云南省2011届高三数学一轮复习章节练习：不等式
高三数学章节训练题20 《不等式》
时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：
个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分． 1. 不等式组36020
x y x y -+≥??
-+
2. 目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ） A.该直线的横截距 B.该直线的纵截距
C.该直线纵截距的一半的相反数
D.该直线纵截距的两倍的相反数 3. 若,a b R +∈，满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（ ）
A.(],2-∞-
B.(][),26,-∞-?+∞
C.()6,+∞
D.[)6,+∞ 4. 方程2302
x x m --=在[]1,1x ∈-上有实根，则m 的取值范围是（ ）
A.916m ≤-
B.9516
2
m -
<<
C.52
m ≥
D.9516
2
m -
≤≤
5. 某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是23000200.1y x x =+-，
()0240,x x N *
<<∈，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于
总体）的最低产量是（ ）
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 6. 不等式()()1120x x -->的解集是 .
7. 若()21f x x =+，()g x x =，则()f x 、()g x 的大小关系是 .
8. 已知点()3,1和点()4,6-在直线320x y m -+=的两侧，则m 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共3小题，满分40分，第10小题12分，第9.11小题各14分. 解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤．
9．已知11x y -<+<，222x y -<+<，求3x y +的范围.
10. 求下列函数的最值.
（1）已知0
x>，求
4
2
y x
x
=--的最大值；
（2）已知2
x>，求
1
2
y x
x
=+
-
的最小值；
（3）已知
1
2
x
<<，求()
1
12
2
y x x
=-的最大值.
11. 又一年冬天即将来临，学校小卖部准备制订新一年的热饮销售计划. 根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出热饮800杯，且热饮单价每提高1毛时，日销售量就降低20杯. 若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的热饮日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？
高三数学章节训练题20 《不等式》答案
1～5 BCDDC 6. 1{1}2
x
x << 7. ()f
x ＞()g x 8. 724m
-<<
9. 解：作出不等式组所表示的平面区域如右图所示，由图可知，当直线系3z x y =+过点A 、
B 时，z 分别取得最大值和最小值.
由122
x y x y +=-??
+=?解得()4,3A -；由122
x y x y +=??
+=-?解得()4,3B -.
则m ax 4335z =-+?=，()m in 4335z =+?-=-， 所以3x y +范围为()5,5-. 10.解：（1）0x > ，4
4x x ∴+
≥，42242y x x ?
?∴=-+≤-=- ??
?，
∴当且仅当4(0)x x x
=
>，即2x =时，m ax 2y =-.
（2）2x > ，20x ->，而1122242
2
y x x x x =+
=-+
+≥=--，
当且仅当12(2)2
x x x -=
>-，3x =时，m in 4y =.
（3）1
02x << ，120x ∴->，则()2
1
1212111
2124424416x x y x x +-??=?-≤=?= ?
??
， 当且仅当212x x =-，即14
x =
时，m ax 116
y =
.
11. 解：设该热饮的销售单价提高x 元，由题意知得
()()1.50.9800200720x x +--≥，化简有2
2006802400x x -+≤，解得0.43x ≤≤.
故热饮的单价控制在[1.9,4.5]之间时，今年的热饮日销售利润不低于720元.
基本不等式经典例题精讲
新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成 立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数.
