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2021年人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

欧阳光明（2021.03.07）

第一章导数及其应用 3．1变化率与导数练习（P6）

在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）

函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）

函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.

说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）

1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而

10102020()()()()

W t W t t W t W t t t t

--?--?≥

-?-?. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.

说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.

2、

(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t

?+?-==-?-??，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降.

3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.

(5)(5)10s s t s t t t

?+?-==?+??，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能

3101502

k E =??= J.

4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258

k π=，于是2

258

t πθ=

. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的

导数.

(3.2)(3.2)25208

t t t t θθθππ?+?-==?+??，所以(3.2)20θπ'=.

因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.

5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.

6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.

说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）

1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.

2、

说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的

图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.

3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.

说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算练习（P18）

1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.

2、（1）1

ln 2

y x '=

；（2）2x y e '=；（3）4106y x x '=-；（4）3sin 4cos y x x '=--；

（5）1sin 33x y '=-；（6）21

y x '=-.

习题1.2 A 组（P18） 1、

()()

2S S r r S r r r r r

π?+?-==+???，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ?→'=+?=.

2、()9.8 6.5h t t '=-+.

3、32

()34r V V

π'=

. 4、（1）21

3ln 2

y x x '=+

；（2）1n x n x y nx e x e -'=+；（3）232

3sin cos cos sin x x x x x

y x

-+'=；（4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-；（6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.

5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =

6、（1）ln 1y x '=+；（2）1y x =-.

7、1x

y π

=-+.

8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=??.

（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.

习题1.2 B 组（P19） 1、（1）

（2）当h 越来越小时，sin()sin x h x

y h

+-=

就越来越逼近函数cos y x =.

（3）sin y x =的导数为cos y x =.

2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.

所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.

2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h. 1．3导数在研究函数中的应用练习（P26）

1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.

当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.

当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增；当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减.

（3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.

当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增；当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.

当()0f x '>，即13

x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113

x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减. 2、

3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，

()0f x '>，即2b

x a >-

时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b

x a

<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.

（2）当0a <时，

()0f x '>，即2b

x a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；

()0f x '<，即2b

x a

>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，

因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）

1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，

其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点.

2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112

x =. 当112

x >

时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112

x <

时，()0f x '<，

()f x 单调递减.

所以，当112

x =时，()f x 有极小值，并且极小值为

211149()6()212121224

f =?--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-.

令2()3270f x x '=-=，得3x =±.

注：图象形状不唯一.

下面分两种情况讨论：

①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x '

因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：

①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x '

因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：

①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x '

因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）

（1）在[0,2]上，当1

x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()12

f =-. 又由于

(0)2f =-，(2)20f =.

因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924

. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；

当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；

又由于(4)44f -=，(4)44f =-.

因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.

（3）在1[,3]3

-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大

值为(2)22f =.

又由于155

()327

f -=，(3)15f =.

因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3

-上的最大值是22、最小值是

5527

. （4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.

因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）

1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.

（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2

x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2

x π

∈.

因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2

上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以

()20f x '=-<.

因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.

当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.

当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增.

当()0f x '<，即3

x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.

（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>.

因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-.

当()0f x '>，即1x <-或13

x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113

x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减. 3、（1）图略. （2）加速度等于0.

4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；

（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值；（4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.

5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112

x =-. 当1

12x >-

时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1

x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.

所以，1

x =-时，()f x 有极小值

，并且极小值为

211149()6()212121224

f -=?---=-.

（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-.

令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：

①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x '

因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：

①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x ()f x '()f x

因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：

①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：

因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当1

x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为

4724

. 由于

(1)7f -=，(1)9f =，

所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，

4724

. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；

当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，

所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.

（3）在1[,1]3

-上，函数3()612f x x x =-+在1

[,1]3

-上无极值. 由于

1269

()327

f -=

，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3

-上的最大值和最小值分别为

269

，5-. （4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为

128..

由于(3)117f -=-，(5)115f =，

所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-.

