2019届高考数学专题20几何概型
培优点二十 几何概型
1.长度类几何概型
例1：已知函数()2
2f x x x =--，[]5,5x ∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（ ）
A ．
110
B ．
23
C ．
310
D ．
45
【答案】C
【解析】先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --≤?-≤≤，
从而在数轴上[]1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，∴3
10
P =，故选C ． 2．面积类几何概型 （1）图形类几何概型
例2-1：如图所示，在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，图中阴影部分是以AB 为直径的半圆，现在向矩形ABCD 内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ） A ．1000 B ．2000 C ．3000 D ．4000
【答案】C
【解析】在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，面积为22a ，半圆的面积为2
12
a π，
故由几何概型可知，半圆所占比例为
4
π
，随机撒4000粒豆子， 落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C ． （2）线性规划类几何概型
例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ） A ．
14
B ．13
C ．
34
D ．
716
【答案】D
【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ， 则所有基本事件构成的区域满足024
024
x y ≤≤≤≤???，
这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A 满足0240246x y x y ?≤≤?
≤≤??-≤?
，作出对应的平
面区域如图所示：
这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为()18187
1242416
S P A S Ω
?==-
=?阴，故选D ．
（3）利用积分求面积
例2-3：如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ） A ．
2
4
π B ．
3
4π C ．
2
2π D ．
3
2π 【答案】B
【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为3π， 正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M ，
根据图形的对称性得：面积为0
2sin dx 2cos 4S x x
ππ
==-=?，
由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ， 则点A 落在区域M 内的概率3
4
P =π，故选B ． 3．体积类几何概型
例3：一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为（ ） A ．
34
B ．
23 C ．13
D ．
12
【答案】D
【解析】所求概率为棱锥F AMCD -的体积与棱柱ADF BCE -体积的比值． 由三视图可得AD DF CD a ===，且AD ，DF ，CD 两两垂直， 可得311
22
ADF BCE ADF V S DC AD DF DC a -=?=
??=， 棱锥体积13F AMCD ADMC V DF S -=?，而()2
1324
ADCM S AD AM CD a =?+=，
∴2
14F AMCD V a -=．从而
12F AMCD ADF BCE
V P V --==．故选D ．
一、单选题
1．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23
．则阴影区域的面积约为（ ） A ．
2
3
B ．
43 C ．83
D ．无法计算
【答案】C
【解析】设阴影区域的面积为s ，
243s =，∴8
3
s =．故选C ． 2．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ） A ．
1
10
B ．
16 C ．15
D ．
56
【答案】B
【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟， ∴概率101
606
P =
=．故选B ． 3．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ） A ．31 B ．
34
C 3
D ．
14
【答案】A
【解析】满足条件的正三角形如图所示： 其中正三角形ABC 的面积3
1643S =
=三角形满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离都小于2的平面区域如图中阴影部分所示， 则2S =π阴，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于2的概率为：
3
1143
P ==．故选A ． 4．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件2
""3
x y +≤的概率，则P =（ ）
A ．
23
B ．
12
C ．
49
D ．
29
对点增分集训
【答案】D
【解析】如图所示，01x ≤≤，01y ≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤
的部分为阴影部分的区域APQ ，其中203P ?? ???,
，203Q ??
???
,， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为122
2233119
p ??
==?，故选D ．
5．在区间[]02,
上随机取一个数，sin 2x π的值介于0到1
2之间的概率为（ ） A ．1
3
B ．
2π
C ．
12
D ．
23
【答案】A
【解析】由10sin 22x π≤≤，得026x ππ≤≤，或
562x ππ≤≤π，∴103x ≤≤或5
23x ≤≤， 记sin 2A x =π的值介于0到1
2
之间，
则构成事件A 的区域长度为152
02333-+-=；全部结果的区域[]02,
长度为2； ∴()
2
1323
P A ==，故选A ．
6．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离1PA <的概率为（ ） A ．
14
B ．
12
C ．
π4
D ．π
【答案】C
【解析】满足条件的正方形ABCD ，如图所示：
其中满足动点P 到定点A 的距离1PA <的平面区域如图中阴影部分所示， 则正方形的面积1S =正，阴影部分的面积1
4
S =π阴．
故动点P 到定点A 的距离1PA <的概率π
4
S P S =
=
阴正
．故选C ． 7．如图所示，在椭圆2
214x y +=内任取一个点P ，则P 恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分
的概率为（ ） A ．
1142-π
B ．
1144-π C ．18
D ．1188-π
【答案】A
【解析】先求椭圆面积的14，由22
14x y +=知214x y =-
∴
220
1
1dx 4dx 4
42S x x =-=-?