《不等式及其解集》导学案
9.1.1 不等式及其解集 学习目标 1.了解不等式概念，会列不等式； 2.理解不等式的解与解集，能正确表示不等式的解集。培养数感，渗透数形结 合的思想. 重点：不等式的解集的表示 活动1 自学教材P114-115思考并完成下列问题（先独立思考后小组交流完善）问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00正好到达A地，车速应满足什么条件？ 1.变式： 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00之前驶过 ．．．．A地，车速应满足什么条件？ 2.不等式的概念 3.不等式的解和解集 ⑴什么叫做不等式的解？ ⑵什么叫做不等式的解集？怎样表示不等式的解集？ 4.解不等式的含义 总结： ⑴不等式分两大类：①表示大小关系的不等式，其符号类型有：“＞”、“＜”、
“≤”、“≥”.“≤”读作“小于或等于”也可以说是“不大于”；“≥”读作“大于或等于”也可以说“不小于”.②表示不等关系的不等式，其符号为“≠”，读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不明确谁大，谁小. 有些不等式不含未知数，有些不等式含未知数. ⑵不等式的解集的表示方法：①用最简的不等式表示：如26 x-<的解集为8 x<.②用数轴表示：如x a >在表示a的点上用空心圆圈表示不包括这一点，x a ≥在表示a的点上用实心点表示包括这一点. 活动2练习巩固 1.判断下列数中哪些是不等式2 50 3 x>的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90， 60.你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？ 2.下列各数:-5,-4,-3,- 2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 3.用不等式表示 (1)a是正数；(2)a是负数；(3)a与5的和小于7；(4)a与2的差大于-1；（5）a的4倍大于8；（6）a的一半小于3. 4.直接想出不等式的解集，并用数轴表示： （1）x+3>6；（2）2x<8；（3）x-2≥0. 活动3课堂作业 1.用不等式表示： ⑴a与5的和是正数 ⑵b与15的差小于27 ⑶c的4倍大于或等于8 ⑷d与5的积不小于0 ⑸x的2倍与1的和是非正数
基本不等式练习题及标准答案
基本不等式练习题及答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．
切比雪夫不等式例题
关于切比雪夫不等式的题目现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000颗种子，请用切比雪夫不等式计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。利用切比雪bai夫不等式回答下面du两个问题均值为zhi3,方差为dao4的随机变量X,利用切比雪夫专不等式确定P（-2 < X < 8)的下界属限.2 .均值为3,方差为4的随机变量X,且X的概率分布以均值3为中心对称,利用切比雪夫不等式确定P（X <= 0)的上界限|EX=9 DX=9,EY=9 DY=4E(X-Y)=9-9=0D(X-Y)=DX+DY- 2ρxy(DX*DY)^bai0.5=9+4-2*0.5*(9*4)^0.5=7P(|X?Y|≤du4)=1-P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)而由切比zhi雪夫不等dao式P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)≤D(X-Y)/4^2=7/16所以P(|X?Y|≤4)≥1-7/16=9/16切切比雪夫不等式：对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε＞0, 恒有 P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 在你这题中,X~N（2,4） 所以EX=2 ε=3 DX=4 所以P{|X-2|>=3}<=4/(3^2)=4/9方法点拨: 设随机变量X的数学期望和方差都存在，有或 .切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知，而只知道和的情况下估计概率 的界限。例1已知随机变量的密度函数为偶函数，$D(X)=1$，且用切比雪夫不等式估计得$P\left\{ \left| X
\right|<\varepsilon \right\}\ge 0.96$，则常数$\varepsilon =\_\_\_\_\_.$ 【答案】5 例2设随机变量和的数学期望分别-2和2，方差分别1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有____ 【答案】^$的均bai值=10000*3/4=7500方差=10000*3/4*（1-3/4）=1625根据切比du雪夫不zhi等式P{0.74< $/10000 <0.76}=( P{|$/10000-0.75 |<0.01}>=1-(1625/10000^dao2)/0.01^2 =0.837519世纪俄国数学家bai切比雪夫研究统计规律中，du论证并用标准差表达zhi了一个不等式，这个不等式具有普遍的dao意义，被称作切比雪夫定理chebyshev's theorem 其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1-1/㎡，其中m 为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。其计算公式通常表示为：μ为X的均值，sigma为X的标准差。若和则有它是由排序不等式而来。切比雪夫不等式的积分形式如下:若f 和g 是区间[0,1]上的可积的实函数，并且两者都是递增（或递减）的，则有上式可推广到任意区间。
不等式的解集教学设计
第一章一兀一次不等式和一兀一次不等式组 3 ?不等式的解集 一、学生知识状况分析 学生在初一时已经学过数轴，对数轴有一定的了解，掌握了数轴的画法，知道实数与数轴上的点成一一对应关系，并且建立了一定的数形结合思想.以前学生所学的方程的解具有唯一性，而不等式的解的个数有无数个，这对学生来说是全新的开始；在前一课时，学习了不等式的基本性质，学生可利用性质解一些简单的不等式，为本节内容打下了基础。但对不等式解集的含义及表示方法还全然不知,因而在教学中要作更进一步的探索和学习. 二、教学任务分析 1、教材分析： 通过前面的学习，学生已初步体会到生活中量与量之间的关系，不仅有相等而且有大小之分，为了弄清这种大小关系，教材在此创设了丰富的实际问题情境引出不等式的解的问题，进一步探索出不等式的解集，同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来，从而渗透了“数----形”结合的思想,发展了学生符号表达的能力以及分析问题、解决问题的能力。教材中设置的“议一议”意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较大小的，体现了新教材循序渐进，螺旋上升的特点.
