线性代数课后习题解答第五章习题详解

第五章 相似矩阵及二次型

1．试用施密特法把下列向量组正交化：

(1) ?

??

?

?

??=931421111),,(321a a a ； (2) ?????

?

?

?---=01

1101110111),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法:

令????? ??==11111a b ， [][]???

?? ??-=-=101,,1112122b b b a b a b ， [][][][]????

? ??-=--=12131,,,,22

2321113133b b b a b b b b a b a b ，

故正交化后得: ?

?????

?? ?

?

--=311132013111),,(321b b b ．

(2) 根据施密特正交化方法:

令?????? ??-==110111a b ; [][]?????? ??-=-=123131,,1112122b b b a b a b , [][][][]????

?

?

??-=--=433151,,,,22232111313

3b b b a b b b b a b a b 故正交化后得 ????

?

??

????

?

?

---=5431153321531051311),,(321b b b

2．下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由:

(1) ???

???

??

??

---121312112131211; (2) ??

?????? ??------97949

4949198949891． 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．

(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．

3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为

H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T ,

所以H 是对称矩阵. 因为

H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.

4．设A 与B 都是n 阶正交阵，证明AB 也是正交阵． 证明 因为B A ,是n 阶正交阵，故A A

T =-1

，B B T =-1

E AB A B AB A B AB AB T T T

===--11)()

(

故AB 也是正交阵．

5．求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)???

??-4211; (2)?

???? ??633312321; (3)())0(,12121≠?

????

? ?

?a a a a a a a n n

Λ

M .

并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1) ① )3)(2(421

1--=---=

-λλλ

λλE A . 故A 的特征值为3,221==λλ．

② 当21=λ时,解方程0)2(=-x E A ,由

??? ????? ??--=-00112211)2(~E A 得基础解系??

?

??-=111P

所以)0(111≠k P k 是对应于21=λ的全部特征值向量． 当32=λ时,解方程0)3(=-x E A ,由

??

? ????? ??--=-00121212)3(~E A 得基础解系??

?

? ??-=1212P 所以)0(222≠k P k 是对应于33=λ的全部特征向量．

③ 023

121)1,1(],[21

21≠=???

? ??--==P P P P T 故21,P P 不正交．

(2) ① )9)(1(6333123

21-+-=---=-λλλλ

λ

λλE A . 故A 的特征值为9,1,0321=-==λλλ． ② 当01=λ时，解方程0=Ax ，由

????? ??????? ??=000110321633312321~A 得基础解系????

? ??--=1111P

故)0(111≠k P k 是对应于01=λ的全部特征值向量. 当12-=λ时,解方程0)(=+x E A ，由

????? ??????? ??=+000100322733322322~E A 得基础解系???

?

? ??-=0112P

故)0(222≠k P k 是对应于12-=λ的全部特征值向量 当93=λ时，解方程0)9(=-x E A ，由

?????? ??--???

?? ??---=-00021101113333823289~E A 得基础解系??????

?

?

??=121213P

故)0(333≠k P k 是对应于93=λ的全部特征值向量．

③ 0011)1,1,1(],[2121=?

????

??---==P P P P T ， 012121)0,1,1(],[3

232=??

?????? ??-==P P P P T ， 012121)1,1,1(],[3131=???????

? ??--==P P P P T

， 所以321,,P P P 两两正交．

(3) λ

λλλ---=-2

2122

21212121n n n n n

a a a a a a a a a a a a a a a E A ΛM

O M M ΛΛ=)(2

22211n n n a a a +++--Λλλ

[]

)(2

22211n n a a a +++-=-Λλλ

∑==+++=∴n

i i n

a a a a 1

2222

211Λλ, 032====n λλλΛ

当∑==

n

i i

a

1

21λ时，

()E A λ-????

?

?

??------------=-2122212122

2321121212

2322n n n n n

n

n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛM

O M M ΛΛΛΛ

初等行变换~?

