ≥7,M 的最小值为7.
(3)证明 由(2)知c n =n +2,假设{c n }中存在三项c p 、c q 、c r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列,则c 2q =c p ·
c r , ∴(q +2)2=(p +2)(r +2), ∴(q 2-pr )+(2q -p -r )2=0.
∵p 、q 、r ∈N *
,∴?
????
q 2=pr ,2q -p -r =0,
消去q 得(p -r )2=0, ∴p =r ,与p ≠r 矛盾.
∴{c n }中任意不同的三项都不能成为等比数列.
高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案
推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 (1)归纳推理的定义:从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 (2)类比推理的定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式:三段论 “三段论”可以表示为:①大前题:M 是P②小前提:S 是M ③结论:S 是 P。其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 (1)综合法就是“由因导果” ,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论。 (2)分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式:要证 A,只要证 B,B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。 4反证法 (1)定义:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 (2)一般步骤:(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;②从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正
推理与证明(教案)
富县高级中学集体备课教案 年级:高二科目:数学授课人:授课时间:序号:第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧,并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值,提高学生的学习兴趣,使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入:“阿基米德曾对国王说,给我一个支点,我将撬起整个地球!” ②提问:大家认为可能吗?他为何敢夸下如此海口?理由何在? ③探究:他是怎么发现“杠杆原理”的? 正是基于这两个发现,阿基米德大胆地猜想,然后小心求证,终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考:整个过程对你有什么启发? ⑤启发:在教师的引导下归纳出:“科学离不开生活,离不开观察,也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3+3,12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程
高考真题分类汇编——推理与证明 (5)
高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1.[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有() A.2人B.3人C.4人D.5人 答案:B 2.[2014·北京卷] 对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n),记 T1(P)=a1+b1,T k(P)=b k+max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}(2≤k≤n), 其中max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}表示T k-1(P)和a1+a2+…+a k两个数中最大的数. (1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值; (2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P′:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小; (3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论) 解:(1)T1(P)=2+5=7, T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8. (2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d}, T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}. 当m=a时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b. 因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P′). 当m=d时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b. 因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P′). 所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P′)都成立. (3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小, T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________. 答案:6 解析:若①正确,则②③④不正确,可得b≠1不正确,即b=1,与a=1矛盾,故①不正确; 若②正确,则①③④不正确,由④不正确,得d=4;由a≠1,b≠1,c≠2,得满足条件的有序数组为a=3,b=2,c=1,d=4或a=2,b=3,c=1,d=4. 若③正确,则①②④不正确,由④不正确,得d=4;由②不正确,得b=1,则满足条件的有序数组为a=3,b=1,c=2,d=4; 若④正确,则①②③不正确,由②不正确,得b=1,由a≠1,c≠2,d≠4,得满足条件的有序数组为a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,c=3,d=2; 综上所述,满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2na n+1-3n2-4n,n∈N*,且S3
推理与证明测试题
