论数学真理是发现和发明的统一_以伽罗瓦群论为例_李青燕
2010年6月
第24卷 第2期
阴山学刊
Y I NS HAN ACADEM I C J OURNAL
Jun.2010
Vo1.24 No.2论数学真理是发现和发明的统一
以伽罗瓦群论为例*
李青燕
(福建师范大学公共管理学院,福建福州350007)
摘 要:十九世纪初,伽罗瓦在证明不存在一个五次方程的一般根式解法,建立了群论,用群论的深刻数学语言去描述基本对称概念使得代数学进入了一个新的时代。该文通过对伽罗瓦理论诞生前后的数学哲学思考,认为:纯粹数学是并非完全自由发明,数学对象的构造有其数学史和抽象结构上的根源,而数学问题是应对大自然的需要以及各种约定的最终衡量。在新概念的背景下,具体语境下,数学真理是发现与发明的统一。
关键词:伽罗瓦群论;数学对象;数学真理;数学发现;数学发明
中图分类号:O152 文献标识码:A 文章编号:1004-1869(2010)02-0022-05
十九世纪前,代数学家们总是把根与系数的关系作为研究关系,拿到这个分成总想求出它的根式解。所谓方程有根式解(代数可解)[1]就是这个方程的解可由该方程的系数经过有限次加、减、乘、除以及开整数次方等运算表示出来。可是,伽罗瓦仔细研究了前人的理论,特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作,开始研究多项式方程的可解性理论,他并不急于寻求解高次方程的方法,而是将重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有,也不去追究该方程的根究竟是怎样的,只需证明有根式解存在即可。 于是会产生这样的任务:证明在所给的前提下和所考虑的意义下原来的问题不可能解决的。这样的一种不可能的证明古已有之,例如他们证明了一等腰三角形的斜边与直角边的比是个无理量, 也许正是这一值得注意的事实,加上其他哲学上的因素,给人以这样的信念,即每个数学问题都应该得到明确的解决,或者是成功地对所有的问题作出回答,或者证明该问题解的不可能性,从而指出解答原问题的一切努力都肯定要归于失败。
1 伽罗瓦创建群理论的工作
1.1 伽罗瓦群论创建的思想
伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时,与拉格朗日相同,也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后,提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到,然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为 群 的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中,伽罗瓦首次提出了 群 这一术语,把具有封闭性的置换的集合称为群,首次定
义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键,方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决,直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念,从而也产生了他自己的伽罗瓦群论,因此后人都称他为群论的创始人。
1.2 伽罗瓦群论的内容简介
对有理系数的n次方程
a
x n+a
1
x n-1+a
2
x n-2+ +a
n-1
x+a
n
=0(1)
假设它的n个根x
1
,x
2
, ,的每一个变换叫做一个置换,n个根共有n!个可能的置换,它们的集合关于置换的乘法构成一个群,是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映,于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群(它表现了方程的对称性质)称为伽罗瓦群[3]它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群,也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数,伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。
数学世界的亚历山大 希尔伯特说: 随着一门数学分支的进一步发展,人类的智力受到成功的鼓舞,开始意识到自己的独立性。它独立于自身地发展着,通常不受来自外
*收稿日期:2010-05-22
作者简介:李青燕(1982-),厦门海沧人,在读硕士,研究方向:数学史和数学哲学。
部的明显影响,只是借助逻辑组合、一般化、特殊化,巧妙地对概念进行分析的综合,提出新的富有成果的问题,因而它自己是以一个真正的提出问题者的身份出现。这就产生了素数问题和其他算术问题以及伽罗瓦的方程论、代数不变量理论阿贝尔函数和自守函数论等方面的一系列问题。 [4]
2 数学真理是发现和发明的统一
2.1 纯粹数学是否自由发明
在伽罗瓦之前的理论,数学家兴趣的是数量实体,计算的目的更多是为了实用性,了解其具体的特性;而在伽罗瓦之后,纯粹的数学关系渐渐成为数学研究的重点。杰出分析学家狄多涅本教授说: 纯数学家可以不辞辛苦地证明解的唯一性,却不去求解。物理学家知道了解的唯一性 地球不沿着两种轨道运行 而他则力图找到实际的轨道。 这个变革意味着,代数研究进入到了抽象代数阶段。 日本国米山教授说: 群和集合是构成数学基础的主要思想。它们虽然都是最近若干年才发展起来的,但几位多产被运用到几乎是彼此毫无关系的许多书学分制;它们是使纯数学和应用数学成为今天这样发达和严密的最大源泉。 [5]
而柏拉图的实在论认为: 数学不是创造或发明出它的 对象 ,而是像哥伦布发现美洲大陆那样发现了这些对象。如果真的如此,则对象必须在某种意义上先于其被发现而 存在 。按照柏拉图的教义, 数学研究的对象 存在于只有治理才能够探寻的特殊世界之中。 而只能通过数学家的思想探索去掌握 [6]维特根斯坦在 论数学的基础 一书中却写道: 数学家是发明者,而不是发现者 [7]艾耶尔将他的这种观点称作 这暗示他拒绝了柏拉图主义把数看做真实的抽象实体的观念,更有争议的是,这暗示他拒绝了数学命题必然为真或假的实在论观点 [8]然而,我们更愿意相信你能通过数学思维找到它,因为在数学中没有不可知,无论哲学数学问题在我们看来多么难以解决,我们仍然相信,它们的解答一定能通过有限步纯逻辑推理而得到。庞加莱说: 数学创造是这样的一种活动,在这种活动中,人类精神似乎从外部世界所缺走的东西最少,在这种活动中,人类精神起着作用,或者似乎只是自行起作用和按照自己的意志起作用。 康托在捍卫自己的超限函数论时,认为: 数学在它自身的发展中完全是自由的对它的概念的限制只在于:必须是无矛盾的并且和先前确切定义引进的概念相协调。 数学的本质在于它的自由。 [10]数学是自由的,却不是绝对自由的。诚然,数学对象的选取存在着某种主观的任意性,但是,既然要与先前确切定义引进的概念相协调,无非是某种意义的衍生物而已,便不再是绝对自由的了。结构数学的刻画,需要指出两个群在什么情况下同构(同构关系是一种等价关系,它使两个代数系统具有完全相同的代数性质);如果有差别就一定反应在哪一些不变量的不同上,这时的数学创造就是找出这些不变量来刻画该群,这时一项自由又受制约的数学工作。
2.2 数学对象构造与数学真理
