【高中数学】计数原理总结

【高中数学】计数原理总结

知识梳理：

1. 分类加法计数原理和分布乘法计数原理

(1)如果完成一件事有n 类不同的方案，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，…，在第n 类中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。

(2)如果完成一件事需要n 个不同的步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，…，在第n 步中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。

(3)分类和分布的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是___________；必须要连续若干步才能完成则是 _____________。分类要用分类计数原理将种数_________，分步要用分步计数原理将种数_________。 2. 排列与组合

(1)排列

(1)(2)(1)()(1)321(1)(2)(1)()(1)321

!()!

m

n n n n n m n m n m A n n n n m n m n m n n m ---+---??=---+=

---??=-L L L L (1)(2)(!()!m n A n n n n

n n m =--=-L

(2)组合 ①组合数公式(1)(2)(1)!()(1)321()!!

m

n n n n n m n C n m n m n m m ---+==---??-L L

①组合数的两个性质_______ _ ____、 。 ③区别排列与组合

3. 常见的解题策略有以下几种：

(1)特殊元素优先安排的策略 (2)合理分类和准确分布的策略 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略 (5)相邻问题捆绑的策略

(6)不相邻问题插空处理的策略 (7)定序问题除法处理的策略

(8)分排问题直排处理的策略 (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略

(10)构造模型的策略。

4. 二项式定理

(1)二项式定理：)

()(1110*

--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ΛΛ

(2)通项：展开式的第1+r 项，即)

,,1,0(1n r b a C T r

r n r n r Λ==-+

(3)二项式系数的性质：

①对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。即 ①增减性与最值：二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n

C 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n

C

=21+n n

C

③二项式系数的和：

奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和。即 m

n n m n

C C -=n

n

n

k n

n

n

n

C C C C C 2

210=+???++???+++∴L L 0213n-1

n

n

n n

C +C +=C +C +=2

典例精析：

【题型一】分类加法计数原理、分布乘法计数原理的应用

例1. 已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，P （a,b ）表示平面上的点（a,b ∈M ） 问：(1)P 表示平面上多少个不同的点？

(2)P 表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P 表示多少个不在直线y=x 上的点？

【题型二】两个计数原理的综合应用

例2. 用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字比2000大的四位偶数。

【题型三】排列数、组合数公式的应用

2973

10010010133334101

1

1n n+1

(1)()/(2)(3)(4)A A m n m n n m n m

n n

m m m n C C A C C C C C C C mA -++--++++-+=L 证明：

【题型四】排列应用题

例4. 7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种排法？

(1)甲排头

(2)甲不排头，也不排尾 (3)甲、乙、丙三人必须在一起 (4)甲乙之间有且只有两人 (5)甲、乙、丙三人两两不相邻

(6)甲在乙的左边（不一定相邻） (7)甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序 (8)甲不排头，乙不排当中

【题型五】组合应用问题

例5. 7名男生和5名女生选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？

(1)A 、B 必须当选 (2)A 、B 必不当选 (3)A 、B 不全当选 (4)至少有两名女生当选 【题型六】排列、组合应用题

例6. (1)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 __________种。

(2)有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．

常用方法总结：

1. 相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1. ,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有( )

A 、60种

B 、48种

C 、36种

D 、24种

2. 相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )

A 、1440种

B 、3600种

C 、4820种

D 、4800种

3. 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是( )

A 、24种

B 、60种

C 、90种

D 、120种

4. 标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )

A 、6种

B 、9种

C 、11种

D 、23种

5. 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是( )

A 、1260种

B 、2025种

C 、2520种

D 、5040种

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有( )

A 、444

12

8

4C C C

种

B 、4441284

3C C C 种

C 、44312

8

3

C C A 种

D 、4441284

3

3

C C C A 种 6. 全员分配问题分组法: 例6.

(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

(2)5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( ) A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 7. 名额分配问题隔板法:

例7. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

8. 限制条件的分配问题分类法:

例8. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

9. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9.(1)由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )

A 、210种

B 、300种

C 、464种

D 、600种

(2)从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

(3)从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

10. 交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ?=+-?. 例10. 从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

11. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11. 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

12. 多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例12.(1)6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是( )

A 、36种

B 、120种

C 、720种

D 、1440种

(2)8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

13. “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：

例13. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有( )

A 、140种

B 、80种

C 、70种

D 、35种

14. 选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例14.(1)四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

(2)9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

15. 部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求. 例15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有( )

A 、70种

B 、64种

C 、58种

D 、52种

(2)四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )

A 、150种

B 、147种

C 、144种

D 、141种

排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a -L L L L 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n 个元素的圆排列数有

!

n n

种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n -元素全排列. 例16. 5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

17. 可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有n

m 种方法. 例17. 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

18. 复杂排列组合问题构造模型法：

例18. 马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

19. 元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：

例19. 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法： 例20.(1)30030能被多少个不同偶数整除？

(2)正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

21. 利用对应思想转化法：对应思想 是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理. 例21.(1)圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？

(2)某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？

A

B