推理与证明测试题 一、选择题(本题共20道小题,每小题0分,共0 分) 1?下列表述正确的是( ) ① 归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ②③④ B .①③⑤ C .②④⑤ D .①⑤ 2?“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电,”此推理类型属于( ) A. 演绎推理 B .类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 3?证明不等式丄 二 ■ ■- - - " L ( a > 2)所用的最适合的方法是( ) A .综合法B.分析法C.间接证法D.合情推理法 4.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( ) A .有两个内角是钝角 B .有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角 5?已知2、仁2, 22X 1X 3=3X 4, 2、1 X 3X 5=4X 5X 6,…,以此类推,第 5个等式为( ) 4 5 A . 2 X 1 X 3X 5 X 7=5X 6 X 7X 8 B . 2 X 1 X 3 X 5 X 7X 9=5X 6X 7 X 8X 9 4 5 C. 24 X 1 X 3X 5X 7X 9=6X 7X 8X 9X 10 D. 25 X 1 X 3X 5X 7X 9=6X 7X 8X 9X 10 6.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是 () ① y=cosx ( x € R )是三角函数; ② 三角函数是周期函数; ③ y=cosx ( x € R )是周期函数. A .①②③ B .②①③ C.②③① D.③②① 3 7.演绎推理“因为f '(X o ) 0时,X 。是f (x )的极值点.而对于函数f (x ) X,f'(0) 0.所以0是函 数f (x ) X’的极值点.”所得结论错误的原因是 A.大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 大前提和小前提都错误 8.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) B. 由平面三角形的性质,推测空间四面体性质; C. 两条直线平行,同旁内角互补,如果 A 和 B 是两条平行直线的同旁内 角,则 31 1,3n A .在数列3 n 中 -)(n a n 1 2) ,由此归纳数列 3n 的通项公式;
高考数学:专题三 第三讲 推理与证明配套限时规范训练
第三讲 推理与证明 (推荐时间:50分钟) 一、选择题 1.下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项 公式为 ( ) A .a n =3 n -1 B .a n =3n C .a n =3n -2n D .a n =3n -1+2n -3 2.已知22-4+66-4=2,55-4+33-4=2,77-4+11-4=2,1010-4+-2 -2-4 =2,依照以上各 式的规律,得到一般性的等式为 ( ) A.n n -4+8-n 8-n -4 =2 B.n +1n +1-4+n +1+5n +1-4=2 C.n n -4+n +4n +1-4 =2 D.n +1n +1-4+n +5n +5-4 =2 3. “因为指数函数y =a x 是增函数(大前提),而y = ??? ?13x 是指数函数(小前提),所以函数y = ??? ?13x 是增函数(结论)”,上面推理的错误在于 ( ) A .大前提错误导致结论错 B .小前提错误导致结论错 C .推理形式错误导致结论错 D .大前提和小前提错误导致结论错 4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn =nm ”类比得到“a ·b =b ·a ”; ②“(m +n )t =mt +nt ”类比得到“(a +b )·c =a ·c +b ·c ”; ③“(m ·n )t =m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c =a ·(b ·c )”; ④“t ≠0,mt =xt ?m =x ”类比得到“p ≠0,a ·p =x ·p ?a =x ”; ⑤“|m ·n |=|m |·|n |”类比得到“|a ·b |=|a |·|b |”; ⑥“ac bc =a b ”类比得到“a ·c b ·c =a b ”. 以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 5.已知定义在R 上的函数f (x ),g (x )满足f x g x =a x ,且f ′(x )g (x )苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1
高考中的类比推理 大数学家波利亚说过:“类比是某种类型的相似性,是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉,是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π,周长r r C ?=π2)(,若将r 看作),0(+∞上的变量,则r r ?=?ππ2)'(2, ①,①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球,若将R 看作),0(+∞上的变量,请你写出类似于①的式子:_________________,②,②式可用语言叙述为___________. 解:由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式,类似写出恰好成立, ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案:①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评:主要考查类比意识考查学生分散思维,注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列{a n }中,若a 10=0,则有等式a 1+a 2+……+a n =a 1+a 2+……+a 19-n (n <19,n ∈N *)成立。类比上述性质,相应地:在等比数列{b n }中,若b 9=1,则有等式 成立。 分析:这是由一类事物(等差数列)到与其相似的一类事物(等比数列)间的类比。在等差数列{a n }前19项中,其中间一项a 10=0,则a 1+a 19= a 2+a 18=……= a n +a 20-n = a n +1+a 19-n =2a 10=0,所以a 1+a 2+……+a n +……+a 19=0,即a 1+a 2+……+a n =-a 19-a 18-…-a n +1,又∵a 1=-a 19, a 2=-a 18,…,a 19-n =-a n +1,∴ a 1+a 2+……+a n =-a 19-a 18-…-a n +1= a 1+a 2+…+a 19-n 。相似地,在等比数列{b n }的前17项中,b 9=1为其中间项,则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17-n (n <17,n ∈N * )。 