平衡稳定性判定1

1、如图2.2 -1所示，三个完全相同的半径为r的光滑小圆柱紧密接触叠放在光滑的大圆筒中，处于平衡

状态，试求大圆筒的最大半径R.

2、如图2.6-2所示，浮子是半径为R的球冠，质量为ml，质心到球冠底的距离

为h.另有一根长为ι，质量为m2的均匀细杆从浮子中心垂直插到底，细杆上

插一不计质量的小旗，试讨论该体系平衡的稳定性

3、半径R ０.5cm的空心球以角速度ω=５rad/s, 绕其竖直直径旋转，如图例2- 3a所示，在球内侧高度为R/2处有一小木块同球一起旋转，

(g=10m/s2)

(1)实现这一情况所需的最小摩擦系数是多

少?

(2)求ω= 8rad·s-1时实现这一情况的条件

(3)就以下两种情况研究运动的稳定性.

( i)木块位置有微小变动

( ii)球的角速度有微小变动. (第9届国际物理奥林匹克竞赛题)

4、一长方形均为薄板AB，可绕通过其重心、垂直于长度方向的

固定水平轴O (垂直纸面)自由转动，如图7练4所示。在板上轴

O左侧距O点为L处以轻绳悬挂一质量为m的物体。在轴O的

右侧板上放一质量也是m的立方体，立方体边长以及其左侧面到

轴O的距离均为ι。已知起始时板处于水平位置，挂物与地面相

接触，轻绳绷紧，整个系统处于平衡状态。现在立方体右侧面中

心处施一沿水平方向向右的力F 去拉它，若用符号μ表示立方体与板面间的静摩擦系数，当F 从零开始逐渐增大至某一数值时，整个系统的平衡状态将开始被破坏。试讨论:可能出现几种平衡状态被破坏的情况?每种情况出现的条件是什么?要求在以μ为纵坐标、x(= L

2-3)为横坐标的图中，画出可能发生这

几种情况出现的区域。不要求讨论这些区域交界线上的平衡状态被破坏的情况。

5、截面为正方形的木棒水平地浮在水面上，为使木棒对于水平轴的扭转扰动呈稳定平衡，木棒的比重应为多大?

6、半径为R 的圆环绕其铅垂直径轴以不变的角速度ω匀速转动。两质量

为m 的珠子用长为L=R 的轻杆相连，套在圆环上可以无摩擦地滑动，如

图7-练15所示。试求轻杆在圆环上的平衡位置，用环心O 与杆心C 的

连线与铅垂轴的夹角θ表示，并分析平衡的稳定性。

7、有一个熟鸡蛋的长轴为ι，其尖端B 的曲率半径为b ，圆端A 的曲率半径为

α，现已知圆端可以稳定地立在水平地面上，如果要其尖端能稳定地立在半径为

r 的碗里，对r 有什么要求? (所有接 触面都不会产生滑动)

8.曲杆DCE 中的CD 、CE 是相互垂直的两段均质杆，每段长为2l ，重量均为P 。将此曲杆搁在宽度为G 的光滑平台上(图)aL ，求平衡时的φ角

关于浮体的平衡与稳定性

关于浮体的平衡与稳定性)1 谢建华 (西南交通大学牵引动力国家重点实验室) 摘要：本文讨论了浮体的平衡与稳定问题，介绍了定倾中心的定义，并结合一个具体的例子，给出了定倾高度的三种不同的计算方法，最后，根据能量方法说明了用定倾高度判定浮体稳定性的理论依据。 关键词：浮体；平衡；稳定性 浮体的平衡与稳定问题研究是一个非常有实际意义的课题，是船舶与海洋平台设计的理论基础，在其它工程中也有广泛的应用。在浮体稳定性研究中，定倾中心是一个重要的概念，但是，笔者认为有一些教科书或文献对此概念的定义是不够明确的，例如，有的认为，当船 体发生微小摇晃时浮力的作用线交对称轴线（浮轴）于一定点，此点即为定倾中心]2[],1[，也有的认为实验表明前述两直线交于一点]3[。另外，在用力系简化方法推导定倾高度的过程中也有含糊不清之处]1[，或在稳定性判定上发生错误]4[。笔者带着这些疑问查阅了若干 参考书，特别是[5]、[6]和[7]。根据这些材料，本文介绍了定倾中心的明确定义，并结合一个具体的例子，给出了定倾高度三种不同的计算方法，最后，根据能量方法说明了用定倾高度判定浮体稳定性的理论依据。 如果物体的比重比水小，物体在水中漂浮平衡时，有一部分将露出水面，这样的物体称为浮体。浮体要满足以下两个条件才能平衡：(i) 受水的浮力等于浮体的重量；(ii)浮心(浮力的作用点)与浮体重心的连线和水平面垂直，如图1(a)所示。浮体平衡位置还要满足稳定性条件才能具体实现。图1(b)表示一个长方形物块平躺和竖立平衡位置发生了微小的扰动，其中，左边的物块上作用的重力和浮力阻碍了物块进一步偏离其平衡位置，因此平衡是稳定，而右边的物块则相反，其上作用的重力和浮力加剧了偏离其平衡位置，平衡是不稳定。以下来分析浮体平衡和稳定的条件。 图1 浮体的平衡 假设浮体有一个对称面，平衡位置发生扰动时，浮体上各点的位移均平行于对称面，浮体作平面运动。容易说明浮体对铅直和水平扰动是稳定的，仅需考虑浮体对转动方向扰动的稳定性问题。平衡时，浮体与水平面的交面称浮面，记为S。先建立一个与浮体固连的坐标 )1国家自然科学基金资助项目(10772151)

