高等数学中几种极限的特殊求法分析

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高等数学中几种极限的特殊求法分析

作者：雷晓军张胜方

来源：《新课程学习·下》2013年第12期

摘要：极限概念贯穿于高等数学始终，是建立连续、导数、积分、无穷级数等其他概念

的重要基础，是正确理解微分与积分的前提。在掌握极限的定义和极限运算法则的基础上，系统分析不同类型极限问题的计算方法，重点研究已有三种类型的极限求法，用比较简单的方法解决。

关键词：高等数学；等价无穷小；定义法；极限；特殊法

多年教学实践表明，凡是高等数学学习吃力的学生，多数属于对极限概念理解不透彻。因此，数列极限概念的学习是至关重要的。数列极限概念的教学难点极限概念难以理解、掌握的原因在于：概念在教学这过程中涉及“任意”“给定”“无限接近”“存在”“趋向”等较抽象的术语。例如：当x→0时，sinx～x，tanx～x，1-cosx～■x2，ln（1+x）～x

一、极限的和（差）做等价无穷小替换

在通常情况下，等价无穷小替换只能在作积（商）时才能使用，在其他情况下不能随便乱用；那么，等价无穷小的和（差）是否可以做等价替换？如果可以，那么，现在讨论在什么条件下等价无穷小的和（差）分别能做等价替换？

定理1：设u（x），u1（x），v（x），v1（x），当x→？鄢为无穷小，u1（x）～u （x），v1（x）～v（x）且■■=A≠±1，则u1（x）±v1（x）～u（x）±v（x）

证明：■■=■■=■=1

推论：设u1（x），u11（x），u2（x），u22（x），…un（x），unn（x）当x→？鄢为无穷小时

u00（x）～u0（x），u11（x）～u1（x），u22（x）～u2（x）…unn（x）～un（x），且■■=A1≠±1，■■=A2≠±1，■■=An≠±1，则u00±u11±u22±…unn～u0±u1±u1±…±un

证明：■■=■=■=1

下面我们来看几个例子：

例1.I1=■■如果用洛必达法求得正确解为■，若用等价无穷小代替得错解即I1=■■=■（因

为当x→0时，exsinx～xex