?椭圆，
而2
4dx x -表示24y x =-0x =，2x =围成的面积，即圆224x y +=面积的1
4
， ∴2
4dx x -=π，∴2014dx 422
S x π
=-=椭圆
，∴2S =π椭圆， ∴概率1
112242P π
-==-ππ
，故选A ． 8．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ） A ．21-
π
B ．
2π
C ．
2
2π D ．2
21-
π 【答案】A
【解析】1S =π?=π矩形，又()0
sin dx cos cos cos02x
π
π=-=-π-=?，∴2S =π-阴影，
∴豆子落在图中阴影部分的概率为
22
1π-=-ππ
．故选A ． 9．把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数()[]f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]14,上任取x ，则[]2x x ?=?的概率为（ ）
A ．
1
4 B ．13
C ．
12
D ．
23
【答案】D
【解析】当[)12x ∈,时，则21x ??=??
，满足[]2x x ??=??； 当[)2,3x ∈时，[]2x =26x ??，则22x ?=?，满足[]2x x ?=?； 当[)3,4x ∈时，[]3x =2622x ??,，则22x ?=?不满足[]2x x ?=?； 当4x =时，[]4x =222x ，则22x ??=??，不满足[]2x x ?=?． 综上，满足[]2x x ?=?的[)1,3x ∈，则[]2x x ??=??的概率为312413
--＝， 故选D ．
10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x y ,，再统计其中
能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ,的个数m ，最后根据统计个数m 估计π
的值．如果统计结果是34m =，那么可以估计π的值为（ ） A ．
227
B ．
4715
C ．
5116
D ．
5317
【答案】B
【解析】 由题意，120对都小于的正实数()x y ,，满足01
01x y <
两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对()x y ,，
满足221x y +<且0101
x y <
42π-，
∵统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ,的个数为34m =， 则
34112042π=-，∴47
15
π=，故选B ． 11．为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图1所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”．现有一颗质量均匀的弹珠落在如图2所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形ABC 内的概率为（ ） A 3223
π-B 3223
π+ C 3
D ．31 【答案】A
【解析】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的， 由几何概型的概率计算公式可知所求概率： (ABC S △为莱洛三角形的面积），故选A ．
12．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ） A ．12p p = B ．13p p =
C ．23p p =
D ．123p p p =+
【答案】A
【解析】设AC b =，AB c =，BC a =，则有222b c a +=， 从而可以求得ABC △的面积为11
2
S bc =，
黑色部分的面积为222
22221122224442c b a c b a S bc bc ??
????????=π?+π?-π?-=π+-+?? ? ? ? ?????????????
22211
422
c b a bc bc +-=π?+=，
其余部分的面积为2
231
12242a a S bc bc π??=π?-=
- ???
，∴有12S S =， 根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A ． 二、填空题
13．在区间[]02,内任取一个实数a ，则使函数()()21log a f x x -=在()0+∞,上为减函数的概率是___________．
【答案】
1
4
【解析】∵函数()()21log a f x x -=在()0+∞,上为减函数， ∴0211a <-<，112
a <<，因此所求概率为1
112204
-
=-．
14．记集合(){}2
216A x y x
y =
+≤,，集合()(){}40, B x y x y x y A =
+-≤∈,,表示的平面区域分别为1
Ω，
2Ω．若在区域1Ω内任取一点()P x y ,，则点P 落在区域2Ω中的概率为__________．
【答案】
32
4π+π
【解析】画出(){}
2
216A x y x
y =+≤,表示的区域1Ω，即图中以原点为圆心，半径为2的圆；
集合()(){}40, B x y x y x y A =
+-≤∈,,表示的区域2
Ω
，即图中的阴影部分．
由题意可得116S Ω=π，231
164412842
S Ω=?π+??=π+，
根据几何概型概率公式可得所求概率为21
32
4S P S ΩΩπ+=
=
π
． 15．如图，曲线sin
32
x
y π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．
【答案】
14
【解析】由题意可知，阴影部分的面积4
410024sin 3dx cos 422x S x x ?π?π???
?=-+=-?= ? ???π?????
??，
正方形的面积：24416S =?=，
由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率：1241
164
S p S =
==． 16．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为__________． 【答案】1
8
【解析】设爸爸到家时间为x ，快递员到达时间为y ，
以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：
根据题意，所有基本事件构成的平面区域为() 5.5 6.567x x y y ??≤≤??????≤≤?????,，面积1S =，
爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为() 5.5 6.5670x x y y x y ??
≤≤????
≤≤??????
-≥???,，
直线0x y -=与直线 6.5x =和6y =交点坐标分别为()66,
和()6.56.5,， 2
111
228
S ??=?= ???阴影
， 由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：18
S P S ==阴影
． 故答案为1
8
．