复合泊松分布

复合泊松分布及其性质

称随机变量1N i i S X ==∑服从参数为λ的复合泊松分布，如果满足 1．随机变量N ,12,,,n X X X 是相互独立

2．若12,,,n X X X 具有相同的分布，且分布与X 相同 3．N 服从泊松分布，参数为0λ>

()()()()E S E X E N E X λ==

222()()()()()

()()()

Var S Var X E N E X Var N Var X E X E X λλλ=+=+=

**00

()()()()!n n

n

S n n e F x P N n F x F x n λλ-∞

∞

=====∑∑

*0

()()!n n

S n e f x f x n λλ-∞

==∑

定理3.1 设12,,,n S S S 为相互独立的随机变量，且i S 为参数为i λ，个体索赔分布为()i X f x 的复合泊松分布，1,2i m = ，则

12n S S S S =+++ 服从参数为1

m

i i λλ==∑，且1()()i

m

i

X X i f x f x λλ

==∑

的复合分布。

背景：

m 可看成m 个保险保单组合，S 则是这m 个保单组合的总索赔额。 S 也可以看作同一个保单组合在m 个不同年度内的总索赔额 证明：设i S 为参数为i λ的复合泊松分布，S i 的矩母函数为

()exp[(()1)i i S i X M t M t λ=-。由于12,,,n S S S 为相互独立的随机变量，因此S 的矩母函数为：

1

1

1

1

1

1

()()()

()()

exp(())

exp((()1))m

i

i i

i i i

t

s ts S m

m

ts S i i m m

i i i i m

i

i M t E e E e

E e M t M t M t λλλλλλλ

======∑=====-=-∏∏∑∑∑

设1

()()i

m

i

X X i M t M t λλ==∑

，由矩母函数的定义知，()X M t 为1()()i

m

i

X X

i f t f t λλ==∑

的矩母函数，因此 ()exp((()1))S X M t M t λ=-

所以S 为参数为λ，个体索赔分布为()X f x 的复合泊松分布。

例：设1S 服从复合泊松分布，11110,(1)0.7,(2)0.3X X f f λ===，2S 也服从复合泊松分布，222215,(1)0.5,(2)0.2,(3)0.2X X X f f f λ====，

若1S 和2S 相互独立，求12S S S =+的分布。

解：S 服从复合泊松分布，101525λ=+=，X 的分布为

121015

()()()2525X X X f x f k f k =

+ 1015

(1)0.70.50.582525X f =+=

1015

(2)0.30.30.302525X f =+=

1015

(3)0.20.20.122525

X f =

+=

定理：设总索赔额S 是一个复合泊松分布，其中个体保单的索赔额X 的分布()X f x 。假设X 的取值可以分为m 种类型：12,,,m C C C ，其中()i i P X C π=∈。设N 表示索赔发生总次数，1,,m N N 分别表示12,,,m C C C 类型索赔发生的次数， 12m N N N N =+++ 。下面结论成立：

（1）随机变量12,,,m N N N 相互独立，i N 服从参数为i i λλπ=的泊松分布。

（2）设()i X 表示当第i 类索赔事件发生时的索赔额，即

()|i i X X X C =∈，令()()1,1,i i i i N S X X i m =++= ，则1,,m S S 都是相互独立且i S 服从参数为i i λλπ=的复合泊松分布，个体索赔额为()i X 。

例 3.13：设S 服从复合泊松分布，10,λ= (1)0.5,X f =

(2)0.3,X f =(3)0.2X f =。令12(|2),(|2)C X X C X X =≤=>,求(1)(2),X X 的分布，12,S S 的分布。

解：令1(2)0.50.30.8p P X =≤=+=，2(2)0.2p P X =>= 则(1)(2),X X 的分布为

设i N 表示第i 类索赔事件发生的次数，则i N 是泊松分布，

()10i i i P x C p λλ=∈=。于是计算得到1100.88λ=?=，2100.22λ=?=，

因此，1S 是复合泊松分布，8λ=，个体索赔分布为

(1)(2)53

(1),(2)88

X X f f ==。2S 是复合泊松分布，2λ=，个体索赔分布为

(2)(3)1X f =。

例 3.14设索赔次数N 服从λ＝2的泊松分布，个体索赔额的分布()0.1,X f x x = 1,2,3,4x =，计算总索赔额S 等于1，2，3，4时的概率。