习题3.3 B 组（P32）

1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈

所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减

因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略

（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈

所以，当1(0,)2

x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，

2()(0)0f x x x f =->=；

当1

(,1)2

x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，

2()(1)0f x x x f =->=；

又11

()024

f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略

（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠.

因为()1x f x e '=-，0x ≠

所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增， ()1(0)0x f x e x f =-->=；

当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减， ()1(0)0x f x e x f =-->=；

综上，1x e x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x

'=-，0x ≠

所以，当01x <<时，1()10f x x

'=->，()f x 单调递增，

()ln (1)10f x x x f =-<=-<；

当1x >时，1()10f x x

'=-<，()f x 单调递减，

()ln (1)10f x x x f =-<=-<；

当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >. . 综上，ln x x x e <<，0x >图略

2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间. （2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：

当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，

设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，

当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；

当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.

当0a >，且230b ac -≤时，

此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增.

②当0a <，且230b ac ->时，

设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，

当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；

当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.

当0a <，且230b ac -≤时，

此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）

1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别

为

x ，

4l x

-，两个正方形的面积和为 22221

()()()(22)4416

x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.

令()0f x '=，即420x l -=，2

x =.

当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2l

x l ∈时，()0f x '>.

因此，2

x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.

所以，当两段铁丝的长度分别是2l

时，两个正方形的面积和最小.

2、如图所示，由于在边长为a 四个边长为x 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02

a x <<. （2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.

令()0V x '=，得2

a x =（舍去），或6

a x =.

当(0,)6

a x ∈时，()0V x '>；当(,)62

a a x ∈时，()0V x '<. 因此，6a x =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当6a x =时，无盖方盒的容积最大. 3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积222S Rh R ππ=+ 由2V R h π=，得2V h R π=

. （第2

题）

因此，2

2()222V V S R R

R R R R

ππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=

，解得R =.

当R ∈时，()0S R '<；

当)R ∈+∞时，()0S R '>.

因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.

此时，

22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.

4、证明：由于2

11()()n i i f x x a n ==-∑，所以1

2()()n i i f x x a n ='=-∑.

令()0f x '=，得11n

i i x a n ==∑，

可以得到，1

i i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.

这个结果说明，用n 个数据的平均值1

i i a n =∑表示这个物体的长

度是合理的，

这就是最小二乘法的基本原理.

5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为

x m ，半圆的面积为

x π2m ，

矩形的面积为2

8x a π-

2m ，矩形的另一边长为()8

a x

x π-m 因此铁丝的长为22()(1)244x a x a l x x x x x πππ=++-=++

，0x <<令22()104a l x x π'=+-=

，得x =.

当x ∈时，()0l x '<

；当x ∈时，()0l x '>.

因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.

时，所用材料最省.

6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价.

由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.

收入211(25)2588R q p q q q q =?=-=-，

利润2211

(25)(1004)2110088

L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.

求导得1

214L q '=-+

令0L '=，即1

2104

q -+=，84q =.

当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；

因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点. 所以，产量为84时，利润L 最大, 习题1.4 B 组（P37）

1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801

()(50)(20)7013601010

x L x x x x -=-

-=-+-，180680x <<. 令1

()7005

L x x '=-+=，解得350x =.

当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>.

因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.

所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，

利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c

c x a x b b

-=-+?=--，54b

a x <<.

令845()0c ac bc L x x b b

+'=-+=，解得458a b

x +=

. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b b

x +∈时，()0L x '<.

当458

a b

x +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.

所以，销售价为458

a b

+元／件时，可获得最大利润.

1．5定积分的概念

练习（P42）

. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）

1、22112()[()2]()i i i

i i s s v t n n n n n n

'?≈?=?=-+?=-?+?，1,2,,i n =.

于是 111

()n

i i i i i i

s s s v t n ==='=?≈?=?∑∑∑

取极值，得

说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、

km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48） 2

04x dx =?. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.

从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =. 习题1.5 A 组（P50）

1、（1）100

(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+

-?=∑?；（2）500211

(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-?