众所周知,数学的对象是思想对象而不是实物对象,对象的本质问题属于数学哲学的范畴。数学史家胡作弦认为: 抽象的对象有两个来源:一个是从过去研究的具体对象中抽象化,特别是公理化而成的,如群、域还有拓扑空间;另一个来源是从已有的抽象结构中衍生而来。 [11]置换群是伽罗瓦构造出来的,那么方程的可解性是先天给予还是依赖于数学工具,数学的真理是人的智慧构造出来的还是先天就存在着呢?在数学史上,为了保证物理问题的数学方程有解,柯西率先建立微分方程的存在性定理(证明每个多项式方程至少有一个根就建立了一个存在定理,这样子才能充满信心地寻求这个解。由现实世界中的经验而获得的丰富结构,可以由认识到在不同情况中的相同数学结构,及其共同的抽象基础得到加强。 从多项式方程求解这么基础的问题发展起来的学科可适用于许多其他的数学和物理问题,这又有什么惊奇的呢? [12]康德认为: 数学必须根据纯粹直观,在纯直观里它才能具体地,然而却是先天地把一切概念提供出来,或者像人们所说的那样,把这个概念构造出来 。[13]又说 数学知识是从概念的构造中得到的理性知识。构造一个概念,亦即先天地提供出来与概念相对应的直观。 [14]数学家赫斯明确提出,数学对象是由人发明或创造的,但 它们不是随意创造的,而是从已有的数学对象以及科学和日常生活的需要中得到。他们所秉持的是数学是发明的真理。数学对象一旦被创造出来,就具有了很好决定的,独立的品质 。[15]事实上,源于高次方程的求解,以方程的根为的对称性和平等性为解决的纯数学理论已经在现代物理学上找到了成功的运用,抽象代数的工具性并没有在现实中丧失其可靠性,它们其实是同源同构性。代数系统以各种运算法则(映射关系)为基础,以满足的公理条件为限制,是抽象化的点在关系基础上规范化的结果。这样,映射就是抽象代数研究的内在基础,是抽象代数的本体。映射的基本特点是,在一个范畴的对象之间的抽象结构,可以被证明在另外一个范畴的对象之间也成立。用近世代数的语言讲,这两个解释是同构的。与此相反,数学家原以为那些抽象的群的定理只知名一个特定的解释,于是它运用于完全不同的解释时,令数学家们不知所措了。正如伽罗瓦这样评价数学: 这么科学是人的心智的工作,它注定是要去探索而不是去知道,去追求真理而不是发现真理。 [16]伽罗瓦这里指的是绝对真理,正如哲学家涅卡所说的,自然不会一下子披露她所有的秘密。国内有学者认为: 当数学的理论构造超越经验本位和实践本位的真理判断之后,数学真理就逐步淡出物质客观实体的视域,转向了自身语言的深层结构框架中。数学真理把其话语的合理性交付给自己的语言体系,数学命题的意义和判断被融合在其结构中的语言关系、句法转换和交互性当中。 [17]但是在这种转换中,转换完成之后,原先的问题随之交付,命题的意义、结构变了,必然一些数学本质是保持不变的。为此,杨振宁指出 美妙的元素周期表把性质相似的按纵列排在一起,这种现象之美到波尔提供了它的物理学意义之时找得到了深刻的美,而进一步周期表包含的中包含了长度是2、2、6的周期和数学中的 群论 描述的物理定律的
对称性是紧密相关的。反之,用群论的深刻数学语言去描述基本对称概念时就能以毫不含糊、确切的方式得到。 [18] 2.3 具体语境下,数学真理是发现与发明的统一
在数学真理的标准上,贝尔奈斯坚持认为: 数学的客观性必须同物理学的客观性区分开,也必须同现象描述的客观性区分开。一方面,这意味着一些结构被认为是与它们在现实客体中的出现无关。因此,数学的客观性是一个现象学的客观性。 另一方面,我们研究数学结构与感觉现象所特有的复杂情况毫无共同之处。因此更加容易概念化。 [19]实验物理学家赫兹说: 我们无法避免一种感觉,即这些数学公式自有其独立的存在,自有其本身的智慧;它们比我们还要聪明,甚至比发明它们的人还要聪明;我们从他们得到的,实比原来装进去的多。 [20]数学家在创造数学符号和代数运算规则的时候,并没有想象会出现一些虚根,而数学公式使之降临到世上,这些根的存在,是数学家进行代数运算的副产品。由此可以看出,根是依赖于运算规则的,依赖于数学语境。按照弗雷格 语境原则 思想,数学的意义本质上和语境相关,数学对象存在的合理性前提依赖于语境。在相应的语境框架下理解数学的发生、发展,就为数学的意义分析提供了一种新的理解思路。
置换是整个语境的哲学。早在拉格朗日时便已指出根的排列与置换理论的关键意义,体现了一种具有重要意义的 数学工具 和 转化思想 ,这种利用映射结合起来的关系是导向数学真理发现的前沿思想,虽然这种工具可能只是一种猜想,但就它的重要性而言是不可言喻的。伽罗瓦在给好友的信中这样写道: 我一生中常常大胆地提出一些我尚不能完全肯定的命题,但写在这里的一切,在我脑子里已反复思考了一年之久。我不得不承认,在我有兴趣的领域里,我已宣布但尚未证明、从而使人怀疑的定理实在太多了请求雅克比或高斯不是就这些定理的正确性而是关于它们的重要性公开发表他们的意见。 [21]有些命题也可以说是数学工具(这里指的是群论),它的重要性强于它的正确性,能够在实践中适用用或早或晚会证明其正确性。约翰.辛格,一个数学物理学家,这样说: 他们知道数学家只不过是一个已经造好工具的熟练使用者;他们依赖的是数学家特有的品质 他的逻辑上的洞察力和从一般中看出特殊及从特殊从找出一般的能力。 [22]群论是为解方程为创造的,但是又不仅仅运用是解方程而已, 它是未来的一个庞大的数学领域。 [23]简而言之,有许多纯的数学研究完成了或加强了旧的领域,甚至开辟了新的领域,它们对探索应用意义重大。
群论思想史告诉我们:数学对象、数学的严格性、数学真理、数学知识的增长本质上都是相对于历史语境而言的,它们随着时间而逐渐发展,既不是绝对的,也不是静止的。当科学和数学本身继续发展而又出现新的问题时,数学家们便的再次开始构造新的语言,作出新的假设,进行新的数学推演,以求获得对新问题的解。这时或者数学的领域得到扩大,或者出现新的数学分支,或者数学和其它学科之间的相互作用发现了数学的新的意义。哈佛大学教授斯通在 数学革命 说: 现在数学家将会赞同这一观点,即其学科的特点是研究一般的抽象体系所组成,并通过任意的却又明确规定的内部联系组织建立起来的, 因为数学之忧脱离过去那种必须束缚于现实的某一方面的状况,才能成为我们用于打碎枷锁的极端灵活的有力工具。证明这一论点的例子不胜枚举 [24]
例如,欧拉在研究著名的级数和1+
1
22
+
1
32
+ +
1
n2 + =+
2
6
时,曾把正弦函数的幂级数展开式大胆视为无限次多项式,从而通过类比法转换得到了正弦函数的因式分解的无穷乘积公式,最后再把乘积展开后与幂级数三次幂比较系数,便成功地解决了雅谷 柏努利的级数求和难题,得到了级数之和。在数学分析的语境下,正弦函数可视为无限次多项式,这个公式的应用也不失其严密性。数学的定理不必从毋庸置疑的、绝对无误的前提下,通过绝对可靠的推理规则得到的不容怀疑的绝对真理。数学命题的正确性不仅依赖于可能变换或更替的前提和假设,而且依赖于推理规则的选择和限定。 新符号必须服从于新概念。我们用这样的方式来选择新概念,使得它们会令人想到曾经是形成概念的源由的那种现象。 这就是数学的语境。因此,在一定的数学思想、观念和工具下,数学成果是被发现的,而数学工具的选择和模型转化的观念则不是唯一的,你可以选择用黎曼积分也可以选择使用勒贝格积分,不管你如何选择数学的真理确实唯一的已经 存在 ,你只是借助了工具来检验而已。数学工具类似于物理学的实验工具一样,用于检查理论的正确与否。只不过数学更多利用它们的对应关系,而物理学则利用了所观察到的实验数据,但是本质上都是在求真。逻辑学家塔尔斯基在 形式语言的真值概念 ,持这样的真理观: 如果用现代哲学语言来讲的话,也可以用下述常用的表述来表达这一概念:句子的真实性在于它与现实的相一致 如果一个句子是指存在一个事态,则它就是真的。 [24]关键在于改变问题的提法,数学史上由于格尔丹定理定理的过分冗长,希尔伯特采取了崭新的非算法的途径:给定了无限多个包含有限个变元的代数形式系,在什么样的情况下条件下存在一组有限的代数形式系,使得所有的其他形式可以表达成它们的线性组合呢?紧接着,希尔伯特证明了这样的形式系的存在,然后运用此结果于不变量而得到不变量有限整基的存在定理。纯粹的存在性证明不是去构造这样那样的有限基。无独有偶,伽罗瓦的置换群,不是直接去构造预解式,而是类似像 通过存在性证明就可以不去考虑个别的构造,而将各种不同的构造统一于一个基本的思想之下,使得对证明来说最本质的东西清楚地凸现出来,达到思想的简洁和经济。 [25]个别的构造,可以是绝对自由的,但对于解决问题帮助不大,个别的创造以及整体的存在,对于数学的发现都不能偏废,因为这样子将有碍于全部数学知识成为一个宏伟的整体,有碍于新方法、新概念乃至新的理论蓝图的建立。