?

??

??

?

??----000

000000121ΛΛM M O M M ΛΛn n n n a a a a a a

取n x 为自由未知量，并令n n a x =，设112211,,--===n n a x a x a x Λ.

故基础解系为?????

? ??=n a a a P M 211

当032====n λλλΛ时，

()?

?????

??=?-22

122

212121210n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a E A ΛM M M ΛΛ???? ??00000021~ΛM M M ΛΛn a a a 初等行变换 可得基础解系 ??????? ??-=?

?

??

?

??

??-=??????? ??-=112312200,,00,00a a P a a P a a P n n M ΛM M

综上所述可知原矩阵的特征向量为 ()?????

? ??--=112212100,,,a a a a a a a P P P n n n ΛM M M ΛΛΛ

6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明 因为

|A T -λE |=|(A -λE )T |=|A -λE |T =|A -λE |,

所以A T 与A 的特征多项式相同, 从而A T 与A 的特征值相同.

7. 设n 阶矩阵A 、B 满足R (A )+R (B )

证明 设R (A )=r , R (B )=t , 则r +t

若a 1, a 2, ???, a n -r 是齐次方程组A x =0的基础解系, 显然它们是A 的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

类似地, 设b 1, b 2, ???, b n -t 是齐次方程组B x =0的基础解系, 则它们是B 的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,???,a n-r,b1,b2,???,b n-t必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,???,k n-r,l1,l2,???,l n-t,使

k1a1+k2a2+???+k n-r a n-r+l1b1+l2b2+???+l n-r b n-r=0.

记γ=k1a1+k2a2+???+k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2+???+l n-r b n-r),

则k1,k2,???,k n-r不全为0,否则l1,l2,???,l n-t不全为0,而

l1b1+l2b2+???+l n-r b n-r=0,

与b1,b2,???,b n-t线性无关相矛盾.

因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.

8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.

证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.

因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.

9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.

证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.

因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.

10.设λ≠0是m阶矩阵A m?n B n?m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.

证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有

(AB)x=λx,

于是B(AB)x=B(λx),

或BA(B x)=λ(B x),

从而λ是BA 的特征值, 且B x 是BA 的对应于λ的特征向量.

11. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |.

解 令?(λ)=λ3-5λ2+7λ, 则?(1)=3, ?(2)=2, ?(3)=3是?(A )的特征值, 故 |A 3-5A 2+7A |=|?(A )|=?(1)??(2)??(3)=3?2?3=18.

12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 解 因为|A |=1?2?(-3)=-6≠0, 所以A 可逆, 故 A *=|A |A -1=-6A -1, A *+3A +2E =-6A -1+3A +2E .

令?(λ)=-6λ-1+3λ2+2, 则?(1)=-1, ?(2)=5, ?(-3)=-5是?(A )的特征值, 故

|A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|?(A )|

=?(1)??(2)??(-3)=-1?5?(-5)=25.

13．设B A ,都是n 阶方阵，且0≠A ，证明AB 与BA 相似． 证明 0≠A 则A 可逆

BA BA A A A AB A ==--))(()(11 则AB 与BA 相似．

14. 设矩阵????

??=50413102x A 可相似对角化, 求x .

解 由

)6()1(504131

02||2---=---=-λλλ

λλλx E A ,

得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.

因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由

???

? ??-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r

知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.

15. 已知p =(1, 1, -1)T

是矩阵???

?

??---=2135212b a A 的一个特征向量.

(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; 解 设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则 (A -λE )p =0, 即???

? ??=???? ??-???? ??------000111213521

2λλλb a ,

解之得λ=-1, a =-3, b =0.

(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解 由

3)1(2013352

12||--=-------=-λλ

λλλE A ,

得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由

???

? ??-???? ??----=-00011010111325211~r b E A

知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量.

因此A 不能相似对角化.

16．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:

(1)????? ??----020212022; (2)???

?