=∑?；（3）1000211

(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+

-?=∑?. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.

2、距离的不足近似值为：18112171310140?+?+?+?+?=（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167?+?+?+?+?=（m ）.

3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=

作和式 1

()n

i i i b a

f x b a n

ξ==-?==-∑∑

，从而 1

1lim n

a n i

b a

dx b a n

→∞

=-==-∑?，说明：进一步熟悉定积分的概念.

、根据定积分的几何意义，0?表示由直线0x =，1x =，0y =

以及曲线y =

面积，因此4

=?.

5、（1）0

3114

x dx -=-?.

由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分0

31x dx -?表示由直线0x =，

1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.

（2）根据定积分的性质，得10133311011

044

x dx x dx x dx --=+=-+=???.

由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分1

31x dx -?等

于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积. （3）根据定积分的性质，得202

333110115444

x dx x dx x dx --=+=-+=

??? 由于在区间[1,0]-上3

0x ≤，在区间[0,2]上3

0x ≥，所以定积分2

31x dx -?等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积. 说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会

非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -?化为02

3310x dx x dx -+??，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出0

31x dx -?，2

30x dx ?，进而得到定积分2

31x dx -?的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.

在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50）

1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m. 说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程.

2、（1）9.81v t =.

（2）过剩近似值：8

1189

9.819.8188.292242i i =???=??

=∑（m ）；

不足近似值：8

11187

9.819.8168.672242i i =-???=??=∑（m ）（3）409.81tdt ?； 4

09.81d 78.48t t =?（m ）.

3、（1）分割

在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：

[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n l l n -，记第i 个区间为(1)[,]i l il

n n

-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n

-?=-=.

把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[

,]n l

l n

-上质量分别记作： 12,,,n m m m ???，

则细棒的质量1

i i m m ==?∑.

（2）近似代替

当n 很大，即x ?很小时，在小区间(1)[

,]i l il

n n

-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地

等于任意一点(1)[,]i i l il

n n

ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段

(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i l m x n

ρξξ?≈?=（1,2,i n =）. （3）求和

得细棒的质量 21

()n

i i i i i i l

m m x n

ρξξ====?≈?=∑∑∑.

（4）取极限

细棒的质量 21lim n

i n i l m n

ξ→∞

==∑，所以20l

m x dx =?.. 1．6微积分基本定理练习（P55）

（1）50；（2）

；（3

53-；（4）24；（5）3

ln 22

-；（6）12；（7）0；（8）2-.

说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.

习题1.6 A 组（P55）

1、（1）

403；（2）13ln 22--；（3）9

ln 3ln 22

+-；（4）17

-；（5）2318π+；（6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.

2、3300sin [cos ]2xdx x π

=-=?. 它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）

1、（1）原式＝2210

11[]222x e e =-；（2）原式＝4

11[sin 2]224x π

π=-

；

（3）原式＝3126

[]ln 2ln 2x =.

2、（1）cos 1

sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m

ππππππ--=-=---=?；（2）sin 1

cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m

ππππππ--=|=--=?；（3）2

1cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m

ππππππ

π----==-=??；

（4）2

1cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx m

ππ

πππ

π---+==+=??. 3

、（1）

0.202220()(1)[]49245245t

kt kt t kt t g g g g g g

s t e dt t e t e t e k k k k k k ----=-=+=+-=+-?

. （2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.

这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围.

根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<，因此，

50005245

4949

t <<

. 因此50000.27

245 3.3610e

-≈?，5245

0.2749

245 1.2410e -?

-≈?，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---?<

从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.

因此，.492455000t -≈，解之得 5245

t ≈

（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用练习（P58）（1）

；（2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）

1、5

2533(23)[3]22s t dt t t =+=+=?（m ）.

2、4

24003

(34)[4]402

W x dx x x =+=+=?（J ）.

习题1.7 A 组（P60）

1、（1）2；（2）92

2、2[]b b a

a q q q q

W k dr k k k r r a b

==-=-?. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第

4s 时物体达到最大高度.

