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极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结

一、 极坐标:直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθρθ=??=?极坐标?直角坐标2

2

2

tan (0)x y y x x ρθ?=+?

?=≠??

极坐标与参数方程知识点、题型总结

二、直线的参数方程:过定点(x 0,y 0)倾角为α的直线:

α

αsin cos 00t y y t x x +=+=(t 为参数)

直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|=|t 1-t 2|= t 1+t 2 2

-4t 1t 2.

直线的一般参数方程:

00x x at y y bt

=+=+(t 为参数)若22

1a b +=,则上面几何意义成立,

否则,不成立。此时,需要换参,令)(220

22022为参数t b a t

b y y b a t a x x b a t t '???

?

?

??

+'+=+'+=?+'=

三、圆、椭圆的参数方程

圆心在(x 0,y 0),半径等于r 的圆:

α

α

sin cos 00r y y r x x +=+=(α为参数)

椭圆22221x y a b +=(或22

221y x a b

+=):ααsin cos b y a x ==(α为参数)(或 ααsin cos a y b x ==)

补充知识:伸缩变换:点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

??

?>?='>?=').

0(,y y 0),

(x,x :μμλλ?的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称伸缩变换

抛物线2

2y px =:pt

y pt x 222

==(t 为参数,p >0)

题型归类:方程的互化:1、代公式;2、消参 一、极坐标的几何意义的应用 1在直角坐标系xOy 中。直线1C :

2x =-,圆2C :()()22

121x y -+-=,以坐标原点

为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(1)求1C ,2C 的极坐标方程; (2)3C 的极坐标方程()4

R π

θρ=

∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积

2.曲线C 1:cos sin x t y t αα=??=?

(t 为参数,t ≠ 0),其中0 ≤ α<π,在以O 为极点,x 轴正

半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:2sin ρθ=,C 3

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:ρθ=。(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求||AB 的最大值

3在直线坐标系xoy 中,圆C 的方程为(x +6)2

+y 2

=25. (I )以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;

(II )直线l 的参数方程是)(sin cos 为参数αα

α

??

?==t y t x ,l 与C 交于A 、B 两点,求AB

4在直线坐标系xoy 中,曲线C 1的参数方程为???

??

x =a cos t ,

y =1+ a sin t

(t 为参数,a >0)。

在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (I )说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(II )直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求α。

5在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足

||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,)3

π

点B 在曲线2C 上,求OAB ?面积的最大值.

6在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2,

x t y kt =+??=?(t 为参数),直线2l 的参数方程

为2,

x m m

y k =-+???=??

(m 为参数),设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线

C .(1)写出C 的普通方程:(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,

设3l

:(cos sin )0ρθθ+=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径.

极坐标与参数方程知识点、题型总结

7.(2017二卷) 在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为(2,

)3

π

,点B 在曲线2C 上,求OAB ?面积的最大值.

8在直线坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(t 为参数,a >0)。在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.

(I )说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(II )直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a 。 二、直线的参数t 的几何意义的应用 9.直线l 过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=

,(1)写出l 的参数方程;

(2)直线l 与圆2cos (2sin x y θ

θθ

=??

=?为参数)

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相交于A 、B 两点,求||||PA PB 。

11、已知直线经过点,倾斜角,①写出直线的参数方程;

②设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积.

12、求直线

415

315x t y t

?=+????=--??

(为参数t )被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长.7

5 l (1,1)P 6

π

α=

l l 42

2=+y x ,A B P ,A B 2

13直线12()2x t

t y t

=+??

=+?为参数被圆229x y +=截得的弦长为

三、圆或椭圆的参数α的应用

14.已知某圆的极坐标方程为

(I )将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (II )

若点在该圆上,求的最大值和最小值.6,2

15. 已知直线为参数), 曲线 (为参数). (Ⅰ)设与相交于两点,求;1 (Ⅱ)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的

倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

16.点P(x,y)为椭圆2

213

x y +=上一点,求(1)S x y =+的范围; (2)若0x y a ++≥垣成立,求a 的范围。 17、在曲线1C :?

?

?=+=)y x 为参数θθθ

(sin cos 1上求一点,使它到直线2C

12

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(112

x t t y t

?

=-???

?=-??为参数)距离最小,并求出该点坐标和最小距离。1 P (1-22,-22)18、曲线的极坐标方程是,设直线的参数方程是(为参

数).(Ⅰ)将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程;

(Ⅱ)设直线与轴的交点是,曲线上一动点,求

的最大值

1

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06)4

cos(242

=+-

θρρ(,)P x y x y +: t t y t x (.23,211???

????=+=:1C cos ,sin ,x y θθ=??=?θ 1C B A ,||AB 1C 212

3

2C P 2C )

12(46

-C θρsin 2=L ??

???

=+-=,542

53t

y t x t C 0222=-+y y x L x M N C MN