2、教学目标： （1）知识与技能目标： ①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义 ②能够在数轴上表示不等式的解集 （2 ）过程与方法目标： ①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。 ②经历求不等式的解集的过程，并试着把不等式的解集在数轴上表示出 来，发展学生的创新意识。 （3）情感态度与价值观目标： 从实际问题中抽象出数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系 及对人类历史的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造。 3、教学重点： （1）理解不等式中的相关概念 （2）探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 4、教学难点： 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 三、教学过程分析 本节课设计了七个环节，第一环节----- 复习旧知识；第二环节---- 情境引 入；第三环节课堂探究；第四环节例题讲解；第五环节随堂练习；
(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞
例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
重要不等式汇总(例题答案)
其他不等式综合问题 例1：（第26届美国数学奥题之一）设a、b、c∈R+，求证： （1） 分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。 思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成. 实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式： x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y) (x、y∈R+)（*） 知（1）的左端 这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。 （1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？
以下为行文方便，记（1）的左端为 ，表示对a、b、c轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述, 为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手, 推广1：设a、b、c、d∈R+，求证： 。（2） 分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x4+y4+z4≥xyz(x+y+z)（**） （**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。 事实上，由高中数学课本上熟知的不等 式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x4+y4+z4≥x2y2+y2z2+z2x2≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样 （**）得证, 从而（2）便可仿（1）不难证明，略, 推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证： 。（3） 有了前面的推广1的证明，这里的推广2的证明容易多了，联想（**），只要能证明
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
不等式及其解集导学案
9.1.1不等式及其解集 设计人: 宝福艳第周第课时总第( )节时间：月日 班级: 姓名 学习目标: 1.能说出不等式的定义. 2.会找不等式解集并会在数轴上表示解集。 一、自学指导 认真阅读课本114页---115页内容，记忆并完成下列问题： 1用“__________”或“_________”号表示大小关系的式子叫做不等式，用“______________”号表示不等关系的式子也是不等式。 2、使不等式成立的未知数的值叫做。 3、一般地，一个含有未知数的不等式的_________的解，组成这个不等式的解集 4、求不等式的______________________的过程叫做解不等式 二、预习检测 1、用不等式表示下列语句： ①、用不等式表示： a与5的和小于7；。 ②、a是正数；。 ③、a的4倍大于8； ④、a是负数；。 ⑤、a与2的差大于-1； ⑥、a的一半小于3 2、下列式子中哪些是不等式？ （1）a＋b=b+a （） （2）－3＞－5 ( )
（3）x ≠l ( ) （4）x 十3>6 ( ) （5） 2m< n ( ) （6）2x-3 ( ) ⑺ 4x-2y ≤0 （ ） ⑻ 7n-5≥2 （ ） ⑼ 3x 2+2＞0 （ ） 3.不等式260x ->的解集在数轴上表示正确的是（ ） 三、合作探究 1、判断下列数中哪些是不等式x+3﹥6的解？ -4， -2.5, 0, 1, 2.5, 3, 3.2, 4.8, 8, 12 1）你认为x+3﹥6 有多少个解？ 2）、当x 符合什么条件时x+3﹥6总成立 3）、所以不等式x+3﹥6的解集是 2、不等式解集在数轴上的表示方法。 四．课堂达标 基础练习 一、选择题 1、m 与5的和的一半是正数，用不等式表示（ ） A ． B ． C ． D ．
必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题
均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 （x > 3）的最小值 2、已知x > 3 2 ，求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ，求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二：凑系数 4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时，求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三：分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 （x > -1）的值域； 9、求y = x2 + 3x + 1 x （x > 0）