最大高度为 4

0(4010)[405]80h t dt t t =-=-=?（m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则 200(31)105t t

t dt tdt +=+??，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.

此时，物体A 离出发地的距离为 5

23500(31)[]130t dt t t +=+=?（m ）. 5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =.

所做的功为 0.1

20.10010005005W ldl l ==|=?（J ）. 6、（1）令55

()501v t t t

=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后

完全停止. （2）10

21000551

(5)[555ln(1)]55ln1112

s t dt t t t t =-+

=-++=+?（m ）. 习题

1.7 B 组（P60）

1、（1）22a

a a x dx --?表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此2

a a a x dx π--=

（2）1

20[1(1)]x x dx ---?表示圆22(1)1x y -+=与直线

y x =所围成的图形（如图所示）的面积，

因此，212

0111[1(1)]114242

x x dx ππ?---=-??=-?. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =?，所以2

4h a b =.

从而抛物线的方程为 224h

y x b

于是，抛物线拱的面积2322220

4422()2[]3b b

h h S h x dx hx x bh b b =-

=-=?. 3、如图所示.解方程组22

3y x y x

?=+?=?

得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =.

于是，所求的面积为1

2201

[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=??.

4、证明：2[]()

R h

R h R R Mm Mm Mmh

W G

dr G G r r R R h ++==-=+?. 第一章复习参考题A 组（P65）

1、（1）3；（2）4y =-.

2、（1）2

2sin cos 2cos x x x

y x +'=

；（2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-；（3）22ln ln 2x x

y x x '=+；（4）24

22(21)

x x y x -'=+. 3、32GMm

F r

'=-.

4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.

（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.

5、因为32()f x x =，所以3

()3f x x

y x

（第1（2）

题）

y x h b

（第2题）

当()0f x '=

>，即0x >时，()f x 单调递增；

当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.

6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+.

当()20f x x p '=+=，即12

x =-=时，()f x 有最小值.

由12

-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =.

7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，

所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--.

当()0f x '=，即3

c x =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于

所以，

c x =

当时，

函数

2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23

=，6c =.

8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ?的面积最小.

因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，

所以直线AB 的方程为

001y x a x a --=--，即1

()1y x a a

=--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,

a -. 因此，AOB ?的面积2

1()212(1)

AOB a a S S a a a a ?===--.

令()0S a '=，即22

12()02(1)

a a

S a a -'=?=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去. 由于

所以，

当2a =，即直线AB 的倾斜角为135?时，AOB ?的面积最小，最小面积

为2. 9、D .

10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.

所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244

x x x

x --+-==-.

设容器的容积为V ，则

32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.

令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=.

所以，4

x =-

（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<.

因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点.

所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3.

11、设旅游团人数为100x +时，

旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.

又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.

所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大. 因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x

，

打印面积623.7

()(2 2.54)(

2 3.17)S x x x

=-?-? 2

3168.396

655.9072 6.34x x =--

，5.0898.38x <<. 令()0S x '=，

即2

3168.396

6.340x

-=，22.36x ≈（负值舍去），

623.7

27.8922.36

≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而

是最大值点.

所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大.

13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.

则 21()20000100300200002

y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.

令0y '=，即3000q -+=，300q =.

当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.

300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.

所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.

14、（1）

2；（2）22e -；（3）1；

（4）原式＝222

200

0cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x x

ππ

-=-=+=+??；（5）原式＝22001cos sin 2

[]224

x x x dx πππ---==?. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.

16、

17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.

所做的功为 20.3

0.3

0.10.14.9 4.90.1962

l W ldl ==?|=?（J ）

第一章复习参考题B 组（P66）

1、（1）43()10210b t t '=-?. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.

（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；

当55t <<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.

2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .

因为212

S r α=，2l r r α-=，所以2l r

α=-.

222111(2)(2)222

l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.

令0S '=，即40l r -=，4

r =，此时α为2弧度.

4l r =是函数()S r 在(0,)2l

内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.

所以，扇形的半径为4

、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.

3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.

因此，222231111

()3333

V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.

