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随机变量的独立性判别

随机变量的独立性判别
随机变量的独立性判别

分类号:密级:

毕业论文

(本科生)

论文题目(中文)随机变量的独立性判别

论文题目(外文)The discrimination of the independence of

random variables

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随机变量的独立性判别

摘要

随机变量独立性的判别历来都是高等学校概率论与数理统计教学的一个课题, 通过研究文献资料,理解随机变量及其独立性的相关概念,对离散型和连续型随机变量综合列举的几种常见求法,讨论几种常见的随机变量独立性判别方法

并对其进行概括、总结,加深自己对随机变量及其分布的理解,争取有新的发现。

关键词:随机变量独立性连续型离散型判别方法

The discriminant of the independence of random

variables

Abstract:

The discriminant of independence of random variables has always been a very important topic in colleges and universities Probability Theory and Mathematical Statistics teaching . By studying literature, understand the independence of random variables and their related concepts, integrated to discrete and continuous random variables listed several common methods, discusses several common discrimination methods of the independence of random variables and to summarize it, deepen their understanding of random variable and its distribution, and strive for new discoveries

Key words:random variables independence continuous type discrete type methods of the discriminant

目录

中文摘要.................................................................................................... I 英文摘要................................................................................................... II 引言.......................................................................................................... I II 1. 相关知识介绍.......................................................... 错误!未定义书签。

1.1随机变量 (1)

1.2独立性 (1)

1.3概率矩阵 (1)

1. 4联合分布函数 (2)

1.5概率密度函数 (2)

1.6相关系数 (3)

2.二维随机变量独立性判别 (4)

2.1相关系数判别法 (4)

2.2分布函数或概率密度判别法 (4)

2.3 概率矩阵法 (6)

2.4 概率密度分解法 (7)

3. n维随机变量独立性判别 (9)

3.1 边际密度判别法 (9)

3.2 边际密度分解法 (10)

4.结论 (12)

参考文献 (12)

致谢 (13)

论文(设计)成绩 (14)

引言

改革开放以来, 随着我国经济的持续快速发展和改革开放力度的不断深化扩大,随着科技的不断进步和进一步应用于现实生活,国际经济的变化趋势也越来越直接影响我国经济的发展, 随机变量和其独立性在金融、精算、保险等领域得到越来越大的重视,随机变量及其独立性的研究也就越来越重要。并且概率论中随机变量的研究对我国的经济、科技的发展都有着密不可分的联系, 知识经济、社会可以时代离我们已不遥远, 在概率论的研究中, 研究随机现象的独立性, 尤其显得重要。它是许多定理和分布成立的前提条件但到目前为止, 关于随机变量独立性研究的文献还不是很多, 而且概率统计书中对此问题介绍也比较少, 仅给出定义和少数几种判定方法而已,而通常, 掌握好这个问题, 对于我们培养抽象概括能力、空间想象能力、逻辑推广能力和自学能力, 以及研究这个课题在经济社会中的应用价值的体现, 都有很大的帮助。下面就对判别随机变量独立性的若干方法进行说明。

1. 预备知识

研究随机变量的独立性就要对相关的知识进行了解,本节就对相关知识讲解,为以下的判定方法的介绍铺垫理论基础。

1.1 独立性

1.1.1 事件的独立性

设A,B 是两事件,如果满足等,P(AB)=P(A)P(B),则称事件A ,B 统计独立,简称独立的。按照定义,必然事件Ω,不可能事件Φ与任何事件独立。除此之外,由上述定义可知,A 与B 的位置顺序可以互换,因而可称事件A,B 相互独立。 1.1.2 随机变量的独立性

定义1.1.2.1设1ξ,n ξξ...,2,为n 个随机变量,若对于任意的n 1...χχ,,

成立 P{1ξ<1x ,····,n ξ

定义1.1.2.2若i ξ的分布函数为()x F i ,i=1,2,···,n ,他们的联合分布函数为 F( 1x ,···, n x ),则上述定义2.2.1等价于对一切的1x ,···, n x 成立

F( 1x ,···, n x )=()n 1x F ···()n x F n 1.2概率矩阵 若A=()m i i

p p p p p (121)

+T ,B=()n j p p p p (21)

分别为随机变量X ,Y 的边际概率分布矩阵,则

C=??????

???

?

??mn mj

m m in ij

i i n j n j p p p p p p p p p p p p p p p p ...

...........................

..................

(21)

2

1222221111211为X 与Y 联合分布概率矩阵 表1.二维随机变量(X,Y)的联合概率分布表

1.3联合分布函数

设1ξ(ω),2ξ(ω),3ξ(ω),···,n ξ(ω)是定义在同一个样本空间Ω上的随机变量,则称n 维向量(1ξ(ω),2ξ(ω),···,n ξ(ω))为是样本空间Ω

上的n 维随机变量,并称n 元函数

F (1x ,2x ···n x )=P (1ξ(ω)≤1x ,···,n ξ(ω)≤n x )

为n 维随机变量(1ξ(ω),2ξ(ω),···,n ξ(ω))的联合分布函数。也简称联合分布

或者分布。

1.4概率密度函数

如果),(y x F 是变量),(Y X 的联合分布函数,若存在函数),(y x P ,对任意y x ,有

()()?