解：设N i 表示个体索赔额为i 的索赔事件次数，则N i 服从参数为i

λπ的泊松分布，总索赔额1231234S N N N N =+++，

其中，12340.1,0.2,0.3,0.4ππππ==

==，利用独立随机变量和的卷积公式得到下表。

例3.15：设某保险公司承保医疗保险，X 表示一次医疗费用，N 表示看病的次数，N 服从泊松分布，12N S X X X =+++ 表示该医疗保险的总费用，设X 的分布密度为

2()(1)025*******

X x

f x x =

-≤≤

试分析加入免赔额50d =后，保险公司的总索赔额的变化。

解：首先考虑无免赔额情形，此时0d =。总索赔额等于总医疗费用S 。由X 的分布密度计算得到

2500

2250()(1)83.32502503

x E X x dx -=-==?

2250()18

Var X =

总索赔额的期望和方差为

()()8333.3E S E X λ-

==

222

2()()100(()())

250250100(())

3181041666.6

Var S E X E X Var X λ-

==+=+=

下面考虑50d =的情形。这时将医疗费用分为两类：

1(|50),C X X =≤ 2(|50)C X X =>。设1N 表示医疗费用小于等于免赔额的次数，服从参数为2

150(50)100(1(1))36250

P X λλ=≤=--

=的泊松分布。2N 表示医疗费用大于免赔额， 服从参数

2

250(50)100(1)64250

P X λλ=>=-

=的泊松分布。设(1)50|X X X ≤=，250|X X X >= ，则总损失额12S S S =+，其中

1(1)(1)11N S X X =++ 2(2)(2)21N S X X =++

S 1表示医疗费小于等于免赔额的总费用，这部分费用完全由投保人承担。S 2表示医疗费大于免赔额的总费用。由于

25050|50(50)|X X X X X >>==+-，因此

22(2)(2)212150()N N S X X N Y Y =++=+++

其中5050|i i i X Y X >=-表示第i 次看病的索赔额。从上式可以看出，总费用S 2分为两部分，一部分由投保人承担，另一部分是总索赔额部分，

由保险人来承担。我们记总索赔额为S 3，则231N S Y Y =++ 。Y i 的分布密度为

222502200(1)()

(50)250250250250()50200(50)(1)()250250

2(1)200200

Y Y y y f y f y P X y +--+===

>-=- 因此，200()3E Y =，2

2(200)()9.4

Var Y =。可以得到总理赔额的期望和方

差为

32200()()()64()4266.63

E S E N E Y -===

2

2

232200200()()()64(())426.6318

Var S E N E Y -==+=

加入免赔额后，总理赔额比没有免赔额时减少了

8333.3-4266.6

48.8%8333.3

=。

事实上，总损失S 可以分解为：

121

2

24

3

(1)(1)(2)(2)

1112150N N S S N S S S X X X X S N Y Y =+++++=++++

其中S 4为投保人承担的医疗费用，S 3是由保险人来承担索赔额。

S 的近似分布

1、 正态近似

定理 设个别理赔额分布函数为()f x ，1()u E X =，22()u E X =。 （1）如果S 是复合泊松分布，参数为λ，则当λ→∞

时Z =的分布趋于标准正态分布。

（2）如果S 是复合负二项式分布，参数为,r β，

11(),0,1,2,11k

r

k r P N k k r βββ+-??????

=== ??? ?++?

????? 个别理赔额分布函数为()f x ，则

Z =

的分布在r →∞时趋于标准正态分布。

证明：我们将利用22

lim ()t Z M t e λ→∞

=来证明（1）和（2）。对于泊松分

布情形，由z =

=得到

()(exp(z S M t E t

M ==

由公式（5）知()exp[(()1)]S X M t M t λ=-，因此

()exp{[1]z X M t M λ=-

由矩母函数的级数展开式

22()()()()1()2!

n tX

n

X E X E X M t E e E X t t t n ==+++++ ，

我们可以得到，

'

23

1()exp()2Z M t t =++ 当λ→∞，22()t Z M t e →，即22

lim ()t Z M t e λ→∞

=。从而，Z 分布在r →∞时

趋于标准正态分布。 对于负二项分布，令

Z ==

=

再用类似的方法证明Z 分布在r →∞时趋于标准正态分布。此处不再叙述。

例：(SOA 2001-11 30) The claims department of an insurance company receives envelopes with claims for insurance coverage at a Poisson rate of l = 50 envelopes per week. For any period of time, the number of envelopes and the numbers of claims in the envelopes are independent. The numbers of claims in the envelopes have the following distribution:

Using the normal approximation, calculate the 90th percentile of the number of claims received in 13 weeks.

