运筹
2.1《管理运筹学》考试试卷（A）
学号姓名成绩
一、（ 20 分）下述线性规划问题
Max z=-5x1+5x2+13x3
ST
-x1+x2+3x3 ≤ 20 ——①
12x1+4x2+10x3 ≤ 90 ——②
x1,x2,x3 ≥ 0
先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列条件下，最优解分别有什么变化？（ 1 ）约束条件①的右端常数由 20 变为 30 ；
（ 2 ）约束条件②的右端常数由 90 变为 70 ；
（ 3 ）目标函数中的 x3 的系数由 13 变为 8 ；
（ 4 ）增加一个约束条件③ 2x1+3x2+5x3 ≤ 50
（ 5 ）将原有约束条件②变为10x1+5x2+10x3 ≤ 100
二、（ 10 分）已知线性规划问题
Max z= 2x1+x2+5x3+6x4 对偶变量
2x1 +x3+x4 ≤ 8 y1
2x1+2x2+x3+2x4 ≤ 12 y2
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
其对偶问题的最优解为 y1*=4 ， y2*=1 ，试用对偶问题的性质，求原问题的最优解。
三、（ 10 分）某地区有三个化肥厂，除供应外地区需要外，估计每年可供应本地区的数字为：化肥厂 A —— 7 万吨， B —— 8 万吨， C —— 3 万吨。有四个产粮区需要该种化肥，需要量为：甲地区——6 万吨，乙地区——6 万吨，丙地区——3 万吨，丁地区——3 万吨。已知从各化肥厂到各产粮区的每吨化肥的运价如下表所示（单位：元 / 吨）：
根据上述资料指定一个使总的运费最小的化肥调拨方案。
四、（ 10 分）需要分配 5 人去做 5 项工作，每人做各项工作的能力评分见下表。应如何分派，才能使总的得分最大？
五、（ 10 分）用动态规划方法求解：
Max F=4x 1 2 -x 2 2 +2x 3 2 +12
3x 1 +2x 2 +x 3 =9
x1,x2,x3 ≥ 0
六、（ 10 分）公司决定使用 1000 万元开发 A 、 B 、 C 三种产品，。经预测估计开发上述三种产品的投资利润率分别为 5% ， 7% ， 10% 。由于新产品开发有一定风险，公司研究后确定了下列优先顺序目标：
第一， A 产品至少投资 300 万元；
第二，为分散投资风险，任何一种新产品的开发投资不超过投资总额的 35% ；第三，应至少留有 10% 的投资总额，以备急用；
第四，使总的投资利润最大。
试建立投资分配方案的目标规划模型。
七、（ 10 分）某店仅有一个修理工人，顾客到达过程为 Poisson 流，平均每小时 3 人，修理时间服从负指数分布，平均需 10 分钟。求：（ 1 ）店内空闲的概率；（ 2 ）有 4 个顾客的概率；（ 3 ）店内顾客的平均数；（ 4 ）等待服务的顾客的平均数；（ 5 ）平均等待修理时间。
八、某商店准备在新年前订购一批挂历批发出售，已知每售出一批（ 100 本）可获利 70 元，如果挂历在新年前不能售出，每 100 本损失 40 元。根据以往销售经验，该商店售出挂历的数量如下表所示，如果该商店对挂历只能提出一次订货，问应定几百本，使期望的获利数为最大。
九、（ 10 分）某企业要投资一种新产品，投资方案有三个： S 1 、 S 2 、 S
3 ，不同经济形势下的利润如下表所示。请用：
（ 1 ）悲观准则决策；
（ 2 ）后悔值法决策；
（ 3 ）乐观系数法（＝ 0.6 ）进行决策。
2.1A参考答案
1. 参考答案
目标函数最优值为: 100
x1=0 ，x2 = 20 ，x3= 0
（1）目标函数最优值: 117
x1=0, x2=0 ,x3=9
(2)目标函数最优值为: 90
x1 =0 ,x2 =5, x3 =5
(3)目标函数最优值为: 100
x1=0,x2=20 ,x3 = 0
(4)目标函数最优值为: 95
x1=0,x2=12.5,x3=2.5
(5)目标函数最优值为: 100
x1=0 ,x2=20 ,x3=0
2.参考答案
原问题的对偶问题是：
Min w=8 y1+12 y2
s.t. 2 y1+2 y2≥2 （1）
2 y2≥1 （2）
y1+ y2≥5 （3）
y1+ 2y2≥6 （4）
y1, y2≥0
将y1*=4，y2*=1代入对偶问题约束条件，可知（1）（2）为严格不等式，由互补松驰条件知，x1*=0，x2*=0，由，可知原问题约束为等式，所以x3*=4，x4*=4。（注：原问题有多重解）
3.参考答案
最优解如下:
起至销点
发点 1 2 3 4
-------- ----- ----- ----- -----
1 0 4 0 3
2 6 2 0 0
3 0 0 3 0
此运输问题的成本为: 89
4.参考答案
6.100000
5.参考答案：
MAXF=174
X1=0.000000
X2=0.000000
X3=9.000000
6.参考答案
设公司投资A产品X1万元，投资B产品X2万元，投资C产品X3万元，则目标规划模型为：Min P1d1-+ P2 (d2++ d3++ d4+)+ P3 d5- +P4 d6-
s.t. X1+d1- - d1+=300
X1+d2- - d2+=1000*35%
X2+d3- - d3+=1000*35%
X3+d4- - d4+=1000*35%
X1+X2+X3+d5- - d5+=1000*10%
5%X1+7%X2+10%X3+d6- - d6+=1000*10%
7.参考答案
店内空闲的概率：0 .5
有4个顾客的概率：0.0313
店内顾客的平均数：1
等待服务的顾客平均数：0.5
平均等待修理时间：0.1667
8.参考答案
k=70，h=40，k/(k+h)=0.63636，Q=3，即：应定购300本挂历，逾期利润144元。
9.参考答案
（使用悲观准则）
策略方案准则值推荐策略
********** ******** **********
1 -1
2 5 YES
3 -40
（使用后悔值准则）
策略方案准则值推荐策略
********** ******** **********
1 40
2 25 YES
3 45
（使用乐观系数准则）
E(S1)=5.6；E(S2)=17（max）；E(S3)=14；选择方案S2。
2.2《管理运筹学》考试试卷（B）
班级______ 学号______ 姓名_______ 成绩______
一、（10分）
某咨询公司，受厂商委托，对新上市的一种新产品进行消费者反映的调查。该公司采用了挨户调查的方法，委托他们调查的厂商以及该公司的市场研究专家对该调查提出下列几点要求：
（1）必须调查2000户人家；
（2）在晚上调查的户数和白天调查的户数相等；
（3）至少应调查700户有孩子的家庭；
（4）至少应调查450户无孩子的家庭。
每会见一户家庭，进行调查所需费用为
问为使总调查费用最少，应调查各类家庭的户数是多少？（只建立模型）
二、（10分）
某公司受委托，准备把120万元投资两种基金A和B，其中A基金的每单位投资额为50元，年回报率为10%，B基金的每单位投资额为100元，年回报率为4%。委托人要求在每年的年回报金额至少达到6万元的基础上要求投资风险最小。据测定每单位A基金的投资风险指数为8，每单位B基金的投资风险指数为3，投资风险指数越大表明投资风险越大。委托人要求在B基金中的投资额不少于30万元。为了使总的投资风险最小，该公司应该在基金A和基金B中各投资多少单位？这时每年的回报金额是多少？
为求该解问题，设
可以建立下面的线性规划模型
使用《管理运筹学》软件，求得计算机解如下图所示，
最优解
目标函数值 = 62000.000
变量值相差值
x1 4000.000 0.000
x2 10000.000 0.000
3
约束松驰/剩余变量对偶价格