? ??----542452

222

． 解 (1) λ

λλλ-------=-202120

22E A )2)(4)(1(+--=λλλ

故得特征值为4,1,2321==-=λλλ． 当21-=λ时，由

0220232024321=?????

??????? ??----x x x . 解得 ????? ??=????? ??2211321k x x x . 单位特征向量可取:????

? ??=3232311P 当12=λ时,由

0120202021321=????? ??????? ??-----x x x . 解得????? ??-=????? ??2122321k x x x . 单位特征向量可取: ????? ??-=3231322P 当43=λ时,由

0420232022321=????? ??????? ??-------x x x . 解得????

? ??-=????? ??1223321k x x x ． 单位特征向量可取: ????? ??-=3132323P

得正交阵 ????? ??--==12221222131),,(321P P P P . ????

? ??-=-40

00100021

AP P (2) ???

?

? ??-------=-λλλ

λ542452

222E A )10()1(2---=λλ， 故得特征值为10,1321===λλλ

当121==λλ时，由

????? ??=????? ??????? ??----000442442221

321x x x . 解得 ????

?

??+????? ??-=????? ??10201221321k k x x x 此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量

????? ??-=012511P ; ????? ??=????? ??---????? ??-=*

15452012540122P 单位化得 ?

???

?

??=15452352P 当103=λ时,由

????? ??=????? ??????? ??-------000542452228321x x x . 解得????

? ??--=????? ??2213321k x x x . 单位化????

?

??--=221313P . 得正交阵),,(321P P P ?

?

?????

?

?

??---=323503215545

13115

5252. ????

?

??=-1000100011AP P ． 17．设矩阵????? ??------=12422421x A 与????

? ??-=Λy 00040005相似，求y x ,；并求一个正交阵P ，使Λ=-AP P 1

.

解 方阵A 与Λ相似，则A 与Λ的特征多项式相同，即

E E A λλ-Λ=-λλλ---------?12422421x λ

λλ----=40000

05y ???==?54

y x ．

18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .

解 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1. 因为

???

? ??---=???? ??=--1101110110111111101

1P ,

所以 ???? ??---???? ?

?-???? ??=Λ=-11011101110002

000

20111111101P P A ???

?

??------=244354331.

19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .

解 设???

?

??=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2, 即

?????=++=++=++2222221

22653542321x x x x x x x x x , ---① ?????=-+-=-+-=-+2

221222

22653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有

x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③

由①②③解得

612131x x --=, 6221x x =, 634

132x x -=,

642131x x -=, 654

132x x +=.

令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x , 314=x , 3

25=x .

因此 ???

? ??-=022********A .

20．设3阶对称矩阵A 的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为)1,1,1(1T

P =,求A .

解 设????? ??=653542321x x x x x x x x x A . 由????? ??=????? ??1116111A ， 知① ???

??=++=++=++666653542321x x x x x x x x x

3是A 的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知E A 3-的秩为1，

故利用 ① 可推出???

?

? ??--????? ??---33111333653542653542

32

1~x x x x x x x x x x x x x x x 秩为1. 则存在实的b a ,使得②?

?

?-=-=)3,,()1,1,1()

,3,()1,1,1(653542x x x b x x x a 成立．

由①②解得1,4,1564132======x x x x x x ．

得 ???

?

? ??=411141114A ．

21. 设a =(a 1, a 2, ???, a n )T , a 1≠0, A =aa T .

(1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;

证明 设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则有 A x =λx ,

λ2x =A 2x =aa T aa T x =a T a A x =λa T ax , 于是可得λ2=λa T a , 从而λ=0或λ=a T a .

设λ1, λ2, ? ? ?, λn 是A 的所有特征值, 因为A =aa T 的主对角线性上的元素为a 12, a 22, ? ? ?, a n 2, 所以

a 12+a 22+ ? ? ? +a n 2=a T a =λ1+λ2+ ? ? ? +λn ,

这说明在λ1, λ2, ? ? ?, λn 中有且只有一个等于a T a , 而其余n -1个全为0, 即

λ=0是A 的n -1重特征值.