的值域 10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c，求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1，求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2，求1 x + 1 y 的最小值，并求x、y的值。 技巧六：整体代换 16、已知x > 0，y > 0，且1 x + 9 y = 1，求x + y的最小值。
17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a，b，x，y∈R+ 且a x + b y = 1，求x + y的最小值。 19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七：取平方 21、已知x，y为正实数，且x2 + y2 2 = 1，求x 1 + y2的最大值。 22、已知x，y为正实数，3x + 2y = 10，求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x（1 2 < x < 5 2 ）的最大值。 技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式 24、已知a，b为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y = 1 ab 的最小值。
9.1.1--不等式及其解集---导学案
9.1.1 不等式及其解集导学案 班级姓名组别 学习目标：1、了解不等式的概念，能用不等式表示简单的不等关系。 2、知道什么是不等式的解，什么是解不等式，并能判断一个数是否是一个不等式 的解。 3、理解不等式的解集，能用数轴正确表示不等式的解集，对于一个较简单的不等 式能直接说出它的解集。 学习重点:不等式的解集的表示. 学习难点:不等式解集的确定. 学习过程 一、独立阅读，自主探究 阅读P114—115，完成下列问题： 1、数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系，请你用恰当的式子表示出下列数 量关系： (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 二、课堂探究（先独立完成，再小组讨论完善答案） 1、对于下列各式中：①3﹥2；②x≠0；③a﹤0；④x+2=5；⑤2x+xy+y；⑥2a +1﹥5； ⑦a+b﹥0.不等式有______________(只填序号)， 2、下列哪些数值是不等式x+3﹥6的解？那些不是？ -4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12 . 你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？ 3、用不等式表示. （1）a与5的和是正数；（2）b与15的和小于27； （3）x的4倍大于或等于8；（4）d与e的和不大于0. 4、直接写出下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来： （1）x+2﹥6；（2）2x﹤10；（3）x-2≥0.5. 三、当堂反馈 1、下列数学表达式中，不等式有（） ①-3﹤0；②4x+3y﹥0；③x=3；④x≠2；⑤x+2﹥y+3 (A) 1个. (B)2个. （C）3个. （D）4个. 2、当x=-3时，下列不等式成立的是（） （A）x-5﹤-8. （B）2x+2﹥0. （C）3+x﹤0. （D）2(1-x)﹥7. 3、用不等式表示：（写在各题的后面） （1）a的相反数是正数；（2）y的2倍与1的和大于3； （3）a的一半小于3；（4）d与5的积不小于0； （5）x的2倍与1的和是非正数. 4、直接写出下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来： （1）x+3﹥5；（2）2x﹤8；（3）x-2≥0. 5、不等式x﹤4的非负整数解的个数有（） （A）4个. （B）3个. （C）2个. （D）1个. 6、已知（a-2）-5﹥3是关于x的一元一次不等式试求a的值. 四、课后反思：
最新基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)-(1)
基本不等式专题 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；
【七年级数学下册】《不等式及其解集》学案 新人教版
《不等式及其解集》学案新人教版 [学习目标] 1.了解不等式概念，理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集 2.培养学生的数感，渗透数形结合的思想. [学习重点与难点] 重点:不等式的解集的表示. 难点:不等式解集的确定. [学习过程] 一.春耕（问题探知） 某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？ 二.夏耘 1.不等式：_______________________________________ 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 2.不等式的解:_______________________________________ 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 练习:1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 3.不等式的解集:_______________________________________ 含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.