1 0.000 0.057
2 0.000 -2.167
3 7000.000 0.000
目标系数范围
变量下限当前值上限
x1 3.750 8.000 无上限
x2 无下限 3.000 6.400
常数项范围
变量下限当前值上限
1 780000.000 1200000.000 1500000.000
2 48000.000 60000.000 102000.000
3 无下限 3000.000 10000.000
根据图回答问题：
a.最优解是什么，最小风险是多少？
b.投资的年收入是多少？
c.每个约束条件的对偶价格是多少？
d.当每单位基金A的风险指数从8降为6，而每单位基金B的风险指数从3上升为5时，用百分之一百法则能否断定，其最优解变或不变？为什么？
e.对图中的右边值范围的上、下限给予具体解释，并阐述如何使用这些信息。
三、（10分）
某造船厂根据合同从当年起连续三年末各提供五条规格型号相同的大型客货轮。已知该厂这三年内生产大型客货轮的能力及每艘客货轮的成本如下表所示。
已知加班生产时，每艘客货轮成本比正常高出10%，又知造出来的客货轮如当年不交货，每艘每积压一年所造成的积压损失为60万元。在签合同时，该厂已积压了两艘未交货的客货轮，而该厂希望在第三年末完成合同后还能储存一艘备用。问该厂应如何安排每年客货轮生产量，使在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用为最少？建立上述运输问题模型。
四、（10分）
某畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 A i(i＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：
在东区由A1，A2，A3三个点中至少选择两个；
在西区由A4，A5两个点中至少选一个；
在南区由A6，A7两个点中至少选一个；
在北区由A8，A9，A10三个点中至多选两个。
A i各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见下表（单位：万元）所示。
但投资总额不能超过820万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?建立上述问题的整数规划模型。
五、（10分）
某公司拟将某种设备4台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂。各工厂获得此设备后，预测可创造的利润如下表所示，
问这4台设备应如何分配给这3个工厂，使得所创造的总利润为最大？用动态规划求解。
六、（10分）
请确定a、b、c、d 各题的存储模型，确定各输入数据，不需计算：
a、某公司生产一种电子设备，该设备所需的一个部件由自己的分厂提供，分厂对这种部件的生产能力为6000/件，分厂每次的生产准备费为250元。公司的这种电子设备的年需求为2000台/年。装配允许滞后，滞后的费用为每台成本的40%。该部件每件成本为500元，年存贮为成本的20%。求：公司生产关于这种部件费用最小的生产批量。
b、某单位每年需要一种备件5000个，这种备件可以从市场直接购买到。设该备件的单价为16元/个，年存贮费为单价的25%。一个备件缺货一年的缺货费为单价的10%。若每组织采购一次的费用为120元。试确定一个使采购存贮费用之和为最小的采购批量。
c、一条生产线如果全部用于某型号产品时，其年生产能力为600000台。据预测对该型号产品的年需求量为250000台，并在全年内需求基本保持平衡，因此该生产线将用于多品种的轮番生产。已知在生产线上更换一种产品时，需准备结束费1350元。该产品每台成本为45元，年存贮费用为产品成本的24%，不允许发生供应短缺。求使费用最小的该产品的生产批量。
d、某企业的产品中有一外购件，年需求量为60000件，单价为35元。该外购件可在市场立即采购到，并设不允许缺货。已知每组织一次采购需720元，每件每年的存贮费为该件单价的20%。试求经济订货批量及每年最小的存贮加上采购的总费用。
七、（10分）
确定 a、b、c的排队论模型及输入数据，并写出要求解问题的符号，不计算。
a、某公用电话占有3台电话机，来打电话的人按泊松分布到达，平均每小时24人，每次通话的时间服从负指数分布平均为3分钟。求：
(1)到达时，不需要等待即可打电话的概率；
(2)平均排队人数；
(3)为打电话平均耗费的时间，
b、一个机加工车间有30台相同的机器，每台机器平均每小时需加油一次，由于工作强度是随机的，机器缺油时自动停机，停机数服从泊松分布。一个修理工完成一台机器的加油平均需要10分钟，加油时间服从负指数分布，现有3个加油工人。求：
(1)系统里平均等待和正在加油的机器数；
(2)一个机器缺油而停机等待加油的平均时间；
(3)有1个，2个加油工人空闲的概率。
c、一个私人牙科诊所只有一个医生，诊室外有三把座椅可以等待。已知每名患者的平均治疗时间为20分钟。来看病患者的到达服从泊松分布，平均每小时2人。求：
(1)系统中顾客的平均数；
(2)患者到达需要排队的概率；
(3)患者因没有等待的座位而离去的概率。
八、（10分）
某报亭出售某种报纸，每售出一百张可获利15元，如果当天不能售出，每一百张赔20元。每日售出该报纸份数的概率为，根据以往经验如下表所示。
试问报亭每日定购多少张该种报纸能使其赚钱的期望值最大？
九、（10分）
某企业要投资一种新产品，投资方案有三个：S1、S2、S3，不同经济形势下的利润如下表所示。请用：
（1）悲观准则决策；
（2）后悔值法决策；
（3）乐观系数法（＝0.5）进行决策。
十、（10分）
某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。已知各个月所需的仓库面积数字如下所示：
仓库的租借费用，当租借期限越长时，享受的折扣优惠越大，具体数字如下：
租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理，可签一份，也可同时签定若干份租用面积和租借期不同的合同。请建立求解出一个所付租借费为最小的租借方案的线性规划模型。
2.2《管理运筹学》考试试卷（B）参考答案
第一题（10分）
标准答案：
设x ij表示i时会见的j种家庭的人数
目标函数：（2分）
minZ=25x11+30x21+20x12+24x22
x11+x21+x12+x22=2000
x11+ x12=x21+ x22
x11+x21≥700
x12+x22≥450
x ij≥0（i,j=1,2）
第二题（10分）
标准答案：
a.最优解：x1=4000；x2=10000；最小风险：62000（2分）
b.年收入：6000元（2分）
c.第一个约束条件对偶价格：0.057；第二个约束条件对偶价格：-2.167；第三个约束条件
对偶价格：0（2分）
d.不能判定（2分）
e.当右边值总投资额取值在780000—1500000之间时，不改变约束条件1的对偶价格；当
右边值回报额取值在48000—102000之间时，不改变约束条件2的对偶价格；当右边值B的投资额小于10000时，不改变约束条件3的对偶价格。（2分）
第三题（10分）
标准答案：
M为一足够大的数
标准答案：
设
目标函数：（2分）
maxZ=31x1+35x2+45x3+17x4+15x5+25x6+20x7+43x8+53x9+56x10
约束条件：（8分）
110x1+130x2+160x3+90x4+80x5+100x6+90x7+150x8+170x9+190x10≤820 x1+x2+x3≥2
x4+x5≥1
x6+x7≥1
x8+x9+x10≤2
x i为0-1变量（i=1,2, (10)
第五题（10分）
标准答案：