例3 在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直,则AB 2+AC 2= BC 2。”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得到的正确结论是:“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直,则 ________________”。 分析:这是由低维(平面)到高维(空间)之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中(当然必须经过论证其正确性),像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中,则有S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是,勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中,过A 作AH ⊥BC 于H ,则由AB 2=BH ·BC ,AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2+AC 2=BC 2;在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中,过A 作AH ⊥平面BCD 于H ,类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ,S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ,S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2= S △BCD 2。
选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)
《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一.选择题(共50分) 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A .在数列{a n }中,a 1=1,a n =12(a n -1+1 an -1 )(n ≥2),由此归纳出{a n }的通项公式 B .某校高三(1)班有55人,高三(2)班有54人,高三(3)班有52人,由此得出高三所有班人数超过50人 C .由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 D .两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A ,∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,则∠A +∠B =180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实:|x |+|y |=1的不同整数解(x ,y )的个数为4,|x |+|y | =2的不同整数解(x ,y )的个数为8,|x |+|y |=3的不同整数解(x ,y )的个数为12,…,则|x |+|y |=20的不同整数解(x ,y )的个数为( ) A .76 B .80 C .86 D .92 3. 观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72012的末两位数字为( ) A .01 B .43 C .07 D .49 4. 以下不等式(其中..0a b >>)正确的个数是( ) 1> ② ③lg 2>A .0 B .1 C .2 D .3 5.如图,椭圆的中心在坐标原点, F 为左焦点,当AB FB ⊥时,有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ,从而得其离心率为 ,此类椭圆称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推出“黄金双曲线”的离心率为( ) A . 12 B .12+ C 6.如图,在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有( )颗珠宝。 第2件 第3件 第1件
推理与证明测试题
推理与证明测试题 The manuscript was revised on the evening of 2021
推理与证明测试题 一、单选题 1.数列{}n a 的前n 项和()22n n S n a n =?≥,而11a =,通过计算234,,,a a a 猜想n a = ( ) A. ()22 1n + B. ()21n n + C. 221n - D. 221 n - 2.按数列的排列规律猜想数列2468,,,3579 --的第2017项是( ) A. 20172018- B. 20172018 C. 40344035 D. 40344035 - 3.下列说法正确的是( ) A. 类比推理,归纳推理,演绎推理都是合情推理 B. 合情推理得到的结论一定是正确的 C. 合情推理得到的结论不一定正确 D. 归纳推理得到的结论一定是正确的 4.数列25112047x ,,,,,,…中的x 等于( ) A.28 B.32 C.33 D. 27 5.给出如下“三段论”的推理过程: 因为对数函数log a y x =(0a >且1a ≠)是增函数,……大前提 而12 log y x =是对数函数,……小前提 所以12 log y x =是增函数,………………结论 则下列说法正确的是( ) A. 推理形成错误 B. 大前提错误 C. 小前提错误 D. 大前提和小前提都错误 6.“ab C. a=b D. a≥b 7.证明不等式最适合的方法是( ) A. 综合法 B. 分析法 C. 反证法 D. 数学归纳法
8.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程()200ax bx x a ++=≠有有理根,那么a , b , c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是( ) A. 假设a , b , c 都是偶数 B. 假设a , b , c 都不是偶数 C. 假设a , b , c 至少有一个是偶数 D. 假设a , b , c 至多有两个是偶数 9.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,只有其中一位获奖.有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10.设Q 表示要证明的结论, P 表示一个明显成立的条件,那么下列流程图表示的证明方法是( ) A. 综合法 B. 分析法 C. 反证法 D. 比较法 二、填空题 11..甲、乙、丙三名同学只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时,回答如下. 甲说:丙没有考满分;乙说:是我考的;丙说:甲说的是真话. 事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是 . 12.正弦函数是奇函数,f (x )=sin(x 2+1)是正弦函数,因此f (x )=sin(x 2+1)是奇函数,以上推理中“三段论”中的__________是错误的. 13.若不等式2b a a b +>成立,则a 与b 满足的条件是______________. 14.用反证法证明“若x 2-1=0,则x =-1或x =1”时,应假设________. 三、解答题 15.在数列{}n a 中,11a =,122n n n a a a +=+,n *∈N ,试猜想这个数列的通项公式. 16.(1)设实数a,b,c 成等比数列,非零实数x,y 分别为a 与 b ,b 与 c 的等差中项,求证:a x +b y =2. (2)用分析法证明:当x ≥4 >