?∞-∞

-=x

y

dudv v u p y x F ,,

成立,则称()y x F ,是一个连续性的分布函数,并且称),(y x P 是变量),(Y X 的联合密度函数,简称密度。

由分布函数的性质可知,任意的二元密度函数()y x p ,具有以下两点性质: ⑴()0,≥y x p ; ⑵

()()1,=∞+∞+=??+∞∞-+∞

-,

F dudv v u p 1.5 相关系数

(),并且是一个二维的随机变量,若ηξ,0,0

>>ηξD D

不相关。

与,则定义的相关系数为与若随机变量ηξηξ0=r

2.二维随机变量的独立性判别

在相关知识的基础上,就二维随机变量的独立性进行简要介绍。设(ηξ,)是概率空间(Ω,F,P)上的二维随机向量,如果?(x,y )∈2R ,均有

()()()y P x P y x P <<=<<ηξηξ·,或者()()()y F x F y x F ηξ·,=成立,那么称随机变量

F 与

G 相互独立。以下就以二维随机变量(ηξ,)为例介绍二维随机变量判别的若干方法。

2.1相关系数判别法:

定理2.2.1 若二维随机变量ηξ,独立,则不相关与ηξ。 证明:(只对连续型随机变量进行证明)

因为ηξ,独立,则其密度函数()()()y p x p y x p 21·,=,因此,

()()()()dxdy E y E x y x p y x ηξ--=?

?+∞∞-+∞

∞-,,Cov

=()()()()dy y p E y dx x p E x 2

1

·??+∞

-+∞

---ηξ=0

因为二者独立,则

()()ηξηξηξηξηξηξD D D E E E E E E +=+=+=+以及·,,

注:相关系数判别法,是一种在易于求的期望、方差的情况下判定二维随机变量

相互独立的一个简便方法,同样在n 维情况下同样适用。

例1.设[]的均匀分布服从πθ2,0,()为定值a a ,cos ,cos +==θηθξ,试确定二者独立性关系。

因此,a r cos =。于是当ηξπηξ-=-=====,1,10r a r a 时,或当时,,二者有2.2分布函数或概率密度判别法:

定理 2.2.1设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),而边缘分布函数为()()y F x F Y X ,,而X 与Y 相互独立的充要条件是:对一切x 和y,有 ()()()y F x F y x F Y X =,

定理 2. 2.2设二维连续型随机变量(X,Y)联合概率密度函数f(x,y),而关于X 与Y 的边缘概率密度分别为()()y f x f Y X ,,则X 与Y 相互独立的充要条件是:对任意的x 和y,有()()()y f x f y x f Y X ·,=。

注:定理2.2.1 可以由定义1.2.2.2简单得出。 下面就定理2.2.2进行简要证明。 证明:①“?”:有定义可知()()()y F x F y x F Y X =,,又

()()()()?

??

?∞

-∞

-∞-∞

-==x

y

Y X x y dv v f du u f dudv v u f y x F ,,

比较上式的后半部分可知,上式()与y x f ,()()x f y f X Y 与在相同的点连续相 同,由勒贝勒测度知识可知()()()y f x f y x f Y X ·,=。

②“?”:对任意的x ,y 有()()()y f x f y x f Y X ·,=,则有下式

()()()()()()y ·x ,,Y X y

Y x

X x

y F F dv v f du u f dudv v u f y x F ===??

?

?∞

-∞

-∞-∞

-

由定理2.2.1可知x ,y 相互独立。 例2,.对任意的二维随机变量()y x ,的密度函数

判断在a,c 为何值时二者相互独立。

理2.2.2可知a=0,又因为

2.3概率矩阵法:

若A=()m i i

p p p p p (121)

+T ,B=()n j p p p p (21)

分别为随机变量X ,Y 的边际概率分布矩阵,则

C=??????

???

?

??mn mj

m m in ij

i i n j n j p p p p p p p p p p p p p p p p ...

............

...............

..................

(21)

2

1222221111211

为X 与Y 联合分布概率矩阵 定理2.3.1 若二维随机变量()Y X,的概率矩阵为C ,并且具有表1的分布列,若二者相互独立,则概率矩阵秩为1.

证明:因为()(),1,1==B R A R ()()()(){},1,m i n =≤=B R A R AB R C R

又()1≥C R 所以,()1=C R ,故 若二维随机变量()Y X,相互独立,则二者的概率矩阵的秩为1。

推论1. 若上述概率矩阵中存在0=ij p ,但是ij p 所在的行的所有元素或列的所有元素不全为零,则在二者不可能独立。

证明:若0=ij p ,则不妨假设二者相互独立,则根据相互独立的定义可得:至少一个为零

j i j i ij p p p p p ····,0·?==,有ij p 所在行的其他元素也满足: 0·0·····====j n nj m i im p p p p p p 或者则必有行或者列的全部元素为零。

得出矛盾,因而二者不是相互独立的。

例3. 设()Y X ,~???

?

?

??1.03.03.01.02.0a ,试问二者是否独立。

解:由题得:011.03.03.01.02.0=?=+++++a a ,因而由上述推论可知,二者不可能相互独立。

例4.设二维随机变量()Y X ,的联合分布列为

则α与β取何值时()Y X ,相互独立?

