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集合知识点总结及习题

集合

123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=???????

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3．元素与集合的关系——（不）属于关系

（1）集合用大写的拉丁字母A、B、C…表示

元素用小写的拉丁字母a、b、c…表示

（2）若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A;

若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a A;

4.集合的表示方法：列举法与描述法。

（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内

表示集合的方法

格式：{ a,b,c,d }

适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示

（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x |x满足的条件}

例如：{x R| x-3>2} 或{x| x-3>2}

适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N={0,1,2,3，…}

正整数集 N*或 N+ = {1,2,3，…}

整数集Z {…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…}

有理数集Q

实数集R

有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示

例如：语言描述法： {不是直角三角形的三角形}

Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x∈R|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

定义：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，

记为B

A?（或B?A）

注意：①B

A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A 与B是同一集合。

②符号∈与?的区别

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A

2．“相等”关系：A=B

定义：如果A B 同时 B A 那么A=B

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

3.真子集:如果A B,且存在元素x∈B,但x?A,那么就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

4.性质

①任何一个集合是它本身的子集。A A

②如果 A B, B C ,那么 A C

③如果A B 同时 B A 那么A=B

5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子

集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算

运

算

类

型

交集并集补集

定义由所有属于A且属

于B的元素所组成

的集合,叫做A,B的

交集．记作A B（读

作‘A交B’），即

A B=｛x|x∈A，且

x∈B｝．

由所有属于集合A

或属于集合B的

元素所组成的集

合，叫做A,B的并

集．记作：A B（读

作‘A并B’），

即A B ={x|x∈A，

或x∈B})．

设S是一个集合，A是S的一

个子集，由S中所有不属于A

的元素组成的集合，叫做S

中子集A的补集（或余集）

记作A

，即

C S A=}

∈且

韦恩图A B

图1

A B

图2

A A=A

A Φ=Φ

A B=

B A

A B?A

A B?B

A B﹤＝﹥A B=A A A=A

A Φ=A

A B=

B A

A B?Ａ

A B?B

A B﹤＝﹥A B=B

第一章：集合与函数的概念

第一课时：集合

集合的含义与表示

集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素a属于集合A，记做a∈A，反之，元素a不属于集合A，记做a?A。

集合中的元素的特征：

①确定性：如世界上最高的山；

②互异性：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}；

③无序性：如集合{a、b、c}和集合{b、a、c}是同一个集合。

集合的表示方法：①列举法；②描述法；③Venn图；④用数轴表示集合。

集合的分类：

①根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。

②根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。

本节精讲：

一.如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要

看这组对象是否是确定的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。

例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。

（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；

（2）方程x2=4的实数根；

（3）平面内所有的直角三角形；

（4）正方形的全体；

（5）∏的近似值的全体；

（6）平面集合中所有的难证明的题；

（7）著名的数学家；

（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。

解：

练习：

考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：

（1）平面直角坐标系内x轴上方的一些点；

（2）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；

（3）一元二次方程x2+bx-1=0的根；

（4）平面内两边之和小于第三边的三角形

（5）x2,x2+1,x2+2；

（6）y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0)；

（7）2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；

（8）新华书店中意思的小说全体。

二．有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。

例：集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)| y=x2+1},(A、B中x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（）

A、2∈A，且2∈B

B、（1,2）∈A，且（1,2）∈B

C、2∈A，且（3,10）∈B

D、（3,10）∈A，且2∈B

解：C

练习：

Q ； ∏ Q ； 0 R +； 1 {（x,y ）|y=2x-3}； -8 Z ；

三．有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是①确定性②互异性③无序性

例：集合A 是由元素n 2-n ，n-1和1组成的，其中n ∈Z ，求n 的取值范围。解：n 是不等于1且不等于2的整数。

练习:

1. 已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq 2},a ≠0,且M 与N 中的元素完全相同，

求d 和q 的值。

已知集合A={x ，x y ,1},B={x 2,x+y,0}，若A=B ，则x 2009+y 2010的值为，A=B= . 3. (1)若-3∈{a-3,2a-1,a 2-4}求实数a 的值； (2)若m

m +-11 ∈{m},求实数m 的值。 4.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b 2}，且M=N,求a,b 的值。

5.已知集合A={x|ax 2+2x+1=0,a ∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求a 的值； (2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。

四．集合的表示法：三种表示方法

练习；

1. 用列举法表示下列集合。

（1）方程 x 2+y 2=2d 的解集为； x-y=0

（2）集合A={y|y=x 2-1,|x|≤2,x ∈Z}用列举法表示为；

（3）集合B={x

+18∈Z|x ∈N}用列举法表示为；

（4）集合C={x|=a

a ||+

b b ||，a ，b 是非零实数}用列举法表示为； 2.用描述法表示下列集合。

（1）大于2的整数a 的集合；

（2）使函数y=()()

