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高考数学压轴试题预测与分析(理科)

高考数学二轮复习的前言

同学们高考数学的第一轮复习已经结束了，你们有什么收获呢？是否有这种理不清，捋不顺稀里糊涂的感觉？老师讲的课似乎都能听明白，可自己一做题（尤其是有点综合性的问题）却没思路，总感觉那一层看似很薄的纸捅不破；一次次的考试失利，150分的数学试卷总难及格，更惨的有时连一半甚至三分之一的分都得不到；在紧张、辛苦的一轮复习过后，好象发现自己的努力付出并没有增长多少数学知识，改变多少现实，疲惫过后，灰心、懈怠的情绪不由自主产生。其实通过第一轮的复习我们已经掌握了一定的基础知识、基本方法，技能，也许你还不会应用或者不太能熟练应用，但最起码你对高中数学有了最基本的了解、掌握，知道了高考所考的主要内容；但我们对知识的把握较为分散、缺乏系统整理和深刻理解，综合应用能力明显不足，推理、分析、运算能力有待加强，运算速度，运算准确性、严谨性需要进一步提高。数学的第二轮复习是促进知识灵活应用、能力发展提升、分数逐渐增长的关键时期，在第二轮复习期间我们要达到以下的目标：

一、巩固第一轮的基础，突出重点，建构知识体系，重组知识结构；第二轮复习通过回

顾性练习再现第一轮知识重点，在快速温故的基础上将分散的章节有机的联系起

来，重新形成知识网络。

二、抓住数学特点，强化数学思想，让数学思想意识化为具体的方法、技巧，最后形成

能有效解决问题的操作步骤。高中常用的数学思想有：函数方程思想、数形结合思

想、分类讨论思想、转化化归思想。

三、通过专题型、知识交汇处综合训练，提高综合分析能力、知识应用能力，体会各章

节之间互为工具，相互转化的特性，达到融会贯通举一反三的目的。通过一定的“魔

鬼式”训练让重点知识适当“模式化”，培养对相对基础、相对能形式化的知识形

成条件反射，通过一定量的应用练习达到不用想起就能记住的熟练程度；

四、特别提醒，要重视二轮中的“统练”，“统练”时要限时、仿真，要从每一次的“统

练”中筛选出易错的问题，找到知识漏洞及时补上；在“统练”中注意规范解题格

式步骤、合理安排时间、总结考试技巧、提高应试能力。

同学们稳定情绪、调整心态、树立信心，在老师的指导下有计划、有条理的进行二轮复习；相信你会感觉到曾经混乱的知识逐步清晰起来，你会对思想、方法、技巧的应用由摸着门道，然后熟练起来，你的数学成绩会在一次次的考试中涨起来的；坚持下去，树立信心，千万别泄气，坚持就是胜利，坚持就会形成你自己的“品牌”。

函数、导数、方程、不等式

一、复习要点提示：

（一）本专题以函数、导数为主线，在重点巩固函数、导数知识的基础上，同时理解函数、方程思想的本质，形成应用函数的思维习惯.

（二）复习的步骤：

1、利用回顾性练习复习函数、导数的基础知识；

2、利用综合问题的求解掌握函数与导数、不等式、方程之间的内在联系，进一步强化

函数、方程思想.

（三）函数、方程思想：1、用变量来思考，建构起变量之间的关系（建构函数、方程），为此常要想到：

－是否需要把一个代数式看成一个函数? －是否需要把字母看作变量？

－如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有

什么性质？

－如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题？－是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？

－如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要

求？

2、再用函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等）、图象来分析、解决

问题；函数方程思想体现了联系、变化的思想观念，常将静止的问题放到一个动态

的过程中来考察.