(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 解 设λ1=a T a , λ2= ? ? ? =λn =0.

因为A a =aa T a =(a T a )a =λ1a , 所以p 1=a 是对应于λ1=a T a 的特征向量. 对于λ2= ? ? ? =λn =0, 解方程A x =0, 即aa T x =0. 因为a ≠0, 所以a T x =0, 即a 1x 1+a 2x 2+ ? ? ? +a n x n =0, 其线性无关解为

p 2=(-a 2, a 1, 0, ???, 0)T , p 3=(-a 3, 0, a 1, ?

??, 0)T ,

? ? ?,

p n =(-a n , 0, 0, ???, a 1)T .

因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为

????

? ????????????????????-???-=???112

21210

0), , ,(a a a a

a a a n

n n p p p . 22. 设????

??-=340430241A , 求A 100.

解 由

)5)(5)(1(3404302

41||+---=----=-λλλλλλλE A ,

得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.

对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则

P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1, A 100=P Λ100P -1. 因为

Λ100=diag(1, 5100, 5100), ???

? ??--=???? ??-=--120210505511202101211

1P , 所以

???? ?

?--???? ?????? ??-=12021050555112021012151100100100A

???

?

??-=1001001005000501501.

23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1). (1)求关系式??

?

??=??? ??++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;

解 由题意知

x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为

???

????? ?

?--=??? ??++n n n n y x q p q p y x 1111,

因此 ??

?

??--=q p q p A 11.

(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即??? ??=??? ??5.05.000y x , 求?

?? ??n n y x . 解 由??? ??=??? ??++n n n n y x A y x 11可知?

?

? ??=??? ??00y x A y x n n n . 由 )1)(1(11||q p q p q

p E A ++--=----=

-λλλ

λλ,

得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .

对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r , 解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T .

令???

??-==11) ,(21p q P p p , 则

P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1.

于是 1

1100111-??

? ??-?

??

?

???? ??-=p q r p q A n

n ???

??-??? ????? ??-+=q p r p q q p n 11001111

??? ??+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1, ??? ????? ??+--++=??? ??5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ??

? ??-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.

24．(1) 设???

??--=3223A ，求9

105)(A A A -=?；

(2) 设????

? ??=122221212A ,求8

91056)(A A A A +-=?．

解 (1) ??

?

??-=3223A Θ是实对称矩阵. 故可找到正交相似变换矩阵?

???

?

?

?

?

-=21212121P . 使得 Λ=??

? ??=-50011AP P

从而1

1,--Λ=Λ=P P A P P A k k

因此 191

10

9

10

55)(--Λ-Λ=-=P P P

P A A A ?11011050055001--??

? ??-??? ??=P P P P

1

0004-??? ??-=P P ??? ??-??? ??-??? ??-=1111210004111121

??

?

??-=??? ??----=111122222．

(2) 同(1)求得正交相似变换矩阵

??

????

??

? ??---=3103631216

6312166P . 使得 11,500010001--Λ=Λ=???

?? ??-=P P A AP P

891056)(A A A A +-=?)5)(()56(828E A E A A E A A A --=+-=

????? ??---????? ???Λ=-42223121302221121118P P ???

?

? ??----=422211211

2．

25．用矩阵记号表示下列二次型:

(1) yz z xz y xy x f 42442

22+++++=; (2) ;44272

22yz xz xy z y x f ----+=

(3) .4624242324131212

4232221x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=

解 (1) ???

?

? ??????? ??=z y x z y x f 121242121),,(．

(2) ???

?

? ??????? ??-------=z y x z y x f 722211211),,(．

(3) ??

?

??

?

????????

?

?------=4321432110210132231

1121

1),,,(x x x x x x x x f ．

26. 写出下列二次型的矩阵:

(1)x x x ??