2019高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第3讲合情推理与演绎推理分层演练文
第3讲 合情推理与演绎推理 一、选择题 1.观察下列各式:a +b =1,a 2 +b 2 =3,a 3 +b 3 =4,a 4 +b 4 =7,a 5 +b 5 =11,…,则a 10 +b 10 =( ) A .121 B .123 C .231 D .211 解析:选B .法一:令a n =a n +b n ,则a 1=1,a 2=3,a 3=4,a 4=7,…,得a n +2=a n + a n +1,从而a 6=18,a 7=29,a 8=47,a 9=76,a 10=123. 法二:由a +b =1,a 2 +b 2 =3,得ab =-1,代入后三个等式中符合,则a 10 +b 10 =(a 5 +b 5)2 -2a 5b 5 =123. 2.某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为( ) A .21 B .34 C .52 D .55 解析:选D .因为2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第10年树的分枝数为21+34=55. 3.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个“整数对”是( ) A .(7,5) B .(5,7) C .(2,10) D .(10,2) 解析:选B .依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n +1,且第n 组共有n 个“整数对”,这样的前n 组一共有 n (n +1) 2 个“整 数对”,注意到10×(10+1)2<60<11×(11+1)2,因此第60个“整数对”处于第11组(每 个“整数对”的和为12的组)的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60个“整数对”是(5,7). 4.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =a ,CD =b (a >b ).若EF ∥AB ,EF 到CD 与AB
(整理)合情推理和演绎推理》.
第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式,它包括:(1)大前提---已知的一般原理;(2)小前提---所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系
难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<;…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2:已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真命题为 . 点拨:圆锥曲线有很多类似性质,“通径”最短是其中之一,答案可以填:过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短(22 2||a b AB ≥) 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3:定义[x]为不超过x 的最大整数,则[-2.1]= 点拨:“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++;23150sin 90sin 30sin 0 20202=++; 23165sin 105sin 45sin 020202=++;23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(1)结构的一致性,(2)观察角的“共性” [解析]猜想:2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明:左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】(1)先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循环型”(周期性) [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图
推理与证明综合测试题
一、选择题 1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件 2.结论为:n n x y +能被x y +整除,令1234n =,,,验证结论是否正确,得到此结论成立的条件可以为( ) A.n *∈N B.n *∈N 且3n ≥ C.n 为正奇数 D.n 为正偶数 3.在ABC △中,sin sin cos cos A C A C >,则ABC △一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 4.在等差数列{}n a 中,若0n a >,公差0d >,则有4637a a a a >··,类经上述性质,在等比数 列{}n b 中,若01n b q >>,,则4578b b b b ,,,的一个不等关系是( ) A.4857b b b b +>+ B.5748b b b b +>+ C.4758b b b b +>+ D.4578b b b b +>+ 5.(1)已知332p q +=,求证2p q +≤,用反证法证明时,可假设2p q +≥, (2)已知a b ∈R ,,1a b +<,求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1,即假设11x ≥,以下结论正确的是( ) A.(1)与(2)的假设都错误 B.(1)与(2)的假设都正确 C.(1)的假设正确;(2)的假设错误 D.(1)的假设错误;(2)的假设正确 6.观察式子:213122+ <,221151233++<,222111712344+++<,L ,则可归纳出式子为( ) A.22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ B.22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ C.222111211(2)23n n n n -+ +++,,∥.若 EF AB ∥,EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ,则可推算出: ma mb EF m m +=+.试用类比的方法,推想出下述问题的结果.在上面的梯形ABCD 中,延长梯形两腰AD BC ,相交于O 点,设OAB △, OCD △的面积分别为12S S ,,EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之 比为:m n ,则OEF △的面积0S 与12S S ,的关系是( ) A.120mS nS S m n +=+ B.120nS mS S m n +=+