重心位置与物体平衡关系

重心位置与物体平衡的关系 一个物体受到重力的作用，从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫物体的重心。重心相当于是物体各个部分所受重力的等效作用点。重心的位置一方面取决于物体的几何形状，另一方面取决于物体的质量分布情况。 物体的平衡问题是物理学中一大类问题，物体在重力和支持力下的平衡又可分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三个类型。物体稍微偏离平衡位置，如果重心升高，就是稳定平衡；如果重心降低，就是不稳定平衡；如果重心的位置不变，就是随遇平衡。 从物理学的角度来看，重心的位置和物体的平衡之间有着密切联系，主要体现在两个方面： （1）物体的重心在竖直方向的投影只有落在物体的支撑面内或支撑点上，物体才可能保持平衡。 （2）物体的重心位置越低，物体的稳定程度越高。 对于重心位置和平衡的关系我们可以举出如下熟知的例子： 类型1：不倒瓮为什么不倒?如图1，有趣的不倒翁，不论你怎么使劲推，它都不会翻倒。甚至你把它横过来放，一松手，不倒翁又会站在你面前。这是怎么回事呢？一方面因为它上轻下重，底部有一个较重的铁块，所以重心很低；另一方面，不倒翁的底面大而圆滑，当它向一边倾斜时，它的重心和桌面的接触点不在同一条铅垂线上，重力作用会使它向另外一边摆动。比如，当不倒翁向左倒时，重心和重力作用线在接触点的右边，在重力作用下，不倒翁就又向右倒。当倒向右边时，重心和重力作用线又跑到接触点左边，迫使不倒翁再向左倒。不倒翁就是这样摆过来，又摆过去，直到因为摩擦和空气阻力，能量逐渐损失，减少到零。重力作用线此时恰好通过接触点，它才不会继续摆动。 类型2：来看一个不可思议的平衡表演. 将一把小折刀打开一半，把刀尖插进一支铅笔的一侧，距笔尖约2厘米。将笔尖放在手指头上，铅笔会稳稳地站立着。稍稍调整一下小刀的开合度，把笔尖放在任何物体上，你会发现，铅笔都不会倾倒。这是因为铅笔和小刀组成的系统，其总重心在笔尖支撑点以下的缘故，其道理和不倒翁有些相似. 类型3：一块水平放置的砖头，不论雨打风吹，总是稳稳地呆在原地。如果把它竖起来，一有风吹草动它就可能翻倒。这是因为砖头平放时，重心很低，接触地面的面积又很大，因此导致它的重心较低，不容易翻倒。其他物体也是这样，如果你到过工厂，会发现许多机器设备的机座都比较大，也很沉，目的就是防止机器翻倒，增加机器的稳定性。往车或船上装货物时，要先把重的东西放在底部。因为这样一来，整个车或船的重心较低，可以保证行驶

实验一--控制系统的稳定性分析

实验一--控制系统的稳定性分析

实验一控制系统的稳定性分 班级：光伏2班 姓名：王永强 学号：1200309067

实验一控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；

3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB中的tf2zp函数求出系统的零极点，或者利用root函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递 函数为 0.2( 2.5) () (0.5)(0.7)(3) s G s s s s s + = +++，用MATLAB编写 程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB命令窗口写入程序代码如下：z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=1 Go=zpk(z,p,k)

Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=ploy2str(dc{1},'s') 运行结果如下： Gctf = s + 2.5 --------------------------------------- s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 2.05 s + 2.5 Continuous-time transfer function. dens是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码： den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5] p=roots(den)

运用平衡判据探讨系统的平衡稳定性条件

运用平衡判据探讨系统的平衡稳定性条件 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

本科毕业论文（设计）题目：运用平衡判据探讨系统的平衡稳定性条件 系（部） 学科门类 专业 学号 姓名 指导教师 职称 年月日

运用平衡判据探讨系统的平衡稳定性条件 摘要 熵判据是讨论热力学系统是否处于平衡态的最基本判据，但在实际热力学过程中可 以引入其它判据进行讨论。本文探讨了系统在熵和体积不变时，由内能判据出发，再结 合雅克比行列式，详细推证了平衡稳定性条件。该方法条理清楚，步骤简明，便于理解。 关键词：熵判据内能判据雅克比行列式平衡稳定性条件 ABSTRACT Entropy criterion is the most basic criterion in discussing the equilibrium state of thermodynamic system, but we can introduce other criterion for discussion in the actual thermodynamic process. This essay discusses the requirement for a system to reach a equilibrium stability in detail. The discussion is in condition of constant entropy and volume, and on the basis of the internal energy criterion and the Jacobian. This method is clear, concise, and easy to master. Key words: entropy criterion internal energy criterion Jacobian the equilibrium stability condition