? ??=13

12)(T f ; 解 二次型的矩阵为??

? ??=13

12A .

(2)x x x ???

?

??=987654321)(T f .

解 二次型的矩阵为???

?

??=987654321A .

27．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:

(1) 322

322214332x x x x x f +++=;

(2) 433241212

42322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=．

解 (1) 二次型的矩阵为???

?? ??=320230002A

λ

λλλ---=-3202300

02E A )1)(5)(2(λλλ---=

故A 的特征值为1,5,2321===λλλ． 当21=λ时, 解方程0)2(=-x E A ，由

????? ??????? ??=-0001002101202100002~E A . 得基础解系 ????? ??=0011ξ. 取 ???

?

? ??=0011P

当52=λ时，解方程0)5(=-x E A ，由

????? ??-????? ??---=-0001100012202200035~E A 得基础解系 ???

??

??=1102ξ. 取 ????

? ??=212102P ．

当13=λ时，解方程0)(=-x E A ，由

????? ??????? ??=-000110001220220001~E A 得基础解系 ???

??

??-=1103ξ. 取 ????

? ??-=212103P ，

于是正交变换为

????

?

???????

?

?-=????? ??3213212121021210001y y y x x x . 且有 2

322

2152y y y f ++=． (2) 二次型矩阵为 ?????

?

?

?----=11

111100111

1011A λ

λλλλ--------=-110111100

1111

011E A 2)1)(3)(1(--+=λλλ，

故A 的特征值为1,3,14321===-=λλλλ

当11-=λ时，可得单位特征向量?????????? ??--=212121211P ，当32=λ时，可得单位特征向量?????????

?

??--=212121212P ， 当143==λλ时，可得单位特征向量???????

? ??=0210213P ，??

?????? ??=2102104P ．

于是正交变换为 ?????? ????????????

?

?

?----=?????? ??43214321210

21

2102121212102121021212

1

y y y y x x x x 且有2

42322213y y y y f +++-=．

28. 求一个正交变换把二次曲面的方程

3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1

化成标准方程.

解 二次型的矩阵为???

?

??----=552552223A .

由)11)(2(5525522

23||---=-------=-λλλλ

λλλE A , 得A 的特征值为λ1=2,

λ2=11, λ3=0, .

对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得)2

31 ,231 ,234(1-=p .

对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)3

2 ,32 ,31(2-=p .

对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)2

1 ,21 ,0(3=p .

于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换

?

??? ?????????

?

??--=???? ??w v u z y x 21322

312132231

03

1234,

使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.

29．证明：二次型Ax f x

T

=

在1=x 时的最大值为矩阵A 的最大特征值.

证明 A 为实对称矩阵，则有一正交矩阵T ，使得

B TAT n =??

??

?

?

??=-λλλO 211成立． 其中n λλλ,,,21Λ为A 的特征值，不妨设1λ最大，

T 为正交矩阵，则T T T =-1且1=T ，故T T T B T B T A ==-1

则Ax x f T =By y BTx T x T

T T ==2

222211n n y y y λλλ+++=Λ． 其中Tx y =

当1====x x T Tx y 时， 即

12

2221=+++n y y y Λ即1222

21=+++n y y y Λ 1

1

2

2111)(λ

λλ==++=y n n y y f 最大

最大Λ． 故得证．

30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32

=(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.

令 ??

?

??+==-+=323223

211222x x y x y x x x y , 即???????+-==+-=323223*********y y x y x y y y x ,

二次型化为规范形

f =y 12-y 22+y 32,

所用的变换矩阵为

??????

?

??--=12002102251C .

(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2+x 32+2x 2x 3; =(x 1+x 3)2-x 22+(x 2+x 3)2. 令 ?????+==+=32322311x x y x y x x y , 即?????+-==-+=3

23223

211y y x y x y y y x ,

二次型化为规范形

f =y 12-y 22+y 32,

所用的变换矩阵为

???