阶段3(3分)
20(1分)
第六题（10分）
标准答案：
a.允许缺货的经济生产批量模型：D=2000台/年；d=2000台/年；p=6000台/年；C1=100
元/年；C2=200元/年；C3=250元/年(3分)
b.允许缺货的经济订购批量模型：D=5000个/年；C1=4元/年；C2=1.6元/次；C3=120元/
年(3分)
c.经济生产批量模型：D=250000台/年；p=600000台/年；d=250000台/年；C1=10.8元/年；
C3=1350元/次(2分)
d.经济订购批量模型：D=60000件/年；C1=7元/年；C3=720元/次(2分)
第七题（10分）
标准答案：
a.多服务台泊松到达服务负指数分布模型M/M/3：C=3；λ=0.4人/分钟；μ=1/3人/分钟
（1）p0+p1+p2；（2）L q；（3）W s(3分)
b.多服务台泊松到达服务负指数分布模型M/M/3：λ=30台/小时；μ=18台/小时（1）L s；
（2）W q；（3）p2, p1(3分)
c.单服务台泊松到达服务时间任意模型：λ=2人/小时；μ=3人/小时（1）L s；（2）1- p0；
（3）1-（p0+p1+p2+ p3+p4）(4分)
第八题（10分）
标准答案：
k=15；h=20；k/(k+h)=3/7；(3分)
当Q=8时：；（4分）
满足条件，所以当报亭每日购800张报纸能使其赚钱的期望最大。(3分)
第九题（10分）
标准答案：
（1）悲观准则：min(S1)=8；min(S2)=5；min(S3)=--40；max{ min(S1), min(S2), min(S3)}=8；
选择方案S1。(3分)
（2）后悔值法：(3分)
选择方案S3。
（3）乐观系数法：E(S1)=12；E(S2)=15；E(S3)=30（max）；选择方案S3。（4分）第十题（10分）
标准答案：
设x ij为第i月初办理的期限为j月的合同规定的仓库面积
目标函数：（2分）
minZ=2800(x11+x21+x31+x41)+4500((x12+x22+x32) +6000(x13+x23) +7300x14
约束条件：（8分）
x11+x12+x13+x14≥15
x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10
x13+x14+x21+x22+x23+x31+x32≥20
x14+x23+x32+x41≥12
x ij≥0（i,j=1,2,3,4）
运筹学计算题
2.10答案 解：设123,,x x x 分别为甲糖果中,,A B C 的成分；456,,x x x 分别为乙糖果中,,A B C 的成分； 789,,x x x 分别为丙糖果中,,A B C 的成分。根据题意，有： ()() ()()()()1234567891472583691123 31234 4566 456 9 789 147 max (3.400.50)(2.850.40)(2.250.30) 2.001.50 1.000.60.20.150.6s.t. 0.5200z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-?+++-?+++-?++-?++-?++-?++≥++≤++≥++≤++≤++++≤2583690250012000,1,2,,9i x x x x x x x i ? ??? ???? ??? ??? ???++≤?? ++≤??≥=?? 简化得， ()()()()() 1234 56789 112331234 45664569789147258369max 0.9 1.4 1.90.450.95 1.450.050.450.950.60.20.150.60.5s.t. 2000250012000,1,2,,9i z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i =+++++-++≥++?? ≤++?≥++≤++≤++?++≤++≤++≤≥= ????? ?? ??? ??? 5.3答案
运筹学概念整理
运筹学概念整理 名解5、简答4、建模与模型转换2、计算5~6 第1章线性规划与单纯形法(计算、建模:图解法) 线性规划涉及的两个方面：使利润最大化或成本最小化 线性规划问题的数学模型包含的三要素： 一组决策变量：是模型中需要首确定的未知量。 一个目标函数：是关于决策变量的最优函数，max或min。 一组约束条件：是模型中决策变量受到的约束限制，包括两个部分：不等式或等式；非负取值（实际问题）。 线性规划问题(数学模型)的特点：目标函数和约束条件都是线性的。 1.解决的问题是规划问题； 2解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； 3解决问题的约束条件是多个决策变量的线性不等式或等式。 图解法利用几何图形求解两个变量线性规划问题的方法。 求解步骤：第一步：建立平面直角坐标系； 第二步：根据约束条件画出可行域； 第三步：在可行域内平移目标函数等值线，确定最优解及最优目标函数值。 LP问题的解：（原因） 唯一最优解、无穷多最优解（有2个最优解，则一定是有无穷多最优解） 无界解（缺少必要的约束条件）、无可行解（约束条件互相矛盾，可行域为空集） 标准形式的LP模型特点：目标函数为求最大值、约束条件全部为等式、约束条件右端常数项bi全部为非负值，决策变量xj的取值为非负 ●线性规划模型标准化（模型转化） (1) “决策变量非负”。若某决策变量x k为“取值无约束”(无符号限制)，令：x k= x’k–x”k，(x’k≥0, x”k≥0) 。 (2) “目标函数求最大值”。如果极小化原问题minZ = CX，则令Z’ = – Z，转为求maxZ’ = –CX 。注意：求解后还原。 (3) “约束条件为等式”。对于“≤”型约束，则在“≤”左端加上一个非负松弛变量，使其为等式。对于“≥”型约束，则在“≥”左端减去一个非负剩余变量，使其为等式。(4) “资源限量非负”。若某个bi < 0，则将该约束两端同乘“–1” ，以满足非负性的要求。基假设线性规划问题模型系数矩阵为m行、n列，则系数矩阵中秩为m的m行m列子矩阵，称为基矩阵，简称为基 可行解：满足约束条件AX=b和X≥0的解。 基(本)解：在某一确定的基中，令所有非基变量等于零，解得的唯一解。 基(本)可行解：满足X≥0的基解。 可行基：基可行解对应的基矩阵。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 最优解判别定理：在单纯形表中，若所有非基变量的检验数小于零，且B-1b均为非负，则线性规划问题具有唯一最优解。 无穷多最优解判别定理：在单纯形表中，若所有非基变量的检验数小于等于零，且B-1b均为非负，其中某个检验数等于零，则线性规划问题具有无穷多最优解(多重最优解)。 无界解判定定理：在单纯形表中，若某个检验数σk 大于零，且xk对应列向量的元素均为非正，导致出基变量无法确定，则线性规划问题具有无界解
运筹学典型考试试题及答案