复合泊松过程应用问题

课程名称：《随机过程》 课程设计（论文） 题目: 复合泊松过程应用问题 学院：理学院 专业：数学与应用数学 班级：数学11-1班 学生姓名： abc 学生学号： abc 指导教师： abc 2013 年 12 月 9 日

目录 任务书 (3) 摘要 (4) 第一章绪论 (5) 第二章复合泊松过程的基本理论 (5) 2.1 复合泊松过程的定义及物理意义 (5) 2.2 复合泊松过程的实例 (5) 2.3 与复合泊松过程有关的的命题 (6) 2.4 复合泊松过程恒等式 (8) 2.5复合泊松过程的可加性及证明 (8) 第三章问题描述及分析计算 (10) 3.1 以复合泊松过程为模型的问题 (10) 3.2典型例题的具体分析 (10) 第四章MATLAB程序及运行结果 (11) 4.1 典型1,2的matlab程序 (11) 4.2 问题小结 (13) 第五章结论 (13) 第六章参考文献 (13) 评阅书 (14)

课程设计任务书

摘要 泊松过程是由法国著名数学泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。1943年 C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。现在泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、金融、服务系统和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。非齐次泊松过程和复合泊松过程作为泊松过程推广的一种，其应用更是广泛，那么本文主要讲的是复合泊松过程的应用及其推广。 本文通过应用复合泊松过程的定义、基本理论，及其可加性的重要定理分析生活中的实际问题，并模拟复合泊松过程的模型，利用MATLAB软件进行求解，最后进行问题的分析，给出合理总结及误差分析。在实际问题中，通过结合复合泊松过程的性质，定理和概率论，各种模型的分布等知识去更好的解决，提出实用性建议。 关键字：复合泊松过程 MATLAB软件概率论模型分布

泊松分布

概率论大作业 --泊松分布 班级：11011001班 姓名：郭敏 学号：2010302612 2013年1月10日

摘要 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 泊松分布在现实生活中应用非常广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。在某些函数关系泊松分布起着一种重要作用，例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质以及基本相关知识, 并讨论了这些知识在实际生活中的重要作用。 关键词：泊松分布性质及其应用、二项分布、泊松过程

近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了了解概率论中最重要的几个分布之一。 一、泊松分布的由来 在历史上泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入。 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为 {}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。又设0>=λn np 是常数, 则{}λλ-∞ →= =e k k x P k n n ! lim 。 证明 由λ=n np 得: {}()()n n k n k k n k n n n k n n k n n k k n n n k x P ?--??? ??-??????? ??? ??--????? ??-???? ? ?-?= ? ? ? ??-??? ??+--==λλλλ11121111!1!11 显然,当k = 0 时,故λ -n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有 λλ-?-→? ? ? ??-→??? ??--????? ??-???? ??-?e n n k n n n n k n 1,11121111 从而{}λ λ-→ =e k k x P k n 1 ，故{}λλ-∞ →= =e k k x P k n n ! lim 。 在应用中，当p 相当小时（一般当p<=0.1）时，用下面近似公式 np k e k np p n k b -≈! )(),;( 对于不同λ值得泊松分布图：

泊松过程及其在排队论中的应用

泊松过程及其在排队论中的应用 摘要：叙述了泊松过程的基本定义和概念，并列举了泊松过程的其他等价定义和证明并分析了泊松过程在排队论中的应用，讨论了完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布。 关键词：泊松过程；齐次泊松过程；排队论 1. 前言 泊松分布是概率论中最重要的分布之一，在历史上泊松分布是由法国数学家泊松引人的。近数十年来，泊松分布日益显现了其重要性而将泊松随机变量的概念加以推广就得到了泊松过程的概念。泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程，他在点过程的理论和应用中占有重要的地位。泊松过程在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型，它在物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输和管理科学等领域都有成功运用的例子。 2. 泊松过程的概念 定义3.2 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0t >λ的泊松分布，即对任意是s, t ≥ 0，有 ! )(})()({n t e n s X s t X P n t λλ-==-+， ,1,0=n 则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数0>λ的泊松过程。 注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([，由于， t t X E )]([= λ表示单位时间内事件A 发生的平均个数，故称λ为此过程的速率或强度。 从定义3.2中，我们看到，为了判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件(1)、(2)及(3)。条件(1)只是说明事件A 的计数是从t = 0时开始的。条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去验证。然而条件(3)的检验是非常困难的。为此，我们给出泊松过程的另一个定义。 定义3.3 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式： o(h). 2} X(t)-h)P{X(t o(h),h 1} X(t)-h)P{X(t =≥++==+λ