《物体平衡的稳定性》教案1

物体平衡的稳定性 【教学课题】 物体平衡的稳定性 【教学目标】 1.知识与能力 ?掌握物体的受力分析、平衡条件及物体平衡的种类 2.过程与方法 ?能用刚体的平衡条件分析物体的平衡 3.情感态度与价值观 ?培养耐心细致的工作作风和严肃认真的科学态度 【教学安排】 2课时 【教学重难点】 重点： 掌握物体平衡的种类,稳定性的概念 难点： 能正确运用平衡条件求解静力学问题 【教学方法】 讲练结合、总结归纳 【教学用具】 投影仪、投影片 【主要内容】 一、平衡的种类 钢丝上的杂技演员、儿童玩的不倒翁都是在重力和支持力的作用下处于平衡状态，但是钢丝上的演员稍有不慎就会摔下来，不倒翁扳倒后却会自动立起来。可见，平衡也是有区别的。那么平衡有哪些种类呢？

如果照图1.6-3(a）那样，把木条一端的小孔套在水平轴O上，把木条从平衡位置稍微移开一些，重心C的位置升高，重力对轴O的力矩就会使它回到原来的平衡位置，这种平衡叫做稳定平衡（stable equilibrium）。 图1.6-3（a）图1.6-3(b) 如果照图1.6-3(b)那样，使木条的重心恰好在水平轴的正上方，木条处于平衡状态。把木条从平衡位置稍微移开一点，重心C的位置降低，重力对轴O的力矩就会使它继续远离平衡位置，这种平衡叫做不稳定平衡（unstable equilibrium）。 如果照图1.6-3(b)那样，把木条重心C处的小孔套在轴O上，这时无论你把木条放在什么位置，它都能保持平衡。这是因为无论木条处在什么位置，重心C的位置都没有改变，重力对轴O的力矩始终为零的缘故。这种平衡叫做随遇平衡（indifferent equilibrium）。

李雅普诺夫稳定性分析

第六章 李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性 系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义（外部稳定性）： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明： （1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实 常数k ，使得对于所有的[]∞∈0 t ，恒有∞<≤k t h )(成立。 （2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统 ∑),,(C B A 的传递函数矩阵为 Cx y Bu Ax x =+= BU A sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+= B A sI C s G 1 )()(--= 当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。 【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为

4.3平衡的稳定性汇总

第四章物体的平衡 §4.2 平衡的稳定性 【学习目标】 1．知道稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡； 2．了解三类平衡从动力学角度来看有什么区别； 3．知道稳度，体会增加稳度在实际生活中的重要意义。 4．通过让学生举例，培养信息收集和处理能力，分析、解决问题能力和交流、 合作能力。 【问题导学】 在前面的学习中，我们学习了有关共点力的平衡问题，我们知道了共点力平衡的 条件是共点力的合力为零。那么是不是自然界中的所有的平衡现象都如共点力作 用一样呢？为什么比萨斜塔每年都在倾斜却总也不倒呢？为什么双层公交车比 正常的公交车车底看起来要低呢？通过这节课的学习，希望同学们能给我以合理 的解释，好，我们进入这节课的学习研究，平衡的稳定性。 【合作探究】 一、平衡的分类 1、平衡的定义 [讨论交流] 准备一段视频录像（走钢丝杂技表演），让学生结合录像和书上的讨论交流，观 察这几个平衡与以前有什么不同，这三个平衡之间有什么不同？（把问题写在黑 板） 问题1：这三种平衡状态下，物体所受的力是共点力吗？（不是，向下的重力与 向上的绳的作用力不相交，重力作用于重心，绳对人的作用力不止一个点，如人 的两只脚、车的两个轮） 问题2：他们是否可以看做质点？（不可以，人体的姿势、形态对人体受力的有 影响，也使重心位置变化） 学生总结：此时物体不能看做质点又处于平衡状态，与我们以前学过的平衡发生 了变化，概念要发生变化，平衡条件也要发生变化，所以我们要考虑它们的另一 特性：平衡的稳定性。 问题3：我们换一种研究问题的方法，先观察这三个平衡的特点：第一个人受到 微小扰动而偏离平衡位置时，不能回到原先的状态，我们称之为不稳定平衡；第