二、计算题（60分） 1、已知线性规划（20分） MaxZ=3X1+4X2 X1+X2≤5 2X1+4X2≤12 3X1+2X2≤8 X1,X2≥0 其最优解为： 基变量X1X2X3X4X5 X33/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X25/2 0 1 0 3/8 -1/4 X1 1 1 0 0 -1/4 1/2 σj 0 0 0 -3/4 -1/2 1）写出该线性规划的对偶问题。 2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？ 3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？ 4）如果增加一种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解： 1)对偶问题为 Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3≥3 y1+4y2+2y3≥4 y1,y2≥0 2)当C2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4 由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。 3）当若b2的量从12上升到15 X＝9/8 29/8 1/4 由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P6’=(11/8,7/8，－1/4)T σ6=3/8>0 所以对最优解有影响,该种产品应该生产 2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共15分）。 B1B2B3产量销地 产地 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 11 A3 6 2 8 20 销量18 12 16 解：初始解为
计算检验数 由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为： 重新计算检验数 所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解 3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： （15分） 项目 投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 答最优解为： X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费用为50 4. 考虑如下线性规划问题（24分） B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 18 1 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 －2 0 0 11 A 3 0 0 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 0 2 2 11 A 3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16
运筹学复习重点
运筹学复习重点 第1章线性规划与单纯形法 （1）化线形规划标准形的手法 （2）线性规划解的概念、解的情形、解的判定 （3）单纯形法的计算过程、迭代逻辑。 （4）熟练运用单纯形表求解问题；若给出单纯形表，要会解读，会基于单纯形法基本原理反推出表中一些参数。 （5）两阶段法、大M法 第2章对偶理论和灵敏度分析 （1）会写对偶问题，掌握对偶性质，原问题与对偶问题之间的关系。 （2）互补松弛定理的应用：知道一个问题的最优解，求另一个问题的最优解。（3）对偶单纯形法 （4）当目标函数系数和右端项变化时灵敏度分析的简便方法 第3章目标规划 （1）根据问题的特征和对多个目标的追求，通过引入偏离量，正确构建所需的目标规划数学模型 （2）会用图解法求目标规划的最优解或满意解 第4章整数规划 （1）分支定界法：如何构造分支子问题，如何更新目标函数最优值上下界，何时终止。 （2）割平面法：如何写对源约束方程；如何拆分、组装割平面方程；如何利用对偶单纯形法继续求解。 第5章无约束优化 （1）凸函数与凸规划的定义与判别 （2）一维搜索的0.618法基本原理和迭代过程 （3）无约束优化的最速下降法的基本原理、迭代过程 第6章约束极值优化 （1）可行下降方向的含义、满足什么代数条件、几何意义 （2）正确写出Kuhn-Tucker条件，理解K-T条件与最优解的关系 （3）利用Kuhn-Tucker条件，求出K-T点和最优解。
（4）外点法和内点法的基本原理、无约束优化目标函数的一般构造手法 第7章动态规划 （1）动态规划的基本原理和基本方程 （2）动态规划的逆推解法 （3）动态规划求静态规划问题的套路 第8章图与网络优化 （1）图的基本概念、树的基本性质、最小支撑树的求法 （2）求最短路的Dijkstra算法 （3）增广链的概念、用途，求网络最大流的标号法 第9章网络计划 （1）遵循网络计划图的绘制规则，正确画出网络计划图。 （2）会计算网络计划的各种时间参数，确定关键线路 （3）不同目标下网络计划优化的方法 第10章排队论 （1）排队系统基本性能指标的含义、关系 （2）泊松流与负指数分布的关系，排队系统中基本参数λ和μ含义的多维解读。（3）系统状态概率Pn的含义、它在推导系统基本性能指标中的基础地位，推导它自身所依据的状态转移图。 （4）标准M/M/1模型的系统状态概率、基本性能指标的表达式。 第11章对策论 （1）矩阵对策中鞍点、最优纯策略、对策的值 （2）矩阵对策的混合策略和图解法 （3）矩阵对策局中人各自对应的线性规划问题之间的关系（理解互补松弛定理在对策论中的应用） 第12章决策论 （1）风险决策的EMV准则，EOL准则，二者之间的关系 （2）多级风险决策的图形工具：决策树，以及基于决策树的EMV决策套路（3）会利用决策树计算抽样信息的期望价值、完全信息的期望价值 题型：计算题和证明题。计算量不大，不必带计算器，可带尺子画图。
运筹学与数据分析技术
《运筹学与数据分析技术》 课程设计报告
目录 (2) 1.课程设计的目的和意义 (3) 2.选题简介 (3) 3.解题过程 (4) 3.1 输入Excel (4) 3.2 使用Excel规划求解 (4) 4.结果 (5) 5.心得体会 (5) 附录：参考资料 (5)
1.课程设计的目的和意义 课程设计：不同的定义反映了不同的课程研究取向。不同的关于课程设计的定义大致可分为两类：一类是技术取向的，如普拉特（Pratt）认为：课程设计是课程工作者从事的一切活动，这包含他对达成课程目标所需的因素、技术和程序，进行构想、计划、选择的慎思过程（黄政杰，1991，85页）；另一类则为理性主义取向，如有学者认为课程设计是指教育科研机构的专家学者对课程的研究并拟订出课程学习方案，为决策部门服务，拟订教育 教学的目的任务，确定选材范围和教学科目，编写教材等都属于课程设计活动。 运筹学课程设计目的和意义是培养学生综合运用所学知识,发现,提出,分析和解决实际问题,锻炼实践能力的重要环节,是对学生实际工作能力的具体训练和考察过程。增强学生解决实际运筹学问题的能力，巩固、拓展和深化学生所学的基础理论、专业理论和知识，使学生初步建立正确的设计思想和方法，进一步提高运算、计算机应用技能和综合分析、解决问题的能力。 2. 选题简介
3.解题过程 3.1输入Excel 3．2使用Excel规划求解 选择Excel求解方法：单纯线性规划 规划求解参数
4.结果 5.心得体会 回顾起此次课程设计，感慨颇多，从理论到实践，在两个周的日子里，我学到很多的东西，使我的动手能力更强了。不仅巩固了以前所学过的知识，而且学到了很多在书本上所没有学到过的内容。通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才是真正的知识，才能提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。在设计的过程遇到了各种各样的问题，同时在设计的过程中发现了自己的不足之处，对以前所学过的知识理解得不够深刻，掌握得不够牢固，通过这次课程设计，把以前所学过的知识重新温故，巩固了所学的知识。 附录：参考资料 1.《运筹学——方法与应用》，河海大学出版社，2009 2.《运筹学在MATLAB和Excel中的应用》，清华大学出版社，2011
