10.2教案(四个课时)

10．2排列（一）

高二数学田茂成教学目标

1．理解排列、排列数的概念;

2．掌握排列数公式；

3．正确理解排列、排列数的概念，能够解决一些与排列有关的问题.

教学重点：排列的概念、排列数公式．

教学难点：排列数公式的推导．

教学过程

一、复习引入：

1．分类计数原理;

2．分步计数原理.

分类计数原理和分步计数原理，都是研究做一件事共有多少种不同方法的问题，区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法都可以做完这件事，用的是加法;分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事，我们用的是乘法

二、讲授新课：

1．提出问题：

问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1人参加上午的活动，1人参加下午的活动，有多少种不同的方法?

分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选出2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排成一列，共有多少种不同的排法的问题.

利用分步计数原理:

第一步从3名同学中任选一名参加上午的活动，有3种选择,

第二步从余下的2名同学中任选一名参加下午的活动，有2种选择，

共有3×2=6种不同的方法.

用列举法把甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙六种排法给展示出来.

甲乙、乙甲这两种安排方法，都是甲和乙参与活动，由于我们对甲和乙两人的安排是有顺序的，顺序不同，意义也就不同.

其中被选取的对象叫做元素.

刚才的排序, 如果经过数学抽象，实质上是从已知的3个不同元素中每次选出2个，再按照一定的顺序排成一列.

问题2．从a,b,c,d这四个字母中，每次取出3个按由左向右的顺序排成一列，共有多少种不同的排法？

分析：解决这个问题分三个步骤：

第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；

第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中任取1个，有3种方法；

第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中任取1个，有2种方法

根据分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法.用树型图排出：（课件）

2．排列的概念：

从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.

定义中的关键：按照一定的顺序排成一列.

两个排列相同，需要满足两个条件：1.元素相同；2.元素排列顺序完全相同. 练习：判断下列问题是不是排列问题：

（1）从6名同学中选出4名去天安门参观的问题;

（2）从6名同学中选出4名分别担任语、数、外、体育课代表的问题; 答案：（1）不是排列问题；（2）是排列问题.

问题1中的所有排列个数是6; 问题2中的所有排列个数是 24，下面给出排列数的定义： 3．排列数的定义：

从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n

A 表示 问题1中的排列数： ；问题2中的排列数： . 口答： 4．排列数公式及其推导： 根据2n

A 的意义：假定有排好顺序的2个小桶，从n 个不同颜色的球中任取2个放入小桶，一个小桶放1个球，那么所有放球的方法数就是排列数2n

A . 由分步计数原理完成放球任务共有n(n 1)-种方法，∴2n

A =n(n 1)- 求3n A 用类似方法来推导： 3n A =n (n 1)(n 2)--. 求m n

A 用类似方法来推导： 分为m 步：

第一步：向第一个小桶内放球，有n 种放球的方法. 第二步：向第二个小桶内放球，有n-1种放球的方法. 第三步：向第二个小桶内放球，有n-2种放球的方法. ……………

第m 步：向第m 个小桶内放球，有n-m+1种方球的方法。

当往第m 个桶内放球时，前m-1个桶都已放入了球，这时还剩n-（m －1）个球，因此向第m 个桶放球有n-（m －1）种选择.

根据分步计数原理，共有n （n-1）（n-2）…… （ n-m+1）种方法，

即 = n （n-1）（n-2）……（ n-m+1）. 排列数公式：m n

A n (n 1)(n 2)(n m 1)=---+ （m ,n N ,m n *

∈≤）. 公式特征：

（1）第一个因数是n ；

（2）后面每一个因数比它前面一个少1； （3）最后一个因数是n m 1-+； （4）共有m 个因数相乘. 三、讲解范例：

提问排列数316A 和4

99A 的展开式.

解：（1）316A ＝161514??；（2）499A =99989796???； 练习： 1、计算：345

43A A ;- 2 、求满足22

n n 22A 5A -=的n值； 总结：在做这类题时，首先要牢固掌握排列数公式，另外还要注意题中的隐含条件.

排列、排列数公式在实际生活中有着广泛的应用，利用这部分知识解题时，首先要确定

23A 3

4

A 2334A = ____ ;A ____.

=m n

A

题目是不是与排列有关，如果与排列有关，我们就要灵活的利用排列数公式分析解答. 下面我们看这方面的一个例子：

例1：一条铁路原有17个车站,火车提速后,减少了部分车站,车票相应减少了62种,求现有车站的个数.