物体的平衡问题

物体的平衡问题 物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种． 一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡．如图1—1（a）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的． 二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大，这样的平衡叫做不稳定平衡，如图1—1(b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡． 三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图1—1（c）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的． 从能量方面来分析，物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡； 减少者为不稳定平衡；不变者，为随遇平衡． 如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有最低的位置．不稳定平衡状态对应重力势能的极大值，亦即物体的重心有最高的位置．随遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变． 二、方法演练 类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从

物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。 例1．有一玩具跷板，如图1—2所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量）． 分析和解：假定物体偏离平衡位置少许，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一，本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个θ角，则： 在平衡位置，系统的重力势能为 (0) 2(c o s )E L l m g α=- 当系统偏离平衡位置θ角时，如图1一3所示，此时系统的重力势能为 ()[c o s c o s ()][c o s c o s E m g L l m g L l θθαθθαθ=-++-- 2c o s (c o s m g L l θ θ=- ()(0) 2(c o s 1)(c P E E E m g L l θθ?=-=-- 故只有当cos L l θ<时，才是稳定平衡． 例2．如图1—4所示，均匀杆长为a ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy 平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程． 分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的

控制系统的稳定性分析

精品 实验题目控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1．观察系统的不稳定现象。 2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。 二、实验仪器 1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台 三、系统模拟电路图 系统模拟电路图如图3-1 图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。 四、实验报告 1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。 G(S)= K=R3/100K,T=CuF/10 2．绘制EWB图和Simulink仿真图。

精品 3．根据表中数据绘制响应曲线。 4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。 系统响应曲线 实验曲线Matlab （或EWB）仿真 R3=100K = C=1UF 临界 稳定 （理论值 R3= 200K） C=1UF

精品 临界 稳定 （实测值 R3= 220K） C=1UF R3 =100K C= 0.1UF

精品 临界 稳定 （理论 值R3= 1100 K） C=0.1UF 临界稳定 （实测值 R3= 1110K ） C= 0.1UF

精品 实验和仿真结果 1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。 对比： 实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。 原因： MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。 2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较（1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2， 当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11 当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近 四、实验总结与思考 1．实验中出现的问题及解决办法 问题：系统传递函数曲线出现截止失真。 解决方法：调节R3。 2．本次实验的不足与改进 遇到问题时，没有冷静分析。考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。 改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。 3．本次实验的体会 遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师，

《物体平衡的稳定性》同步练习2

物体平衡的稳定性 一、选择题 1．物体受共点力F1、F2、F3作用而做匀速直线运动，这三个力的数值选取可能正确的是（）A．15 N、5 N、6 N B．9 N、2 N、7 N C．3 N、4 N、5 N D．1 N、6 N、3 N 2．如图4-1所示，在倾角为α的斜面上放一质量为m的光滑小球，球 被竖直的木板挡住，则小球对斜面的压力为（） A．mgcosα B．mgtgα C．mg／cosα D．mg 3．如图4-2所示，在粗糙水平面上放一个三角形木块a，若物体b在a的斜面上匀速下滑，则（） A．a保持静止，而且有相对水平面向右运动的趋势 B．a保持静止，而且没有相对水平面运动的趋势 C．a保持静止，而且有相对水平面向左运动的趋势 D．因未给出所需数据，无法对a是否运动或有无运动趋势作出判断 4．如图4-3所示，小球A静止于水平面B上，下列说法正确的是（） A．A对B的正压力大小等于A的重力，这两个力是平衡的 B．A对B的正压力大小等于A的重力，这两个力是作用力和反作用力 C．B对A的支持力大小等于A的重力，这两个力是作用力和反作用力 D．B对A的支持力大小等于A的重力，这两个力是平衡力 5．如图4-4所示，PQ是一根非均匀直棒，全长8m，用两根细绳吊 成水平状态，α=60°，β＝30°，则棒的重心到P点的距离是（） A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m 6．质量为m的物体，放在质量为M的斜面体上，斜面体放在粗糙 的水平地面上，m和M均处于静止状态，如图4-5所示．当物体m 上施加一个水平力F，且F由零逐渐加大到F m的过程中，m和M 仍保持相对静止，在此过程中，下列判断哪些是正确的（） A．斜面体对m的支持力逐渐增大 B．物体m受到的摩擦力逐渐增大

平衡稳定性判定1

1、如图2.2 -1所示，三个完全相同的半径为r的光滑小圆柱紧密接触叠放在光滑的大圆筒中，处于平衡 状态，试求大圆筒的最大半径R. 2、如图2.6-2所示，浮子是半径为R的球冠，质量为ml，质心到球冠底的距离 为h.另有一根长为ι，质量为m2的均匀细杆从浮子中心垂直插到底，细杆上 插一不计质量的小旗，试讨论该体系平衡的稳定性 3、半径R ０.5cm的空心球以角速度ω=５rad/s, 绕其竖直直径旋转，如图例2- 3a所示，在球内侧高度为R/2处有一小木块同球一起旋转， (g=10m/s2) (1)实现这一情况所需的最小摩擦系数是多 少? (2)求ω= 8rad·s-1时实现这一情况的条件 (3)就以下两种情况研究运动的稳定性. ( i)木块位置有微小变动 ( ii)球的角速度有微小变动. (第9届国际物理奥林匹克竞赛题) 4、一长方形均为薄板AB，可绕通过其重心、垂直于长度方向的 固定水平轴O (垂直纸面)自由转动，如图7练4所示。在板上轴 O左侧距O点为L处以轻绳悬挂一质量为m的物体。在轴O的 右侧板上放一质量也是m的立方体，立方体边长以及其左侧面到 轴O的距离均为ι。已知起始时板处于水平位置，挂物与地面相 接触，轻绳绷紧，整个系统处于平衡状态。现在立方体右侧面中