泊松分布的概念及表和查表方法

目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质 命名原因 泊松分布实例

泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。 应用场景 在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。 应用示例

概率论与数理统计课程报告：泊松分布及其在实际中的应用

泊松分布及其在实际中的应用 摘要：本文从泊松分布的定义和基本性质出发，举例讨论了泊松分布在实际中的重要应用。 关键字：泊松分布；应用；运筹学；分子生物学；核衰变 泊松分布是法国数学家泊松于1837年引入的，是概率论中的几大重要分布之一。作为一种常见的离散型随机变量的分布，其在实际中有着非常广泛的应用。 1泊松分布的定义及基本知识 1.1定义： （1）若随机变量X 的分布列为 ）， ?=>= =-,2,1,0(0,! )(k k e k X P k λλλ 则称X 服从参数为λ的泊松分布，并用记号X~P(λ)表示。 （2）泊松流： 随机质点流：随机现象中源源不断出现的随机质点构成的序列。 若质点流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该质点流为泊松事件流(泊松流)。 例如某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数等这些事件都可以看作泊松流。 1.2有关泊松分布的一些性质 （1）满足分布列的两个性质：P(X=k)≥0(k=0,1,2,…）， 且有 1! ! )(0 =?====-∞ =-∞=∞ =-∑∑∑ λλλ λ λλe e k e k e k X P k k k o k k . （2）若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的期望和方差分别为：E （X)=λ; D(X)=λ. （3）以n ，p 为参数的二项分布，当n →∞，p →0时，使得np=λ保持为正常数，则 λλ--→ -e k p p C k k n k k n ! ) 1(对于k=0,1,2，…一致成立。 由如上定理的条件λ=np 知，当n 很大时，p 很小时，有下面的近似公式 λλ--→ -=e k p p C k P k k n k k n n ! ) 1()( 2泊松分布的应用 对于试验成功概率很小而试验次数很多的随机过程, 都可以很自然的应用于泊松分布的理论。在泊松分布中的概率表达式只含一个参数λ，减少了对参数的确定与修改工作量, 模型构建比较简单, 具有很重要的实际意义。 以下具体举例说明泊松分布在实际中的重要应用。 （1）泊松分布在经济生活中的应用： 泊松分布是经济生活中的一种非常重要的分布形式，尤其是经常被运用在运筹学研究中的一个分布模型。如物料订单的规划，道路交通信号灯的设计，生产计划的安排，海港发

泊松过程与泊松分布的基本知识

泊松过程与泊松分布的基本知识泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说，每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。 比较：泊松分布 泊松过程的主要公式： 其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。 泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。 泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这

么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。 复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。 更新过程： 上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理： 这个定理是可以证明的，Fn（t）是分布函数，就是说：在t时刻，更新函数值就是在这个时刻，n取遍所有值的分布之和。 那么是否可以这样理解，更新过程和泊松过程的区别就是更新间隔序列不同，那么如果已知了更新间隔序列的概率密度函数，就可以求解该过程的更新函数了，详细的推导就不写了。扔结论出来：对间隔序列概率密度函数做拉氏变换得到Lf(s),然后求 Lm(s)=Lf(s)/s(1-Lf(s)),再对Lm(s)进行逆变换，就得到了m(t),这就是更新函数。

泊松分布的概念及表和查表方法

泊松分布的概念及表和查表方法 Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。 中文名泊松分布外文名poisson distribution 分类数学时间1838年 台译卜瓦松分布提出西莫恩·德尼·泊松 目录 1命名原因 2分布特点 3关系 4应用场景 5应用示例 6推导 7形式与性质

命名原因 泊松分布实例 泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。 分布特点 泊松分布的概率函数为： 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为特征函数为 关系 泊松分布与二项分布 泊松分布