解法二:由上述定理可得联合分布概率矩阵的秩为一,因而可得:

2.4密度函数分解法

定理2.4.1 设(X,Y)为二维连续型随机变量,其联合密度函数为

()y x f ,,d y c b x a ≤≤≤≤,,则随机变量X 与Y 相互独立的充要条件为:

(1)存在非负连续函数()()()()()y g x h y x f y g x h ·,=使得与, (2)a 和b,c 和d 是分别与y,x 无关的常数. 证明:必要性

①若随机变量X 和Y 相互独立,由定理2有 ()()(),·,y f x f y x f Y X =d y c b x a ≤≤≤≤, 不妨取()()()(),,y f y g x f x h Y X ==于是条件(1)成立.

②反证法证明(2)

若a 和b,c 和d 中至少有一个与x 或y 有关的函数,不妨设a=a(x). 由于f(x)是f(x,y)关于x 的边缘密度,所以有 ()()1,1==??

dy y f dx x f d

c

Y b

a

X

()()()x A dx x f b

x

a X

=?=1

是一个与x 有关的函数,这与上述的推导矛盾.所以a 与x 无关,同理可以说明a,b,c,d 与x,y 都无关。

并可由上述定理得出以下推论:

推论1 在上述的条件中,a,b,c,d 中的一个或几个可以取-∞或∞,结论仍然成立. 推论2 上述证明过程中可得出()()()(),,y f y g x f x h Y X 与与分别对应成正比例. 注:上述推论可以简单地由密度函数的性质推出,在此不做证明。

例5.设()Y X ,的联合分布函数为()?

??>--=其他,00

,),exp(,y x y x y x f ,是确定二者的独

立性。

解:不妨取()()0,;0,>=>=--y e y g x e x h y x , 则()()()0,0,·,>>=y x y g x h y x f ,根据上述方法可得二者独立。

3. n 维随机变量独立性判别方法

上一节主要就二维随机变量进行研究,以下以n 维随机变量维主要对象进行

研究。 n 个事件的相互独立,需要有n 2- n- 1 个式子来保证.设,1X ···,n X 是n ( n ≥2) 个随机变量,则对任意的实数,1X ···,n X ,{}1

1x X <,

···,{}n n x X <是n 个事件,故由n 个事件相互独立的定义可引出n 个随机变量相互独

立的定义。以下就n 维随机变量的独立性判别方法简要介绍说明,并辅以例题进行解析。

3.1 边际概率密度法:

定理3.1.1设n(n ≥2)维随机变量()n X X ,...,1的概率密度为()n x x f , (1)

()i X 为i X x f i (i=1,2,...,n)的边际概率密度,则随机变量()n X X ,...,1相互独立的充要条件是:

()n x x f ,...,1=()i n

i X x f i ∏=1

成立。

其中,()n n R x x ∈,...,1是()n x x f ,...,1和()i X x f i 的相同连续点。

证明:⑴“?”:若()n X X ,...,1相互独立,则可知:对对所有的 ()n n R x x ∈,...,1

()()∏==n

i i Xi n x F x x F 1

1,...,.. (3)

上式左端=()n x x x n dx dx x x f n

n ...,..., (111)

1

?

?

?∞-∞

-∞

--,

()()∞++∞+∞∞+=,...,,,...,i i X x F x F i =()i x i X dx x f i i ?∞

- 因而(3)式等价于: ()n x x x n dx dx x x f n

n ...,..., (111)

1

?

?

?∞-∞

-∞

--=()∏?=∞

-n

i i x i X dx x f i

i 1

两端分别对()n x x ,...,1求导,即可得:

()n x x f ,...,1=()i n

i X x f i ∏=1成立,并且()n x x f ,...,1和()i X x f i 的有相同连续点。

⑵“?”:由概率密度定义可知()i X x f i ,()n x x f ,...,1均为非负可积的,并 且在各自的域上为勒贝格测度几乎处处连续,因而()∏=n

i i X x f i 1也是几乎处处

连续 的,若,()n n R x x ∈,...,1是()n x x f ,...,1和()i X x f i 的相同连续点,则有: ()n x x f ,...,1=()∏=n

i i X x f i 1几乎处处相等。

在n R 上有积分: ()n x x x n dx dx x x f n

n ...,..., (111)

1

?

?

?∞-∞

-∞

--=()∏?=∞

-n

i i x i X dx x f i

i 1

成立,

上式左端=()n x x F ,...,1,右端=()∏=n

i i X x F i 1

,因而证得:

()n x x F ,...,1=()∏=n

i i X x F i 1

成立。

综合⑴⑵可证得上述方法成立。 3.2 边际密度分解法

定理3.2.1 设()n X X ,...,1是连续型随机变量,其联合概率密度函数为

()n x x f ,...,1满足

()??

?≤≤>=其他,0,0,...,1i

i i n b x a x x f n i ,...,2,1=,则随机变量()n X X ,...,1相互独立的 充要条件为:

⑴存在连续函数()i i x h ,i=1,2,,,n;满足

()()∏==n

i i i n x h x x f 1

1,...,,n i ,...,2,1=

⑵n i y x b a i i i i ,...,2,1,,=无关的数,为与

证明:①”“?由相互独立的定义可知,()n x x f ,...,1=()∏=n

i i X x f i 1

,只需去

()i i x h =()i X x f i 即可得到条件(1)

下证条件(2):假设条件不成,至少有一n i y x b a i i i i ,...,2,1,,=有关的数,为与, 不妨设()n x x a a ,...,111=,由于()()1111x h x f X =为关于1X 的边际密度函数,必有

()()()()

()n b x x a b a b a x x A dx x f dx x f dx x h n ,...,111,...,111111111

1111

1

1

====?