分析：这道题涉及到了车票，下面我们分析车票问题是不是排列问题.每张车票都涉及到两个车站，并且与车站的顺序有关，比如，从商丘到南阳的车票与南阳到商丘的车票就不一样，所以每张车票都是这样的一个排列：从17个车站中任取2个车站的一个排列.

解：设现有n 个车站，则现有车票2n

A 种；原有个17车站，则原有车票2

17A 种. 根据题意：2217n A A 62,-= 1716n (n 1)62,∴?--= 解得：n=15或n=-14（舍）， 答：现有车站15个. 四、课堂小结 ：

1、排列的概念、排列数的概念；

2、排列数公式；

3、正确理解排列、排列数的概念，在排列公式的推导过程中，要透过现象抓住本质,通过对事物本质的进一步分析，不断提高我们的数学思维能力与计算能力.

五、课后作业：

1、作业：习题10.2第1题、第3题;

2、思考题：

从6名运动员中选出4人参加4×100m 接力，若甲不能跑第一棒和第四棒，求不同的参赛方案有多少种？

10．2 排列 (二)

教学目标：

知识与技能

进一步理解排列和排列数的概念，理解阶乘的意义，会求正整数的阶乘；

2.掌握排列数的另一个计算公式，并能熟练应用公式解决排列数的化简、证明等问题 方法与过程

让学生经历第二个排列数公式的推导过程， 培养学生独立获取知识的能力。 情感、态度与价值观

教学重点：排列数公式的应用 教学难点：排列数公式的应用 授课类型：新授课

教学方法：讲授法、启发式、探究式 课时安排：1课时

教学手段：多媒体、实物投影仪 教学内容分析：

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.

排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情境，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知

识经验、具体情境的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.

排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法. 教学过程：

一、复习引入：

1．分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同

的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那

么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法。

2. 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有

12n N m m m =??? 种不同的方法。

3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．。

说明：

（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同。

4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做

从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列

5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ （,,m n N m n *∈≤） 说明：

（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；

（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列

全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?= （叫做n 的阶乘）

二、探索新知：

阶乘的概念：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，

这时(1)(2)321n n A n n n =--?? ；把正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘!n ， 即

n

n A =n 规定0!1=．

2．排列数的另一个计算公式：

(1)(2)(1)m

n A n n n n m =---+ (1)(2)(1)()321

()(1)321

n n n n m n m n m n m ---+-??=

---?? =

!()!

n n m -

即 m n A =

!()!

n n m -

三、分析范例：

例1．计算：①66

2

4

810

8!A A A +-；②

1

1(1)!()!

n m m A m n ----．

解：①原式87654321654321

8710987

???????+?????=

?-???

=

5765432

513056(89)

623

?????=-

?-；

②原式(1)!

1(1)!()!

()!

m m m n m n -=

=---．

例2．解方程：3322126x x x A A A +=+．

解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)x x x x x x x --=++-， ∵3x ≥，∴ 3(1)(2)2(1)6(1)x x x x --=++-，即2317100x x -+=， 解得 5x =或23

x =

，∵3x ≥，且x N *∈，∴原方程的解为5x =．

例3．解不等式：2996x x A A ->． 解：原不等式即

9!9!6(9)!

(11)!

x x >?

--，

也就是

16

(9)!

(11)(10)(9)!

x x x x >

--?-?-，化简得：2211040x x -+>，

解得8x <或13x >，又∵29x ≤≤，且x N *∈， 所以，原不等式的解集为{}2,3,4,5,6,7．

例4．求证：（1）n m n m

n n n m A A A --=?；（2）

(2)!135(21)2!

n

n n n =??-? ．

证明：（1）!()!!()!

m n m

n n m n A A n m n n m --?=

-=-n

n A =，∴原式成立

（2）

(2)!2(21)(22)4321

2!

2!

n

n

n n n n n n ?-?-???=

??

2(1)21(21)(23)31

2!

n n

n n n n n ?-??--?=

?

!13(23)(21)

!

n n n n ??--=

= 135(21)n ??-= 右边

∴原式成立。 说明：

（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数m n A 中，,m n N *

∈且m n ≤这些限制条件，

要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；

（2）公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ 常用来求值，特别是,m n 均为已知时，公式

m

n

A =

!()!

n n m -，常用来证明或化简。

例5．化简：⑴

12312!

3!

4!

!

n n -+

+

++

；⑵11!22!33!n n ?+?+?++?

⑴解：原式11111111!2!