心处施一沿水平方向向右的力F 去拉它，若用符号μ表示立方体与板面间的静摩擦系数，当F 从零开始逐渐增大至某一数值时，整个系统的平衡状态将开始被破坏。试讨论:可能出现几种平衡状态被破坏的情况?每种情况出现的条件是什么?要求在以μ为纵坐标、x(= L 2-3)为横坐标的图中，画出可能发生这 几种情况出现的区域。不要求讨论这些区域交界线上的平衡状态被破坏的情况。 5、截面为正方形的木棒水平地浮在水面上，为使木棒对于水平轴的扭转扰动呈稳定平衡，木棒的比重应为多大? 6、半径为R 的圆环绕其铅垂直径轴以不变的角速度ω匀速转动。两质量 为m 的珠子用长为L=R 的轻杆相连，套在圆环上可以无摩擦地滑动，如 图7-练15所示。试求轻杆在圆环上的平衡位置，用环心O 与杆心C 的 连线与铅垂轴的夹角θ表示，并分析平衡的稳定性。 7、有一个熟鸡蛋的长轴为ι，其尖端B 的曲率半径为b ，圆端A 的曲率半径为 α，现已知圆端可以稳定地立在水平地面上，如果要其尖端能稳定地立在半径为 r 的碗里，对r 有什么要求? (所有接 触面都不会产生滑动) 8.曲杆DCE 中的CD 、CE 是相互垂直的两段均质杆，每段长为2l ，重量均为P 。将此曲杆搁在宽度为G 的光滑平台上(图)aL ，求平衡时的φ角

平衡状态与稳定状态有何区别

1.平衡状态与稳定状态有何区别？热力学中为什幺要引入平衡态的概念？ 答：平衡状态是在不受外界影响的条件下，系统的状态参数不随时间而变化的状态。而稳定状态则是不论有无外界影响，系统的状态参数不随时间而变化的状态。可见平衡必稳定，而稳定未必平衡。热力学中引入平衡态的概念，是为了能对系统的宏观性质用状态参数来进行描述。 2‘表压力或真空度能否作为状态参数进行热力计算？若:』:质的压力不变，问测设其压力的压力表或真空计的读数是否可能变化？ 答：不能，因为表压力或真空度只是一个相对压力。荇：1：质的压力不变，测5：其压力的压力表或真空计的读数可能变化，因为测所处的环境压力可能发生变化。 3^当真空表指示数值愈大时，表明被测对象的实际压力愈大还是愈小？ 答：真空表指示数值愈大时，表明被测对象的实际压力愈小。 4^准平衡过程与可逆过程有何区别？ 答：无耗散的准平衡过程才是可逆过程，所以可逆过程一定是准平衡过程，而准平衡过程不一定是可逆过程。推平衡过程只注重

的是系统内部而可逆过程是内外兼顾! 5^不可逆过程是无法回复到初态的过程，这种说法是否正确？ 答：不正确。不可逆过程是指不论用任何曲折复杂的方法都不能在外界不遗留任何变化的情况下使系统回复到初态，并不是不能回复到初态。引起其他变化时是可以回到初态的! 6~没有盛满水的热水瓶，其瓶塞有时被白动顶开，有时被0动吸紧，这是什幺原因？ 答：水温较商时，水对热水瓶中的空气进行加热，空气压力升高，大于环境压力，瓶塞被9 动顶开。而水温较低时，热水瓶中的空气受冷，压力降低，小于环境压力，瓶塞被自动吸紧。人气卍力改变，热水能兌散失，导致内部乐力改变，乐力平衡打破1.用II形管压力表测定工质的压力时，压力表液柱直径的大小对读数有无影响？ 答：严格说来，是有影响的，因为0型管越飢，就有越多的被测工质进入0型管中，这部 分工质越多，它对读数的准确性影响越大。

教科版高中物理必修1 课时作业-第4章 第2节 第3节 平衡的稳定性(选学)