??

成立,显然此式不

能成立,构出矛盾,假设不成立,证得必要性。

②”“?设()n x x f ,...,1满足以上两个条件,则有边际密度函数:

()()n i i n i X dx dx dx dx x x f x f i ......,...,...1111+-+∞∞

-+∞

-??=

=()()()()()n i i n n i i i i b a b a b a b a i i dx dx dx dx x h x h x h x h x h i i i i n

n

(11111111111)

111

1

+-++--??

?

?--++

=()

()∏?

≤≠≤n

n

i j b aj

j j j i i j

dx x h x h 1

有题设条件知,()?j

b aj

j j j dx x h 为常数记为j A ,

()=∏=n i i X x f i 1

()()]

∏∏?=≤≠≤???n

i n

n i j b aj

j j j i i j

dx x h x h 11 =()1

11.-==???

?

??∏∏n n i j n

i i i A x h

=()n x x f ,...,1

由此证得结论成立。

综合上述①②可得定理成立。

推论1:在上述方法中,如果n i a i ,...,2,1,=中有若干个为∞-,∞+中有若干个为i b 时,则结果依然成立。

推论2 :若上述条件成立,()()n i x h x f i i i X i ,...,2,1=成正比关系,与 推论3 :当n =2时,即为第二章中定理2.4.1

4. 结论

随机变量的独立性判别方法必须针对随机变量的类型进行分别研究。就如第2节中,相关系数判别法适合用于二维随机变量的独立性判别,并且只限于快速判断二维随机变量独立性的一个必要条件。概率密度函数、概率密度分解法和概率分布函数判别法适合连续随机变量的独立性判别,针对n 维离散随机变量的地理性判别,概率矩阵法比较实用,但是此法要求取值于有限个值的情况。

总之,无论是概率密度函数、概率密度分解法和概率分布函数判别法都适合于连续型的随机变量独立性判别,而相关系数法和概率矩阵法都有一定的局限

性。

参考文献:

[1]盛骤,谢式干等.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2000.

[2]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1983.

[3]李贤平.概率论基础[M].高等教育出版社.1987.

[4]尤芳,汪四水.随机变量独立性的若干判别法[J]. 燕北师范学院学报.2006.10

[5]庞健,随机变量的独立性判别方法[J],高教研究,林区教学,2006(10).

[6]姚仲明,唐燕玉.随机变量独立性及其一个充要条件[J]. 安庆师范学院学报

(自然科学版),2004(10)

致谢

历时月余的时间,我终于将这篇论文完成了,在论文的写作中,我遇到了很多困和障碍,在老师和同学的帮助下都通过了,尤其要诚挚感谢知道我论文的老师龚东山副教授,他对我进行了无私的帮助和指导,并时刻敦促我进行论文写作修改和鼓励我积极独立的完成论文写作过程。

另外,感谢这篇论文所涉及的各位学者、专家。本文引用了数位学者的著述和研究文献,如果没有各位研究成果的帮助和启发,我很难完成论文。

最后感谢我的爸爸妈妈,养育之恩重于山,教育之恩高如天,你们对孩子的养育、教导、鼓励孩子无以为报,你们的永远健康快乐是我最大的愿望。感谢我的同学朋友,在论文的写作过程中给予我素材、建议,在论文的排版中提供的热情帮助。感谢所有教导过我的老师,没有你们的教导,我很难走到今天,谢谢所有关系我、爱护我的亲人、老师、同学、朋友,谢谢你们的帮助。

由于我水平有限,所写论文不免有所不足,恳请各位老师、同学进行批评指正。

论文(设计)成绩

随机变量独立性的判断方法探究

1 引言 概率与统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科,是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展,概率与统计的知识越来越重要,运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用且强有力的思考方式.独立性[5]是随机变量非常重要的性质,其应用也很广泛.在解决很多问题时都有随机变量独立这样的前提,只有这样问题才能得以解决或解决起来比较简单.众所周知,随机变量独立性的判定无论从理论还是在实践中都有着重要意义,因此寻找独立性判断方法显得尤为重要.不少的文献对此进行了深入的研究,给出了一些很好的判断方法[3],但到目前为止人们还没找到简便有效的方法,从而对其深入研究很有必要. 2 相关定义 定义1离散型随机变量 定义在样本空间Ω上,取值于实数域R ,且只取有限个或可列个值的变量()ξξω=,称做是一维(实值)离散型随机变量,简称离散型随机变量. 定义2 n 维离散型随机变量 设12,,,n ξξξ???是样本空间Ω上的n 个离散型随机变量,则称n 维向量(12,,,n ξξξ???)是Ω上的一个n 维离散型随机变量. 定义3 联合分布型 设(,)ξη是一个二维离散型随机变量,它们一切可能取值为(,),,1,2,i j a b i j =???,令 (,),,1 ,2,ij i j P P a b i j ξη====??? 称(,1 ,2,)ij P i j =???是二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布列. 我们容易证明()(1,2,i i P a P i ξ?===???是ξ的分布列,同理有()(1 ,2,)j j P b P j η?===???是η的分布列,称,ξη的分布列是(,ξη)的联合分布列的边际分布列. 定义 4 离散型随机变量独立性 设离散型随机变量ξ的可能取值为(1,2,)i a i =???,η的可能取值为(1,2,)j b j =???,如果对任意的,i j a b ,有