（四）函数、导数、不等式、方程之间的联系：

1、函数本身就是一个方程，求某些函数值域时常转化为方程有解来考虑如：求函数

x y x x +=

++的值域；而找方程根又可转化求函数的零点或两函数的交点横坐标，

故对于方程的问题常常可借函数的性质、图象来估计根的个数、求根的近似值。 2、解决函数、导数应用问题的过程不可避免要用到不等式，函数、导数的很多问题最

终化归到求解不等式问题，而不等式的求解、证明又可通过构造函数来解决； 3、导数是解决函数的有利工具，常用导数来探索函数的性质，对函数的掌握更加透彻； 4、等是不等的“临界”，故不等式的求解不可避免要用到方程. （五）在求解综合性问题时注意：

1、仔细审题，弄清问题的本质，将要求解的问题转化为可操作的方法、步骤；

2、尽量多方联想，注意应用等价的变换；

3、一定要及时反思、回味，积累经验；

二、初步体验：在给出的提示下初步感受思想、方法在解题中的应用；

体验1、已知方程cos 2sin 0x x a +-=有解，求a 的取值范围；考察下列的解法是否正确，对此你得到什么启发？

解：法一：原方程可化为2

12sin sin 0x x a -+-=2

2sin sin 10x x a ?-+-=①

令sin t x =，则方程①2

210t t a ?-+-=，故要使cos 2sin 0x x a +-=有解则：

9142(1)08

a a ?=-?-≥?≤

；

体验2、若对于任意的实数x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，求实数a 的范围。

在以下的数、形提示下，求出最终结果，并想想还有什么别的解法？

y x y ax

=??

体验3、设不等式2220x ax a -++≤的解集为M .

（1）若[1,4]M ?，求实数m 的取值范围；（2）若[1,4]M ?，求实数m 的取值范

围.

在以下的提示下，求出最终结果，并想想还有什么别的解法？提示：若想用变化（因为含有参变量）的二次函数图象来解决相应的方程、不等式问题，

常考虑以下几方面：

①二次函数的开口（二次项系数符号）；②对称轴； ③判别式?；

④给定区间的端点函数值符号；⑤是否过定的点，定点是否可用来简化解题.

体验4、若不等式2

x a -<

，在(1,1)x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为 .

在以下的提示下求出最终结果。

12x y x y a ?=-?

?=?

体验5、若不等式2

10x ax ++≥对于一切1

(0,]2

x ∈恒成立，求a 的范围；

在以下的提示下求出最终结果，想想是否还有别的解法？

提示：不等式2

10x ax ++≥对于一切1

(0,]2

x ∈恒成立

111(1) (0)() (0)2

ax x x a x x x

?≥-+<≤

?≥-+

<≤

恒成?

三、典型例题：在体验中获得启发，自己在老师讲解前动手做做，在老师讲解完

后，一定要整理、总结，积累经验.

例题：1、已知二次函数2()2f x x ax =--，试求：

①若()y f x =，在区间[1,5]上有零点，求a 的取值范围.

②若不等式()0f x ≥，在区间[1,5]上恒成立，求a 的取值范围. ③若不等式()0f x ≥，在区间(1,5)上有解，求a 的取值范围.

解：①法一：由题意可知，若()y f x =，在区间[1,5]上有零点220x ax ?--=（1）在[1,5]上有解即

20505

x ax x a x x x x x ?-?=-=

=-????

≤≤??≤≤?

，令2(),[1,5]g x x x x =-∈，则要使（1）在[1,5]

上有解，

a 取()g x 值域内的值即可，由'

2()10g x x

>，所以()g x 在[1,5]上单调递增，所

以：

23231(1)()(5)[1,

g g x g a -≤≤≤=

?∈-。

法二：由函数2

()2f x x ax =--恒过定点(0,2)-，开口向上，故要使()y f x =，在区间[1,5]上有零点，由图可得出：

(1)

0(12)023

1(5)0255205f a a f a ≤--≤????-≤≤?

?≥--≥??

法三：构造函数22

15y x y ax

x ?=-?

=??

≤≤?

，在同一坐标系中作出如下的图像：

02315

A o

B k a k -=≤≤=

②法一：由①法一可得不等式()0f x ≥，在区间[1,5]上恒成立，则只需

m i n

()1a g x ≤=- 法二：由图象可得：1

12(1)0

a x a f ?

=≤??≤-?

?≥?

（其中2a x =为函数()f x

法三：构造函数2215y x y ax

x ?=-?