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算。 事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。 应用场景 在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。 应用示例 泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。 观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示： 例如采用㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式： …… 是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此就意味着全部死亡的概率。 推导

复合泊松过程的实现

电子信息与通信工程学院 实验报告 实验名称非其次泊松过程课程名称随机信号分析 姓名顾康学号U201413323 日期 6.13 地点南一楼 成绩教师董燕

1.题目 Consider the nonhomogeneous Poisson process with its intensity function spectified in Example2.3.6. (a) Write a MATLAB program to generate (stimulate) the first eighty arrival times. (b) Given t=8(hours),write a Matlab program to generate N(8) and then the arrival times in the interval(0,8],draw the respective histograms showing hour5y arrival counts. (a) 由定理设λ（ｔ）≤λ，其中λ为一常数，而ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ，…为参数λ的齐次泊松过程的事件发生的时刻，对每个ｓｉ，以概率λ（ｓｉ）／λ进行保留，以概率１－λ（ｓｉ）／λ舍弃，由此得到的序列ｓ（１），ｓ（２），…，ｓ（ｎ），…是强度为λ（ｔ）的非齐次泊松过程事件发生的时刻。 证明显然，ｓ（１），ｓ（２），…，ｓ（ｎ），…是ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ，…的稀疏。 设Ａ＝｛非齐次泊松过程Ｎ（ｔ）在（ｔ，ｔ＋ｈ］中有一个事件发生｝， Ｂ＝｛齐次泊松过程Ｎ（ｔ）在（ｔ，ｔ＋ｈ］中有一个事件发生｝， 则有Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝（λｈ＋ｏ（ｈ））λ（ｔ）/λ= λ（ｔ）ｈ＋ｏ（ｈ），

正确理解 泊松分布 通俗解释

很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在“只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改，大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。而如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在1876 年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在1876 年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？” 泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。比如在一段时间t（比如 1 个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数（比如一直是200 人），而应该符合某种随机规律：假如在 1 个小时内来200 个学生的概率是10%，来180 个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。 这当然只是形象化的理解什么是泊松分布，若要公式化定义，那就是：若随机变量X 只取非负整数值0,1,2,..., 且其概率分布服 从则随机变量X 的分布称为泊松分布，记作P(λ)。这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式时提出来的。泊松分布P (λ)中只有一个参数λ ，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。生活中，当一个随机事件，例如来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从

一个复合随机变量的方差

一个复合随机变量的方差 王福昌 (防灾科技学院 河北三河 065201) 【摘要】：对于比较复杂的复合随机变量的方差，一般没有简单公式去求解。这里结合具体例子进行了详细剖析。 【关键词】复合随机变量；方差 随机变量的数字特征在对积极变量的研究中占有重要的地位[1]。在教学过程中，我们发现学生在对简单的随机变量求方差时还能应付，对于稍微复杂的随机变量，不知如何下手。本文通过求一个复合随机变量的方差，指出遇到这种情形时应注意的一些问题. 如果一个随机变量X,它服从的分布与一个参数Y 有关,而Y 也是一个随机变量,它服从一个确定的分布,这时我们称随机变量X 为一个服从复合分布的复合随机变量。在应用问题中,常常遇到服从复合分布的随机变量[2]。下面给出一个例子。 设随机变量X ，以概率0.2服从均值为5的泊松分布，以概率0.8服从均值为1的泊松分布，求X 的方差。 解：由泊松分布性质可得，服从参数λ泊松分布的期望与方差相等，且都等于其参数λ。 设)5(~1πX ，)1(~2πX ，由题设和条件概率公式、全概率公式 ，设全集 } {}{21X X X X S =?==，对于 ，，21=k ()()()} {8.0}{2.0}{}{}{}{} ,{} ,{}{}{}{}{}{2122112121k X P k X P X X k X P X X P X X k X P X X P k X X X P k X X X P X X X X k X P S k X P k X P =+=====+=====+===?=?==?===条件概率可加性 所以 8 .118.052.0} {8.0}{2.0} {)(0 20 10 =?+?==?+=?===∑∑∑∞ =∞=∞ =k k k k X kP k X kP k X kP X E 由方差定义 )()()(22X E X E X D -=，所 以 ) ()()(122 11X E X E X D -=，) ()()(222 22X E X E X D -=，所 以 30 55)()()(21212 1=+=+=X E X D X E ， 211)()()(22222 2=+=+=X E X D X E ， 6 .728.0302.0) (8.0)(2.0} {8.0}{2.0} {)(2 2210 220 12022 =?+?=?+?==?+=?===∑∑∑∞ =∞=∞ =X E X E k X P k k X P k k X P k X E k k k 所以 36.48.16.7)()()(222=-=-=X E X E X D . 通过这个例子可以看出概率解题方法的灵活多样性。一个有效的策略是吃透概念，从定义和基本公式出发,利用一直的基本性质和技巧往往可使复杂方差的计算变得简捷. 看起来复杂的问题，往往可通过最根本的基本定义和方法解决。 【参考文献】 [1] 邓健，生志荣. 一个随机变量的分布列及数学期望的计算[J].数学学习与研究，2010,(1):93,95. [2]张尚志. 复合随机变量高阶矩的一个积分表达式[J].江西大学学报(自然科学版)，1980,4(1):135-137.