独立随机变量期望和方差的性质

第七周多维随机变量,独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质: Y X ,独立,则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例,设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知,则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=, () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质: Y X ,独立,则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立,且都存在方差,则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时,已经利用了独立随机变量和的方差等于方差

第32讲 相互独立的随机变量 (II)

§3.4相互独立的随机变量

课 即 则称随机变量X 和Y 相互独立。 F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 定义(随机变量的独立性) 设 F (x , y ) 是二维随机变量(X , Y )的联合分布 函数,F X (x )和F Y (y )分别是(X , Y )关于X 和关 于Y 的边缘分布函数。 若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }

即 若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y } F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 四川大学 徐小湛 即X 和Y 相互独立当且仅当它们的联合分布函 数等于关于它们的边缘分布函数的乘积。 这时,联合分布可由边缘分布唯一确定。 则称随机变量X 和Y 相互独立。

传课 可以证明:对于连续型二维随机变量(X , Y ), 即 则称随机变量X 和Y 相互独立。 若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y } F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) X 和Y 相互独立当且仅当 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 在平面上几乎处处成立(即等式不成立的点 构成集合的“测度(面积)”等于零。) 这时,联合概率密度可由边缘概率密度唯一确定。

对于连续型二维随机变量(X , Y ),X 和Y 相互 独立当且仅当 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 此时,在条件Y =y 下,X 的条件概率密度 X |Y f f Y ( y ) f Y ( y ) X ( x ) (x | y ) = f (x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = f 同理,在条件X =x 下,Y 的条件概率密度 X f ( x ) Y | X Y f ( y | x ) = f ( x , y ) = f (y ) 条件概率密度 等于边缘密度

(完整版)随机变量及其分布列与独立性检验练习题附答案

数学学科自习卷(二) 一、选择题 1.将三颗骰子各掷一次,记事件A =“三个点数都不同”,B =“至少出现一个6点”,则条件概率()P A B ,()P B A 分别是( ) A.6091,12 B.12,6091 C.518,6091 D.91216,12 2.设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ,若()()232P a P a ξξ<-=>+,则a 的值为 A .73 B .53 C .5 D .3 3.已知随机变量ξ~)2,3(2N ,若23ξη=+,则D η= A . 0 B . 1 C . 2 D . 4 4.同时拋掷5枚均匀的硬币80次,设5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的次数为ξ,则ξ的数学期望是( ) A .20 B .25 C. 30 D .40 5. 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为 23,乙在每局中获胜的概率为13 ,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为( ) A .24181 B .26681 C .27481 D .670243 6.现在有10张奖券,8张2元的,2张5元的,某人从中随机无放回地抽取3张奖券,则此人得奖金额的数学期望为( ) A .6 B .395 C .415 D .9 7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ,不得分的概率为c ,,,(0,1)a b c ∈,且无其它得分情况,已知他投篮一次得分的数学期望为1,则ab 的最大值为 ( ) A .148 B .124 C .112 D .16 8.位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动:电子兔每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为 23,向右移动的概率为13,则电子兔移动五次后位于点(1,0)-的概率是 ( ) A .4243 B .8243 C .40243 D .80243

二维随机变量及独立性--教学设计

概率论与数理统计教学设计 课程名称概率论与数理 统计 课时100分钟 任课教师刘涛专业与班级财务管理B1601---B1606课型新授课课题二维随机变量及其分布 教材分析 “二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容,位于教材的第75页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上,对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说,二维随机变量及其分布是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。 学习目标 知识与技能 了解二维随机变量的背景来源; 了解二维随机变量的基本思想; 掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运 用。 过程与方法 通过日常生活中常常出现的实例的引入,引导学生分 析、解决问题,培养学生将实际问题转化为数学问题的 能力,培养学生提出、分析、理解问题的能力,进而发 展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价 值观 通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用,激发 学生自主学习的兴趣,也培养了学生的创新意识和探索 精神。 教学分析教学内容1.二维随机变量及联合分布函数定义 2.二维离散型随机变量及联合概率函数 3.二维连续型随机变量及联合概率密度 4.二维随机变量的边缘分布

5.随机变量的相互独立性 教学重点二维离散型、连续随机变量及其分布,相互独立性教学难点二维连续型随机变量及其分布 教学方法与策略 板书设计 前50分: 1.引例 3.二维离散变量 2.联合分布函数定义 4.二维连续变量 后50分: 5.边缘分布 6.相互独立性 教学时间设计 1.引导课题…………2分钟 2.学生活动…………3分钟 3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟 4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟 5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟 6.二维随机变量的边缘分布……20分钟 7.随机变量的相互独立性……25分钟 8.课堂小结…………5分钟 教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。 教学进程 教学意图教学内容教学理念

随机变量独立性的性质

议随机变量独立性及其应用 作者:张利荣 指导老师:桂春燕 摘要 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义, 随机变量独立性的性质,然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法,从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定,除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论,并对其应用进行了举例说明. 关键词 离散型随机变量 连续型随机变量 独立性 联合分布 1 引言 概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科,它是近代数学的重要分支,理论严谨、应用广泛,并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视. 随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[2]中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献[7]中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明. 2 随机变量独立性的定义 定义]1[ 设),(Y X 为二维随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x X ≤与{}y Y ≤相互独立,即 ()()() y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤, , )1( 则称X 与Y 相互独立. 若()y x F ,为X 与Y 的联合分布函数,()x F X 、()y F Y 分别是X 与Y 的边缘分布函数,则 )1(式等价于 ()()()y F x F y x F Y X ?=,. 3 随机变量独立性的性质及其判别方法