2!

3!

3!

4!

(1)!

!

n n =-

+

-

+

-

++

-

=- 11!

n -

⑵提示：由()()1!1!!!n n n n n n +=+=?+，得()!1!!n n n n ?=+-， 原式()1!1n =+-

说明：

111!

(1)!

!

n n n n -=

-

-．

四、课堂练习： 1．若!3!

n x =

，则x = （ ）

()A 3

n A ()B 3

n n A - ()C 3n A ()D 33n A -

2．与37

107A A ?不等的是 （ ）。

()A 910A ()B 8

8

81A ()C 9910A ()D 10

10A

3．若53

2m m A A =，则m 的值为 （ ）。

()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 7

4．计算：

56

996

10

239!A A A +=- ；

1

1(1)!()!

n m m A m n ---=?- ．

5．若11

(1)!242m m m A

--+<

≤，则m 的解集是 ．

6．（1）已知101095m

A =??? ，那么m = ；

（2）已知9!362880=，那么79A = ； （3）已知256n A =，那么n = ； （4）已知2247n n A A -=，那么n = ．

7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？

8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？ （答案：1. B ； 2. B ； 3. A ； 4. 1,1 ； 5. {}2,3,4,5,6 ；

6. (1) 6 ；(2) 181440 ； (3) 8 ； (4) 5；

7. 1680 ；

8. 24。） 五、小结 ：排列数公式的两种形式及其应用

10．2排列 (三)

教学目的：

熟练掌握排列数公式；

2.熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法；

3.能运用已学的排列知识，正确地解决简单的实际问题 重点难点：分析和解决排列问题的基本方法 教学过程：

一、复习引入：

排列数公式：

(1)(2)(1)

m

n A n n n n m =---+ （

,,m n N m n

*

∈≤）

m

n A =!

()!

n n m -

二、讲解范例： 例1．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：3

554360

A =??=，所以，共有60种不同的送法（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：555125??=，所以，共有125种不同的送法说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算

例2．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任

意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有1

3

A 种；

第二类用2面旗表示的信号有2

3

A 种； 第三类用3面旗表示的信号有

3

3

A 种，

由分类计数原理，所求的信号种数是：1

2

3

33333232115

A A A ++=+?+??=， 答：一共可以表示15种不同的信号

例3．将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？

分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽

车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有

4

4

A 种方法；

第二步：把4

位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有

4

4

A 种方法，

利用分步计数原理即得分配方案的种数

解：由分步计数原理，分配方案共有44

44576

N A A =?=（种） 答：共有576种不同的分配方案

例4．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法1：用分步计数原理：

所求的三位数的个数是：

1

2

99998A A ?=??=

解法2：符合条件的三位数可以分成三类：

每一位数字都不是0

的三位数有3

9

A 个，个位数字是0的三位数有

2

9

A 个，十位数字是0的三位数有2

9

A 个，

由分类计数原理，符合条件的

三位数的个数是：

3

22

999648

A A A ++=．

解法3：从0到9这10个数字

中任取3个数字的

排列数为

3

10

A ，其中以0为排头的排列数为

2

9

A ，因此符合条件的三位数的个数是

3

2

109648

A A -=-2

9

A ．

说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏

例5．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：7个元素的全排列7

7

A ＝5040． （2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．

（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——6

6

A =720．

（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有2

2

A 种；

第二步 余下的5名同学进行全排列有

5

5

A 种，所以，共有2

2A 5

5

A ?=240种排列方法

（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有

2

5

A 种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有

5

5

A 种方法，所以

一共有2

5A 5

5

A ＝2400种排列方法

解法2：（排除法）若甲站在排头有6

6

A 种方法；若乙站在排尾有

6

6

A 种方法；若甲站在排

头且乙站在排尾则有5

5

A 种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有7

7

A －

6

6

2A ＋

5

5

A =2400种．

说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑

三、课堂练习：

1．将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，没格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法（ ）种.

A ． 6

B ． 9

C ． 11

D ． 23

2．有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A 不能停在第三条轨道上，货车B 不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有（ ）种.

A ．78

B ．72

C ．120

D ．96

3．由0，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（ ） A ．9 B ．21 C ． 24 D ．42

4．从9,5,0,1,2,3,7--七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程0ax by c ++=的系数，则倾斜角为钝角的直线共有（ ）条.