推理与证明练习题汇编
合情推理与演绎推理 1.下列说法正确的是 ( ) A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2.下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A .“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”; B .“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”; C .“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ (c ≠0)”; D .“n n a a b =n (b )” 类推出“n n a a b +=+n (b )” 3、下面几种推理是合情推理的是( ) (1)由正三角形的性质,推测正四面体的性质; (2)由平行四边形、梯形内角和是360?,归纳出所有四边形的内角和都是360?; (3)某次考试金卫同学成绩是90分,由此推出全班同学成绩都是90分; (4)三角形内角和是180?,四边形内角和是360?,五边形内角和是540?, 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A .(1)(2) B .(1)(3) C .(1)(2)(4) D .(2)(4) 4.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→ 明文(解密).已知加密规则为:明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++, 例如,明文1,2,3,4,对应密文5,7,18,16,当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密 得到的明文为( ) A .4,6,1,7 B .7,6,1,4 C .6,4,1,7 D .1,6,4,7 5.观察以下各式:???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222, 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?,那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 ( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案,则第五 个图案中有白色地面砖( )块. A.21 B.22 C.20 D.23
高中数学-推理与证明单元测试卷
绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是() A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2.【题文】菱形的对角线相等,正方形是菱形,所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中() A .大前提错误B .小前提错误 C .推理形式错误D .结论错误 3.【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A .各正三角形内一点 B .各正三角形的某高线上的点 C .各正三角形的中心 D .各正三角形外的某点 4.71115>,只需证() A .22)511()17(->- B .22)511()17(+>+ C .22)111()57(+>+ D .22)111()57(->-
5.【题文】命题“对于任意角θ,θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-.”该过程应用了() A .分析法 B .综合法 C .间接证明法 D .反证法 6.【题文】观察式子:232112<+,353121122<++,47 4131211222<+++,…,可归纳出式子为() A .121 1 3121 1222-< + +++ n n B .121 1 3121 12 22 +< ++++n n C .n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D .1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7.【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?,由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是() A .πa 2?B .πb 2?C .πab ? D .π()ab 2 8.【题文】分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a >b >c ,且a +b +c =0<”索的因应是() A .a -b >0 B .a -c >0 C .(a -b )(a -c )>0 D .(a -b )(a -c )<0 9.【题文】对于数25,规定第1次操作为3325133+=,第2次操作为 3313+3355+=,如此反复操作,则第2017次操作后得到的数是() A.25 B.250 C.55 D.133
人教A版数学高二选修1-2单元测试第二章推理与证明2
阶段质量检测(二) (时间:120分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.有一段“三段论”,推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点.因为f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0,所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中() A.小前提错误B.大前提错误 C.推理形式错误D.结论正确 2.观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想第n(n∈N*)个等式应为() A.9(n+1)+n=10n+9 B.9(n-1)+n=10n-9 C.9n+(n-1)=10n-1 D.9(n-1)+(n-1)=10n-10 3.观察下面图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为() A.■B.△C.□D.○ 4.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面() A.各正三角形内任一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点 5.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=() A.28 B.76 C.123 D.199 6.已知c>1,a=c+1-c,b=c-c-1,则正确的结论是() A.a>b B.a