随机变量的独立性判别

分类号:密级: 毕业论文 (本科生) 论文题目(中文)随机变量的独立性判别 论文题目(外文)The discrimination of the independence of random variables 学生姓名 导师姓名、职称 学生所属学院 专业 年级

诚信责任书 本人郑重声明:本人所呈交的毕业论文(设计),是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文(设计)中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或在网上发表的论文。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名:日期: 关于毕业论文(设计)使用授权的声明本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品,知识产权归属兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用毕业论文的规定,同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版,允许论文被查阅和借阅;本人授权兰州大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用任何复制手段保存和汇编本毕业论文。本人离校后发表、使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时,第一署名单位仍然为兰州大学。 本毕业论文研究内容: √可以公开 □不易公开,已在学位办公室办理保密申请,解密后适用本授权书。 (请在以上选项内选择其中一项打“√”)

论文作者签名:导师签名:日期:日期:

随机变量的独立性判别 摘要 随机变量独立性的判别历来都是高等学校概率论与数理统计教学的一个课题, 通过研究文献资料,理解随机变量及其独立性的相关概念,对离散型和连续型随机变量综合列举的几种常见求法,讨论几种常见的随机变量独立性判别方法 并对其进行概括、总结,加深自己对随机变量及其分布的理解,争取有新的发现。 关键词:随机变量独立性连续型离散型判别方法

随机变量的独立性

第三章多元随机变量 3.1 二维随机向量及其分布函数 3.2 二维离散随机向量 3.3 二维连续随机向量 3.4 边缘分布 3.5 条件分布 3.6 随机变量的独立性 3.7 随机向量函数的分布 3.8 n维随机向量函数的分布(不讲)

§3.6 随机变量的独立性 事件A 与 B 独立的定义是: 若 P (AB ) = P (A )P (B ),则称事件A 与B 相互独立 。 设 X , Y 是两个随即变量, 对任意的 x , y , 若 , )( )() ,(y Y P x X P y Y x X P ≤≤=≤≤则称 X 与Y 相互独立。 用联合分布函数与边缘分布函数表示上式, 就是 . )( )(),(y F x F y x F Y X =,,x y ?

P70例3.6.2:P61例3.4.3:设(X ,Y )服从单位圆域 x 2+y 2≤1上的均匀分布。已求得X 和Y 的边缘概率密度如下, ?? ?? ??∈=.),( 0,),( 1 ),(D y x D y x y x f ,, π解:因2 21,[1,1], ()0,[1,1];X x x f x x π ??∈???=? ????? ?? ?? ????∈?=].1,1[,0],1,1[,12)(2y y y y f Y π ,)x y D ∈(时, 故,X 和Y 不相互独立。 问X 与Y 的独立性。 ()() X Y f x f y 222211x y π π???? ??=????????,,(,)()() X Y x y f x y f x f y ?=连续型X 与Y 相互独立 ?1π≠(,)f x y = ,[1,1]x y ∈?,

二维随机变量及独立性--教学设计

概率论与数理统计教学设计 课程名称 概率论与数理 统计 课时100分钟 任课教师课型 刘涛 新授课 专业与班级 课题 财务管理B1601---B1606 二维随机变量及其分布 “二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容,位于教材的第75 教材分析 页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上, 对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说,二维随机变量及其分布 是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。 学习目标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价 值观 了解二维随机变量的背景来源; 了解二维随机变量的基本思想; 掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运 用。 通过日常生活中常常出现的实例的引入,引导学生分 析、解决问题,培养学生将实际问题转化为数学问题的 能力,培养学生提出、分析、理解问题的能力,进而发 展整合所学知识解决实际问题的能力。 通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用,激发 学生自主学习的兴趣,也培养了学生的创新意识和探索 精神。 1.二维随机变量及联合分布函数定义 2.二维离散型随机变量及联合概率函数 教学分析教学内容 3.二维连续型随机变量及联合概率密度 4.二维随机变量的边缘分布

5.随机变量的相互独立性 教学重点教学难点二维离散型、连续随机变量及其分布,相互独立性二维连续型随机变量及其分布 教学方法与策略 前50分: 1.引例 3.二维离散变量 板书设计 2.联合分布函数定义 4.二维连续变量 后50分: 5.边缘分布 6.相互独立性 1.引导课题…………2分钟 2.学生活动…………3分钟 3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟 4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟 教学时间设计 5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟 6.二维随机变量的边缘分布……20分钟 7.随机变量的相互独立性……25分钟 8.课堂小结…………5分钟 教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。 教学进程 教学意图教学内容教学理念

