2021年高二下学期第二次月考数学(理)试卷 含答案

2021年高二下学期第二次月考数学（理）试卷含答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)。

1.复数z=|（x=my+t为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）

A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i

2.曲线f（x）=+在（1，a+1）处的切线与直线3x+y=0垂直，则a等于（）A．﹣ B．C．D．

3.函数y=e x+cosx在点（0，2）处的切线方程是（）

A．x﹣y+2=0 B．x+y﹣2=0 C．2x﹣y+2=0 D．x﹣2y+4=0

4.直线x=，x=2，y=0，及曲线y=所围图形的面积为（）

A．B．C．D．2ln2

5.用反证法证明：若实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，那么a，b，c，d中至少有一个小于0，下列假设正确的是（）

A．假设a，b，c，d都大于0

B．假设a，b，c，d都是非负数

C．假设a，b，c，d中至多有一个小于0

D．假设a，b，c，d中至多有两个大于0

6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）

A．240 B．300 C．150 D．180

7.某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（）A．4320 B．2400 C．2160 D．1320

8.二项式（x2﹣）6的展开式中不含x3项的系数之和为（）

A．20 B．24 C．30 D．36

9.若的展开式中项系数为20，则的最小值为（）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

10.设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）

A．[）B．[）

C．[）D．[）

11.已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x= B．x= C．x= D．x=

12.已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）

A．（﹣1，0）B．（﹣1，3）C．（0，3） D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置)。

13.已知为一次函数，且，则=_______..

14.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．

15.设函数f（x）=x m+ax的导数为f′（x）=2x+1，则数列的前n项和为．

16.如图，已知射线OP，作出点M使得，且，若射线OP上一点N能使得MN与ON的长度均为

整数，则称N是“同心圆梦点”．请问射线OP上的同心圆梦点共有个．

三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答写出文字说明、演算过程或步骤.)

17.已知且=0, , 求的值.

18.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内．

（１）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？

（２）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

（３）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

19.已知A n4=24C n6，且（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n．

（1）求n的值；

（2）求a1+a2+a3+…+a n的值．

20.已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值．

（Ⅰ）确定a的值；

（Ⅱ）若g（x）=f（x）e x，讨论g（x）的单调性．

21.已知函数f（x）=lnx+cosx－（）x的导数为（x），且数列{a n}满足。

（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值：

（2）若对任意n∈N'*，都有a n+ 2n2≥0成立，求a1的取值范围．

22.已知函数．

（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；

（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（Ⅲ）求证：（n∈N*）．

参考答案

一、选择题

1.B

2.B

3.A

4.D

5.B

6.C

7.D

8.A

9.C 10.D 11.A 12.B

二、填空题

13.

14.12

15.

16.4

18.（1）（种）

（2）（种）

（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种

第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种

第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：种

∴ 满足条件的放法数为：1+10+20=31（种）

19.【解答】解：（1）由A n4=24C n6，可得=24?，（n﹣4）（n﹣5）=5×6，

求得n=10或n=﹣1（舍去），故n=10．

（2）在（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，

令x=0，可得a0=1；

再令x=1，可得 a0+a1+a2+a3+…+a n=a0+a1+a2+a3+…+a10=1，

∴a1+a2+a3+…+a n的=a1+a2+a3+…+a10=0．

20.【解答】解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．

∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值，

∴f′（﹣）=0，

∴3a?+2?（﹣）=0，

∴a=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x3+x2）e x，

∴g′（x）=（x2+2x）e x+（x3+x2）e x=x（x+1）（x+4）e x，

令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，

当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；

当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；

当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；

当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；

综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．

21.

22.解答：解：（I），定义域为（0，+∞）．

∵，

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（3分）

（Ⅱ）∵，

∵若f（x）存在单调递减区间，

∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）

①当a=0时，明显成立．

②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；

③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，

即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．

因为x1x2=1＞0，

所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．

，解得．

综合①②③知：．（9分）

（Ⅲ）

（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．

令，则有，

∴．

∵，

∴．（12分）

（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．

∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．

设当n=k时，命题成立，即．

∴n=k+1时，．

根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．

令，则有，

则有，即n=k+1时命题也成立．

因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题． 20092 4E7C 乼29106 71B2 熲-$*;H,24195 5E83 広BoI%