泊松过程

泊松过程 泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说，每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。 比较：泊松分布 泊松过程的主要公式： 其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。 泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。

泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的 频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。 复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。 更新过程： 上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理：

Poisson过程

第三章Poisson过程 教学目的：（1）了解计数过程的概念； （2）掌握泊松过程两种定义的等价性； （3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布； （4）了解泊松过程的三种推广。 教学重点：（1）泊松过程两种定义的等价性； （2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的三种推广。 教学难点：（1）泊松过程两种定义的等价性的证明； （2）泊松过程来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的推广。 3.1 Poisson过程 教学目的：掌握Poisson过程的定义及等价定义；会进行Poisson过程相关的概率的计算。 教学重点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson过程相关的概率的计算。 教学难点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明。 Poisson过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义 定义3.1：{(),0} 表示从到时刻 N t t N t t≥ 随机过程称为计数过程，如果()0特定事件发生的次数，它具备以下两个特点： 某一A N t取值为整数； (1)() 内事件发生的次数。 (2)()()()-()(,] 时，且表示时间A s t N s N t N t N s s t <≤ 计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间内购物的顾客数；某段时 间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程

有独立增量。即当123,t t t <<2132()-()()-()X t X t X t X t 有与是独立的。 若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于,时间区间的长度则计数 过程有平稳增量。即对一切12120(,]t t s t s t s <>++及，在中事件个数 21()()N t s N t s +-+12(,]t t 与区间中事件的个数21()()N t N t -有相同的分布。 Poission 过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission 引入。 .独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质Poisson 过程是具有独立 增量.和平稳增量的计数过程 定义3.2：{(),0}(0)N t t λλ≥>计数过程称为参数为Poisson 过程，如果 (1)(0)0N =； (2)过程具有独立增量； (3),0,s t ≥对任意的 (()-())P N t s N s n +=! n t t e n λλ-=（） 例3.1：3/h 设顾客到达商店依次人的平均速度到达，Poisson 且服从分布， 9:00,已知商店上午开门试求 (1)9:0010:005从到这一小时内最多有名顾客的概率？ (2)9:3011:30到时仅到一位顾客，而到时总计已达到5位顾客的概率？ (解：见板书。) 注：（1）Poisson 过程具有平稳增量。 （2）随机变量()N t 服从参数为t λ的Poisson 分布，故[()]E N t t λ=（显然，可以认为λ是单位时间内事件发生的平均次数，称λ是Poisson 过程的强度或速率或发生率。）

复合泊松分布

复合泊松分布及其性质 称随机变量1N i i S X ==∑服从参数为λ的复合泊松分布，如果满足 1．随机变量N ,12,,,n X X X 是相互独立 2．若12,,,n X X X 具有相同的分布，且分布与X 相同 3．N 服从泊松分布，参数为0λ>

()()()()E S E X E N E X λ== 222()()()()() ()()() Var S Var X E N E X Var N Var X E X E X λλλ=+=+= **00 ()()()()!n n n S n n e F x P N n F x F x n λλ-∞ ∞ =====∑∑ *0 ()()!n n S n e f x f x n λλ-∞ ==∑