二维随机变量及独立性教学设计

二维随机变量及独立性--教学设计

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概率论与数理统计教学设计 课程名称概率论与数理 统计 课时100分钟 任课教师刘涛专业与班级财务管理B1601---B1606 课型新授课课题二维随机变量及其分布 教材分析 “二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容,位于教材的第75页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上,对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说,二维随机变量及其分布是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。 学习目标 知识与技能 了解二维随机变量的背景来源; 了解二维随机变量的基本思想; 掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运 用。 过程与方法 通过日常生活中常常出现的实例的引入,引导学生分 析、解决问题,培养学生将实际问题转化为数学问题的 能力,培养学生提出、分析、理解问题的能力,进而发 展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价 值观 通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用,激发 学生自主学习的兴趣,也培养了学生的创新意识和探索 精神。 教学分析教学内容1.二维随机变量及联合分布函数定义 2.二维离散型随机变量及联合概率函数 3.二维连续型随机变量及联合概率密度 4.二维随机变量的边缘分布

5.随机变量的相互独立性 教学重点二维离散型、连续随机变量及其分布,相互独立性教学难点二维连续型随机变量及其分布 教学方法与策略 板书设计 前50分: 1.引例 3.二维离散变量 2.联合分布函数定义 4.二维连续变量 后50分: 5.边缘分布 6.相互独立性 教学时间设计 1.引导课题…………2分钟 2.学生活动…………3分钟 3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟 4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟 5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟 6.二维随机变量的边缘分布……20分钟 7.随机变量的相互独立性……25分钟 8.课堂小结…………5分钟 教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。 教学进程 教学意图教学内容教学理念

随机变量独立同分布的概念

1、随机变量独立同分布的概念 随机变量X1和X2独立,是指X1的取值不影响X2的取值,X2的取值也不影响X1的取值。随机变量X1和X2同分布,意味着X1和X2具有相同的分布形状和相同的分布参数,对离散型随机变量具有相同的概率函数,对连续型随机变量具有相同的概率密度函数,有着相同的分布函数,相同的均值、方差与标准差。 反之,若随机变量X1和X2是同类型分布,且分布参数全相同,则X1和X2一定同分布。 一般来说,在相同条件下,进行两次独立试验,则这两次实验结果所对应的随机变量是独立同分布的。 比如,将一枚质地均匀的硬币抛掷两次,设X1为第一次抛掷硬币的结果,X2为第二次抛掷硬币的结果。显然,第一次抛掷硬币的结果对第二次的结果没有影响,反之亦然,故X1和X2相互独立。 同时,X1和X2都只有两种试验结果:正面朝上和背面朝上,以0代表正面朝上,1代表背面朝上,则 P(X1=0)=P(X2=0)=0.5, P(X1=1)=P(X2=1)=0.5, 故X1和X2是独立同分布的随机变量。 随机变量独立同分布的特性可以推广到三个或更多个随机变量。 2、独立同正态分布(定理1) 3、独立同分布(定理2——中心极限定理) 当的分布对称时,只要n 5,那么,近似效果就比较理想;当的分布非对称时,要求n 值较大,一般n 30近似效果较理想。 这个定理表明:无论随机变量服从何种分布,可能是离散分布,也可能是连续分布,连续分布可能是正态分布,也可能是非正态分布,只要独立同分布随机变量的个数n较大,那么,随机变量之和的分布、随机变量均值X-的分布都可以近似为正态分布。这一结论意义深远。 4、标准误 统计学中把均值X-的标准差称为均值的标准误,记为,无论是正态还是非正态,均值X-的标准误都有 SEM随着n的增加而减少。 常常对一个零件的质量特性只观测一次,就用该观测结果去估计过程输出的质量特性。这里建议一种简单有效的减少测量系统误差的方法。对同一个零件的质量特性作两次或更多次重复测量,用其观测结果的平均值去估计过程输出的质量特性,就可以减少标准差。当然,这不是回避使用更精确量具的理由,而是一种提高现有量具精度的简易方法,多次测量值的平均值要比单次测量值更精确。

数学:人教版选修2-3第二章离散型随机变量教案(2.2.2事件的相互独立性)

2.2.2事件的相互独立性 教学目标: 知识与技能:理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法:能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观:通过对实例的分析,会进行简单的应用。 教学重点:独立事件同时发生的概率 教学难点:有关独立事件发生的概率计算 授课类型:新授课 课时安排:2课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件 2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率 m n 总是接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作()P A . 3.概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率; 4.概率的性质:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率为0()1P A ≤≤,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件A )称为一个基本事件 6.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是1n ,这种事件叫等可能性事件 7.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有n 个,而且所有结果都是等可能的, 如果事件A 包含m 个结果,那么事件A 的概率()m P A n = 8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件.()()()P A B P A P B +=+ 一般地:如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11.对立事件:必然有一个发生的互斥事件.()1()1()P A A P A P A +=?=- 12.互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥,那么 12()n P A A A +++ =12()()()n P A P A P A +++

浅谈随机变量的独立性

摘要 随机变量的独立性是概率论中最基本的概念之一,通过对它的研究可使许多实际问题的具体计算得到简化.本文首先介绍了随机变量独立性的定义.然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法,同时得出了一些相关的推论,并对其应用进行了举例说明.最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合. 关键词:离散型随机变量;连续型随机变量;独立性;数学期望;方差

The Research on the Independence of Random Variables 10204631SUN Jing-jing Mathematics and Applied Mathematics Tutor LI Jian-li Abstract The independence of the random variable is the most basic concept of probability. Through the study of it can simplify many specific calculations of the practical problems. Firstly, this paper introduces the definition of the independence of random variables. Secondly, for the independence of discrete random variables and continuous random variables, the article gives two judgmental methods to them, and obtains some inferences; this paper also illustrates some examples for these applications. Finally, this paper composes some applications of the independence of the random variable for the calculation of some random variable numeral characters. Key words: discrete random variable; continuous random variable; independence; mathematical expectation; variance