A ． 14

B ．30

C ． 70

D ．60

5．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有 _____种不同的种植方法

6．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有

7．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的正整数？

（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，并且比13000大的正整数？ 8．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在第4、8的位置，共有多少种不同的排法？

9．某产品的加工需要经过5道工序，

（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？ （2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？ 10．一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？

11. 由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？

答案：1-4：BABC 5. 24 6. 166320 7.⑴325 ⑵114 8.288 9.⑴96 ⑵36

10. 48 11.（1）14

3472

A A = （2）141312

443322264

A A A A A A -+=

四、小结 ：分析和解决排列问题的基本方法；对于“在”与“不在”的问题的处理方法

10．2排列 (四)

教学目的：

1．切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题；

2．会用“捆绑法”和“插入法”解决相邻和不相邻问题的应用题； 3．进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解 教学重点难点：“捆绑法”和“插入法”应用的条件和方法 教学过程：

一、复习引入：

排列数公式：(1)(2)(1)m

n

A n n n n m =---+ （,,m n N m n *

∈≤）m n

A =!

()!n n m - 二、讲解范例：

例1 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

解法一：（从特殊位置考虑）

136080

5

919=A A ；

解法二：（从特殊元素考虑）若选：5

9

5A ?；若不选：6

9

A ，

则共有

5

6

995136080

A A ?+=种；

解法三：（间接法）6

5

109136080

A A -= 例2． 7位同学站成一排，

（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起

进行全排列有

6

6

A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有2

2A 种方法．所以这样的

排法一共有6

2

621440

A A ?=种

（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

解：方法同上，一共有55A 3

3

A ＝720种

（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙

不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有2

5

A 种

方法；将剩下的4个元素进行全排列有4

4

A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列

有

2

2

A 种方法．所以这样的排法一共有2

5A 44A 2

2A ＝960种方法

解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站

在排头或排尾有25

5

A 种方法，

所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960

)2(2

25

56

6=?-A A A 种方法

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有

1

4

A 种方法，再将其余的5个元素

进行全排列共有5

5

A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A 5

5A 22

A ＝960种方法．

（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起

解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起

看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：

342

342288

A A A =（种）

说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）． 例3．7位同学站成一排，

（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

解法一：（排除法）

3600

2

26

67

7=?-A A A ；

解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有5

5

A 种方法，此时他们留下六个位置（就称

为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有2

6

A 种方法，所以一共有3600

2

655=A A 种方法．

（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

解：先将其余四个同学排好有4

4A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有3

5

A 种方法，所以一共有

4

4A 3

5A ＝1440种． 说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）． 例4．5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列

解：（1）先将男生排好，有5

5

A 种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包

括两端）中，有

5

5

2A 种排法

故本题的排法有55

55228800

N A A =?=（种）； （2）方法1：

10

5

10105

5

30240

A N A A

=

==；

方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有5

10

A 种排法；余下

的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法

故本题的结论为5

10130240

N A =?=（种） 三、课堂练习： 1．停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为（ ）

A

．

4

7

A B ．

3

7

A C

．

5

5

A D ．

53

53

A A ?

2．五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排，则不同的排法共有（ ）

A ．12种

B ．20种

C ．24种

D ．48种

3．6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有 （ ）

A

．33

34

A A ? B

．33

33

A A ? C

．33

44

A A ? D

．33

33

2A A ?

4．某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中仅有3发是连在一起的，那么该人射出的8发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（ ）

A ．720种

B ．480种

C ．24种

D ．20种 5．设*

,x y N

∈且4x y +≤，则在直角坐标系中满足条件的点(,)M x y 共有 个

6．7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有

7．一部电影在相邻5个城市轮流放映，每个城市都有3个放映点，如果规定必须在一个

城市的各个放映点放映完以后才能转入另一个城市，则不同的轮映次序有 种（只列式，不计算）．

8．一天课表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有 种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有

9．某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？

10．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中（1）三个偶数字连在一起的四位数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？

11．在上题中，含有2和3并且2和3不相邻的四位数有多少个？

答案：1. C 2. C 3. D 4. D 5. 6 6. 3600, 3720 7.

()

5

5

3

53

A A

8. 72, 144 9. 5

3

2

53222880

A A A = 10.⑴30；⑵150 11. 66种

四、小结 ：1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ①某些元素不能在或必须排列在某一位置；②某些元素要求连排（即必须相邻）；③某些元素要求分离（即不能相邻）．

2．基本的解题方法：①有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；②某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；③某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；④在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基 五、板书设计

课题

排列数公式的两种形式

解例题

解例题解例题

六、教学反思：