定理3.1 设12,,,n S S S 为相互独立的随机变量，且i S 为参数为i λ，个体索赔分布为()i X f x 的复合泊松分布，1,2i m = ，则 12n S S S S =+++ 服从参数为1 m i i λλ==∑，且1()()i m i X X i f x f x λλ ==∑ 的复合分布。 背景： m 可看成m 个保险保单组合，S 则是这m 个保单组合的总索赔额。 S 也可以看作同一个保单组合在m 个不同年度内的总索赔额 证明：设i S 为参数为i λ的复合泊松分布，S i 的矩母函数为 ()exp[(()1)i i S i X M t M t λ=-。由于12,,,n S S S 为相互独立的随机变量，因此S 的矩母函数为：

1 1 1 1 1 1 ()()() ()() exp(()) exp((()1))m i i i i i i t s ts S m m ts S i i m m i i i i m i i M t E e E e E e M t M t M t λλλλλλλ ======∑=====-=-∏∏∑∑∑ 设1 ()()i m i X X i M t M t λλ==∑ ，由矩母函数的定义知，()X M t 为1()()i m i X X i f t f t λλ==∑ 的矩母函数，因此 ()exp((()1))S X M t M t λ=-

泊松分布的应用

泊松分布的应用

泊松分布的应用 摘要 泊松分布是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。它是高等数学里的一个概念,属于概率论的范畴,是法国数学家泊松在推广伯努利形式下的大数定律时,研究得出的一种概率分布,因而命名为泊松分布。 作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。 在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍，研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。 关键词：泊松过程；泊松分布；定义；定理；应用；

一、 计数过程为广义的泊松过程 1．计数过程 设)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为一随机过程, 如果 t )( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。 将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤?=,它表示时间间隔 t), t [ 0内出现的质点数。“在 t), t [ 0内出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为 2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。 2．泊松过程 计数过程0} t , t)( {N ∈称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2)0 (0) N =; (3)对于充分小的, t)( O t 1} t) t t,( P{N t) t t,( P 1?+?==?+=?+λ其中常数 0>λ,称为过程)(t N 的强度。 (4)对于充分小的Δt (){}()t j t t t N P t t t P j j j ?==?+=?+∑∑∞ =∞=ο2 2 ,),( 亦即对于充分小的t ?,在()t t t ?+,或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。了解泊松过程,就很容易去了解泊松分布的相关性质,其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔内出现质点数目的计数。 二、 泊松分布的概念： 泊松分布常用于描述单位时间、单位平面或单位空间中罕见“质点”总数的随机分布规律。 定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且 {}0,,2,1,0,! >===-λλ k e k x k X P k 为常数。

复合泊松过程模型的推广和在R语言环境下的随机模拟

复合泊松过程模型的推广和在R语言环境下的随机模拟0 引言 对保险人而言，资产和负债是影响保险人稳定经营至关重要的因素。资产和负债的差额称为盈余，简记作： U(t)=A(t)?L(t),t>0 其中A(t)表示时刻t的资产，L(t)表示时刻t的负债，t=0时刻的盈余被称为初始盈余，简记为u，即U(0)=u。对这个初步的理论模型进行简化并根据实际情况设置一些假定情况，会得出很多不同的盈余过程模型，最经典的有Sparre Andersen的古典盈余过程模型： U(t)=u+ct?S(t);t≥0,u≥0,c>0 这是一个以u为初值，以时间t为指标集的随机过程。其中{S(t),t>0}称为总理赔过程，满足： S(t)={X1+X2+…+XN(t)0,N(t)>0,N(t)=0 N(t)表示[0,t]内的总理赔次数，Xi表示[0,t]内第i次理赔的金额。 根据这个古典盈余过程模型可以引出破产模型，在这个盈余过程模型中，一方面有连续不断的保费收入并以速度c进行积累，另一方面则是不断会有理赔需要支付，因此这是一个不断跳跃变化的过程。从保险人的角度来看，当然希望ct?S(t)恒大于0，否则就有可能出现U(t)<0的情况，这种情况可以定义为理论意义上的破产，以示与实际中的破产相区分，本文中后面出现的“破产”在没有特殊说明的情况下都是指这种理论情况。从研究保险人破产角度出发，可以把这个盈余过程模型看做是一个特殊的破产模型。 1 第一个推广的破产模型 在以上经典模型中，假设了保费收入速度是均匀的，而在实际中，在控制保费c的条件下，保单到达的时刻应该是一个离散的随机过程。根据现实经验，考虑一段很短的时间间隔中，认为保单到达的概率较小，而时间间隔数量可以非常之多且不清楚具体是多少，在概率论中一般用泊松分布来刻画这种概率分布，所以初步认为一段时间内保单到达的数量服从泊松分布。 同样地，由于理赔发生的概率远比保单发生的概率低，因此可以认为理赔发生的次数服从另一个独立的泊松分布。选取泊松分布来刻画这两个时间间隔的另一个原因是泊松分布具有一些优良的数学性质，便于分析和计算。根据泊松分布的性质，保单到达和理赔到达的时刻是两个独立的泊松过程。 另外，一般一款保险产品，它的保费往往是固定的，所以用固定的c来表示符合现实情况，而理赔金额往往根据发生事故的严重程度而定，可以认为每次理赔的金额服从一个独立的取值为非负的分布，根据经验，这个分布大致的要求是较高的概率