令221

V R h ππ'=-=，解得3h R =.

容易知道，3

h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.

高中数学选修1-2课后习题答案

高中数学选修1-2课后习题答案第Ⅰ卷选择题共50分一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的) 参考公式 1.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( ) A 预报变量在x轴上，解释变量在y轴上 B 解释变量在x轴上，预报变量在y轴上 C 可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上 D 可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上 2.数列2,5,11,20,,47, x…中的x等于（） A 28 B 32 C 33 D 27

3.复数2 5 -i 的共轭复数是（） A i +2 B i -2 C -i -2 D 2 - i 4.下面框图属于（） A 流程图 B 结构图 C 程序框图 D 工序流程图 5.设,,a b c 大于0，则3个数：1a b +，1b c +，1 c a +的值( ) A 都大于2 B 至少有一个不大于2 C 都小于2 D 至少有一个不小于2 6.当132<

处理处理得病32 101 133 不得病61 213 274 合计93 314 407 根据以上数据，则( ) A 种子经过处理跟是否生病有关 B 种子经过处理跟是否生病无关 C 种子是否经过处理决定是否生病 D 以上都是错误的 8.变量x与y具有线性相关关系，当x取值16,14,12,8 时，通过观测得到y的值分别为11,9，8,5，若在实际问题中，y的预报最大取值是10，则x的最大取值不能超过( ) A 16 B 17 C 15 D 12 9.根据右边程序框图，当输入10 时，输出的是（） A 12 B 19 C 14.1 D -30

高中数学选修课后习题答案人教版

高中数学人教版选修2-3课本习题答案练习《第6页〉 1.（1）要完成的“一件事情”是“通出1人完成工作”，不同的选法种数是5+4=9；（2）要完成的“一件事情”是“从A村经B村到C村去”，不同路线条数是3X2=6. 2.（1）要完成的“一件事情”是“彦出1人参加活动”，不同的选法种数是3+5+4 = 12，（2）要完戊的“一件事情”是“从3个年级的学生中各逸1人参加活动”，不同的选法种致是3X5X4=60. 3.因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考■虑学校的差异.所以应当是6+4-1^ 9 （种）可能的专业选择. 蛛习（第10页〉 1.要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是a.b,c t的形式.所以可以分三形完成：第一步.取如有3种方法；第二步，取小有3种方法：第三步.取s有5神方法.根据分步乘法计数原理，展开式共有3X3X5=45 （项）. 2.要完成的“一件事情”是“偷定一个电活号码的后四位二分四步完成，每一步部是从。?9这10 个败字中取一个.共有10X10X10X10 = 10 000 （个）. 3.要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”.分两步完成：第一步逸正组长，有 5种方法；第二步选副组长.有4种方法.共有选法5X4 = 20 （#）. 4.要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”.分例步完成：先从6个门中选一个进入.再从共余5个门中逸一个出去.共有进出方法5X5-30 （种）. 习题1.1（M 12页） A组 1.“一件事情”是“买一台某型号的电视机”.不同的选法有4+7=11 （神，. 2.“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”.所以是“先分类，后分步”.不同的路线共有 2X3+4X2=14 （条）. 3.对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数”.由于1, 5, 9. 13是奇数，4, 8, 12,】6是偶数. 所以以1.5, 9.13中任意一个为分子，都可以与4, 8?12, 16中的任意一个构成分数.因此可以分两步来构成分致：第一步，逸分孑，有4种选法；第二步，选分母，也有4种选法.共有不同的分数4X4 = 16 （个）. 对于第二何，“一件事情”是“构成一个真分数”.分四类：分子为1时，分母可以从4.8. 12. 16 中任选一个.有4个；分子为5时，分母从8, 12, 16中选一个.有3个；分子为9时.分锹从12, 16中选一个，有2个,分子为13时，分母只能选16,有1个.所以共有其分散4+3 + 2+1 = 10 （个）. 4.“一件事憎”是“接通线路”.根据电路的有关知识，容易褂到不同的接通线路有3 + 14-2X 2=8 （条）. 5.（1> “一件事情”是“用坐标确定一个点”.由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：第一步，从人中选横坐怵.有6个选择；第二步从人中选纵坐标，也有6个选择.所以共有坐标6X6 = 36 （个）.