?

??--=110010111C . (3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3.

322322

221242

1)21(2x x x x x x -+++= 2

32322212)2(2

1)21(2x x x x x +-++=.

令 ???

?

???=-=

+=333

2

22112)2(21)2

1(2x y x x y x x y , 即??

?????=

+=

--=

3

33223211212

22212121y x y y x y y y x ,

二次型化为规范形

f =y 12+y 22+y 32,

所用的变换矩阵为

???

? ??--=10022011121C . 31. 设

f =x 12+x 22+5x 32+2ax 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3

为正定二次型, 求a .

解 二次型的矩阵为????

??--=5212111a a A , 其主子式为

a 11=1, 2

111a a a -=, )45(5

21211

1+-=--a a a a .

因为f 为正主二次型, 所以必有1-a 2>0且-a (5a +4)>0, 解之得

05

4<<-a .

32．判别下列二次型的正定性：

(1)31212

3222122462x x x x x x x f ++---=;

(2)424131212

423222162421993x x x x x x x x x x x x f -++-+++=4312x x -

解 (1) ???

?

? ??---=40106111

2A ,

0211<-=a ，

0116

11

2>=--，0384

010611

12<-=---， 故f 为负定． (2) ?????

?

??------=19631690230311211A ， 0111>=a ，

043

11

1>=--, 069

020312

11>=--,024>=A ． 故f 为正定．

33．证明对称阵A 为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U ，使U U A T =，即A 与单位阵E 合同． 证明 A 正定，则矩阵A 满秩，且其特征值全为正．

不妨设n λλ,,1Λ为其特征值，n i i ,,10Λ=>λ

由定理8知，存在一正交矩阵P

使

????

??

??=Λ=n T

AP P

λλλO 21??????

?

?

?????????

?

?=n n λλλλλλO

O

2

1

2

1 又因P 为正交矩阵，则P 可逆，P P T =-1

．

所以)

(PQ PQ P PQ A T

T Q T ?==．

令U PQ

T

=)

(，U 可逆,则U U A T =.

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

线性代数典型例题

线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

线性代数应用实例

线性代数应用实例 ● 求插值多项式 右表给出函数()f t 上4个点的值，试求三次插值多项式230123()p t a a t a t a t =+++，并求(1.5)f 的近似值。 解：令三次多项式函数230123()p t a a t a t a t =+++过 表中已知的4点，可以得到四元线性方程组： ?????? ?=+++-=+++=+++=6 27931842033 210321032100 a a a a a a a a a a a a a 对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入： >>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1 得到01233,2,2,1a a a a ==-=-=，三次多项函数为23 ()322p t t t t =--+，故(1.5)f 近 似等于23 (1.5)32(1.5)2(1.5)(1.5) 1.125p =--+=-。 在一般情况下，当给出函数()f t 在n+1个点(1,2,,1)i t i n =+ 上的值()i f t 时，就可以用n 次多项式2012()n n p t a a t a t a t =++++ 对()f t 进行插值。 ● 在数字信号处理中的应用----- 数字滤波器系统函数 数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为z -1。根据这样的结构图，也可以用类似于例7.4的方法，求它 的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。 图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y 与输入u 之比。先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。

北大版 线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

线性代数应用案例资料

线性代数应用案例

行列式的应用 案例1 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮 食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。 试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。 解：设123,, x x x 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列 方程组 123231 23365113337 1.1352347445 x x x x x x x x ++=?? +=? ?++=? 利用matlab 可以求得 x = 0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177 案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。假设在 一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）

解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元，根据题 意，建立方程组 1232133 120.20.35000.10.47000.30.4600 x x x x x x x x x --=?? --=??--=? 利用matlab 可以求得 x = 1.0e+003 * 1.25648414985591 1.44812680115274 1.55619596541787 案例3 医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴 需含1200cal 热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。 解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为123,,x x x 百克，根据题意，建立方程组 12312312360300600120039630906030300 x x x x x x x x x ++=?? ++=? ?++=? 利用matlab 可以求得 x = 1.52173913043478 2.39130434782609