概率论与数理统计附表1 泊松分布表

附表1 泊松分布表 ()! m P X m e m λλ-==

390.0000070.000056 附录 附录A A1 正态分布函数表 2 2 ()e d(0) 2π t x x t x Φ -∞ =-≥ ? x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.90320 0.91924 0.93319 0.94520 0.95543 0.96407 0.97128 0.97725 0.98214 0.98610 0.98928 0.99180 0.99379 0.99534 0.99653 0.99745 0.99813 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.90490 0.92073 0.93448 0.94630 0.95637 0.96485 0.97193 0.9778 0.98257 0.98645 0.98956 0.99202 0.99396 0.99547 0.99664 0.99752 0.99819 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.90658 0.92220 0.93574 0.94738 0.95728 0.96562 0.97257 0.97831 0.98300 0.98679 0.98983 0.99224 0.99413 0.99560 0.99674 0.99760 0.99825 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.90824 0.92364 0.93699 0.94845 0.95818 0.96638 0.97320 0.97882 0.98341 0.98713 0.99010 0.99245 0.99430 0.99573 0.99683 0.99767 0.99831 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7703 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.90988 0.92507 0.93822 0.94950 0.95907 0.96712 0.97381 0.97932 0.98382 0.98745 0.99036 0.99266 0.99446 0.99586 0.99693 0.99774 0.99836 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.91140 0.92647 0.93943 0.95053 0.95994 0.96784 0.97441 0.97982 0.98422 0.98778 0.99061 0.99286 0.99461 0.99598 0.99702 0.99781 0.99841 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.91309 0.92785 0.94062 0.95154 0.96080 0.96856 0.97500 0.98030 0.98461 0.98809 0.99086 0.99305 0.99477 0.99609 0.99711 0.99788 0.99846 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.91466 0.92922 0.94179 0.95254 0.96164 0.96926 0.97558 0.98077 0.98500 0.98840 0.99111 0.99324 0.99492 0.99621 0.99720 0.99795 0.99851 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.91621 0.93056 0.94295 0.95352 0.96246 0.96995 0.97615 0.98124 0.98537 0.98870 0.99134 0.99343 0.99506 0.99632 0.99728 0.99801 0.99856 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.90147 0.91774 0.93189 0.94408 0.95449 0.96327 0.97062 0.97670 0.98169 0.98574 0.98899 0.99158 0.99361 0.99520 0.99643 0.99737 0.99807 0.99861 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

正确理解-泊松分布-通俗解释

正确理解-泊松分布-通俗解释

年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成”（泊松分布在1876年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是泊松分布能拿来干嘛？” 泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。时间t （比如1个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一比如在一段个常数（比 如一直是200人），而应该符合某种随机规律: 学生的概率是10%，来180个学生的概率是假如在1个小时内来200个20%'般认为，这种随机规 若要公式化定义，那就是：若 当一个随 很多人在上概率论这门课的时候就没搞明白过泊松分布到底是怎么回事，至少我就是如此。如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在 只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现请发表一下你对泊松公式的看法”这 样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改，大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。而如果我们学习的目的是为了理解一 样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如为什么要有泊松分布？” 泊松分布的物理意义是什么？”这样的哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：电话是 一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”而不会说：电话在1876 律服从的就是泊松分布。 这当然只是形象化的理解什么是泊松分布， 随机变量X只取非负整数值0,1,2,…，且其概率分布服 从"k!则随机变量X的分布称为泊松分布，记作P（入。）这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式时提出来的。泊松分布P （/中只有一个参数入，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。生活中，当 机事件，例如来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜 F某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率入或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地