[A 组 素养达标] 1．(多选)下列物体的设计中能增大稳度的是( ) A ．不倒翁的下部填充实物,上部空壳 B ．赛车有一副“身矮轮宽”的怪模样 C ．凳子将四条腿改为三条腿 D ．船的两头尖,中间宽 解析：不倒翁的结构能降低重心,从而增大稳度,A 正确；赛车的宽轮胎能增大接触面,从而增大稳度,B 正确． 答案：AB 2．如图所示,放在水平桌面上的木块受到F 1＝8 N 、F 2＝3 N 的两水平推力作用而 静止．若撤去F 1,则木块在水平方向上受到的合力为( ) A ．0 B ．3 N,方向为水平向左 C ．2 N,方向为水平向右 D ．8 N,方向为水平向左 解析：木块原来处于静止状态,则所受摩擦力为静摩擦力,取向右为正方向,由平衡条件得F 1－F 2－f ＝0,得静摩擦力f ＝5 N,方向为水平向左．撤去F 1后,F 2使木块产生向左的运动趋势,由于F 2<5 N,故木块仍静止,故此时木块在水平方向上受到的合力为0(此时静摩擦力f′＝3 N,方向为水平向右,与F 2平衡),故选A. 答案：A 3．如图所示,A 、B 两球完全相同,质量为m,用两根等长的细线悬挂在O 点,两球之间夹着一根劲度系数为k 的轻弹簧,静止不动时,弹簧位于水平方向,两根细线之间的夹角为θ,则弹簧的长度被压缩了( ) A. mgtan θ k B. 2mgtan θ k C.mgtan θ2 k D.2mgtan θ2 k 则x ＝mgtan θ2 k , 解析：对A 球受力分析如图所示,由平衡条件得：F ＝mgtan θ 2,又F ＝kx, 故C 对,A 、B 、D 错． 答案：C 4．如图所示,在粗糙水平面上放置A 、B 、C 、D 四个小物块,各小 物块之间由四

平衡的稳定性

西华师范大学物理与电子信息学院- 1 - - 《物体的平衡性》教案 【课题】对物体平衡性的探究 【教学时间】40分钟 【教学对象】高一(上) 【教材】教育科学出版社第四章第3节 【主讲人】 【教学内容分析】 1.教材的地位和作用：课程地位及目标 本节内容是新教材第四章第三节的内容，应其在课程要求中为选学内容，对学生的要求相对较低，教材地位一般，只是教师对学生实际情况进行相应补充，和对教学方法的适当尝试；学生通过自我探究就简单规则几何体的平衡有一定定性了解。 。 2.课程标准对本节的要求：通过实验探究，让学生知道什物体平衡的分类，物体达到平衡的条件及稳定的概念，培养其的物理思维。 3.教材内容安排：通过实验得出自由落体是初速度为零的匀加速运动，并分析自由落体运动及其加速度。 4.对教材的处理：培养学生观察能力和分析,使之会验证匀变速直线运动；通过分析、归纳出自由落体运动的速度、位移公式，培养分析、推理、综合的能力。 【学生情况分析】 1.学生的兴趣：具有强烈的好奇心。 2.学生的知识基础：学生已经学过共点力平衡等有关知识。 3.学生的认识特点：本节知识的内容，接触多但并未进行总结和相关学习，在探究时，对实验结果的外推的有一定难度。 【教学目标】

1.知识与技能 通过实验观察、定义并理解简单几何体的平衡态的分类和做自由落体运动的条件 2.过程与方法 通过引导学生对实验进行控制变量的设计，是学生掌握实验设计原理，及对于探究的结果合理外推，大胆假设，科学求证的能力 3.情感态度与价值观 通过教学，使学生明白生活中简单几何体的平衡原理，激发起对物理学科的学习热情，使他们从生活走向物理，从物理走向科学。 【教学重点】物体平衡状态的分类，影响物体稳定性的因素及稳度的理解 【教学难点】 学生对于生活中的稳定事例关注不多，对于实验的设计和结果的外推，有较大影响，探究质量把握难度大。 【教学策略设计】 1.教学组织形式 新课程提倡以自主、合作、探究的教学组织形式来进行课堂教学，本节采用教师引导，学生探究的教学组织形式，让学生在体验科学探究的过程中，获取物理知识。 2.教学方法 （1）实验探究法 物理是一门以实验为基础的科学。本节教学设计注重以问题为先导，把主要内容的教学过程变成一种解决问题和科学探究的过程。 在教师的启发、引导下，学生自己探究，动手做一些有趣的小实验，尝试自己观察并描述实验现象，分析现象产生的原因，从而获取知识。整个过程渗透物理学研究方法、科学思维方法和协作精神、探索精神等情感态度价值观教育。 （2）讲授法

平衡的稳定性教案

2共点力平衡条件的应用 3平衡的稳定性(选学) [目标定位] 1.进一步理解共点力作用下物体的平衡条件.2.掌握利用平衡条件解决有关物体平衡问题的思路、方法，提高解决物理问题的能力.3.了解平衡的分类和稳度． 一、关于移动货物箱的疑问 如图42、31所示，货物箱处于平衡状态，G为货物箱重力，F为拉(推)力，N为地面对货物箱的支持力，f为摩擦力，地面与箱之间的动摩擦因数为μ. 图42、31 (1)向前拉物箱时 水平方向上：F cos θ＝f 竖直方向上：N＋F sin_θ＝G 又由于f＝μN，可得：F＝ μG cos θ＋μsin θ (2)向前推物箱时 水平方向上：F cos θ＝f 竖直方向上：N＝F sin θ＋G 又由于f＝μN