运筹学 练习题
案例1，原始问题： 某公司现有三条生产线，由于原有产品出现销售量下降的情况，管理部门决定调整公司的产品线，停产不赢利的产品以释放产能来生产两种新产品。其中，生产甲产品要占用生产线1和生产线3的部分产能，产品乙需要占用生产线2和3的部分产能。管理部门需要考虑下列问题： 1、公司是否应该生产这两种产品 2、若生产，则两种产品的数量如何确定 数据： 运筹小组与管理部门研究后去顶，两种产品的数量如何确定以使产品的总利润最大 因此，需要如下的信息： 1、每条生产线的可得生产能力是多少 2、生产每一单位产品需要每条生产线多少生产能力 3、每种产品的单位利润是多少 生产部门和财务部门经过分析，提出如下数据： 模型： 1、要做出什么决策（决策变量） 2、做出的决策会有哪些条件限制（约束条件） 3、这些决策的全部评价标准是什么（目标函数）
max z=3x1+5x2 st. x1<=4 2x2<=12 3x1+2x2<=18 x1,x2>=0 决策： x1=2,x2=6, z=3600 生产时间信息： 按模型所确定的生产方案需要生产线2和3的所有时间，只有生产线1有2小时的剩余。 1、用单纯形表求解以下线性规划问题 （1）max z=x1-2x2+x3 .x1+x2+x3≤12 2x1+x2-x3≤6 -x1+3x2≤9 x1,x2,x3≥0 解：标准化，将目标函数转变成极小化，引进松弛变量x4,x5,x60,得到：z’ min -x1+2x2-x3 = .x1+x2+x3+x4=12 2x1+x2-x3+x5= 6 -x1+3x2+x6= 9 x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
运筹学基础复习要点
《运筹学基础》复习要点 一、基本概念与理论 1．任意多个凸集的交集还是凸集。 2．任意多个凸集的并集不一定是凸集 3．给定1R b ∈及非零向量n R a ∈，称集合}|{b x a R x H T n =∈=是n R 的一个超平面。 4．由超平面}|{b x a R x H T n =∈=的两个半平面 }|{b x a R x H T n ≥∈=+和}|{1b x a R x H T n ≤∈= 都是凸集。 5．设S 是凸集，S x ∈。若对任何z y S z S y ≠∈∈,,，以及任何10<<λ，都有 z y x )1(λλ-+≠，则称x 为S 的顶点。 6．如果一个LP 问题无界，则它的对偶问题必无可行解。 7．设w x ,分别为原始LP 问题、对偶问题的可行解，若b w x c T T =，则原始LP 问题、对偶问题的最优解分别为w x ,。 8.可行解x 是基本可行解的充分必要条件是x 的正分量，所对应的A 中列向量线性无关。 9.写出LP 问题的对偶问题 0..min ≥≥?????x b Ax x c t s T 的对偶问题是： 0..min ≥≤?????w c w A w b t s T T 10．设一个标准形式的LP 问题的基为B ，右端向量为b ，则对应的基本解是??? ? ??=-01b B x 。 11．线性规划问题的可行域是凸集。 12．设线性规划问题LP 为 0..min ≥=?? ? ??x b Ax t s x c T B 为一个基，对应的典式为 0..min 111≥=+?? ? ? ?-=---x b B Nx B x t s x b B c z N B T T B ζ 其中),0(1T N T B T c N B c -=-ζ 。
运筹学考试练习题(天津大学)
07级工管运筹学期末习题课 一、考虑线性规划问题（P ）max 0 z CX AX b X ==?? ≥? （1） 若12,X X 均为（P ）的可行解，[0,1]λ∈，证明12(1)X X λλ+-也是（P ） 的可行解； （2） 写出（P ）的对偶模型（仍用矩阵式表示）。 二、有三个线性规划： (Ⅰ) [Min] z =CX (Ⅱ) [Min] z =CX (Ⅲ) [Min] z =CX 约束条件AX =b 约束条件AX =b 约束条件AX =b X 0 X 0 X 0 已知 X 是(Ⅰ)的最优解，X 是(Ⅱ)的最优解，X *是(Ⅲ)的最优解，Y 是(Ⅰ)的对偶问题的最优解， 试证：（1）()()'-'-≤**C C X X 0； (2) C X X Y b b ()()***-≤-。 三、已知线性规划问题 ?? ? ??=≥+=++++=++++++++=)5,,1(03.00)(max 2 253232221212 143132121115 43322111Λj x t b x x a x a x a t b x x a x a x a st x x x c x c x t c z j 当1t ＝2t ＝0时，用单纯形法求得最终表如下： 要求：1. 确定23222113121121321,,,,,,,,,,a a a a a a b b c c c 的值； 2. 当2t ＝0时，1t 在什么范围内变化上述最优解不变； 3. 当1t ＝0时，2t 在什么范围内变化上述最优基不变。 1x 2x 3x 4x 5x 3x 5/2 0 1/2 1 1/2 0 1x 5/2 1 -1/2 0 -1/6 1/3 j j z c - -4 -4 -2
运筹学期末复习及答案
运筹学概念部分 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束（subjectto 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 19．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量B．销售价格C．顾客的需求 D．竞争价格 20．我们可以通过（ C）来验证模型最优解。 A．观察B．应用C．实验D．调查 21．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境B．数据分析C．模型设计D．模型实施 22.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B ） A数量B变量C约束条件 D 目标函数 23.模型中要求变量取值（ D ） A可正 B可负 C非正 D非负 24.运筹学研究和解决问题的效果具有（A ） A 连续性 B整体性C 阶段性D再生性
运筹学定义