数学为了其保真性或者逻辑严密及自洽的需要而且必须可以迎合经验而进行一定必要的调整,这种经验主要指数学自身学科内的知识增长、不同数学系统的相左右,才使得新一轮的统一才使得成为可能,而常规科学条件下往往不能处理一些异常情形,求根公式误解就是一种异常,在置换群下则成了一种 正常 。数学真理不是公理系统约定下的绝对真理,而是一个在特定的时空、特定的人和特定的背景中相对于语境而言的真理,它可以走向一般化、也有其适用性,也可能被更严密的体系取代。爱因斯坦说: 理论之所以成立,其根据就在于它同大量的单个观察关联着,而理论的 真理性 也正在此。 就数学的发生而言,一方面数学家在明显的经验抽象中暗用了其内在的严格的形式推演能力;另一方面,数学家在 纯形式的符号 背后暗藏着某种语义的意想解释。 [26]在这个意义上,数学作为对自然科学理论表述,遵循从语用到语形,再到语义的自然结合。不管根式解存不存在,总是一个 在 的问题,真理独立于人类而存在,它们是被发现的。所有存在的事物总是蕴涵着被发现和被使用的重要意义。模式、关系、联结和定理都是被发现的,但它们在发现之前一直存在。正如数学物理学家巴莱特在其 技巧的幻觉 所指出的, 整个数学史料证明了数学心智与与大自然的联系,错误的是孤立地拿起一个话题,问问它与世界上的哪一个事实相符合,当然的答案是否定的。;我们并不将一个命题从数学话语之体孤立出来,而且还将这些话语看作是我们的语言整体的一部分 正是在这里,我们可能发现约定论者问题的答案。我们发明的约定必须奏效;也就是它必须帮助我们应对大自然。 [27]我们但是发现这些真理的工具必定是被发明的, 它是一个 做 的过程,它引导我们的思想沿着正确的方向去发现真理。总而言之,数学的发现或者数学创造都是数学家灵活运用演绎和经验的适度结合的智慧结晶。 [28]
3 结语
综上所述,伽罗瓦所构造的这一全新的方程概念 置换群,使方程的排列与置换形成了一种抽象的整体结构,通过研究这种内部规律来解决形成这种置换结构的对象的具体问题。这正是伽罗瓦理论的核心思想。辛格说: 每一个年轻的数学家,如果他有在自己哲学 每个人都有 应该充分占有事实后再做决定。他应该意识到如果他遵循现代数学的模式,那么他将是一个伟大传统的继承人。其他遗产将落入他人之手,而他将再也不能得到它 [29] 群论可以看作是数学家纯粹的思维实现的数学体系内部逻辑的发展,但它又是数学物理学家用来揭示宇宙重要现实的工具。数学为其他各门科学提供可靠的形式化的语言、方法和思想的同时,实现了数学与 现实世界 之间最奇特也是最鲜明的联系,为数学把握了实在,回归了价值美。 [30]数学真理不再是约定的绝对真理,而是一个在特定的时空、特定的人和特定的背景中相对于语境而言的真理,它可以走向一般化、也会被限制范围,也可能被取代追求对客观世界统一性的数学表达,是数学理论追求的目标,也是数学哲学的魔力所在。现代美国数学家理查德 柯朗脱和赫伯脱 罗宾斯在他们所著的 数学是什么 中写道: 数学,作为人类智慧的一种表达形式,反映生动活泼的意念,深入细致的思考,以及完美和谐的愿望,它的基础是逻辑和直觉,分析和推理,共性和个性. [31].从群论产生来看,数学思想对数学研究和发展的作用是巨大的,数学思想如果数学的概念、定理、法则一样是数学史上的宝贵财富,并且是数学知识所不能代替的。数学越是向前发展,它的结构就变得更加一致,并且这门科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先预想不到的关系,这就是数学的有机统一。
参考文献
[1]莫里斯 克莱因.古今数学思想(第3册)[M].万伟勋,
等译.上海:上海科学技术出版社,2005,149.
[2][4][25]希尔伯特.数学问题[M].袁向东,李文林译.大
连:大连理工大学出版社,2009.47,41,41
[3]李迪.中外数学史教程[M]福州:福建教育出版社,1993.
307.
[5]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中,等译.
成都:四川教育出版社,1986.379.
[6](美)欧内斯特.内格尔,詹姆士.R纽曼.哥德尔证明
[M].陈东威,连永君译.北京:中国人民大学出版社, 2008.137.
[7]M athe m atics,H erausgeg eben and Bearbe iter von G von
W right[M].O xford:Bas il B lack w e l,l1956.47.
[8](英) A.J.艾耶尔.维特根斯坦[M].陈永实,许毅力
译.北京:中国社会科学出版社,1989.105.
[9]彭加勒.科学与假设[M].李醒民译.北京:商务印书馆,
2006.195.
[10][12][16][22][23][29]莫里斯 克莱因.数学确定性
的丧失[M].李宏魁译.长沙:湖南科学技术出版社,
2007.388,384,126,379-380,388,387.
[11]胡作弦.近代数学史[M].济南:山东教育出版社,2006.
7.
[13][14]康德.未来形而上学导论[M].济南:商务印书馆,
1978.47,46.
[15]D. A.G rouw s.H and Book of R esearch on M at hema ti cs
T eachi ng and L ea rning[M]N ew Y ock::M ac m illan Pub-
li sh i ng Company,1992.42.
[17]黄秦安.论数学真理观的后现代转向[J].南京大学学
报(哲学人文社科版),2003,(12).
[18]杨建邺.杨振宁文录.一位科学大师看人和这个世界
[M].海口:海南出版社,2002.263.
[19]莫里斯 克莱因.数学与知识的探求[M].刘志勇译.
上海:复旦大学出版,2009.251.
[20]戴维斯.P.J.,等.数学经验[M].王前,等译.南京:江苏
教育出版社,1991.407.
[21]李文林.数学珍宝 历史文献精选[M].北京:科学
出版社,1998.484,483.
[24]涂纪亮.语言哲学名著选辑[M].转译自A.塔尔斯基.
真理的语义学概念和语义学基础[M].上海:三联书
店,1998.251.
[26]爱因斯坦.爱因斯坦文集(第一卷)[M].许良英,等译.
上海:商务印书馆,1983.115.
[27]Barrett.T he Ill usi on o f T echn i que[M].NY:Pub lished by
D oubleday,1979.41.[28]郭贵春,康仕慧.从语形和语义的关系看数学的本质
[J].江海学刊,2004,(4).
[30]王保红,等.对抽象代数的哲学审视[J].自然辩证法研
究,2008,(9).
[31](美)R 柯,H 罗宾.什么是数学:对思想和方法的基
本研究[M].左平,等译.上海:复旦大学出版社,2005.
266.
M at he matical T rut h is t he Unity of Discovery and I nvention
W it h G alois Group Theory as an Exa m ple
LI Q i n g-yan
(I nstitute o f Public Adm i n istration,Fu ji a n No r m a lU niversity,Fuzhou350007)
Abst ract:I n the early n i n eteenth centur y,by proving there is no t a radical solution o f t h e general equation, Galo is established g r oup theory w ith w hich profound m athe m ati c al language tcou l d descri b e the basic concept o f sy mm etry m ade the a l g ebra i n to a ne w era.The article besed on the b irth o fGalo is theory th i n k i n g the E arlier,after philosophy o fm athe m atics,tha:t pure m athe m atics is no t entirely free i n venti o n,the constructi o n o fm athe m atica l ob jects has the ir histo r y of m athe m atics and abstract structure of the source,and m athe m a tica l prob le m is to dea l w it h the needs of nat u re and The ulti m ate m easure of the vari o us conven ti o ns.N e w concept in the context o f the specific contex,t m athe m atical tr u t h is discovered and the unity o f i n venti o n.
