第7章 图习题及参考答案
第7章习题
一、单项选择题
1. 在无向图中定义顶点的度为与它相关联的（ ）的数目。
A. 顶点
B. 边
C. 权
D. 权值
2. 在无向图中定义顶点 v i 与v j 之间的路径为从v i 到达v j 的一个（ ）。
A. 顶点序列
B. 边序列
C. 权值总和
D. 边的条数
3. 图的简单路径是指（ ）不重复的路径。
A. 权值
B. 顶点
C. 边
D. 边与顶点均
4. 设无向图的顶点个数为n ，则该图最多有（ ）条边。
A. n -1
B. n(n -1)/2
C. n(n+1)/2
D. n(n -1)
5. n 个顶点的连通图至少有（ ）条边。
A. n -1
B. n
C. n+1
D. 0
6. 在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的 ( ) 倍。
A. 3
B. 2
C. 1
D. 1/2
7. 若采用邻接矩阵法存储一个n 个顶点的无向图，则该邻接矩阵是一个 ( )。
A. 上三角矩阵
B. 稀疏矩阵
C. 对角矩阵
D. 对称矩阵
8. 图的深度优先搜索类似于树的（ ）次序遍历。
A. 先根
B. 中根
C. 后根
D. 层次
9. 图的广度优先搜索类似于树的（ ）次序遍历。
A. 先根
B. 中根
C. 后根
D. 层次
10. 在用Kruskal 算法求解带权连通图的最小（代价）生成树时，选择权值最小的边的原则是该边不能在
图中构成（ ）。
A. 重边
B. 有向环
C. 回路
D. 权值重复的边
11. 在用Dijkstra 算法求解带权有向图的最短路径问题时，要求图中每条边所带的权值必须是（ ）。
A. 非零
B. 非整
C. 非负
D. 非正
12. 设G1 = (V1, E1) 和G2 = (V2, E2) 为两个图，如果V1 ? V2，E1 ? E2，则称（ ）。 A. G 1是G 2的子图 B. G 2是G 1的子图
C. G 1是G 2的连通分量
D. G 2是G 1的连通分量 13. 有向图的一个顶点的度为该顶点的（ ）。 A. 入度 B. 出度
C. 入度与出度之和
D. (入度﹢出度))／2
14. 一个连通图的生成树是包含图中所有顶点的一个（ ）子图。 A. 极小 B. 连通 C. 极小连通 D. 无环 15. n (n ＞1) 个顶点的强连通图中至少含有（ ）条有向边。 A. n -1 B. n n(n -1)/2 D. n(n -1)
16. 在一个带权连通图G 中，权值最小的边一定包含在G 的（ ）生成树中。 A. 某个最小 B. 任何最小 C. 广度优先 D.深度优先 17. 对于具有e 条边的无向图，它的邻接表中有（ ）个结点。 A. e -1 B. e C. 2(e -1) D. 2e
18. 对于如图所示的带权有向图，从顶点1到顶点5的最短路径为（ ）。 A.1, 4, 5 B. 1, 2, 3, 5 C. 1, 4, 3, 5 D. 1, 2, 4, 3, 5
1 2 63 8
9
5
5 4 1 2
3
19. 一个有n 个顶点和n 条边的无向图一定是（ ）。 A. 连通的 B. 不连通的 C . 无环的 D . 有环的 20. 对于有向图，其邻接矩阵表示比邻接表表示更易于（ ）。 A. 求一个顶点的度 B. 求一个顶点的邻接点 C. 进行图的深度优先遍历 D. 进行图的广度优先遍历 21. 与邻接矩阵相比，邻接表更适合于存储（ ）图。 A. 无向 B.连通 C.稀疏 D. 稠密图
22. 为了实现图的广度优先遍历，BFS 算法使用的一个辅助数据结构是（ ）。 A. 栈 B. 队列 C. 二叉树 D. 树
二、填空题
1. 用邻接矩阵存储图，占用存储空间数与图中顶点个数________关，与边数________关。
2. n (n ﹥0) 个顶点的无向图最多有________条边，最少有________条边。
3. n (n ﹥0) 个顶点的连通无向图最少有________条边。
4. 若3个顶点的图G 的邻接矩阵为????
?