1.运筹学定义：用数学的方法研究各问题的变化。 2.线性规划：数学模型的目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不 等式，故此模型称之为线性规划 3.可行解：把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。 4.最优解：把目标函数值最大（即利润最大）的可行解称为该线性规划的最优解。 5.最优值：在最优解条件下的目标函数值为最优目标函数值，简称最优值。 6.松弛量：在线性规划中，一个“≤”约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量 7.松弛变量：为了把一个线性规划标准化，需要有代表没使用的资源或能力的变量，诚挚 为松弛变量。 8.标准化: 把所有约束条件都写成等式，称为线性规划模型的标准化。所得结果称为线性 规划的标准形式。 9.剩余变量：对于“≥”约束条件，可以增加一些代表最低限约束的超过量，称之为剩余 变量。 10.灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数Ci,Gij,bj的 变化对最优解产生的影响。 11.对偶价格：在约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量称之 为这个约束条件的对偶价格 12.单纯形法的基本思路：一，找出一个初始基本可行解二，最优性检验三，基变换 13.线性规划的基本解：由线性规划的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一 个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一的解，这个解称之为线性规划的基本解。 14.基本可行解：一个基本解可以是可行解，也可以是非可行解，他们之间的主要区别在于 其所有变量的解是否满足非负的条件，我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行解，并把这样的基叫做可行基。 15.初始可行基：在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或由单位矩阵的各列向量 所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行解。 16.最优性检验：判断已求得的基本可行解是否是最优解。 17.最优性检验的依据-----检验数σj:目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数， 把变量xi的检验数记为σi,显然所有基变量的检验数必为零。 18.最优解判别定理：在求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如果所有检验数 σj≤0,则这个基本可行解是最优解，这就是最优解判别定理。 19.确定基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数除其所在约束方程 中的常数项的值，把其中最小比值所在的约束方程中的原基变量确定为出基变量。这样在下一步迭代的矩阵中可以确保新得到的bj值都大于等于零。 20.大M法:像这样，为了构造初始可行基得到初始可行解，把人工变量“强行”地加到原 来的约束方程中去，又为了尽力地把人工变量从基变量中替换出来，就令人工变量在求最大值的目标函数里的系数为-M的方法叫做大M法，M叫做罚因子。 21.几种特殊情况：一，无可行解，二，无界解，三，无穷多最优解，四，退化问题。 22.一般的运输问题：就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地 的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总得运输费用最小的方案的问题。 23.纯整数规划问题：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则称之为纯整数规划 问题。 24.混合整数规划问题：如果只有一部分变量为非负整数，则称之为混合整数规划问题
运筹学的未来发展
管理咨询Management 运筹学的未来发展 Ｌｅｅ Ｗ． Ｓｃｈｒｕｂｅｎ教授是加州大学伯克利分校工业管理与运筹学机构的前主席，也是世界知名的仿真理论与实践方面的权威。他为众多高科技、生物科技、银行及汽车制造公司提供过咨询。以下是他接受ＢＮＥＴ关于未来运筹学以及行业人士面临哪些挑战的专访。 ＢＮＥＴ：运筹学目前在实践中最大的未解问题是什么？ Ｓｃｈｒｕｂｅｎ：我们不得不意识到，我们实际在做的是一种预测工作。我们试图为未来将要发生的事情进行模拟。现实当中最大的挑战是，如何避免建立在静态假设基础上的模拟，开发出能够实时响应现实世界的预测性模型。 ＢＮＥＴ：你说的静态假设是什么意思？ Ｓｃｈｒｕｂｅｎ：实际上，我们在当时认为合理的假设基础上搜集数据，建立一种模拟，当这些假设正确时，事情才会发生。大部分模拟假定输入的数据是独立且均匀分布（Ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ａｎｄＩｄｅｎｔｉｃａｌ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ，ｉ．ｉ．ｄ）的，但这几乎不可能。ＩＩＤ数据认为世界当中的事件不依赖于彼此，它们发生的可能性不会随着时间的变化而变化，但在商业当中，事情是不断发生变化的。 ＢＮＥＴ：那么通向运筹学建模的正确道路是什么？ Ｓｃｈｒｕｂｅｎ：我们必须结合预测与风险分析来进行运筹学建模。我们必须结合动态市场信息预测来建模。仿真是完成这一工作的手段，因为仿真能够应 对这类动态复杂性，而大部分运筹学模 拟倾向于优化静态模型。 ＢＮＥＴ：你认为这样的说法准确 吗？即运筹学更多的是一种理论性的活 动，而不是实际的商业问题解决方案。或 者换种问法，目前实际的运筹学技术可 以定义更多因素吗？ Ｓｃｈｒｕｂｅｎ：有许多理论性的运筹 学已经败坏了这一领域的声誉。大部分 来自对这一学科的纸上谈兵，它们中的 很多理论都是明显错误的。一些理论的 名词含混，让人糊涂。因此，搞理论的家 伙容易败坏这一领域的声誉。不过企业 当中的实际运筹学应用却是具有说服力 的。无疑，实践中的运筹学已经对业务产 生了巨大影响。 ＢＮＥＴ：你认为套装商业分析程序， 象ＳＡＰ或甲骨文公司的ＥＲＰ方案在多大 程度上帮助，或阻碍了运筹学在商业实 践活动中的进步？ Ｓｃｈｒｕｂｅｎ：为了竞争，软件公司 不得不说，我们的软件可以解决全部的 问题，实际上这是不可能的。从这种角度 上来说，套装或内嵌式解决方案可能正 在妨碍运筹学的开展。大量商业运筹学 技术已经２０多年历史了。创新主要来自 学术研究者，不幸的是，很多这些软件公 司不欢迎学术界的介入。在理想的世界 中，双方应该进行更多的合作。 ＢＮＥＴ：你认为企业当中的运筹学 在未来１０年会扮演怎样的角色？ Ｓｃｈｒｕｂｅｎ：我希望企业管理者们 会更熟悉，更了解分析学以及运筹学。我 看到新的工商管理学课程正在加大对商 业分析的关注度。工商管理学硕士们需 要能够学会分析性思维。学习实际的分 析技术不会太难，但培养分析性思考，如 何提问，成为聪明的软件消费者很重要。 软件厂商需要说，我们无法跟上ＭＢＡ们 的步伐了。 相关文章的英文地址链接 ｈｔｔｐ：／／ ｗｗｗ．ｂｎｅｔ．ｃｏｍ／２４０３－１３２４１＿２３－１８８１３３． ｈｔｍｌ ４４ 每周电脑报２００８．０５．１９
运筹学经典案例
案例一：鲍德西（（B AWDSEY）雷达站的研究 20世纪30年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。以希特勒为首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争准备。欧洲上空战云密布。英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为英德之战不可避免，而且已日益临近。他在自己的权力范围内作着迎战德国的准备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。 1935年，英国科学家沃森—瓦特（R．Watson-Wart）发明了雷达。丘吉尔敏锐地认识到它的重要意义，并下令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密的雷达站。 当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到达英国。在如此短的时间内，如何预警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。