线性代数矩阵性及应用举例

线性代数矩阵性及应用举例

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年11月7日

关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨 摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。 定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。 定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1 -A 。 定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质： 性质1 当A 为可逆阵，则A A 1 1 = -. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1 -为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1 1)( )0(1)(1 1≠= --k A k kA . 性质3 111 ) (---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11 '=--A . 由性质3有 定理2 若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法 利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1 。 方法二 伴随矩阵法 定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=，

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

线性代数在实际生活中的应用

线性代数在生活中的实际应用 大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已。；；初等的数学 知识学习线性代数数学建模函数模型的建立及应用，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等。 线性代数中行列式实质上是又一些竖直排列形成的数表按一定的法则计算得到的一个数。早在1683年与1693年，日本数学家关孝和与德国数学家莱布尼茨就分别独立的提出了行列式的概念。之后很长一段时间，行列式主要应用与对现行方程组的而研究。大约一个半世纪后，行列式逐步发展成为线性代数的一个独立的理论分支。1750年瑞士数学家克莱姆也在他的论文中提出了利用行列式求解线性方程组的著名法则一一克莱姆法则。随后1812年，法国数学家柯西发现了行列式在解析几何中的应用，这一发现机器了人们对行列式的应用进行探索的浓厚兴趣。如今，由于计算机和计算软件的发展，在常见的高阶行列式计算中，行列式的数值意义虽然不大，但是行列式公式依然可以给出构成行列式的数表的重要信息。在线性代数的某些应用中，行列式的只是依然非常重要。 例如：有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种、化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮 70克，磷5克，钾1.4克.若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷 149克，钾30克，问三种化肥各需多少千克?

线性代数应用题

线性代数应用题集锦 郑波 重庆文理学院数学与统计学院 2011年10月

目录 案例一. 交通网络流量分析问题 (1) 案例二. 配方问题 (4) 案例三. 投入产出问题 (6) 案例四. 平板的稳态温度分布问题 (8) 案例五. CT图像的代数重建问题 (10) 案例六. 平衡结构的梁受力计算 (12) 案例七. 化学方程式配平问题 (15) 案例八. 互付工资问题 (17) 案例九. 平衡价格问题 (19) 案例十. 电路设计问题 (21) 案例十一. 平面图形的几何变换 (23) 案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (25) 案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (26) 案例十四. 显示器色彩制式转换问题 (28) 案例十五. 人员流动问题 (30) 案例十六. 金融公司支付基金的流动 (32) 案例十七. 选举问题 (34) 案例十八. 简单的种群增长问题 (35) 案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 (37) 案例二十. 最值问题 (39) 附录数学实验报告模板 (40)

这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了. 案例一. 交通网络流量分析问题 城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。 图1 某地交通实况 图2 某城市单行线示意图 【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析 第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。 典型例题解析 例1 设均为3阶矩阵，且，则。 解：答案：72 因为，且

所以 例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。 解：答案：A 因为，所以A可进行。 关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。 关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 例3 已知 求。 分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。 解：因为 得。

例4 设矩阵 求。 解：方法一：伴随矩阵法 可逆。 且由 得伴随矩阵 则=

方法二：初等行变换法 注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。 例4 设矩阵 求的秩。 分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。 解： 。

线性代数论文设计(矩阵在自己专业中地应用及举例)

矩阵在自己专业中的应用及举例

摘要： I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。 II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。 III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。 关键词： 矩阵可逆矩阵图形学图形变换 正文： 第一部分引言 在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，