人教版高中数学选修课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章导数及其应用 3．1变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数3 3()4V r V π = (05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈. 说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10） 1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()() W t W t t W t W t t t t --?--?≥ -?-?. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t ?+?-==-?-??，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数. (5)(5)10s s t s t t t ?+?-==?+??，所以，(5)10s '=.

因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能 21 3101502k E =??= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π= ，于是2 258 t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数. (3.2)(3.2)25208 t t t t θθθπ π?+?-==?+??，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用. 6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种. 说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11） 1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.

2019版【人教A版】高中数学：选修1-1、1-2课本例题习题改编(含答案)

2019版数学精品资料（人教版）人教A 版选修1-1，1-2课本例题习题改编 1. 原题（选修1-1第三十五页例3）改编已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-t ，t ∈（0，1]．求M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．解：设M （x ，y ），则10BM y k x -= - (x ≠0)，(1)0AM y k x --=-(x ≠0)，BM AM k k =-t ，10y x -- ?(1) y x ---=-t(x ≠0)，整理得2 2 1x y t +=1(x ≠0)（1）当t ∈（0，1）时，M 的轨迹为椭圆（除去A 和B 两点）；（2）当t=1时，M 的轨迹为圆（除去A 和B 两点）． 2．原题（选修1-1第五十四页习题2.2A 组第一题）改编 1F 、2F 是双曲线 22 11620 x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，则点P 到焦点2F 的距离等于解：∵双曲线 22 11620 x y -=得：a=4，由双曲线的定义知||P 1F |-|P 2F ||=2a=8，|P 1F |=9， ∴|P 2F |=1＜（不合，舍去）或|P 2F |=17，故|P 2F |=17． 3. 原题（选修1-1第六十八页复习参考题B 组第一题）改编已知F 1、F 2分别为椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，求21F PF ?的面积. 解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为97,4? ? ±± ??? ，则点P 到x 轴的距离为 49，此时2 1F PF ?的面积为479；当以点P 为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为37 7 9>，舍去。故21F PF ?的面积为 4 7 9. 4. 原题（选修1-2第五十五页习题3.1B 组第二题）改编设,C z ∈满足条件.12 141log 2 1 ->--+-z z 的复数 z 所对应的点z 的集合表示什么图形?

高中数学选修1-2全册试题及答案

高二文科数学选修1-2测试题一、选择题：. 1．复数10 (1)1i i +-等于（） A.1616i + B.1616i -- C.1616i - D.1616i -+ 2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是( ) A ．6 B ．21 C ．156 D ．231 3．.“自然数中a,b,c 恰有一个偶数”的否定为 ( ) A.自然数a,b,c 都是奇数 B. 自然数a,b,c 都是偶数 C 自然数a,b,c 中至少有两个偶数 D. 自然数a,b,c 都是奇数或至少有两个偶 4．把两个分类变量的频数列出，称为（） A ．三维柱形图 B ．二维条形图 C ．列联表 D ．独立性检验 5．关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线 6．(1) 名师出高徒； (2) 球的体积与该球的半径之间的关系；(3) 苹果的产量与气候之间的关系； (4) 森林中的同一种树，其断面直径与高度之间的关系；(5) 学生与他（她）的学号之间的关系； (6) 乌鸦叫,没好兆；其中，具有相关关系的是（） A ．(1)（3）（4）（6） B ．（1）（3）（4）（5） C ．（2）（5） D ．(1)（3）（4） 7．求135101S =++++的流程图程序如右图所示，其中①应为( ) A ．101?A = B ．101?A ≤ C ．101?A > D ．101?A ≥ 8．两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于0，则（ A.样本点都在回归直线上 B.样本点都集中在回归直线附近 C.样本点比较分散 D.不存在规律

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