雷达技术帮助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160公里之外的飞机，但空防中仍有许多漏洞，1939年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学顾问、战后获诺贝尔奖金的为首，组织了一个小组，代号为“Blachett马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。 这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。研究的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。二战史专家评论说，如果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。“Blackett马戏团” 是世界上第一个运筹学小组。在他们就此项研究所写的秘密报告中，使用了 “Operational Research”一词，意指作战研究”或“运用研究”。就是我们所说的运筹学。Bawdseg雷达站的研究是运筹学的发祥与典范。项目的巨大实际价值、明确的目标、整体化的思想、数量化的分析、多学科的协同、最优化的结果，以及简明朴素的表述，都展示了运筹学的本色与特色，使人难以忘怀。
《运筹学》综合练习题
《 运筹学》综合练习题 第一章 线性规划及单纯形法 1、教材43页——44页1.1题 2、教材44页1.4题 3、教材45页1.8题 4、教材46页1.13题 5、教材46页1.14题 6、补充：判断下述说法是否正确 ● LP 问题的可行域是凸集。 ● LP 问题的基本可行解对应可行域的顶点。 ● LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。 ● 若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解. ● 求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令 "-'=j j j x x x ,其中∶ ≥"' j j x x ,在用单纯形法求得的最优解中,不可能同时出现 "' j j x x . ● 当用两阶段法求解带有大M 的LP 模型时，若第一阶段的最优目标函数值为零，则可 断言原LP 模型一定有最优解。 7、补充：建立模型 （1）某采油区已建有n 个计量站B 1，B 2…B n ，各站目前尚未被利用的能力为b 1，b 2…b n （吨液量/日）。为适应油田开发的需要，规划在该油区打m 口调整井A 1，A 2…A m ，且这些井的位置已经确定。根据预测，调整井的产量分别为a 1，a 2…a m （吨液量/日）。考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。按规划要求，每口井只能属于一个计量站。假定A i 到B j 的距离d ij 已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。 （2）靠近某河流有两个化工厂(见附图)，流经第一个工厂的河流流量是每天500万立方米；在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。第一个工厂每天排放工业污水2万立方米；第二个工厂每天排放工业污水1.4万立方米 。从第一个工厂排出的污水流到第二个工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于0.2%，若这两个工厂都各自处理一部分污水，第一个工厂的处理成本是1000元/万立方米，第二个工厂的处理成本是800元
运筹学习题(N)
第一章 线性规划习题 1. 将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。 1) min Z ＝－3x 1＋4x 2－2x 3＋5x 4 s.t.???????≥≥+-+-≤-++-=-+-. ,0,,22321432244321432143214321无约束x x x x x x x x x x x x x x x x 2) max S ＝z x ／p k s.t.???? ????? ==≥=-=-=∑∑∑===).,...,2,1;,...,2,1(0),,...,2,1(1, 1 11 m k n i x n i x x a z ik m k ik n i m k ik ik k 2. 分别用单纯法中的大M 法和两阶段法求解下述线性规划问题： min Z ＝2x 1＋3x 2＋x 3 s.t.??? ??≥≥+≥++.0,,,623, 8243 212 1321x x x x x x x x 并指出该问题的解属哪一类解。 3. 【表1-6】是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。表中无人工变量， a 1, a 2, a 3, d , c 1, c 2为待定常数。试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。 1) 表中解为唯一最优解； 2) 表中解为最优解，但存在无穷多最优解； 3) 该线性规划问题具有无界解； 4) 表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为x 1，换出变量为x 6。 表1-6 4. 某饲料厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的饲料甲、乙、丙。已知各 种牌号饲料中A 、B 、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号的饲料的单位加工费及售价如【表1-7】所示。 表1-7
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？ 3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2． 线性规划的可行解集是凸集。 3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ对应的变量都可以被选作换入变量。 8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1． 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：
运筹学概念