111+-x x x 有意义的实数x 的集合；（3）{1、22、32、42、…}

3.用Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系：

（1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；

（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为，用Venn 图表示为：。

五．有关集合的分类：

六．集合概念的综合问题：

练习

1. 若{}t t

t ∈+-13，则t 的值为 _____________； 2. 设集合A={y|y=x 2+ax+1，x ∈R},B={(x,y)|y= x 2+ax+1, x ∈R },试求当参数a=2

时的集合A 和B ；

已知集合A={x|ax 2-3x+2=0,a ∈R},求（1）若集合A 为空集，则a 的取值范围；

（2）若集合A 中只有一个元素，求a 的值，并写出集合A ；（3）若集合A 中至少有一个元素，则a 的取值范围。

课后作业：

1.判断下列各组对象能否组成集合：

（1）不等式320x +>的整数解的全体；

（2）我班中身高较高的同学；

（3）直线21y x =-上所有的点；

（4）不大于10且不小于1的奇数。

2.用符号∈或?填空：

（1）2______N （2______Q （3）0______{}0

（4）b ______{},,a b c （5）0______*N （6）{x x < （7）{}2*3____1,x x n n =+∈N （8）(){}21,1____y y x -=

（9）()(){}21,1____,x y y x -=

3.写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：

（1）既是素数又是偶数的整数组成的集合

（2）大于10而小于20的合数组成的集合

4.用适当的方法表示：

（1）(x ＋1)2＝0的解集；

（2）方程组???=+=-01y x y x 的解集；（3）方程3x －2y ＋1＝0的解集；

（4）不等式2x －1≥0的解集；

（5）奇数集；

（6）被5除余1的自然数组成的集合。

5.集合{1，a 2}中a 的取值范围。

集合间的基本关系

子集：一般地，两个集合A 和B ，如果

集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，

我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记做A ?B （或B ?A ）,读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）。如右图示。比如说，集合A={1、2、3}，集合B={1、2、3、4、5}，那么，集合A 中的元素1、2、3都属于集合B ，所以，集合A 为集合B 的子集，记做A ?B （或B ?A ）。

集合相等：如果集合A ?B 且B ?A 时，集合A 中的元素与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记做A=B 。或A ?B 。

真子集：如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，我们称集合A 是集合B 的真子集。记作：A B （或B A ）也可记作：B A ?（或A B ?）

空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做?，并规定：空集是任何非空集合的子集（当然是真子集）

本节精讲：

一．集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手： ① 若集合A ?B 且B ?A 时，则A=B ；反之，如果A=B ，则集合A ?B 且B ?A 。这就

给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲要证明A=B ，只需要证明A ?B 和B ?A 都成立就行了。

② 两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。

③

要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。例：若集合{|}A x x a =>，{|250}B x x =-≥，且满足A B ?，求实数a 的取值范围. 解：

练习：

1.已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ?，求实数p 、q 所满足的条件.

2. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（）.

A. 3,

2b c =-= B. 3,2b c ==- C. 2,3b c =-= D. 2,3b c ==-

3. 已知集合P ＝｛x|x 2＋x －6＝0｝与集合Q ＝｛x|ax ＋1＝0｝，满足Q ≠?

P ，求a 的取值组成的集合A 。

二．有关子集以及子集个数的问题：例1：判定以下关系是否正确

??≠

? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}

(1){a}{a}

(4)0∈{0} （5）Φ={0} （6）Φ∈{0}

解根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．

例2：列举集合{1，2，3}的所有子集．

分析：子集中分别含1，2，3三个元素中的0、1、2或者3个．

解：含有0个元素的子集有：Φ

含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；

含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；

含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．

例3：已知{a、b}?A?{a、b、c、d},则满足条件集合A的个数为________．分析：A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}子集，所以满足条件的A 有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a、b、c、d}。

解：共3个．

例4：设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是。

A A B

B A B

C A B

D A B ．＝．．．≠≠???

解：A

例5：已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．

分析:逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．

答:C ＝{4}或{7}或{4，7}．

练习：

1{0}{012}{0}{01．在以下五个写法中：①∈，，②③，，≠

?? 2}{120} 01{x|x {12}}???，，④∈⑤∈，写法正确的个数有

A ．1个个个个

2A ={(x y)|y x

=1}B ={(x y)|y =x}．集合，与，的关系是 A A =B

B A B

C A B

D A B ．．．．≠≠???

3{01}M {01234}．满足条件，，，，，的不同集合的个数≠

??M 是 A ．8个个个个

4．设I={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3，5}，B={0},则:

①0________A ②{0}________B ③C I A________C I B

④⑤⑥1C B C A A B I I ?