与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。 图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。 第二部分 研究问题及成果 1. 矩阵的概念 定义：由n m ?个数排列成的m 行n 列的矩阵数表 ????? ???????ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M K Λ212222111211 称为一个n m ?矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。 下面介绍几种常用的特殊矩阵。 （1）行距阵和列矩阵 仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如 A=(a11 a12 .... a1n), 也记为 a=(a11,a12,.....a1n). 仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

线性代数在数模中的应用

线性代数在数学建模中的应用举例 1 基因间“距离”的表示 在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。 表1.1基因的相对频率 问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。 解 有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x = .由于对这四种群 体的每一种有14 1 =∑=i ki f ，所以我们得到∑==4 1 2 1i ki x .这意味着下列四个向量的每个都 是单位向量.记 .444342414,343332313,242322212,141312111???? ? ? ??????=????????????=????????????=????????????=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a

在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，那么由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得 21cos a a ?=θ 而 .8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021???? ? ? ??????????????? ???=a a 故 9187.0c o s 21=?=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2. 表1.2基因间的“距离” 由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大. 2 Euler 的四面体问题 问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的. 解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→ → → OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行

线性代数课后习题答案分析

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

考研线性代数重点内容和典型题型

考研线性代数重点内容和典型题型 线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、

伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、

线性代数在生活中的实际应用

線性代數在生活中の實際應用 大學數學是自然科學の基本語言，是應用模式探索現實世界物質運動機理の主要手段。學習數學の意義不僅僅是學習一種專業の工具而已。 ；；；初等の數學知識 學習線性代數數學建模 函數模型の建立及應用，作為變化率の額倒數在幾何學、物理學、經濟學中の應用，拋體運動の數學建模及其應用，最優化方法及其在工程、經濟、農業等領域中の應用，邏輯斯諦模型及其在人口預測、新產品の推廣與經濟增長預測方面の應用，網絡流模型及其應用，人口遷移模型及其應用，常用概率模型及其應用，等等。 線性代數中行列式 實質上是又一些豎直排列形成の數表按一定の法則計算得到の一個數。早在1683年與1693年，日本數學家關孝和與德國數學家萊布尼茨就分別獨立の提出了行列式の概念。之後很長一段時間，行列式主要應用與對現行方程組の而研究。大約一個半世紀後，行列式逐步發展成為線性代數の一個獨立の理論分支。1750年瑞士數學家克萊姆也在他の論文中提出了利用行列式求解線性方程組の著名法則——克萊姆法則。隨後1812年，法國數學家柯西發現了行列式在解析幾何中の應用，這一發現機器了人們對行列式の應用進行探索の濃厚興趣。如今，由於計算機和計算軟件の發展，在常見の高階行列式計算中，行列式の數值意義雖然不大，但是行列式公式依然可以給出構成行列式の數表の重要信息。在線性代數の某些應用中，行列式の只是依然非常重要。 矩陣實質上就是一張長方形の數表，無論是在日常生活中還是科學研究中，矩陣是一種非常常見の數學現象。學校課表、成績單、工廠裏の生產進度表、車站時刻表、價目表、故事中の證劵價目表、科研領域中の數據分析表，它是表述或處理大量の生活、生產與科研問題の有力の工具。矩陣の重要作用主要是它能把頭緒紛繁の十五按一定の規則清晰地展現出來，使我們不至於背一些表面看起來雜亂無章の關系弄得暈頭轉向。塌還可以恰當の給出事物之間內在の聯系，並通過矩陣の運算或變換來揭示事物之間の內在聯系。它也是我們求解數學問題時候“數形結合”の途徑。矩陣の運算是非常重要の內容。 例：計算?????? ??----------?n n n n n n n n n n n n n n n 11111 1 11 112 解： ?????? ??-------- - -n n n n n n n n n n n n n 111111 1 1 1 1 ??? ?????????? ? ?---------=11 1 1111 1112 n n n n ???? ? ? ?---------= 11 1 1111 1112 2 n n n n ?? ? ?? ? ? ??---------=)1()1() 1(12n n n n n n n n n n n n n

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。