?运筹学：Operational Research，是一门应用科学。从实际出发解决实际问题的方法。 ?建模七步：第一步，定义问题；第二步，收集数据；第三步，构造模型；第四步， 验证模型；第五步，计算结果；第六步，提交报告；第七步，投入使用 ?线性规划是由丹捷格（G. B. Dantzig）在1947提出的，并提出了求解线性规划的单 纯形法，成为运筹学的标志性成就，被誉为「线性规划」之父。 ?线性规划模型就是目标函数为线性函数，约束条件也是线性函数的最优化模型。 ?线性规划模型包括三个部分：目标函数；决策变量；约束条件。 ?满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解；线性规划问题可行解的集合，称 为可行域。 ?把使得目标函数值最大（或最小）的可行解称为该线性规划的最优解，此目标函数 称为最优目标函数值，简称最优值。 ?图解法只适合于二维线性规划问题 ?松弛量：对一个“≤” 约束条件中，没有使用完的资源或能力的大小称为松弛量（松 弛或空闲能力） ?剩余变量，约束方程左边为“≥”不等式时，变成等式约束条件 ?如果线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解；（一定可 以在其顶点达到，但不一定只在其顶点达到，有时在两顶点的连线上得到，包括顶点） ?唯一最优解：只在其一个顶点达到 ?无穷多个最优解：在其两个顶点的连线上达到 ?无界解：可行域无界。缺少必要的约束 ?无可行解（无解）：可行域为空集。约束条件自相矛盾导致的建模错误 ?灵敏度分析：在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数ci、aij、 bj变化时，对最优解产生什么影响。或者是这些参数在什么范围内发生变化，最优解不变。 ?对偶价格：在约束条件右边常量增加一个单位而使最优目标函数得到改进的数量称 之为这个约束条件的对偶价格。 ?对偶价格可以理解为对目标函数的贡献。如果对偶价格大于零，则其最优目标函数 值得到改进。即求最大值时，变得更大；求最小值时，变得更小。 ?如果对偶价格小于零，则其最优目标函数值变坏。即求最大值时，变得小了；求最 小值时，变得大了。 ?如果对偶价格等于零，则其最优目标函数值不变。 ?单纯形法的基本思路：寻找顶点中使得目标函数值最大的一个就是目标函数的最优 解 ?单纯形法是一种迭代方法 ?基：系数矩阵中的m×m的非奇异子矩阵； ?基向量：基中的列； ?非基向量：非基部分中的列； ?基变量：基向量对应的变量； ?非基变量：与非基变量对应的变量； ?基本解（基解）：令非基变量都等于0得到的解为基本解。 ?基本可行解：基本解如果都非负，则为基本可行解，对应的基称可行基。 ?基本可行解中，将基变量用非基变量表示，带入目标函数，这时目标函数中就没有 基变量了，只剩下非基变量，它们的系数称为检验数
运筹学1-1
《物流运筹学》教案 （2014～2015学年第二学期） 适用物流管理专业 院系（部）______经管系______ 班级____ _15物流1/2班___ 教师______ _________
教案首页
教学设计
教学内容 【复习导入】 思考导入：在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。如何解决这类问题？ 【告知目的】 能力目标：1.让学生掌握线性规划的基本概念 2．掌握线性规划模型的建立 知识目标：1.线性规划模型的基本形式 2.如何根据实际问题建立相应的数学模型 【任务导入】 1. 线性规划（Linear Programming） 2. 目标规划（Goal Programming） 3. 整数规划（Integer Programming） 4. 非线性规划（Nonlinear Programming） 5. 动态规划（Dynamic Programming） 6. 图论与网络分析（Graph Theory and Network Analysis） 7. 排队论（Queuing Theory） 8. 存贮论（Inventory Theory） 9. 对策论（Game Theory） 10. 决策论（Decision Theory） 例1.2 有A、B、C三个工地，每天A工地需要水泥17百袋，B工地需要水泥18百袋，C 工地需要水泥15百袋。 ?为此，甲、乙两个水泥厂每天生产23百袋水泥和27百袋水泥专门供应3个工地。 两个水泥厂至工地的单位运价如表1.2所示。 ?问：如何组织调运使总运费最省。
__运筹学概述
第一讲运筹学概述 一、运筹学是什么 ----------------------晕愁学 其实，这绝对一种误解，事实上运筹学方法及应用早在中小学就比较系统地学过，并且在我们每时每刻的生活过程中都在利用。 北师大版小学语文第六册教材中就有一篇课文《田忌赛马》，在座的各位应该都不陌生。这是战国时期运筹学思想成功应用的典型实例。孙膑同志合理地利用当时的现有资源、条件和比赛规则，只建议田忌调换了赛马的出场顺序，就使得原来屡战屡败的战局得到了彻底的扭转，以获胜而告终。形成了本文主题中“初战失败”、“孙膑献计”、“再赛获胜”的三部分内容。 运筹学思想体现的是，将现有资源的作用得到充分发挥，以获得最优的结果。运筹让生活得更有条理的艺术。 谈起运筹学，是否会想到很通俗的例子——沏茶水。沏茶，看起来是一件日常生活中再小不过的事情，却包含着运筹学的道理。让我们来看一看，沏茶的过程可以分为烧开水、洗茶壶、放茶叶多道“工序”。其中，烧开水所需的时间最长，洗茶壶、放茶叶的时间则较短。善于运筹的人，应该是先将水烧上，在烧水的过程中，从从容容地把茶壶洗净，把茶叶放好。而不善运筹的人，可能会先把茶壶洗净，把茶叶放好，才想起来水还没有烧；或者先把水烧开了，才急急忙忙去洗茶壶、放茶叶，搞得手忙脚乱。 另外还有一个例子我们外地生到上海的路线选择，虽然条条大路都能通到上海，但我们都有一个明确的目标，有些人的目标是准备用最短的时间到达，有些人的目标是用最少费用到达，这样基于不同的目标，就会选择不同的最佳路线。 这两个生活中的运筹学实例说明了运筹学应用的思想并不神秘，而现实的生活中，从沏茶、选择路线这样一件小事，到规模宏大的建设项目，都能运用运筹学的原理。在人生大事的安排上，也同样需要下功夫好好运筹一番。 从技术是，也就是运筹学解决决策问题的工具方面，在初中的数学教材中有一个重要的内容是《线性规划》，其中比较详细地讲述了线性规划的数学表述形式和求解方法。只不过没有详细介绍在实际决策过程中的应用。而线性规划是运筹学的主要决策工具，并且我们
运筹学练习题
《运筹学》--- 数据、模型与决策练习题 2010年9月 一、线性规划：基本概念 1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S： 满足所有线性规划假设。 （1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型； （2）用代数方法建立一个相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。 2、今天是幸运的一天，你得到了10000美元的奖金。除了将4000美元用于交税和请客之外，你决定将剩余的6000美元用于投资。两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公司的合伙人，每一个朋友介绍了一家。这两个选择的每一个都将会花去你明年夏天的一些时间并且要花费一些资金。在第一个朋友的公司中成为一个独资人要求投资5000美元并花费400小时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。第二个朋友的公司的相应数据为4000美元和500小时，估计利润为4500美元。然而每一个朋友都允许你根据所好以任意比例投资。如果你选择投资一定比例，上面所有给出的独资人的数据（资金投资、时间投资和利润）都将乘以一个相同的比例。 因为你正在寻找一个有意义的夏季工作（最多600小时），你决定以能够带来最大总估计利润的组合参与到一个或全部朋友的公司中。你需要解决这个问题，找到最佳组合。 （1）为这一问题建立电子表格模型。找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。 （2）用代数方法建立一个同样的模型。 （3）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。 （4）使用图解法求解这个模型。你的总期望利润是多少 3、伟特制窗（Whitt Window）公司是一个只有三个雇员的公司，生产两种手工窗户：木框窗户和铝框窗户。公司每生产一个木框窗户可以获利60美元，一个铝框窗户可以获利30