可得：F ＝μG cos θ－μsin θ 比较两次的计算结果可知推动货物箱时需要的力更大． 二、如何选择绳子的粗细 如图42、32所示，用绳子把排球网架的直杆拉住，OA 、OB 两绳的拉力大小相同，夹角为60° . 图42、32 O 点受力示意图如图42、33所示(在左上方观察)， 图42、33 沿x 轴方向上： F OA ·sin_30°＝F OB ·sin_30°. 沿y 轴方向上： F OA ·cos_30°＋F OB ·cos_30°＝F OC 所以F OC ＝3F OA ＝3F OB 如果绳能承受的拉力跟绳的横截面积成正比，那么OC 绳的直径大约是OA (OB )绳的1.32倍才合理． 三、平衡的分类

稳度指的是物体的稳定程度，物体的稳度大小由重心的高低和支持面的大小两个因素决定，重心越低，支持面越大，稳度就越大. 一、共点力平衡问题的求解方法 1．矢量三角形法 一个物体受三个力作用而平衡时，则其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形．可以通过解三角形求解相应力的大小和方向． 2．正交分解法 当物体受多个共点力作用时，可用正交分解法求解，即将物体所受各个力均在两互相垂直的方向上分解，然后分别在这两方向上列平衡方程． 3．矢量图解法 当物体所受的力变化时，根据物体的受力特点进行受力分析，画出平行四边形或三角形，注意明确各个力的变化量和不变量，结合数学规律对比分析，使动态问题静态化、抽象问题形象化，问题将变得易于分析处理． 例1在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图42、34所示．仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大，通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小，那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(试用三角形法和正交分解法两种方法求解)

系统的相对稳定性分析

系统的相对稳定性分析 已知某系统的开环传递函数为200 153.0005.060023)()(+++= S S S H G S S ,试用Nyquistw 稳定判据判断闭环系统的稳定性，并用阶跃响应曲线验证。 （1）计算系统开环特征方程的根。 p=[0.0005 0.3 15 200]; roots(p) 程序运行结果 ans= 1.0e+002 * -5.4644 -0.2678 + 0.0385i -0.2678 - 0.0385i 即三个根均有负实部，都为稳定根。故开环特征方程的不稳定根的个数p=0。 (2)绘制系统的开环Nyquist 图，并用来判断闭环系统的稳定性。 n=600;d=[0.0005 0.3 15 200]; GH=tf(n,d); nyquist(GH) 程序运行后，绘制出系统的开环Nyquist 曲线如图1所示，由图1可以看出系统的Nyquist 曲线不包围（-1，j0)点。而p=0，根据Nyquist 稳定判据，其闭环系统是稳定的。这还可以用系统的阶跃响应曲线来验证。 图1系统的开环Nyquist 图

（3）用阶跃响应曲线来验证。 syms s GH sys; GH=600/(0.0005*s^3+0.3*s^2+15*s+200)； sys=factor(GH/(1+GH)) 程序运行结果 sys = 1200000/(s^3 + 600*s^2 + 30000*s + 1600000) 即1600000 300006001200000s 23+++=Φs s s ）（ 下面为使用matlab 绘制系统单位阶跃响应曲线的程序代码： n=1200000;d=[1 600 30000 1600000]; sys=tf(n,d); step(sys) 程序运行后，绘制系统单位阶跃响应曲线如图2所示。由图2可知，曲线略微超调后迅速衰减到响应终了值，对应的系统闭环不仅稳定，而且具有优良的性能指标，这就证明了Nyquist 稳定判据的正确性。 图2 系统的单位阶跃响应曲线

ZKY-试题(2014)-结构稳定理论概念问题

第1章 1、在下图中，小球的三种平衡，分别称为 不稳定平衡状态。 2、什么是结构的第一类稳定问题（分支点失稳），什么是结构的第二类稳定问题（极值点失稳）？两者最明显 的区别是什么？ 第一类稳定问题是失稳前后平衡形式产生了性质的改变，第二类失稳问题失稳前后变形不发生改变，只是 变形大大发展直到破坏。两者最明显区别就是失稳前后变形形式是否发生质变。 3、判断结构平衡的稳定性准则有哪些？ 静力准则、能量准则、动力准则。 4、什么是静力准则？ 处于静力平衡状态的结构体系，受到微小扰动后，若在体系中产生正恢复力，扰动除去后结 构恢复原来平衡位置，则结构是稳定的；若产生负恢复力，则结构是不稳定的，若不产生任 何作用力，则体系处于中性平衡，处于中性平衡的荷载就是临界荷载。 5、什么是能量准则？如果结构体系受到微小扰动后，产生某一足够小变形，则体系总势能存 在一个增量，当增量大于零，总势能是增加的，说明初始平衡位置是稳定的，若小于零，总 势能减小，初始平衡位置不稳定，增量为零时总势能保持不变，说明初始位置是中性平衡的。 结构稳定理论基本概念 稳定平衡状态，中性平衡状态和