基本不等式经典例题学生用
基本不等式 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11 1 22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2 a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 ( 当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(2 2 2b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 技巧一：凑项 例 已知5 4x <，求函数1 4245y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。 变式：设23 0<
不等式及其解集学案
9.1.1不等式及其解集 执笔人：王瑞萍 学教目标 1. 了解不等式概念，理解不等式的解集， 2. 能在数轴上正确表示不等式的解集，渗透数形结合的思想. 3. 培养自主学习的能力，合作交流意识与探究精神. 学教重点 不等式的解集的表示 学教难点： 在数轴上正确表示不等式的解集 学教过程： 一、问题导入： 活动1 自学教材P121-123 思考并完成下列问题（先独立思考 后小组交流完善） 问题 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A 地50千米，要在12：00之前驶过A 地，车速应满足什么条件？ 设车速是x 千米/时. 从时间上看，汽车要在12：00这前驶过A 地，则以这个速度行驶50千米所用的时 间_____3 2小时（>或<），用式子表示：___________________. 从路程上看，汽车要在12：00这前驶过A 地，则以这个速度行驶23 小时的路程_____50千米（>或<），用式子表示：_________________ . 以上两个式子从不同角度表示了车速应满足的条件. 二、学教互动： 1.不等式的概念 什么叫做不等式？ 练习：用不等式表示： ⑴a 是正数； ⑵a 是负数；⑶a 与5的和不小于7；⑷a 与2的差大于－1；⑸a 的4倍不等于8；⑹a 的一半小于3. 2.不等式的解和解集 ⑴什么叫做不等式的解？ 练习：判断下列数中哪些是不等式2503 x 的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90，60.你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？
（2）什么叫做不等式的解集？ 练习：直接想出不等式的解集： ⑴36x +>； ⑵28x <； ⑶20x -≥. （3）在数轴上怎样表示不等式的解集？如在数轴上表示下列不等式的解集： （a ）0>x （b ）2≤x （c ）2-
高中基本不等式经典例题教案
全方位教学辅导教案
例1：(2)1 2,33 y x x x =+>-。 变式：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值 。 技巧二：凑系数 例1.当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此 题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将 (82)y x x =-凑上一个系数即可。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：1、设2 3 0<
第课基本不等式经典例题练习附答案
第9课基本不等式 ◇考纲解读 ①了解基本不等式的证明过程． ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． ◇知识梳理 1．常用的基本不等式和重要的不等式 ①0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当，②22,______,2a b a b ab ∈+≥则 ③,_____a b ∈，则ab b a 2≥+，④222)2 (2b a b a +≤+ 2．最值定理:设,0,x y x y >+≥由 ①如积(xy P x y =+定值），则积有______②如积2(2S x y S x y += 定值），则积有______（） 运用最值定理求最值的三要素： ________________________________________________ ◇基础训练 1．若1a b +=，恒有 （） A ．41 ≤ab B ．41≥ab C ．1622≤b a D ．以上均不正确
2．当1 2x >时，821 y x x =+-的最小值为. 3．已知01x <<，则(12)y x x =-的最大值为. 4．实数,a b 满足22a b +=，则39a b +的最小值为. ◇典型例题 例1．求函数(5)(2)(1)1x x y x x ++= >-+的最小值. 例2．已知+∈R b a ,，且191,a b +=求a b +最小值. ◇能力提升 1．若+∈R b a ,，1)(=+-b a ab ，则b a +的最小值是（） A ．222+ B.25+ C.222- D.22 2.下列命题中正确的是() A .x x y 1+=的最小值是2 B .2 322++=x x y 的最小值是2 C .45 22++=x x y 的最小值是25D .x x y 432--=的最大值是342- 3.若+∈R b a ,满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是________________. 4.若1x >时，不等式11x a x + ≥-恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 5.若(4,1)x ∈-,求2221 x x x -+-的最大值.