K ey w ords:Ga l o is g roup theory;m athe m atical ob jects;m at h e m atical truth;m athe m atical discovery;m athe-m atical inventions
数学教学论资料
数学教学论 期末作业 学号：120414127 姓名：赵志鹏 班级：12级应用（1）班
函数概念发展的历史过程 1．1 早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。 1．2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x 和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。 18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 1．3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。 1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。 等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概
代数史
代数史 代数是慷慨的，它提供给人们的常常比人们要求的还要多。 达朗贝尔 过去的三个世纪中，代数在两条轨道上延续：一条是走向更高层的抽象理论，另一条是走向具象的计算方法。 约翰.塔巴克 前言 1．重视难点。 数学的难点表现在什么地方？表现在如下三个方面： 其一是概念，数学概念是从实际事物中抽象出来的，含义精确。正确地学好概念是学好数学的关键。 另一个难点是符号。可以说，数学是符号的科学。其深远意义还在于，它为其他科学，如物理学、化学等科学提供了简明语言。数学符号的作用在于它们给出了抽象概念的简单的具体化身，而且还给出了非常简单的实现各种运算的可能性。 第三难点是抽象。数学的抽象远远超过其他科学，数学的抽象度是逐步提高的。 在教学中，我们应当突出重点，分散难点，或化解难点，以利学生的理解。 2．传授理解。 对代数学来说，理解什么？我们认为，有两件事情是重要的：一件是理解代数的基本思想，一件是掌握代数的基本方法。 我们知道，代数是研究“运算”的科学。运算有两层含义：一是运算对象，一是运算或变换的规则。但是，运算对象在不断扩充，运算的含义也在变化和加深。 §1. 中学代数的主要内容 中学代数主要完成了那些成果呢？ 1．从数值运算过渡到符号运算。算术的特点是数值运算，代数的特点是符号运算。中学代数实现了从数值运算到符号运算的过渡，沿着抽象思维的道路走上了数学的更高级的阶段。但是，在中学代数中，符号代表的仍然是数。 2．二元、三元一次线性方程组的解。三元一次线性方程组的一般形式是333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa=++=++=++ 为了求解线性方程组，我们采用逐次消去一些未知量的方法以简化方程组，这就是实施了下面的变换： 1）互换两个方程的位置； 2）把某一方程两边同乘一常数； 3）某一方程加上另一方程的常数倍。 这些变换称为初等变换。这样，在代数里第一次出现了变换的概念。一个简单而重要的事实是，线性方程组经过一系列初等变换,变成一个新的方程组，新的方程组与原方程组同解,即，在初等变换下，方程组的解保持不变，或者说，解是初等变换下的不变量。由此，代数方程组给两个重要的概念：变换与不变量。 由线性方程组的理论自然地引出了2、3阶矩阵和2、3阶行列式的概念，这2
美国实用主义哲学的现状及其分析_江怡
#现代外国哲学流派评介#(5哲学动态62004年第1期)美国实用主义哲学的现状及其分析 江怡(中国社会科学院哲学所北京100732) 1中图分类号2B151文献标识码2A1文章编号21002-8862(2004)01-0027-05 实用主义是美国重要的哲学传统。按照美国哲学家的看法,20世纪的美国哲学大体上是实用主义和分析哲学此消彼长的历史:分析哲学在20世纪40年代之后的兴盛是与实用主义互动的结果;而90年代后出现的实用主义的复兴,又体现了实用主义的强大生命力。这里我将主要围绕当代美国哲学家的论述,考察实用主义在当今美国哲学中的具体表现形式,分析当今美国实用主义的一些基本特征。 一美国哲学家眼中的实用主义传统 蒯因在1981年发表的著名文章5实用主义者在经验主义中的地位6中,明确地把实用主义放到西方经验主义传统,由此提高了实用主义的地位。蒯因认为,实用主义在经验主义的变化过程中应当处于现代时期,因为皮尔士提出的/句子中心说0和/意义证实0思想,都无疑带有明显的现代哲学的烙印;而皮尔士哲学表现出的行为主义倾向以及他的终极真理观,又昭示了现代哲学的某些特征。蒯因把实用主义的特征归结为以下几点,即自然主义、可谬主义、行为主义和人造真理观。应当说,这些特征不仅刻画了实用主义的大体图像,同时也是蒯因哲学的生动写照。 在对第一代实用主义者的评价中,蒯因看重皮尔士的作用。在他看来,皮尔士不仅开启了实用主义的先河,更重要的是强调了科学研究方法对哲学的重大意义。这与蒯因的科学教育背景和他的逻辑研究专业有关。但普特南则更为强调詹姆斯的作用。他在1995年的5实用主义:一个开放的问题6中径直把詹姆斯哲学放到了实用主义的核心地位,从三个方面论述了/詹姆斯的永恒性0问题,即詹姆斯哲学的整体论特征、詹姆斯的直接实在论思想和詹姆斯的真理观。在普特南看来,以往对实用主义的误解都集中在对詹姆斯哲学的误解上,一旦澄清了对詹姆斯的误解,我们就可以恰当地捍卫实用主义的基本主张。他认为,这样的基本主张至少应当包括两个方面:其一是关于事实与价值相互渗透的思想,其二是关于真理的论述。关于事实与价值相互渗透的思想,普特南根据皮尔士的/假说推理0思想,认为对任何事实的判断都必定包含着判断者的价值取向,也都可以看作是一种价值判断,因而纯粹的事实判断和价值判断是不存在的。关于真理的思想,普特南认为以往对詹姆斯的误解主要集中在/有用即真理0的说法,其实这是一种断章取义的说法。因为在詹姆斯看来,真理并不等同于有效,虽然有效应当是真理的一个明显标志,而且是真理应当具有的特性。在普特南看来,这种真理观的最大特征是把真理看作一种/意见0,而不是通常认为的一种/知识0。这就打破了传统的绝对真理或终极真理的迷梦,把真理完全放到人类的视野,使真理完全变成相对的。当然,普特南也看到,这样的真理观以及实用主义的其他观点容易导致怀疑论,
伽罗瓦理论的理解
要点： Galois关于代数方程根式可解等价于它的Galois群可解这一定理的证明思路。（1）存在性证明与数的计算相分离；如极限值、代数学基本定理、方程的根；
（2）三次方程根的置换群和五次方程根的置换群有什么不同？3个根共有3!=6个可能的置换，5个根共有5!=120个可能的置换。为什么说方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映？ （3）方程的对称性质与有无求根公式有关系吗？ （4）GALOIS定理是通过研究根式扩张和根对称性得出来的结果.问题是怎样求一个多项式方程的GALOIS群？怎样判断GALOIS群是否可解？为什么一般的五次以上方程GALOIS群不可解，但是某些特殊的五次以上方程有根式解？x^n-1=0可用根式解，它的n个根是？ （5）假设一个多项式方程有根式解,发现了有根式的情况下,各个根的对称性要满足一定关系.五次以上的方程这个关系不一定满足.那么这个关系是什么呢？ （6）阿贝尔定理：如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数． （7）怎样构造任意次数的代数可解的方程？怎样判定已知方程是否可用根式求解？怎样全部刻画可用根式求解的方程的特性？ （8）一个方程究竟有多少个根？如何预知方程的正、负、复根的个数？方程的根与系数的关系如何？方程是否一定有根式解存在？ （9）方程本身蕴涵的代数结构： 方程根的置换群中某些置换组成的子群被伽罗瓦称之为方程的群（伽罗瓦群），伽罗瓦群就是由方程的根的置换群中这样一些置换构成的子群。那么某些置换是哪些置换呢？ 四次方程x^4+p*x^2+q=0的四个根的系数在方程的基本域F中有两个关系成立：x1+x2=0,x3+x4=0.在方程根的所有24=4!个可能置换中，下面8个置换 E=(1),E1=(12),E2=(34),E3=(12)(34),E4=(13)(24),E5=(1423),E6=(1324),E7= (14)(23)都能使上述两个关系在F中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域F中的全部代数关系都保持不变的仅有的置换。这8个置换就是方
数学教学论复习大纲.docx
1、为了数学教育能够适应现代社会对人的发展需要，在我国传统优势“双基” 和 《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）的基础上，提出了“四基”，即 “基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。（考） 2、高中数学课程标准中的“三数”即：“数学探究、数学建模、数学文化”？（考） 3、《全日制义务教育课程标准》所包含的四个领域即“数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用”（考） 4、弗莱登塔尔所认识的数学教育的五个特征概述即情境问题是教学的平台，数学化是数学教育的目标，学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分，“互动”是主要的学习方式，学科交织是数学教育内容的呈现方式，这些特征概括为“现实、数学化、再创造”； 5、波利亚“怎样解题”表中的四个步骤“了解问题、拟定计划、实现计划、回顾” 6、”实践与综合应用”在第一、二、三学段分别表述为实践活动、综合应用、课题学习。 二、判断 1 ＞确定中学数学教学目的的依据？ （1）各门学科的教育目标均服从总的教育目标，并为完成总体教育目标服务；（2）数学教育要适应社会的需求；（3）数学学科的特点决定着数学教育目标的达成；（4）学生的年龄特征决定数学教育目标的达成； 2、什么是判断、命题？ 命题是指一个判断（陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。命题不是指判断（陈述）本身，而是指所表达的语义。当相异判断（陈述）具有相同语义的时候，他们表达相同的命题。一般地说，所有的判断都是命题，判断是经过断定了的命题，但不是所有的命题都是判断。因此，命题的外延要比判断大的多。判断侧重于内容方面，而命题侧重于形式方面。联系：对于一般的逻辑学教程中，两个概念不做严格的区分，他们都表示同一个意思，都是指人对思维对象的断定。 3、概念间的矛盾关系和对立关系是什么？ 所谓概念间的不相容关系就是指属于一个属概念中的两个在外延上没有任何重合部分的种概念之间的关系。概念的不相容关系又分为矛盾关系和反对关系。矛盾关系：在同一属概念之下的两种概念，如果他们外延的和等于属概念的外延, 而且这两种概念具有全异关系，那么这两种概念的关系称为矛盾关系。例如整数和分数相对于有理数来说就是矛盾关系。 反对关系：在同一属概念之下的两种概念，如果他们外延的和小于属概念的外延, 而且这两种概念具有全异关系，那么这两种概念的关系称为反对关系或者对立关系。例如正数和负数相对于实数来说就是反对关系。 4、教案设计的要素？答案：明确教学目标、形成设计意图、制定教学过程 三、简答 1、什么是重点、难点、关键点？ 教学重点：一般的在学习中那些贯穿全局、带动全局、应用广泛、对学生认知结构起决定作用、在进一步学习中起基础作用和纽带作用的内容；它由在教材的知识结构中所处的地位和作用来确定的。 教学难点：是指学生接受起来比较困难的知识点，往往是由于学生的认识能力、接受水平与新老知识之间的矛盾造成的也可能是学新知识时，所用到的旧知识不牢固造成的，一般的，知识过于抽象，知识的内在结构过于复杂，概念的本质属性比较隐蔽，知识由旧到新要求用新的观点和方法去研究，以及各种逆运算都是产生难点的因素；
大学生数学建模竞赛的由来与发展
大学生数学建模竞赛的由来和发展 自古以来，各种竞赛方式历来是各行各业培养、锻炼和选拔人才的重要手段。凡竞赛实际上都有准备阶段、临场发挥和赛后总结、提高三个阶段。参赛者通过这三个阶段来接受挑战并锻炼提高自己。当然，也不是参加竞赛的人都能成为人才，获得优胜的选手参赛者如果不善于总结自己的长处和缺点，不断提高的话，也未必能发展成为优秀人才。诚然，如果太强调竞赛的功利性，也可能产生各种各样的弊病，副作用会大过正作用，使竞赛变了味，也就可能失去了培养、锻炼和选拔人才的功能。 就培养选拔科技人才而言，各种学科的竞赛也起到了很大的作用。就数学科学来说，很多国家都有面向中学生或大学生的数学竞赛，甚至还有国际或地区性的数学竞赛。例如，就后者而言，有从1959年开始举办的中学生国际奥林匹克数学竞赛(The International Mathematical Olympiad (IMO), 有兴趣的读者可以访问网址http://www.imo.math.ca/), 有从1994年开始举办的国际大学生数学竞赛(International Mathematics Competition for Universtiy Students, IMC, 有兴趣的读者可以访问网址https://www.wendangku.net/doc/7b4984496.html,/ ), 北美(美国和加拿大)普特南大学生数学竞赛(The William Lowell Putnam Mathematical Competition, 有兴趣的读者可以访问网址https://www.wendangku.net/doc/7b4984496.html,/或https://www.wendangku.net/doc/7b4984496.html,/ )。 因为大学生数学建模竞赛诞生于美国，而且其源起与普特南数学竞赛有关，加之这个竞赛是培养出许多优秀数学家和科学家的竞赛，所以在本章，我们从普特南数学竞赛谈起。 本章包括普特南(Putnam)数学竞赛、大学生数学建模竞赛、为什么要参加大学生数学建模竞赛和怎样参加大学生数学建模竞赛四节。 1 普特南(Putnam)数学竞赛 普特南和他的想法 W. L. 普特南(William Lowell Putnam, 1861 ~ 1924, 美国律师和银行家), 1882年毕业于哈佛大学。他深信在正规大学的学习中组队竞赛的价值. 他在哈佛毕业生杂志1921年12月那期上写了一篇文章中阐述了大学间智力竞赛的价值和优点。在他去世后，他的遗霜Elizabeth Lowell Putnam (1862-1935)于1927年建立了“普特南大学间对抗纪念基金(William Lowell Putnam Intercollegiate Memorial Fund)”。第一个由该基金资助的是校际英语竞赛。由该基金资助的第二次试验性竞赛是于1933年举行的10名哈佛大学的学生和10名西点军校的学生间一次数学竞赛。由于那次竞赛十分成功，于是就产生了举行所有感兴趣的大学和学院都可以参加的类似的年度竞赛的想法。但是直到1935年Elizabeth去世都没有举行过这样的竞赛。到了1938年才决定由美国数学协会来管理这个基金和组织了第一次正式的竞赛。 普特南数学竞赛 现在普特南数学竞赛的时间是每年12 月第一周的星期六，共进行两试，每试3 小时、6道题，每题10分。该竞赛是彻底闭卷的考试, 在限定的时间内主要测试参赛者思维敏捷、推理和计算的能力。竞赛分个人和团体(组队)，一个学校可以组织一个由三名学生组成队，名列前茅者有奖金奖励。竞赛前几年，团体前三名的奖金分别为$500、$300 和$200，个人前五名每人可获奖金$50，并成为Putnam 会员(Putnam fellow)。近年来，奖励团体前五名的大学的数学系的奖金分别为$25000(每个队员可得到$1000奖金)、$20000(每个队员可得到$800奖金)、$15000(每个队员可得到$600奖金)、$10000(每个队员可得到$400奖金) 和$5000(每个队员可得到$200奖金)。个人前五名每人可获奖金$2500，并成为Putnam 会员。5-15名每人可获奖金$1000，16-26名每人可获奖金$250。当然更重要的不是金钱奖励，而是
伽罗华与群论
伽罗华与群论》L.R.Lieber著樊识译 引言 大家都知道：科学知识是与时俱进的，科学是一种活的，蓬勃滋长的东西。 然而一般人总把数学看做又老又朽，似乎再也不能滋长发扬的了。的确，在学 校里所教的数学——算术，代数，几何——在几世纪前大家早都知道；就是专 门学院的教程差不多也有三百多年的历史。笛卡尔（Descartes）之创造解析学 和牛顿（Newton）之发明微积分，那都是十七世纪的事情。可是，事实是这样的： 数学的范围甚至比科学的范围还要来的广些，就从那个时候起，他已在脚踏实 地的向前迈进了。 数学中一些比较新颖的概念是什么？是不是他们太抽象了——虽然好些概念 还是由很年轻的数学天才所创的——使得这一代的青年人连听都够不上听一听呢？ 是不是他们距离平常的一般思维方法太远了，以致不能使一般普通的人们从中得 到任何用处和快乐？难道连一般数学教员对于这些概念也不能有一个认识的机会 吗？不是的！其实是这样的：那些近代数学上的发展不但能使数学家发生兴趣， 而且正像微积分一样，对于科学家也能有相当伟大的帮助。哲学家公认：近代数 学与基本的宇宙说是有直接关系的。心理学家在近代数学中也会看到一种能从偏 见中把心胸解放出来的以及能在陈腐的偏见之荒墟上建立起簇新有力之结构来的 伟大工具——像是在非欧几里得几何学之创造中所可以看到的。的确，谁都要珍 重现代数学之特殊的旺盛和卓绝的本色。 这本小册子，作者有心把他当做现代数学中一支的入门，使得那些对于这门 数学愿作更进一步研究的人们在阅读时较为容易有趣些。 这本小册子里所讲的是群论(Theory of Groups),群论是近代数学的一种，伽罗华(Evaristo Galois)对于这门数学的理论和应用很多发扬。伽罗华殁于一百年以前， 死的时候还不满二十一岁，在他那短促而悲惨的生命中，于群论颇多贡献；而这门 数学在今日已成为数学中的重要部分了。自古以来的二十五位大数学家中，他就是 其中之一位。 他的一生，除了在数学上有惊人的成功，其余尽是失意的事，他渴望着进巴黎的 L'Ecole Polytechnique,但在入学考试时竟失败了；过了一年，他再去应试，然而 仍旧是失败，他拿自己研究的结果给歌西(Cauchy)和傅利(Fourier)二氏看，这两人 是当时很出色的数学家，但是他们对他都没有注意，而且两人都把他的稿本抛弃了， 他的师长们谈起他的时候，常说：“他什么也不懂”，“他没有智慧，不然就是他 把他的智慧隐藏得太好了，使我简直没法子去发现他”，他被学校开除了，又因为 是革命党徒，曾经被拘入狱，他曾与人决斗，就在这决斗中他是被杀了。(在决斗的 前夜，他自己预知必死，仓猝中将自己在数学上的心得草率写出，交给他的一个朋友)。 敬祝他的灵魂安乐！ --
第一章 数学竞赛概述
第一章数学竞赛概述 教学要求:了解数学竞赛的产生、发展及影响；了解小学数学竞赛的组织、内容、形式。 重点和难点：数学竞赛的发展及教育价值。 第一节数学竞赛的教育价值 （一）数学竞赛的产生 数学是锻炼思维的体操，而其核心则是问题．解数学难题的竞赛至少可以追溯到16 世纪初期．当时，不少数学家喜欢提出问题，向其他数学家挑战，以比高低，其中解三次方程比赛的有声有色的叙述，使人记忆犹新．意大利数学家丰坦那（NiccoloFontana），人称“塔塔利亚”（Tartaglia 意为口吃者），出身贫寒，自学成才，后以教书为生．1535 年意大利数学家菲奥（A．M．Fior）向塔塔利亚提出挑战，要求举行一次解三次方程的公开比赛．菲奥是著名数学家费罗（Scipiouedal Ferro）的得意门生，费罗大约在1515 年左右解出了形如x3＋mx = n 类型的三次方程，并把方法秘密传给了菲奥．比赛于当年2 月22 日在米兰大教堂进行．双方各给对方出30 道题．为迎接这场挑战，塔塔利亚作了充分准备，他冥思苦想，终于在比赛前十天掌握了三次方程的解法，因而大获全胜．意大利数学家发现的三次方程的代数解法被认为是16 世纪最壮观的数学成就之一． 公开的解题竞赛无疑会引起数学家的注意和激发更多人的兴趣，随着学校教育的发展，教育工作者开始考虑在中学生中间举办解数学难题的竞赛，以激发中学生的数学才能和引起对数学的兴趣． 世界上真正有组织的数学竞赛开始于1894 年，当时匈牙利数学界为了纪念著名数学家、匈牙利数学会主席埃特沃斯（L．Eütvos）荣任匈牙利教育部长而组织了第一届中学生数学竞赛，本来是叫做Eütvōs 竞赛，后来命名为JószefKórschak 竞赛，这一活动除两次世界大战和1956 年匈牙利事件中断七年外，每年十月举行一次，每次竞赛出三道题，限四小时做完，允许使用任何参考书．这些试题难度适中，别具风格，虽然用中学生学过的初等数学知识就可以解答，但是又涉及许多高等数学的课题．中学生通过做这些试题，不但可以检查自己对初等数学掌握的程度，提高灵活运用这些知识以及逻辑思维的能力，还可以接触到一些高等数学的概念和方法，对于以后学习高等数学有很大帮助．匈牙利数学竞赛试题的上述特点，使得它的命题方向对世界各国数学竞赛，乃至国际数学奥林匹克（International Mathematics Olympiad，简称IMO）的命题都产生了重大的影响。 （二）国际数学奥林匹克竞赛 数学奥林匹克的发展大致可以划分为以下三个阶段： 第一阶段（1894 年～1933 年）：数学奥林匹克的酝酿和发生时期． 这一阶段是自1894 年匈牙利举办数学竞赛之后，罗马尼亚紧步匈牙利的后尘，于1902 年开始举办全国性的数学竞赛，在以后的30 年中没有其他国家举办过类似的活动． 第二阶段（1934 年～1958 年）：数学奥林匹克的萌芽和成长时期． 前苏联自1934 年列宁格勒（今圣彼德堡）举办数学竞赛开始，1935 年莫斯科、第比利斯、基辅等也举办了数学竞赛，并把数学竞赛与体育竞赛相提并论，而且与数学科学的发源地——古希腊联系在一起，称数学竞赛为数学奥林匹克，它形象地揭示了数学竞赛是选手间智力的角逐．由于有许多著名数学家，如狄隆涅、柯尔莫哥洛夫、亚历山大洛夫等参与命题工作，所以前苏联的竞赛题质量很高，很多问题具有深刻的数学背景而又以通俗有趣、生动活泼的形式表现出来．这期间，美国于1938 年举办了大学低年级学生参加的普特南数学竞赛（PutnamMC），吸引了美国、加拿大各大学成千上万的大学生参加，这一竞赛的首创者是曾任哈佛大学校长的W．L．Putuam，早在1921 年，他就撰文论述仿照奥林匹克运动会举办大学生学习竞赛的优点，并在二十年代末，举行过几次校际竞赛作为实验．他逝世后留下一笔基金，两个儿子就与全家的挚友、著名美国数学家G．D．伯克霍夫商量，举办了普特南数学竞赛．伯克霍夫强调说，再没有一个学科能比数学更易于通过考试来测定能力了．首届普特南数学竞赛由美国数学会具体组织，考试分为A、B 两试（上、下午分别举行），每试6～7 题，各用3 个小时．为了保证竞
从方程论到群论
从方程论到群论 南京航空航天大学 二О一三年四月十四日 摘要：群论深刻而优美，却又因为过于深奥很难被全面把握。本文尽量使用通俗性语言，从新角度针对群论进行历史的、具体的剖析。为群论理论普及服务。整个故事从方程论开始。从17世纪开始，对方程论的研究就一直没有中断，这个课题在数学中是基础性课题。方程论的核心任务是，寻求一般方程的系数根式解。从得出一元一次方程、一元二次方程的解法开始，经过多年知识积累人们先后又得出了一元三次、一元四次方程解法，但是在寻求解一般五次方程时人们遇到了无法逾越的障碍。就此，人们开始对之前个方程的解法进行归纳统一，以期能找到解一般五次方程的蛛丝马迹，其中的代表人物是范德蒙、拉格朗日，但是也失败了。这就迫使人们转而研究方程的解的存在问题。1832年挪威天才数学家阿贝尔在21岁时综合欧拉、高斯等人的研究成果，用反证法证明了一般五次方程无根式解。这是方程论的一次巨大飞跃。之后伽罗瓦发展了范德蒙、拉格朗日思想，结合阿贝尔的成果，综合自己多年研究，引进了群、域、扩域等概念，创造性地将群论、方程论结合起来，终于系统地完成了方程论的研究，创立了伽罗瓦理论。 关键词：范德蒙思想、拉格朗日思想、群、域、预解式、伽罗瓦群、系数扩展。 引言 1832年5月30日，一声枪响划破巴黎郊区清晨的寂静，一位年轻人倒在了血泊中，不久即结束了不到21岁的生命，他就是伽罗瓦，数学史上唯一具有浪漫色彩的数学家，因感情纠纷死于与他人决斗。在决斗前夜，他通宵达旦写下了自己几年来在数学领域的研究成果，在离去前为人类留下了一份宝贵的珍品--伽罗瓦理论。 1
伽罗瓦理论完全而又彻底的解决了几百年来困扰无数数学家的多项式方程求解问题，宣告了方程论的结束，新的理论——群论的开始。伽罗瓦思想大大超越了时代，其及其深奥以致当时最优秀的数学家都得要花几个月时间才能彻底掌握。伽罗瓦开辟了新的时代，从群论开始，经历代数学家们的大力发展，一门崭新是学科——近世代数诞生了。现在，群论已经成为数学、物理、化学、晶体学、密码学等学科中不可或缺的重要工具。 1.一元一次、一元二次方程 人们在应用数学求解实际问题时，为简化运算，常常把所要求的量用一个符号代替，这就是代数这一概念的由来。例如问题1，我和朋友共同买10个苹果，分配我去买3个，那么应该分配给朋友去买几个呢？用小学老师教过的方法去算，当然是10-3=7个了。然而，历史的发展并不着眼于此简单的问题，从另一角度、另一方法去分析问题，往往获得质的提升。在分析更复杂，更多变问题的时候，这种方式显得尤为重要。对以上简单问题，换另一角度。假设我不知道朋友应该去买多少个，我用一个符号去代替，用X吧。X是多少我也不知道，他可能是0，可能是1，也可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10···但是我知道，一个关系必须成立，这个关系是 X+3=10 这就是一个代数方程，最简单的代数方程，一元一次方程。这个方程有自己的运算法则，有自己的性质，是由3+7=0这类等式性质抽象分析得出的。对等式移项得 X-7=0 为一般化分析奠定良好基础，统一方程为这种形式，即：含未知量的式子放等号左边，0放等号右边。对一元一次方程，以上的方程化分析如此繁琐，但是，这里所代表的意义，所蕴含的思想，是具有划时代意义的--人类开始摆脱对感观感受的依赖，迈入理性分析的大门。对更加复杂问题的分析，这时感官感觉效能将发现自己是多么吃力。例如问题2，象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.
《数学教学论》考试大纲 .doc
感谢你的观看《数学教学论》考试大纲 一、作为课程的数学教学论 数学教学论的结构内容，数学教学论的产生与发展，数学教学论的理论基础. 二、国际数学教学的改革与发展 国际中学数学教学改革概况，国际数学课程改革的特点，国际数学课程改革的启示. 三、我国中学数学教学的改革与发展 我国中学数学教学改革概况，20年来我国中学数学教学改革的总结评价. 四、新一轮国家基础教育课程改革 新一轮国家基础教育课程改革的兴起，国家《数学课程标准》的研制，新课程的理念与创新，新课程目标与学段目标. 五、《数学课程标准》理念下的数学教学 《数学课程标准》理念下的数学教学活动，《数学课程标准》理念下的数学教师角色，《数学课程标准》理念下的学生发展. 六、现代数学教学观 正确认识数学教学的本质，确立“大众数学”的教育观念，强化数学应用的意识，数学素质教育. 七、数学教育目的 数学教育目的概述，数学教育目的制定的依据，我国“数学教育感谢你的观看
感谢你的观看目的”提法的变迁及其评价，数学教育目的与数学教育的现代化. 八、数学教学的内容 数学课程内容的选择，数学课程内容的编排原则，全日制义务教育《数学课程标准》的内容领域，高中《数学课程标准》的内容框架. 九、数学教学过程 数学教学过程的基本要素分析，数学教学的基本要求，数学教学过程中师生的活动，数学教学活动的最优化控制. 十、数学教学方法 数学教学的基本方法，数学教学方法的改革与实验，现代数学教学方法改革的特征. 十一、数学教学手段和组织形式 数学课堂教学的组织，数学活动课的意义，数学活动课的开展，数学教学手段的现代化. 十二、数学教学评价 数学教学评价的一般理论，评价的新理念与实施，数学课堂教学评价，学生学业成绩的考核与评定. 十三、数学教学与能力培养 数学能力及其结构，形成和发展数学能力的基本途径，数学创新与实践能力. 十四、数学教学与思维发展 数学思维及其类型，数学思维发展与数学教学，数学思维及其方式，数学思维的智力品质. 感谢你的观看
什么是数学模型与数学建模
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
希拉里普特南 影响我的十二位哲学家
希拉里普特南影响我的十二位哲学家 这篇文章发在201O年6月期的《哲学分析》杂志上。 希拉里·普特南 在我收到的关于什么是杜威讲座的介绍中，有一段，读起来是这样的： 期待中的谈话不是“杰出教授S关于x 话题的最新成果”，而是对某个重要哲学家生活的一种更加富有个人特色的看法．一套更富有反思精神的评说。在杜威基金会的理事会上，有人说：“不是我能在《哲学杂志》或《哲学评论》上找到以及读到的论文，不是演讲者可在标准杂志上发表的最新成果，而是某种具有更多历史和情感内容的东西。” 不用说，我既感到高兴又感到畏怯(尤其感到畏怯)。幸运的是，附加的说明[卡伦·汉森(Karen Hanson)撰写的]建议“演讲者可以回忆将他(她)引入哲学的人和事，并对这个领域的今日状况给出个人的看法”。这使我有了一个想法。因此，我决定围绕着十二位多年来一直影响着我的哲学家的名册来组织我的演讲，关于每位“影响者”，只描述一个在我的生活中具有重要意义的观念．要么是因为我在某个时候接受了这个观念，要么是因为它提出了一个问题，我发现对这个问题的思考会产生很有价值的结果。 我在一定的地方终止了这个名册，因为我有一个半小时的时间限制。我知道，我没有对那些以极为重要的方式影响了我的人的观念做出描述，因为我设计的这个名册是要就我的思想发展，“讲一个故事”，而不是提到所有影响我的人。由于这个原因，像乔姆斯基(Noam Chomsky)、戴蒙德(Cora Diamond)、古德曼(Nelson Goodman)、努斯鲍姆(Martha Nussbaum)、特拉维斯(CharlesTravis)以及沃尔什(VivianWalsh)等这些重要的哲学家朋友们并没出现在这个名册上。(我计划在未来数月中写一个更加详细的思想自传，在这个自传中我会补上这些遗漏。) 好吧，现在我们开始吧! 作者简介：希拉里·普特南(Hilary Putnam)，美国哈佛大学哲学系教授。 ① 本文系作者在美国哲学学会东部分会第104届年会上所作的杜威讲座(时间：2007年12月29日；地点：马 里兰州巴尔的摩市)。 一、怀特：对分析，综合二分法以及作为其结果的事价值二分法的拒斥
数学课程与教学论重点
数学课程与教学论重点集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
2012---2013学年度第二学期（11数专） 《初等数学教学论》复习提纲 导论 1、数学课程与教学论讨论的基本内容有哪些？ 2、数学教育研究经历了哪三个阶段？ 第一章中学数学课程改革 1、《标准》把义务教育阶段的数学内容分学段按哪四个领域展现？ 2、《九章算术》的主要特点是什么？ 3、《全日制义务教育数学课程标准》规定的数学课程总目标是什么？ 第二章主要数学教育理论概述 1、弗赖登塔尔是世界着名的数学家和数学教育家， 他对数学教育的基本观点有哪些？ 2、简述弗赖登塔尔的数学教育基本观点对数学教育 的启示。 3、波利亚在数学教育方面的研究主要集中在哪三个 领域？ 第三章数学学与教的心理学视角 1、数学探究学习有什么特点 2、数学学习过程包括哪三个阶段？ 3、数学技能的含义是什么？ 第四章数学教学的基本理论 1、数学课程标准下的教学模式有哪几种？ 2、张奠宙教授根据数学学科的特点，提出了哪三条 具体的数学教学原则？ 3、什么叫讲授法？它有什么特点？ 第五章数学能力及其培养 1、数学的一般能力包含哪几种？ 2、简述数学能力的含义。 第六章数学思想方法与数学史修养 1、数学史教育应遵循哪四个原则？ 2、数学思想方法从接受的难易度上可分为哪三个层？ 3、简述数学思想方法教学的原则。 第七章现代信息技术与数学教育 1、多媒体课件制作的主要步骤分哪几步？ 2、简述计算机辅助教学的应用给课堂教学带来的无 限生机（三个方面P266）。
第八章数学教育评价 1、数学教学评价的要素有哪些？ 2、数学学习过程评价的内容包括哪四个方面？ 3、数学课的评价由哪三部分组成？ 第九章数学教育实习 1、教育实习成绩评定的考核内容主要有哪几项？ 2、简述数学教育实习的任务。 第十章数学教育研究与论文写作 1、数学教育研究的基本方法主要有哪些？ 2、简述选择论题的策略。 第十一章数学教学的实践训练 1、掌握说课的内容和要求，会写说课稿。 2、掌握教学设计的方法，会分析教材，会写教案。（如：一、新人教版九年级（上册）第22章第2节降次-----解一元二次方程（配方法）。二、人教版教材八年级上册第14章《一次函数》第一节） 3、会创设问题情境。
初中竞赛2
染色问题与染色方法 1．小方格染色问题 最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧. 例1、如图29-1(a),3行7列小方格每一个染上红色或蓝色.试证:存在一个矩形,它的四个角上的小方格颜色相同. 证明由抽屉原则,第1行的7个小方格至少有4个不同色,不妨设为红色(带阴影)并在1、2、3、4列（如图29-1（b））. 在第1、2、3、4列（以下不必再考虑第5，6，7列）中，如第2行或第3行出现两个红色小方格，则这个问题已经得证；如第2行和第3行每行最多只有一个红色小方格（如图29-1（c）），那么在这两行中必出现四角同为蓝色的矩形，问题也得到证明. 说明：（1）在上面证明过程中除了运用抽屉原则外，还要用到一种思考问题的有效方法，就是逐步缩小所要讨论的对象的范围，把复杂问题逐步化为简单问题进行处理的方法. （2）此例的行和列都不能再减少了.显然只有两行的方格盘染两色后是不一定存在顶点同色的矩形的.下面我们举出一个3行6列染两色不存在顶点同色矩形的例子如图29-2.这说明3行7列是染两色存在顶点同色的矩形的最小方格盘了.至今,染k色而存在顶点同色的矩形的最小方格盘是什么还不得而知.
例2、(第2届全国部分省市初中数学通讯赛题)证明:用15块大小是4×1的矩形瓷砖和1块大小是2×2的矩形瓷砖，不能恰好铺盖8×8矩形的地面. 分析将8×8矩形地面的一半染上一种颜色，另一半染上另一种颜色，再用4×1和2×2的矩形瓷砖去盖，如果盖住的两种颜色的小矩形不是一样多，则说明在给定条件不完满铺盖不可能. 证明如图29-3，用间隔为两格且与副对角线平行的斜格同色的染色方式，以黑白两种颜色将整个地面的方格染色.显然，地面上黑、白格各有32个. 每块4×1的矩形砖不论是横放还是竖盖，且不论盖在何处，总是占据地面上的两个白格、两个黑格，故15块4×1的矩形砖铺盖后还剩两个黑格和两个白格.但由于与副对角线平行的斜格总是同色，而与主对角线平行的相邻格总是异色，所以，不论怎样放置，一块2×2的矩形砖，总是盖住三黑一白或一黑三白.这说明剩下的一块2×2矩形砖无论如何盖不住剩下的二黑二白的地面.从而问题得证. 例3、（1986年北京初二数学竞赛题）如图29-4（1）是4个1×1的正方形组成的“L”形，用若干个这种“L”形硬纸片无重迭拼成一个m×n（长为m个单位，宽为n个单位）的矩形如图29-4（2）.试证明mn必是8的倍数. 证明∵m×n矩形由“L”形拼成，∴m×n是4的倍数，∴m、n中必有一个是偶数，不妨设为m.把m×n矩形中的m列按一列黑、一列白间隔染色（如图29-4（2）），则不论“L”形在这矩形中的放置位置如何（“L”形的放置，共有8种可能），“L”形或占有3白一黑四个单位正方形（第一种），或占有3黑一白四个单位正方形（第二种）. 设第一种“L”形共有p个，第二种“L”形共q个，则m×n矩形中的白格单位正方形数为3p+q，而它的黑格单位正方形数为p+3q. ∵m为偶数，∴m×n矩形中黑、白条数相同，黑、白单位正方形总数也必相等.故有 3p+q=p+3q，从而p=q.所以“L”形的总数为2p个，即“L”形总数为偶数，所以m×n一定是8的倍数.
数学教学论
数学教学论的特点：它是一门具有较强综合性，实践性和正在完善的独立学科 数学教学论的研究方法有：历史研究法；问卷调查法；实验研究法；个案研究法 六个核心概念：数感、符号感、空间概念、数据分析能力、应用意识、推理能力 “四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 四维教学目标：知识技能，数学思考，问题解决，情感态度 新课程标准下学生角色分析：学生是学习的主人；学生品味科学家的感受；学生参与课程评价 数学课程实施中对教师的要求：处理三维目标之间的关系；正确认识数学教学的本质；精心设计中学数学教学 数学是什么？数学是研究数量关系和空间形式的科学 数学的价值：社会价值；文化价值；教育价值 作为科学的数学的特点：高度的抽象性；严谨的逻辑性；广泛的应用性 什么是数学思维？数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一般规律认识数学内容的内在理性活动 数学思维的基本方式：发散思维与收敛思维（指向性不同）；正向思维与逆向思维（思维方式不同）；逻辑思维与形象思维（理由是否充分）【逻辑思维又分为形式逻辑与辩证逻辑思维；预感，灵感，猜想，假设等都属于形象思维】；再现性思维与创造性思维（结构有否创新） 数学思维的品质：广阔性；深刻性；灵活性；敏捷性；概况性；间接性；问题性；复合性；辩证性；批判性；独创性；严谨性（思维的广阔性的对立面是思维的狭隘性，思维独创性的对立面是思维的保守性。一题多解、一题多变是思维灵活性的好办法） 数学思维的一般方法：观察与实验；分析与综合；演绎与归纳；概阔与抽象；特殊化与一般化；判断与推理；化归与映射 数学思维的基本原则：1）数学思维教学的严谨性原则（严谨性是数学科学的基本特点之一，其含义主要是指数学逻辑的严密性及结论的精确性，在中学数学教学中，主要指的是两个方面，一是概念必须定义，命题必须证明；二是在教学内容的安排上，要符合学科内在的逻辑结构）；2）数学思维教学的量力性原则（所谓量力性就是量力而行） 数学思维与科学思维的关系：共性：数学思维与科学思维都是以大脑作为思维的物质基础，都是对客观世界的反映，都是由感性直观上升到理性思维的这样一个认识过程的高级阶段，都具有抽象性，都是以逻辑和语言为工具。异性：科学思维的核心是逻辑思维，而逻辑思维是数学思维的重要形式。数学思维是科学思维的灵魂，科学思维比数学思维居于更高层次的地位，它能使数学思维向更高、更深层次发展 培养学生逻辑思维的措施：重视概念和原理的学习；发展学生分析、综合、比较、抽象、概况的能力；帮助学生掌握逻辑推理的方法；帮助学生掌握逻辑推理的基本规律；重视数学语言的训练 形象思维的培养：注重从具体到抽象，从特殊到一般；帮助学生形成空间观念；帮助学生开展想象活动；培养学生审查全局的能力和捕捉事物本质特征的能力；多让学生练习观察；鼓励学生猜想 创新思维的特点：独特性；抗压性；实践性和综合性；全面性和多向性；飞跃性（最大的特点是独创性，即新奇独特，前所未有） 创新思维的培养（培养数学创新思维的基本途径）：转变观念，鼓励进行数学推广、提倡问题解决多样化；鼓励进行数学猜想；鼓励进行数学反驳、反思；鼓励进行数学想象；拓广学生知识面；引导学生适当参加科研活动；重视创造意志品质的培养；创设问题情境；改进测试方式和评价标准，促进学生创新思维发展 数学能力的定义：数学能力是顺利完成教学活动所必须的而且直接影响其活动效率的一种个性心理特征 数学能力与数学知识，数学技能的关系：数学知识是形成数学技能的基础，数学知识和数学技能又是形成数学能力的基础，且数学技能是从数学知识掌握到数学能力形成和发展的中间环节；反过来，