6、什么是动力准则？结构体系受到微小扰动，体系在原平衡位置附近振动，结构是稳定的。振动频率随压力增大而减小，当压力达到临界荷载时，频率为零振动无界，平衡是中性的。 7、结构稳定性问题与强度问题的主要区别是什么？强度问题要求结构截面最大应力不超过材

料强度极限值，稳定问题是找出荷载与结构内部抵抗力之间的不稳定平衡状态，稳定问题属于整个结构的变形问题， &在结构分析中，何谓一阶分析，何谓二阶分析？ 针对未变形的结构分析其平衡，不考虑变形对外力影响效力的影响是一介分析，针对已变形结构分析其平衡是二阶分析。 9、对于结构稳定问题，叠加原理是否还适用？为什么？不适用应用叠加原理需要：材料符合胡克定律，荷载和变形呈线性关系。弹性问题不满足第二个，非弹性问题两个都不满足 第2章 10、系统应变能的增量E￡=外荷载做功增量WF扰动力做功WR根据能量准则： 当E￡-WFv0时，系统处于不稳定平衡状态； 当 E ￡-WF>0时，系统处于稳定平衡状态； 当E ￡-WF=0时，系统处于中性平衡状态。为什么？ 试解释之。最小势能原理 11、在铁摩辛柯能量法求解结构稳定性临界荷载时，如何理解外力做功式（2-2 ） 能式（2-7 ）？（p12-13 ） 12、利用铁摩辛柯能量法求解结构稳定性临界荷载时，对其挠曲线有什么要求？（ 合理，尽可能满足边界条件，便于积分 13、求解结构稳定性临界荷载时，为什么式（2-7 ）比式（2-8 ）的计算结果精度要高？ 14、对于图示受压简支梁，利用能量法求解时，荷载所作的功W= 。和弯曲应变 p16）形状

一般物体的平衡

§1.5 一般物体的平衡 力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零)0(=∑外F 和合力矩为零 ∑=)0(M 同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为 ∑=0x F ∑=0x M 0=∑y F 0=∑y M ∑=0z F ∑=0 z M z y x M M M ,,分别为对x 轴、y 轴、z 轴的力矩。 由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。 如平面力系（设在xOy 平面内），则0 ,0,0===∑∑∑y x x M M F 自动满足，则 独立的平衡方程为： 0=∑x F 0=∑y F ∑=0 z F =∑z M 这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的 力臂为零。 平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。 §1.6 平衡的稳定性 1．6．1、重心

物体的重心即重力的作用点。在重力加速度g 为常矢量的区域，物体的重心是惟 一的（我们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。 求重心，也就是求一组平行力的合力作用 点。相距L ，质量分别为21,m m 的两个质点构 成的质点组，其重心在两质点的连线上，且 21,m m 与相距分别为： 0)(2121=-+L m L m m 0)(1221=-+L m L m m 2121m m L m L += 2112m m L m L += 均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。 物体重心（或质心）位置的求法 我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。如图1-6-1由重量分别为21,G G 的两均匀圆球和重量为3G 的均匀杆连成的系统，设立如图坐标系，原点取在A 球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为321,,x x x ，系统重心在P 点，我们现在求其坐标x 。设想在P 处给一支持力R ，令321G G G R ++=达到平衡时有： 33221 1=-++=∑Rx x G x G x G M ∴ 3 213 32211332211G G G x G x G x G R x G x G x G x ++++= ++= 图1-6-1

控制系统的稳定性分析

自动控制理论实验报告 实验题目控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1．观察系统的不稳定现象。 2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。 二、实验仪器 1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台 三、系统模拟电路图 系统模拟电路图如图3-1 图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。 四、实验报告 1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。 G(S)= K=R3/100K,T=CuF/10

自动控制理论实验报告 2．绘制EWB 图和Simulink 仿真图。 3．根据表中数据绘制响应曲线。 4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。

自动控制理论实验报告

自动控制理论实验报告

自动控制理论实验报告 实验和仿真结果 1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。 对比： 实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。 原因： MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。 2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较 （1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2， 当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11 当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近 四、实验总结与思考 1．实验中出现的问题及解决办法 问题：系统传递函数曲线出现截止失真。 解决方法：调节R3。 2．本次实验的不足与改进 遇到问题时，没有冷静分析。考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。 改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。 3．本次实验的体会 遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师，

常微分方程平衡点及稳定性研究

摘要 本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型 ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- 的平衡点1 x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性

Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1 x= of the following delay single population model ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity