[超全]排列组合二十种经典解法!1

排列组合解法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2

m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：

12n N m m m =+++

种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：

12n N m m m =???

种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1

3C

然后排首位共有14C 最后排其它位置共有3

4A

由分步计数原理得113

434288C C A =

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花

盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，

再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有

522522480A A A =种不同的排法

乙

甲丁

丙

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出

场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，

第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4

6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进

行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种

数是：7

3

73/A A

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4

7A 种方法，其余的三个位置

甲乙丙共有 1种坐法，则共有4

7A 种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

5

10C

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有6

7种不同的排法

练习题：

1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这

两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法8

7 六.环排问题线排策略

例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从

此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！

H

F

D C A

A B C D E A

B

E G

H G F

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有2

4A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有1

4A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55

A 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n

m 种 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m

n A n

种,则共有215

445A A A 种

前 排后 排

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的

3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有2

5C 种方法.再把4个元素(包含一个复

合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有

24

54

C A

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人

完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,

这样的五位数有多少个？

解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有

2222A A 种排法，由分步计数原理共有222

222A A A 种排法.

1524

3

练习题：

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为

254

254A A A

2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个

空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

插板方法对应一种分法共有6

9C 种分法。

一

班二班三班四班五班六班七班

练习题：

1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 4

9C 2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有

5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555

C C C +。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解: 分三步取书得222

642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为

ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则

222

642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有

33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有2223

6423/C C C A 种分法。

将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为1

1m n C -- 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰. 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n

n A (n 为均分的组数)避免重复计数。

练习题：

1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（5442

13842

/C C C A ） 2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的

分组方法 （1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

排2名，则不同的安排方案种数为______（222

24262/90C C A A =）

十三. 合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱

歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有22

33C C 种,只会唱的5人中只有1人选上

唱歌人员112

534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类

计数原理共有

22112223353455C C C C C C C ++种。

练习题：

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉

相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有3

5C 种

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有2

5C 种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际

操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有

1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有

2

5

2C 种

534

3号盒 4号盒 5号盒

练习题：

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)

2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种

5

4

3

21

十六. 分解与合成策略

例16. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13

依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，

所有的偶因数为：12345

55555

C C C C C ++++ 练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共4

81258C -=,每个四面体有

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成358174?=对异面直线

十七.化归策略

例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人

所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有111

321C C C 种。

再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有

3355C C 选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有3311155321

C C C C C 选法。

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，

从A 走到B 的最短路径有多少种？(3

735C =)

B

A

十八.数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

解:297221

12

23

34

45

5=++++=A A A A A N

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起

来,第71个数是 3140 十九.树图策略

例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手

中,则不同的传球方式有______ 10=N

练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i 号人不坐i 号椅（54321,,,,i =）的

不同坐法有多少种？44=N

二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要

求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 解:

小结

本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 公式进行运算，树图会收到意想不到的结果 红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1 兰 3 2 1 2 1 1 取法 1

415C C

2415C C 3415C C 1325C C 2325C C 1235C C 一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效

排列组合问题的解题策略

排列组合问题的解题策略 排列组合问题的解题策略 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.

四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．3 0 C．20 D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相

排列组合问题的20种解法

排列组合问题的20种解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 复习巩固分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 44 3

由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆 里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再 与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522 522480A A A =种不同的排法 练习题: 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场 顺序有多少种 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5 5A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5 4 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行 排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数

排列组合问题的解法第三计

每周一计第三计——排列组合问题的解法 解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。 （一）.特殊元素、特殊位置的“优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 例1 ： 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0：0在个位有 种，0在十位有 种； 第二类，不含0：有1 223A A 种。 故共有（ 24A ＋1123A A ）＋1223A A ＝３０种。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个 放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。 故共有 练习：甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4*100m 接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，共有多少种不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单） （二）．排除法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去. 例２：５个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有543543 2A A A -+=78种． （三）.相邻问题“捆绑法” 对于某些元素要求相邻．． 排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 例3： 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应 全排列。由乘法原理共有6365A A 种。 （四）。不相邻问题“插空法” 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他可相邻元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的） 例4： 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有 种。 注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排可相邻的元素，再插入不相邻的元素； ②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。 例5： 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有3 5 C 种。 （五）。定序问题选位不排 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。 例6： 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有 种，再排列其它3人有 ，由乘法原理得共有 =60种。 1345240A A =5354A A 25C 3 3 A 25C 3 3A 24 A 1123A A 111233 A A A 2111423330 A A A A +=24A

[超全]排列组合二十种经典解法!

[超全]排列组合二十种经典解法!

超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同1 的方法，…，在第n类办法中有 m种不同的方 n 法，那么完成这件事共有： 第 2 页共 22 页

种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方1 法，…，做第n步有 m种不同的方法，那么完 n 成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉， 第 3 页共 22 页

高三复习：排列组合问题的解题方法

排列组合问题的解题方法 一、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑. 例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个． 解1：（元素优先法）根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：① 含0不含5，共有1324C A =48(个)；②含5不含0，共有1334C A =72(个)；③含0也含5，共有112224C C A ＝48(个)；④不合0也不含5，共有4 4 A ＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个). 解2：（位置优先法）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排 个位，有14C 种方法；第二步；排首位，有14C 种方法；第三步：排中间两位，有2 4A 种方法．所以符合条件的四位数共有14C 14C 24 A =192(个)． 二、相邻问题“捆绑法”：对于元素相邻的排列问题，可先将相邻元素“捆绑”起来看作一个元素（整体），先与其它元素排列，然后相邻元素之间再进行排列. 例2、6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？ 解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A 55 种，甲、乙二人的排列有A 22 种，共有A 22·A 5 5=240种. 三、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可. 例3、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”， 共有22232 22234576A A A A A 种. 四、有序问题“无序法”：对于元素顺序一定的排列问题，可先考虑没有顺序元素的排列，然后除以有顺序的几个元素的全排列即可. 例4、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站的站法有多少种？ 解：6个人的全排列有A 66 种，3名男生不考虑身高的顺序的站法有A 3 3种，而由高到低又可从左到右，或从右到左（这是两种不同的站法），故共有不同站法2A 66÷A 3 3 =240种. 五、分排问题“直排法”：n 个元素分成m （m ＜n ）排，即为n 个元素的全排列. 例5、将6个人排成前后两排，每排3人，有多少种排法. 解：6个人中选3个人排在前排有A C 33 36种，剩下3人排在后排有A 3 3种，故共有

【智博教育原创专题】排列组合的常见题型及其解法大全(包含高中所有的题型)

★绝密 备战2014专题 主编：冷世平

排列组合的常见题型及其解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。 ◆处理排列组合应用题的一般步骤为： ①明确要完成的是一件什么事（审题）；②有序还是无序；③分步还是分类。 ◆处理排列组合应用题的规律 ⑴两种思路：直接法，间接法；⑵两种途径：元素分析法，位置分析法。 排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律: ⑴使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 ⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。 ⑶复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。 ⑷按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。 ⑸处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 ⑹在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。 总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等；其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 【策略1】特殊元素（位置）用优先考虑 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 【例1】6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有种不同站法。 【分析】解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 【法一】（优先考虑特殊元素）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有120种站法，故站法共有480种； A种方法；剩下四【法二】（优先考虑特殊位置）先从除甲外的五个元素中任取两个站在两端，有2 5 A种方法，共计有480种。 个人作全排列有4 4 用0,2,3,4,5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。30 【策略2】相邻问题用捆绑法 将相邻的元素内部进行全排列，绑成一捆，看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列。

超全超全的排列组合的二十种解法

排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 ③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。 解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。 A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。 A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。 [计算公式] 排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1) 例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。 组合的定义及其计算公式 1 组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 ②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 ③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[( 4x3x2x1)/2]/2=6。 [计算公式] 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。 公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或C(n,m)=C(n,n-m)。

排列组合解题策略

排列组合解题策略 2.A、36种B、120种C、720种D、1440种 前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C 3.把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为() （A）510515A A （B）3355510515A A A A （C）1515A （D）3355510515A A A A ÷答案：C 4.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法. 5.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？4 9C 解：从0、0、0、1、2、3…100中插入三个隔板即可3103C 。 7.某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。 解：在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种 8.有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？ 解：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有1202 16=C 种。 9.(a+b+c+d)15有多少项？

解：当项中只有一个字母时，有种（即 a.b.c.d 而指数只有15故；当项中有2个字母时，有 而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即；当项中有3个字母 时指数15分给3个字母分三组即可；当项种4个字母都在时 四者都相加即可．10.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？ 解：1、先从4个盒子中选三个放置小球有3 4C 种方法；2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有23C 、24C 、25C 种方法；3、由分步计数原理可得34C 23C 24C 25C =720种。 11.用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）第11题第12题第13题第14题 12.四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84） 13.某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．（120） 秒杀秘籍：合并单元格解决染色问题 例3.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同 一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。 解：分情况讨论: (ⅰ)当3、4颜色相同且1、5颜色不同时，将3、4合并成一个单元格，此时不同的 着色方法相当于4个元素的全排列数4 4A （ⅱ）当3、4颜色不同且1、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得44A 种着色法． （ⅲ）当3、4与1、5分别同色时，将3、4，1、5分别合并，这样仅有三个单元格,从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有3334A C 种方法．由加法原理知：不同着色方法共有3 334442A C A +=48+24=72（种） 例4.将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端 点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______. 解：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题,如图， 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任 选两种涂A、B、C、D 四点，此时只能A 与C、B 与D 分别同色，故有125460C A =种方法。 (2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B，由于A、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C，而D 与C，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C =种方法。 (3)若恰用五种颜色染色，有55120A =种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论; （3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。54321

高中数学-排列组合解法大全

排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得1 1 3434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5 2 2 522480A A A =种不同的排法 C 1 4 A 3 4 C 1 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

[超全]排列组合二十种经典解法!

超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2 m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有 1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A

排列组合常见题型及解题策略(详解)

排列组合常见题型及解题策略 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34 （3）34 【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A 、38 B 、83 C 、38A D 、3 8C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军 看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女 生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1 222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

完整版排列组合的二十种解法最全的排列组合方法总结

教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m i 种不同的方法，在第 2类办法中有m 2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有叶种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，… 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有: N mi m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少 类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3 由分步计数原理得C 4C ；A ； 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若 有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排 A 3 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，冋有 A 5 A 2 A 2 480种不同的

排列组合解题策略大全(十九种模型)

排列组合解题策略大全 一、合理分类与分步 1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？ 四位上，则有1 31333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344 =+A A A A （种） 解法二(排除法)：甲在排头：44A ,乙在排尾： 44A ,甲在排头且乙在排尾： 3 3A ,故符合题意的不同的排法为： 5443544378A A A A --+=.注： 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来. 2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有3 8A 方法， 所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有3 83A ④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数4332 88883374088A A A A +++=（种） 二、特殊元素和特殊位置优先法 1、0，1，2，3，4，5能够组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位 先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 3 4A =288 2、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440 三、排列组合混合问题先选后排法 1、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？ 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。

排列组合解法大全

排列组合解法大全 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进 行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法 种数是：73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其余的三个位

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进 行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入

排列组合的解题策略 陈莉

排列组合的解题策略陈莉 发表时间：2014-04-01T17:09:56.750Z 来源：《新疆教育》2013年第5期供稿作者：陈莉 [导读] 排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。 重庆市江津区第八中学陈莉 排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”。针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的想法跟各位同行交流一下。笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。 怎样分析排列组合综合题？使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某事件时采取的方式而定，分类来完成这件事时用“分类计数原理”，分步来完成这件事时就用“分步计数原理”，怎样确定分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。排列与组合定义相近，它们的区别是在于是否与顺序有关。复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，亦常常需要用不同的方法求解来获得检验。按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。处理排列、组合综合性问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题基本方法和原理，通过解题训要注意积累分类和分步的基本技能。在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。 下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：第一，占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5 的5 个小球放进编号为1、2、3、4、5 的5 个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？①仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。②转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5 的学生坐到编号为1、2、3、4、5 的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？ ③解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5 位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C 种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2 种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C =20（种）。 这样原题也就得到了解决。④学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）⑤老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。 第二，分组问题例2：从1、3、5、7、9 和2、4、6、8 两组数中分别选出3 个和2 个数组成五位数，问这样的五位数有几个？（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P ×P ）①仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。②转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A 将题目转换如下：从班级的第一组（12 人）和第二组（10 人）中分别选3 位和2 位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？③解决问题：接着我就让同学A 来提出选人的方案同学A 说：先从第一组的12 个人中选出3 人参加其中的3 科竞赛，有P×P 种选法；再从第二组的10 人中选出2 人参加其中2 科竞赛有P×P 种选法；最后由乘法原理得出结论为（P×P）×（P×P）（种）。（这时同学B 表示反对）同学B 说：如果第一组的3个人先选了3 门科目，那么第二组的2 人就没有选择的余地。所以第二步应该是 P×P（. 同学们都表示同意，但是同学 C 说太蘩）同学 C说：可以先分别从两组中把5 个人选出来，然后将这5 个人在5 门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P（种）。④老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。 以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。