=??≤≤?

，在同一坐标系中作出如下的图像：

③法一：由①法一可得不等式()0f x ≥，在区间(1,5)上有解，则只需

m a x

23()5

g x <=

法二：由图象可得：23(5)05

f a ≥?≥

例题2、已知32()f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在[0,2]上是减函数，且

()y f x =有三个不同的零点,2,αβ.

（1）求c ；（2）证明：(1)2f >；（3）求||αβ-的范围.

解：（1）由()f x 在(,0)-∞上是增函数，在[0,2]上是减函数，故0x =是函数()f x 的一个

极值点，

00()|(32)|00x x f x x bx c c ===++=?=；

（2）由2x =是()f x 的一个零点，所以(2)840(48)f b d d b =++=?=-+ 所以3

()(48)(2)[(2)(24)]f x x bx b x x b x b =+-+=-++++

()y f x =有三个不同的零点,2,αβ，所以2x =不是方程2

(2)(24)0

x b x b ++++=的根

故：42(2)(24)03b b b ++++=?≠-（学生易漏掉）又()f x 在(,0)-∞上是增函数，在[0,2]上是减函数

()320f x x bx =+≥在区间(,0)-∞恒成立且'

()320f x x bx =+≤在区间[0,2]上恒

所以(32)0 (0)(32)0 (02)

x x b x x x b x +≥

+≤≤≤?2233

b b -?

≤?≤-

综合可得：3b <-(1)1(48)372f b b b ?=+-+=-->

（3）322()(48)(2)[(2)(24)]0f x x bx b x x b x b =+-+=-++++=可知，,αβ是方程： 2(2)(24)0

x b x b ++++=的两个根，所以 2

(2)||()3(2)3(24

)24

b b b b αβαβαβ

αβαβ+=-+??-=+-=+-+?

=+? （3b <-）令22()(2)4(24)(2)16g b b b b =+-+=--，由3b <-所以()(3)9g b g >-= 所以||3αβ->

例题3、已知函数3()log 3

x f x x -=+

（1）若()y f x =在[,] (0)m n m n <<有意义，判断()y f x =在[,]m n 的单调性；（2）判断是否存在01a <<，使()y f x =在[,](0)m n m n <<的值域为

[l o g (

1),l o g

(a a a n a m --，并说明理由。

解：（1）

?>+-03

3x x x ＜–3或x ＞3. ∵()f x 在[,](0)m n m n <<，∴m ＞3 令36()13

x t x x x -=

++ 则()log ()a f x t x =

有复合函数的单调性可得：当01a <<时，3()log 3

a x f x x -=+在[,]m n 单调递减；

当1a >时，3()log 3

a x f x x -=+在[,]m n 单调递增。

或用导数'2

36()(

)log 3

(3)

a x f x e x x +=

?-+可知：

当01a <<时，3

()log 3a

x f x x -=+在[,]m n 单调递减；当1a >时，3

()log 3a x f x x -=+在[,]m n 单调递增。

（2）若f (x )在[,]m n 上的值域为[log (1),log (1)]a a a n a m --

∵0＜a ＜1, f (x )为减函数.

∴3()log log (1)33()log log (1)3a a a

a m f m a m m n f n a n n -?

==-??+?-?==-?+?

即

(21)3(1)0

, 3(21)3(1)0

am a m a n m an a n a ?+---=?>>?+---=?? 即,m n 为方程2(21)3(1)0ax a x a +---=的大于3的两个根

∴2

1616102132(3)0

a a a a a af <??

?--

>??>?? ∴0＜a ＜432- 故当0＜a ＜432-时，满足题意

条件的a 存在.

例题4、已知函数2()(1)()f x x m x m m R =-++∈

（1）若tan ,tan A B 是方程()40f x +=的两个实根，,A B 是锐角三角形ABC 的两个

内角.

求证：5m ≥；

（2）对任意实数α，恒有(2cos )0f α+≤，证明3m ≥

（3）在（2）的条件下，若函数(sin )f β()R β∈的最大值是8，求m 解：（1）()40f x +=即2

(1)40x m x m -+++=依题意：

??>+=?>+=+≥+-+=?0

4tan tan 01tan tan 0

)4(4)1(2m B A m B A m m 又A 、B 锐角为三角形内两内角 ∴2π＜A B +＜π

∴tan()A B +＜0，即03

1tan tan 1tan tan )tan(<--+=

-+=

+m m B

A B A B A

∴???

??>++>+>+≥--03

1040101522m m m m m m ∴m ≥5 (2)证明：方法一：∵()(1)()f x x x m =-- 又1cos 1α-≤≤，

∴1≤2cos α+≤3，恒有(2cos )0f α+≤

即13x ≤≤时，恒有()f x ≤0即(1)()0x x m --≤ ∴只需m ≥x ∴

max 3m x ≥=；

法二：1cos 1α-≤≤， ∴1≤2cos α+≤3，恒有(2cos )0f α+≤ 即

13x ≤≤时

，

恒有

()

f x ≤0，所以由

(

)

)0(13)

f x x m x

m x =-++≤

≤≤? 由图可知：只需(3)093303f m m m ≤?--+≤?≥

(3)∵函数(sin )f α的最大值为8，由1sin 1α-≤≤，即()f x 在[1,1]-上的最

大值为8，2

11()()(

m m f x x m ++=-

+-，由1322

m m x +≥?=

≥，故由

图可知函数在[1,1]-的最大值是当1x =-时取得，所以

(1)1(1)83f m m m -=+++=?=

例题5、在数列{}n a 中，111,n a a n

，若对于一切2n ≥的自然数，不等式

12212log (1)12

3n n n a a a a a +++++>

恒成立，求实数a 的取值范围.

证明：令122111()1

2n n n f n a a a n n n

++=+++=+

++ （*,2n N n ∈≥）

所以

f n

n n +

-++

＝11111211021

2(1)

n n n n n n n n +-

>++++++++

()f n ∴为定义域*

{|2,}n n n N ≥∈上单调递增，故m in 117()(2)3412f n f ==

122

12log (1)12

n n n a a a a

a +++++>

m i n 127

l o g (1)()12

a f

n ?

-+<=

log (1)1212a a ?-<-1

112

1a a a a >??

??<

例题6、已知正四棱锥P A B C D -的内切球半径为1，则四棱锥P A B C D -的体积最小值

为。解：设正四棱锥的底面边长为2x ，高为h ，则由图可知：

PQE PFO ?? ,故：

(2)1

Q E PE x h x h O F

h =?=?-=-

显然2h >，所以22

h x h =-

所以2

432(2)[(2)4][44]3

3232

P A B C D h

V x h h h h -=??==+-+≥

?+=

所以当4

242

h h h -=

?=-时P A B C D V -取最小值

323

。

注：此题消掉h 化为x 的函数也可，只是较难

例题7、. 如图已知A B C D 是一块边长为4km 的正方形地域，地域内有一条河流 MD ，河

流经过的路线是一条抛物线，且抛物线是以A B 的中点为顶点，与A B 垂直的直线为对称轴（河流宽度忽略不计）。某公司准备投资建一个大型的矩形游乐园PQCN （如图中所示，游乐园不能跨越河流）。是问：如何画边线才能使矩形游乐园的面积最大？求出

最大面积？

例题8、若函数2

3()2

f x ax x =-

的最大值不大于

，且当

（1）求a 的值；

（2）若*

1110,(),,2

n n a a f a n N +<<

=∈证明：101

n a n <<

解：（1）2

31()()2

a f x x a =-

，函数2

3()2

f x ax x =-

的最大值不大于

，所以

1111166

a a a ≤

?≤?-≤≤

11[,]42x ∈时，1()8f x ≥，故只需311

0()0421621131()00

4224

a f a a f ??-?≥≥????

??≥????≥-?≥???? 综合可

得：1a =；

（2）用数学归纳法证明：

①当1n =时，由已知110,2

a <<

显然满足101n a n <<+ ②当2n =时，2

211113311()()22

a f a a a a ==-

=--+

，由

1102

a <<

211110()6213

a f a ?<=<

=+；

③ 假设(2)n k k =≥，1

n k a a k <=<

+成立；

④当1n k =+时，则2

1311()()236

n k k k a a f a a +===--

因为2k ≥，所以1101

k a k <<≤

+，故由图可得：

121

0(0)()12(1)

k k f a f k k +-=<<

=++，又 2

211402(1)

2(1)(2)

k k k k k k -+-

<++++111011

2k a k k +?<<

+++；

所以当1n k =+时，101

n a n <<

+也成立，故*n N ∈时101

n a n <<

+都成立。

例题9（最后一问普通班可选做）、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，

则称0x 为()f x 的不动点。已知函数2

()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠ （1）若1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；

（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象与直线y x =交于,A B 两点，且A 、B 关

于直线

121

y kx a =+

+对称，求b 的最小值。

解：（1）当a =1,b =–2时，f (x )=x 2–x –3，由题意可知x =x 2–x –3，得x 1=–1,x 2=3. 故当a =1,b =–2时，f (x )的两个不动点为–1,3.

（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)恒有两个不动点，

∴x =ax 2+(b +1)x +(b –1)，即ax 2+bx +(b －1)=0恒有两相异实根

∴Δ=b –4ab +4a ＞0(b ∈R )恒成立，于是Δ′=(4a )–16a ＜0解得0＜a ＜1

故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1.

（3）由题意A 、B 两点在直线y =x 上，设A (x 1,x 1),B (x 2,x 2)

又∵A 、B 关于y =kx +

1212

+a 对称. ∴k =–1.设AB 的中点为M (x ′，y ′)

∵x 1,x 2是方程ax 2

+bx +(b –1)=0的两个根. ∴x ′=y ′=

b x x 222

1-=+，又点M 在直线1

212

-=a x y 上有

21222

=-a a

b a

b ，即a a a a b 1211

=+-=

∵a ＞0，∴2a +

1≥22当且仅当2a =

1即a =2

2∈(0,1)时取等号，

故b ≥–2

21，得b 的最小值–

练习1、（1）关于x 的不等式2223330x x a a ?-+-->在[0,1]x ∈时恒成立，则实数a 的取

值范围为 .

解：设3x t =，则[1,3]t ∈，原不等式可化为22

32,[1,3]a a t t t -->-+∈，令

()2g t t t

-+ 则需2

m ax 3()a a g t -->于a 2–a –3大于f (t )=–2t 2+t 在［1,3］上的最大值.

答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)

（2）已知函数()log (2)]x

a f x a =对任意1

[,)2

x ∈+∞都有意义，则实数a 的取值范

围是( )

A 、(0,

B 、(0,

1) C 、［

1,1) D 、(

1）

解：

(2)0x

a >在1[

,)2

x ∈+∞恒成立，则考查函数y 1=x 和y 2=(2a )x

的图象，显然有

0＜2a ＜1.由题意21

)2(2

1a =得a =

1，再结合指数函数图象性质可得答案。

答案：A

练习2、已知函数32

() 3 (0)f x ax x x a =+-+≠，

①若函数在(2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；

②若函数在(2,)+∞上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.

解：①因为'2()321f x ax x =+-，若函数在(2,)+∞上是增函数则'2()3210f x ax x =+-≥，在(2,)+∞上恒成立，所

以2

1132a x

x ≥

，令11,202

t x t x

>?<<

，

1()2(1)1(0)2

g t t t t t =-=--<<

则3()0,4

g t -

<< 2

1132a x

≥

在(2,)+∞上恒成立，则30a >0a ?>。

②要使函数在(2,)+∞上存在单调递增区间，则使2

1132a x

≥

有解集，故

34a >-

a ?>-. 本题也可用2

312y ax y x

?=?=-?的图象，或'()()x f x φ=的图象也可求出，在此略。

练习3、已知集合2{(,)|2},{(,)|10,02}A x y y x m x B x y x y x ==++=-+=≤≤，若

A B φ≠ ，求m 的取值范围.

解：A B φ≠ ，则221(02)

y x mx y x x ?=++?=+≤≤?2

(1)10x m x ?+-+=在[0,2]上有解；

方法一：由0x =不是方程的解，故只要方程在(0,2]上有解，所以

(1)10x m x ?+-+=11()m x x

?=-+

在(0,2]上有解，令1()1()g x x x

=-+

，用导

数可易求得：

()(1)1g x g ≤=-，所以1m ≤-

方法二：用函数2

()(1)1t x x m x =+-+在[0,2]上有零点，讨论函数()t x 的图象易求出结果；

方法三：用21

(1)y x y m x

?=+?=-?的图像关系，但此种方法较难理解。

(1)y m x =-的斜率1k m k =-≥切线，可得到结果。

练习4、已知3()31f x ax x =-+对于[1,1]x ∈-总有()0f x ≥成立，试确定a 的值，并说明理由。

解：方法一：由3()31f x ax x =-+对于[1,1]x ∈-总有()0f x ≥成立，

由0x =时()10f x =≥恒成立，所以只需保证230131x a x x <≤???≥-?? 和23

1031x a x x -≤

?≤-??

同时恒

成立

用导数可求出4a =

方法二：通过讨论求出函数3()31f x ax x =-+的最小值，保证最小值大于零即可；

因为'2()33f x ax =-，所以

（1）当0a ≤时，'2()330f

x ax =-≤在[1,1]x ∈-恒成立，所以函数在[1,1]x ∈-上单调

递增

min ()(1)3102f x f a a ==

-+≥?≥与0a ≤矛盾；

（2）若0a >

，则'

()0f x x >?>

或x <

（Ⅰ）若01<

<，即1a >

时，由

'()0

111f x x x ?>?-≤

'()011

f x x x ?

-≤≤?

所以要使()0f x ≥在[1,1]

-上恒

成

立

，

只

需

(1)3

1)(310

f a a f a -=

-++≥

???=?=?-

≥?

符合题意.

101a ≥?<≤时，'()0f x ≤在区间[1,1]-上恒成立，所以函数在区间

[1,1]-单调递减

所以要使()0f x ≥在[1,1]-上恒成立，则(1)3102f a a =-+≥?≥与01a <≤矛盾。

综合可得：4a =；

练习5、给定抛物线x y C 4:2

=,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于B A ,两

点.设AF FB λ=,若[]9,4∈λ,求l 在y 轴上的截距的变化范围. 解：（Ⅰ）C 的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，

所以l 的方程为.1-=x y

将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得 .0162=+-x x

设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .1,62121==+x x x x 由题设AF FB λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ 即 ???-=-=-.12

12),1(1y y x x λλ

由②得21222y y λ=， ∵ ,4,422

2121x y x y == ∴.122x x λ=③

联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ

∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F （1，0），得直线l 方程为 ),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为,1

2--

-λλ

λλ

或

把

2-λλ

看作函数，设()[]9,4,

2∈-=

λλλ

λg

(),1

2-+

λλλλ

λg 可知()1

2-=

λλ

λg 在[4，9]上是递减的，

（或用导数()()

0112

<-+-

='λλλλg ，证明()λg 是减函数。）

∴ ,4

4,3

3-≤--

≤-

≤-≤

λλ

直线l 在y 轴上截距的变化范围为].3

,43[

]43,3

4[?-

练习6、已知关于x 的方程2

sin cos x a x +－2a = 0有实数解，求实数a 的取值范围。

解：方法一：2

sin cos 1cos 2

cos 2

x x a x x --==

--，令cos 231t x t =-?-≤≤-

① ②

所以可得2

(

2)13

()4()t a g t t

+，由导数或不等式不难得到：

0()4

3g t ≤≤-

所以可得：[0,4a ∈-；

方法二：1cos 1t x -≤=≤，故要使方程2

sin cos x a x +－2a = 0有实数解，

即使得方程：2210t at a -+-=在[1,1]-有解，故函数2()21s t

t at a =-+-在[1,1]-有零点

作出图形可得：

(1)(1)0f f -≤或120

(1)0(1)0

f f ?-≤

≤???

?≥???-≥?≥?

?[0,4a ∈-

练习7、已知在正三棱锥P A B C

-中，1P C =，求三棱锥的最大体积为。解：设底面边长为x ，高为h ，则

103x x

34V x h =

?，又2

2)13

h x +=2

113(1)3

h x x h ?=-

?=-

1(1)(01)3

V x h h h =??=

-<<，所以'

()3)4

V h h =

-，列表可求出

当3

h =16

。

练习8、（1）设1231()l g

x x x

n a n

f x n

+-+?=

＋()，其中a 是实数，

,2n N n ∈≥，若()f x 在区间(,1]-∞有意义，则a 的取值范围是 .

解：

123(1)12

10()()()x x x x

x x x

n a n

n n n

++++-+?->?

>++++ ，

令121

()()()(

)x x x

n g x n

n n -=++++ 显然是减函数， m in 121(1)1()(1)22

n n n n g x g n n n

---==

+++

== 。所以12

n a ->

练习9、设集合2{|420,}x x A x a x R +=-+=∈

（1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ；

（2）若对于任意a B ∈，不等式26(2)x x a x -<-恒成立，求x 的取值范围. （1）法一：令20x t => ，设2()4f t t t a =-+

由()0f t =在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有： ①()0f t =有两等根时，Δ=0?16–4a =0?a =4 验证：24402(0,)t t t -+=?=∈+∞，这时1x =； ②()0f t =有一正根和一负根时(0)0f a =<；

③若(0)0f a ==，此时442020x x x -?=?=或24x =，∴2x =， A 中只

有一个元素。

综上所述，0a ≤或4a =，即{|04}B a a a =≤=或

法

二

：

令20

t => ，设2

()

4f t t t a =-+ 由

()0f t =2

4(2)4a t t t ?=-+=--+

令2(2)4(0)

y t t y a

?=--+>?=?，作出图象可得：

{|04}B a a a =≤=或

（2）要使原不等式对任意{|04}a a a a ∈≤=或恒成立，

即2

()(2)(6)0g a x a x x =--->0恒成立.只须

2220

52(4)01080x x x g x x ≤-≤????-<≤?

?>-+

。练习10、已知11112

n S n

=++

（*

n N ∈），设211()n n f n S S ++=-，试确定m 的范围，

使不等式

(1)11

()[log (1)][log ]20m m f n m m ->--

对于任意的*

2,n n N ≥∈恒成立。

解：由2111

11()2

21n n f n S S n n n ++=-=+

+++++ ，

则11

(1)3

2223

f n n n n n +=

++++

++++ ，

1111

111(1)()(

)(

f n f n n n n n n n n +-=+

>+++++++

m i n ()(2)f n f =

，所以2

(1)11()[log (1)][log ]

m m f n m m ->--

对于任意的

2,n n N ≥∈恒成立

(1)m in 119[log (1)][log ]()(2)20

m m m m f n f ---

<==

，令log (1)m t m =-

则11190120200t t t t ?

??，即

0[lo g (1)]1

m m m m ?<-

-≠??->?

解得：12m +>且2m ≠

故实数m 的的范围为：12m +>2m ≠

首项为正数的数列{n a }满足*2

1),3(4

1N n a a n n ∈+=

(Ⅰ)证明：若1a 为奇数，则对一切2≥n ，n a 都是奇数； (Ⅱ)若对一切*N n ∈，都有n n a a >+1，求1a 的取值范围。

四、函数导数回顾性练习：

（一）选择题：

1、已知3()lo g ||f x x =，若函数的定义域为{9,3,1,1,3,9}

A =---，则()f x 的值域为（

）

A ．{1,2,3}

B ．{0,1,2}

C ．{2,1,0,1,2}--

D ．{1,2} 2、函数2

()lg(31)f x x =

+的定义域为（）

A ．1(,)3

+∞ B ．1(,1)3

C ．11(,)33-

D ．1

(,)3

-∞-

3、已知1(

1)232

f x x -=+，()6f m =，则m 等于（）

A ．

B ．14

- C ．

D ．32

4、函数1

2--=

y 的值域为（）

A ．（),1[]2,+∞--∞-

B ．),1()2,(+∞---∞

C ．}{R y y y ∈-≠,1

D ．}{R

y y y

∈-≠,2

5、二次函数24y x ax =++在(,1]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（）

A ．(,2]-∞-

B ．[2,)+∞

C ．(,2]-∞

D ．(,1]-∞

6、已知四个函数：①10x y = ②0.1log y x = ③lg()y x =- ④0.1x y =，则图象关于原点成中心对称的是：（）

A ．仅为③和④

B ．仅为①和④

C ．仅为③和②

D ．仅为②和④ 7、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是（）

A 、)

(1x f y -

= B 、)(2x f y = C 、)(log

1x f y = D 、

)]([x f y =

8、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于（）

A 、x 轴对称

B 、y 轴对称

C 、原点对称

D 、以上均不对 9、2()log 21y f x x x ==+-的零点所在区间为（）

A ．1

(0,)2

B ．11

(,)42

C ．1

(,1)2

D ．(1,2)

那么方程2x =的一个根位于下列区间的（）.

A.（0.6，1.0）

B.（1.4，1.8）

C.（1.8，2.2）

D.（2.6，3.0）

11、已知3

()26f x x x a =-+（a 是常数），在[]2,2-上有最大值3，那么在[]2,2-上的

最小值是（）

A ．5-

B ．11-

C ．29-

D ．37-

12、设0.913y =，0.48

29y =， 1.5

()

y -=，则（）

A ．312y y y >>

B ．213y y y >>

C ．123y y y >>

D ．321y y y >> 13、下列说法不正确的是（）

A ．函数2

x x

a a

y --=

是奇函数 B ．函数(1)()1

a x f x a +=

-是偶函数

C ．若()x

f x a =，则()()()f x y f x f y +=?

D ．若()x f x a =，12x x ≠，则12

121[()()]()2

x x f x f x f ++<

14、函数21()log 22

f x x x =-

+的零点个数为（）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3 15、已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >），若()f x 的图像如右图所示，则函数

()x

g x a b =+的图像是（）

16、已知函数()log (21)(01)x

a f x

b a a =+->≠，的图象如图所示，则 ,a b 满

足的关系是（）

A ．101a b -<<<

B ．101b a -<<<

C ．101<<<-a b

D ．1101a b --<<<

17、函数()log (2)a f x x =+( 0

18、若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 等于

D 、Q P R << 20、对于任意x ，有3

'()4f x x =，(1)1f =-，则函数()f x 为（）

f x e x =则此函数图象在点(4,(4))f 处的切线的倾斜角为（

-+=A ． B ． C ． D ．0 23．若2

>，则方程

1()10

f x x ax =-+=在（0，2）上有（）个零点

=-+在区间(,1)-∞上有最小值，则函数()()f x g x x

D ．是增函数 25、若函数()y f x =的导函数'()f x 的图象如图所示，则下列判断正确的是（）

C ．函数()f x 在区间(4,5)上单调递增

D ．当2x =时，()f x 有极小值

26．若[]||

(,)x y e x a b =∈的值域为2

1,,e ????

则点 (,)a b 的轨迹是如图中的（）

。 A ．线段A B 和O A B ．线段A B 和O C

C ．线段A B 和B C

D ．点A 和点C 27．若奇函数()()(2)1,(2)()(2),(1)f x x R f f x f x f f ∈=+=+满足则等于( ).

x M x x x x n =+++- 例如5

(5)(4)(3)(2)M

-=----

(1)120,-=-则函数199

()x f x xM -=的奇偶性为（）。

A ．()f x 为偶函数，但不是奇函数

B ．()f x 为奇函数，但不是偶函数

C ．()f x 既是奇函数，也是偶函数

D ．()f x 既不是奇函数，也不是偶函数 29、已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +（）。

=??>?，若0()1f x >，则0x 的取值范围为。

2、已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且(0,)x ∈+∞时，1(),f x x

则当