5．已知A={x|x=(2n ＋1)π， n ∈Z}，B={y|y=(4k ±1)π，k ∈Z}，那么A 与B 的关系为．

6.已知集合A={1,3，a},B={1,a 2-a+1},且A ?B ，求a 的值。

7．已知集合A={x ∈R|x 2＋3x ＋3=0}，B={y ∈B|y 2－5y ＋6=0}，

A P

B P ??≠

，求满足条件的集合． 8．已知集合A={x|x=a 2＋1，a ∈N}，B={x|x=b 2－4b ＋5，b ∈N}，求证：A=B 。

课后作业：

A 组

1.写出集合{1，2，3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

2.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ??，则≠A ?。其中正确的有（）

A 、0个

B 、1个

C 、2个

D 、3个

3.设{}?

???

??=--=-=-=∈123),(,23),(,,x y y x B x y y x A R y x ，则A ，B 的关系是

_____________

4.已知{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=a x a x B ，A B ?，求实数a 的取值范围。

5.已知集合{}12,3,1--=m A ,集合{}2,3m B =，若A B ?，则实数m 的值。

6.设集合{}31≤≤=x x A ，{}0≥-=a x x B ，若A 是B 的真子集，求实数a 的取值范围。

7.用适当的符号填空：

① {}c b a a ,,____ ② {}0____02=x x ③ ?______{}012=+∈x R x ④ {}N ____1,0 ⑤ {}{}x x x =2_____0 ⑥ {}{}023_____1,22=+-x x x

8.判断下列两个集合之间的关系：

①{}4,21，

A =,{x x

B =是8的约数} _________________ ②{}N k k x x A ∈==,3，{}N z z x x B ∈==,6 __________________ ③{}+∈==N m m x x A ,20,{x x B =是4与10的公倍数} __________________

9.设集合{}042=+=x x x A ，{}R x a x a x x B ∈=-+++=,01)1(222，若A B ?，求实数a 的值。

10.下列选项中的M 与P 表示同一集合的是（）

A 、{}001.02=+∈=x R x M ，{}02==x x P

B 、{}R x x y y x M ∈+==,2),(2，{}R y y x y x P ∈+==,2),(2

C 、{}R x x y y M ∈+==,12，{}R y y x x P ∈+-==,1)1(2

D 、{}Z k k y y M ∈==,2，{}Z k k x x P ∈+==,24

11.试写出满足条件

M {}210，，的所有集合M 12.写出满足条件{}M

?0{}210，，的所有集合M 13.已知{}x ,1{}

6,1,122-+x x ，求x 14.已知集合{}b a b a a A 2,,++=,{}2,,ac ac a B =，若A=B ，求c 的值。

15.已知集合{}21<<=ax x A ,{}11<<-=x x B ，求满足A B 的实数a 的取值范围。

16.设集合{}a A ,8,2=,{}43,22+-=a a B ,且B A ，求a 的值。

B 组

1.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ，则≠A 其中正确的是（）

A 、0个

B 、1个

C 、2个

D 、3个

2.已知集合{}4,3,2,1?A ，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有（）

A 、13个

B 、12个

C 、11个

D 、10个

3.设集合??????∈-+==Z k k x x M ,42πππ，?

?????∈+==Z k k x x N ,24ππ，则（） A 、M=N B 、M N C 、N M ? D 、N M

4.已知集合{}23<≤-=x x A ,{}1212+≤≤-=k x k x B ，且B A ，则实数k 的取值范

围是_________________。

5.已知集合{}R a a x ax x A ∈=++=,022,若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值

是（）

A 、1

B 、1-

C 、0，1

D 、1-，0，1

6.设R b a ∈,，集合{}?

?????=+b a b a b a ,,0,,1，则=-a b （） A 、1 B 、1- C 、2 D 、2-

7.已知{}4,3,2,1=U ,{}3,1=A ,则=A C U _________________

8.已知{}3,1=U ,{}3,1=A ,则=A C U _________________

9.已知集合{}21，A -=,{}022=+-=b ax x x B ，若≠B 且B A ，求实数b a ,的值。

10.如果数集{}2,1,0+x 中有3个元素，那么x 不能取哪些值

11.不等式组?

??≤->-063012x x 的解集为A ，R U =，试求A 及A C U 12.已知集合{}52≤≤-=x x A ,{}121-≤≤+=m x m x B

（1）、若A

B?，求实数m的取值范围。

（2）、若Z

x∈，求A的非空真子集的个数。

集合的基本运算

并集：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A

与B的并集,记作A∪B,(读作“A并B”).即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}。如图1-3-1

所示。

例如，设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.

解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}

再比如说，设集合A={x|-1

解: A∪B={x|-1

图1-3-1 图1-3-2 图1-3-3

交集：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B

的交集,记作A∩B,(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。如图1-3-2所

示。

C U A