不等式及其解集教学设计
《§9.1.1不等式及其解集》教案 一、教学内容 《义务教育课程标准实验教科书·数学》(人教版)七年级下册9.1.1不等式及其解集第121-123页本课为一课时 二、教学目标 【知识与技能】 1.能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式. 2.正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”等数学术语. 3.理解不等式的解、解集和一元一次不等式的意义，能举出一个不等式的几个解并且会 检验一个数是否是某个不等式的解. 4.能用数轴表示不等式的解集. 【过程与方法】 经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性. 【情感、态度与价值观】 使学生能独立克服困难,运用知识解决问题，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获. 三、教学重点 理解不等式、不等式的解和解集,一元一次不等式的意义,能正确列出不等式. 四、教学难点 准确应用不等号,理解不等式的解和解集的意义. 五、教学准备 圆规、三角尺。 六、教学方法 教法： 为了突出教学重点，突破教学难点，遵循新课标要求，在教学过程中，我选用了以下的教学方法： （1）、采用小组合作方式，让学生经历动手实验——观察——思考——归纳——发现的学习 过程，培养学生的合作意识。 （2）、为了提高本节课的教学效率和教学效果，我采用分层教学分类指导法，使学生能够在 课堂上有实实在在的收获，让每个学生都能在就近发展区得到最大收获。 学法： “教法为学法导航，学法是教法的缩影”在本节课的学习过程中，我主要指导学生掌握以下的学习方法：
必修五基本不等式题型分类(绝对经典)
一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学 容一、教学衔接： 1、检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习容。 二、容讲解： 1．如果,a b R+ ∈2 a b ab +≥那么当且仅当时取“=”号）. 2．如果,a b R+ ∈ 2 2 a b ab + ?? ≤ ? ?? 那么（当且仅当时取“=”号） 3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 三、课堂总结与反思： 带领学生对本次课授课容进行回顾、总结 四、作业布置： 见讲义 管理人员签字：日期：年月日 作1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差 备注：
基本不等式复习 知识要点梳理知识点：基本不等式 1．如果,a b R +∈2a b ab +≥（当且仅当时取“=”号）. 2．如果,a b R +∈22a b ab +??≤ ???（ 当且仅当时取“=”号）.在用基本不等式求函数的最值时，应具 备三个条件：一正二定三取等。① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求11x x +≥+（x 0）的最小值； （2）若x 0,0,24,xy y x y >>+=求的最大值 （3）已知 ,，且. 求的最大值及相应的的值 变式1：已知51,y=42445 x x x < -+-求函数的最大值 类型二：含“1”的式子求最值 2．已知且，求的最小值.
人教版七年级数学下册9.1.1：不等式及其解集 教案设计
不等式及其解集教学设计 教材的地位和作用 本节课是学生学习了等式、方程、方程组的概念，重点研究了解方程及方程组之后面临的一个新问题，不等式从某种程度上讲是等式的延伸。 学情分析 不等式的学习是在学生现有的知识由“相等”关系到“不等”关系的过渡，是一种新的尝试，知识结构上发生了迁移，对于学生来说改变了原有的知识结构，新的知识相对显得会抽象。 教学目标 知识与技能：使学生掌握不等式的概念，理解不等式解集的意义，会用不等式表示简单的数量关系和不等式解集的表示方法。培养学生独立思考、分析及归纳能力。 过程与方法：经历由具体实例建立不等式模型的过程，通过解决简单的实际问题，使学生自发的寻找不等式的解 态度与情感：引导学生发现问题、提出问题，在独立思考的基础上，积极参与不等式类数学问题的讨论，逐步培养他们的合作交流意识。让学生充分体会到数学在实际生活中的广泛存在，并能应用到生活的各个领域，让学生感受到学习数学的乐趣。 重点与难点 重点是掌握不等式的概念和不等式解集的表示。难点是对不等式解集的理解。教法与学法 本节课我将采取自主探究、小组合作、教师引导的教学方法，并充分利用多媒体进行教学。通过这些教学方法的整合与发挥，充实具有现实性、挑战性、趣味性的教学情境，引导学生主动质疑、探究。结合教学方法，学生将采取举例论证、自主探索、讨论交流的学习方法，让学生在实践中探索，在探索中质疑，在交流中提高，促进学生全面发展。 教学过程 课堂教学是丰富学生科学知识的重要途径之一，而这正是我们教学的重要任务和目标，为了更好实现我们的目标，我设计了以下教学过程。 创设情境，引入课题 首先通过洋葱数学视频，让学生利用课下自主学习。再通过生活中的不等关系，也让学生轻松地找出生活中的不等关系，引出本节课题---9.1.1不等式及其解集。 设计意图：既把学生的注意力带入本节课的内容，也拉近了与学生的距离，创建了融洽的教学氛围。 然后利用课本中的问题1让学生从列方程到列出不等关系式。 问题1：一辆匀速行驶的汽车在11:20距A地50千米, （1）要在12:00准时驶过A地,车速应满足什么条件? 设车速为x千米/小时，可列式子：______________. （2）要在12:00之前驶过A地，车速应满足什么条件? 设车速为x千米/小时，可列式子：______________. 设计意图：考虑学生实际情况和题目难度，所以设置问题串,降低难度.这样编排教材我认为更能体现知识呈现的序列性，从易到难，让学生“列不等式”能力实
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- 专题：基本不等式常见题型归纳
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