北邮概率论与数理统计3.3随机变量的独立性

§3.3随机变量的独立性 随机变量的独立性 我们可利用事件间的独立性的定义给出随机变量间的独立性之概念。 随机变量X 和Y 相互独立,如果对于任意有关X 的事件和有关Y 的事件都相互独,换言之,对于任意两个实数集I 和J ,有 },{J Y I X P ∈∈}{}{J Y P I X P ∈∈= (1) 理论上可证明(其证明超出了我们的知识范围)(1)式成立当且仅当对),(,+∞-∞∈?y x ,有 },{y Y x X P ≤≤}(){y Y P x X P ≤≤=. 于是有以下定义。 定义 设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ,两个边际分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,如果),(,+∞-∞∈?y x ,有 ),(y x F )()(y F x F Y X = (2) 则称Y X ,相互独立。 当),(Y X 为离散随机向量时,独立的条件(2)等价于等式 }{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P ===== (3) 对所有的),(j i y x ),2,1,( =j i 成立。 当),(Y X 为连续随机向量时,独立的条件(2)等价于等式 )()(),(y f x f y x f Y X = (4) 几乎处处成立。 例3.3.1 设二维随机向量),(Y X 的联合分布函数为

???≥≥+--=λ-----其他 ,00,0,1),(y x e e e y x F xy y x y x , 则Y X ,相互独立的充要条件是0=λ。 例3.3.2 (续3.1.2)问X 与Y 是否相互独? 对于离散随机向量),(Y X ,若说明X 与Y 不相互独立,则只需找一个数对),(j i y x ,使得}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P ==≠==;若要说明X 与Y 相互独立,则需要验证,对),(Y X 所有可能取的数对),(j i y x ,都有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =====, 2,1,=j i 。 例3.3.3 设二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ???<<<<=其他 ,010,10,4),(y x xy y x f 判断X 与Y 的独立性。 解:由联合密可得两个边缘密度分别为 ?? ?<<==?∞+∞-其他,010,2),()(x x dy y x f x f X , ???<<==?∞+∞-其他 ,010,2),()(y y dx y x f y f Y 故有)()(),(y p x p y x p Y X =,y x ,?,所以X 与Y 相互独立。 在上例子中,),(Y X 的联合密度函数可以分解成两部分,其中一部分仅与x 有关,而另一部分仅与y 有关。一般地若),(Y X 的联合密度函数可以分解为 )()(),(y g x h y x p = 则X 与Y 的相互独立。 例3.3.4 设二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为

相互独立的随机变量

12.相互独立的随机变量 【教学内容】:高等教育出版社浙江大学盛骤,谢式千,潘承毅编的《概率论与数理统计》第三章第§4相互独立的随机变量 【教材分析】:在多维随机变量中,各分量的取值有时会相互影响,但有时会毫无影响,譬如一个人的身高X和体重Y救护相互影响,但与收入Z一般无影响,当两个随机变量的取值互不影响时,就称它们是相互独立的。本节将利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念,这是一个十分重要的概念。 【学情分析】: 1、知识经验分析 学生已经学习了两个事件相互独立的概念,对独立性有了一定的认识。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的理论基础,但概念理解不透彻,解决问题的能力不高。 【教学目标】: 1、知识与技能 理解随机变量的独立性定义,掌握随机变量的独立性的判定方法。 2、过程与方法 在知识的教学过程中,用类比的方法培养学生的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力,渗透归纳、转化的数学思想方法. 3、情感态度与价值观 创设教学情境,培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣,加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识,树立学生善于创新的思维品质. 【教学重点、难点】: 重点:二维随机变量独立性的判定方法。 难点:二维随机变量独立性的判定方法。 【教学方法】:讲授法启发式教学法 【教学课时】:1个课时 【教学过程】: 一、问题引入 若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A ,B相互独立。 【设计意图】:两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。 二、随机变量的独立性

(,)(),() (,). ,{,}{}{},(,)()(),. X Y X Y F x y F x F y X Y x y P X x Y y P X x P Y y F x y F x F y X Y ≤≤=≤≤= 定义 设及分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数若对于所有有即则称随机变量和是的相互独立 1、若(,)X Y 为离散型随机变量 X Y 和相互独立充分必要条件: ()()()(),,i j i j P X x Y y P X x y i j N Y P =====∈ ij i j p p p ??=? (|)(|),j i i j j i p p P X x Y y P Y y X x ????====== 2、若(,)X Y 为连续随机变量 X Y 和 相互独立充分必要条件:(,)()()(,)X Y f x y f x f y x y =?对任意实数 已知随机变量 例1已知(,)X Y 的联合分布律为 1 2 3 1 1/3 a b 2 1/6 1/9 1/18 试确定常数 a 与 b ,使X Y 与相互独立。 解:先求(,)X Y 关于X Y , 的边缘分布律: 1 2 3 {}Y j P Y y = 1 1/3 a b 1 +3a b + 2 1/6 1/9 1/18 13 {}X i P X x = 12 19a + 1+18 b 1 要使X Y 与 相互独立, ij i j p p p ??=? ()()(),2222P X Y P X Y P =====,(,)()()3232P X Y P X P Y ===== X Y X Y

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