7.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示: 按照上面的规律,第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A .6n -2 B .8n -2 C .6n +2 D .8n +2 8.已知a n =????13n ,把数列{a n }的各项排成如下的三角形: 记A (s ,t )表示第s 行的第t 个数,则A (11,12)等于( ) A.????1367 B.????1368 C.????13111 D.??? ?13112 9.已知f (x +y )=f (x )+f (y ),且f (1)=2,则f (1)+f (2)+…+f (n )不能等于( ) A .f (1)+2f (1)+…+nf (1) B .f ?? ?? n (n +1)2 C.n (n +1)2 D.n (n +1)2 f (1) 10.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},…,依此类推,则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( ) A .S n =n 2 B .S n =n 3 C .S n =n 4 D .S n =n (n +1) 11.在等差数列{a n }中,若a n >0,公差d >0,则有a 4a 6>a 3a 7,类比上述性质,在等比数列{b n }中,若b n >0,公比q >1,则b 4,b 5,b 7,b 8的一个不等关系是( ) A .b 4+b 8>b 5+b 7 B .b 4+b 8<b 5+b 7 C .b 4+b 7>b 5+b 8 D .b 4+b 7<b 5+b 8 12.数列{a n }满足a 1=12,a n +1=1-1 a n ,则a 2 016等于( ) A.1 2 B .-1 C .2 D .3 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.已知x ,y ∈R ,且x +y >2,则x ,y 中至少有一个大于1,在用反证法证明时,假
推理与证明测试题82471.docx
第四十一中学高二数学选修2-2《推理与证明测试题》 试卷满分100分,考试时间105分钟 一、 选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分. 1、 下列表述正确的是( ). ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绛推理是由一 般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ①②③;B.②③④;C.②④⑤;D.①③⑤. 2、 下面使用类比推理正确的是 ( )? A. “若a ?3 = b ?3,则a 二b”类推出“若a ?0 = b ?0,则。=/?” B. “若(a + b )c = ac + bc "类推出 “(a ? b)c = ac ? be ” C. “若(d + b )c = ac + bc” 类推出“( ^- = - + - (cHO )” c c c D. “(b ) n = a n b n v 类推出 n =a n +b ,lff 3、 有--段演绎推理是这样的:“直线平行于平而,则平行于平而内所有直线;已知直线 b 尘平而&,立线a 〒平面a,直线b 〃平面Q ,则直线b//n 线a”的结论显然是错误 的,这是因为 (') A ?人前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不人于60度”时,反设正确的是()o (A )假设三内角都不大于60度; (B )假设三内角都大于60度; (O 假设三内角至多有一个大于60度; (D )假设三内角至多有两个大于60度。 5、 在I ?进制中2004 = 4x10°+0x10'+0X 101 2+2X 103,那么在5进制中数码2004折合 成十进制为 ( ) A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004 8、用数学归纳法证明 “5 + 1)07 + 2)…(兀 + 〃)= 2“ -1-2?(2n -1) " ( n G )时, 9、已知料为止偶数,用数学归纳法证明 1 一严2 6、 利用数学归纳法证明a l+a+a 2+- + a n41= -------------------- , (aHl, nGN )”时,在验证n=l \-a 成立吋,左边应该是 ( ) (A )l (B )l+a (C )l+a+a 2 (D )l+a+a 2+a 3 7、 某个命题与正整数料有关,如果当n = k 伙wN+)时命题成立,那么可推得当n = k + \ 时命题也成立.现(2知当n = l 时该命题不成立,那么可推得 A.当n=6时该命题不成立 B. 当n=6时该命题成立 C. 当时该命题不成立 D. 当n=8时该命题成立 从“ /1 = £到n = k + \^时,左边应增添的式子是 A. 2k +1 B. 2(2£ + 1) 2k + l ( ) D. 222
高二数学选择进修2-2第二章推理与证明
高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是( ). ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A .①②③; B .②③④; C .②④⑤; D .①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 ( ). A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ (c ≠0) ” D.“n n a a b =n (b )” 类推出“n n a a b +=+n (b )” 3、 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ?/平面α,直线a ≠ ?平面α,直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的, 这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )。 (A)假设三内角都不大于60度; (B) 假设三内角都大于60度; (C) 假设三内角至多有一个大于60度; (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?,那么在5进制中数码2004折合成十进制为 ( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1+a +a 2+…+a n +1=a a n --+112 , (a ≠1,n ∈N)”时,在验证n=1 成立时,左边应该是 ( ) (A)1 (B)1+a (C)1+a +a 2 (D)1+a +a 2+a 3 7、某个命题与正整数n 有关,如果当)(+∈=N k k n 时命题成立,那么可推得当1+=k n 时