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家教数学 (5)

第7讲 函数图象

【复习指导】

函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点

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基础梳理

1.函数图象的变换 (1)平移变换

①水平平移:y =f (x ±a )(a >0)的图象,可由y =f (x )的图象向左(+)或向右(-)平移a 个单位而得到. ②竖直平移:y =f (x )±b (b >0)的图象,可由y =f (x )的图象向上(+)或向下(-)平移b 个单位而得到. (2)对称变换

①y =f (-x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称. ②y =-f (x )与y =f (x )的图象关于x 轴对称. ③y =-f (-x )与y =f (x )的图象关于原点对称.

由对称变换可利用y =f (x )的图象得到y =|f (x )|与y =f (|x |)的图象. ①作出y =f (x )的图象,将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y =|f (x )|的图象;

②作出y =f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分,并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象,即得y =f (|x |)的图象. (3)伸缩变换

①y =af (x )(a >0)的图象,可将y =f (x )图象上每点的纵坐标伸(a >1时)或缩(a <1时)到原来的a 倍,横坐标不变.

②y =f (ax )(a >0)的图象,可将y =f (x )的图象上每点的横坐标伸(a <1时)或缩(a >1时)到原来的1

a

倍,纵坐标

不变.

(4)翻折变换

①作为y =f (x )的图象,将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y =|f (x )|的图象;

②作为y =f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分,并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象,即得y =f (|x |)的图象. 2.等价变换

例如:作出函数y =1-x 2的图象,可对解析式等价变形 y =

1-x 2??????

y ≥01-x 2

≥0

y 2=1-x 2

????

y ≥0

y 2=1-x

2?x 2+y 2=1(y ≥0),可看出函数的图象为半圆.此过程可归纳为:(1)写出函数解析式的等价组;(2)化简等价组;(3)作图. 3.描点法作图

方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.

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三种途径

明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径. (1)图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (2)函数解析式的等价变换. (3)研究函数的性质.

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考向一 作函数图象

【例1】?分别画出下列函数的图象: (1)y =|lg x |;

(2)y =2x +

2;

(3)y =x 2-2|x |-1;

(4)y =x +2x -1

.

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