?????010001010，则图G 一定是________向图。
5. n (n ﹥0) 个顶点的无向图中顶点的度的最大值为________。
6. (n ﹥0) 个顶点的连通无向图的生成树至少有________条边。
7. 在使用Kruskal 算法构造连通网络的最小生成树时，只有当一条候选边的两个端点不在同一个________
上，才有可能加入到生成树中。
8. 求解带权连通图最小生成树的Prim 算法适合于________图的情形，而Kruskal 算法适合于________图
的情形。
三、判断题
1. 一个图的子图可以是空图，顶点个数为0。
2. 存储图的邻接矩阵中，矩阵元素个数不但与图的顶点个数有关，而且与图的边数也有关。
3. 对一个连通图进行一次深度优先搜索（depth first search ）可以遍访图中的所有顶点。
4. 有n (n ≥1) 个顶点的无向连通图最少有n -1条边。
5. 如果无向图中各个顶点的度都大于2，则该图中必有回路。
6. 如果有向图中各个顶点的度都大于2，则该图中必有回路。
7. 图的广度优先搜索（breadth first search ）算法不是递归算法。
8. 有n 个顶点、e 条边的带权有向图的最小生成树一般由n 个顶点和n -1条边组成。 9. 对于一个边上权值任意的带权有向图，使用Dijkstra 算法可以求一个顶点到其它各个顶点的最短路径。 10. 有回路的有向图不能完成拓扑排序。
11. 对任何用顶点表示活动的网络（AOV 网）进行拓扑排序的结果都是唯一的。
12. 用边表示活动的网络（AOE 网）的关键路径是指从源点到终点的路径长度最长的路径。 13. 对于AOE 网络，加速任一关键活动就能使整个工程提前完成。 14. 对于AOE 网络，任一关键活动延迟将导致整个工程延迟完成。
15.
在AOE 网络中，可能同时存在几条关键路径，称所有关键路径都需通过的有向边为桥。如果加速这样的桥上的关键活动就能使整个工程提前完成。
16. 用邻接矩阵存储一个图时，在不考虑压缩存储的情况下，所占用的存储空间大小只与图中的顶点个数
有关，而与图的边数无关。
17. 邻接表只能用于有向图的存储，邻接矩阵对于有向图和无向图的存储都适用。
18. 邻接矩阵只适用于稠密图（边数接近于顶点数的平方），邻接表适用于稀疏图（边数远小于顶点数的平
方）
19. 存储无向图的邻接矩阵是对称的，因此只要存储邻接矩阵的下（上）三角部分就可以了。 20. 连通分量是无向图中的极小连通子图。 21. 在AOE 网络中一定只有一条关键路径。
四、运算题
1. 设连通图G 如图所示。试画出该图对应的邻接矩阵表示，并给出对它执行从顶点V 0开始的广度优先
搜索的结果。
2. 设连通图G 如图所示。试画出该图及其对应的邻接表表示，并给出对它执行从V 0开始的深度优先搜
索的结果。
3. 对于如图所示的有向图，试写出： (1) 从顶点①出发进行深度优先搜索所得到的深度优先生成树； (2) 从顶点②出发进行广度优先搜索所得到的广度优先生成树
4. 设有向图G 如图所示。试画出从顶点V 0开始进行深度优先搜索和广度优先搜索得到的DFS 生成森林
和BFS 生成森林。
5. 设有一个连通网络如图所示。试按如下格式，应用Kruskal 算法给出在构造最小生成树过程中顺序选
出的各条边。
V 0
V 1 V 2 V V 4
V 3 6V 7
V 8
V 0 V 1
V 2 V 4 V 3 V 6
V 7 V 8
1 V V 3
V 4 7 6V 0 5
①
② ③ ④ ⑤
( 始顶点号，终顶点号， 权值 ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
6. 设有一个连通网络如图所示。试采用prim 算法从顶点0开始构造最小生成树。（写出加入生成树顶点
集合S 和选择边Edge 的顺序）
S: 顶点号 Edge: (顶点，顶点，权值)
0 ( ， ， ) 0 ( ， ， ) 0 ( ， ， ) 0 ( ， ， ) 0 ( ， ， )
7. 有八项活动, 每项活动要求的前驱如下:
活动 A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 前驱
无前驱
A0
A0
A0, A2
A1
A2, A4
A3
A5, A6
(1) 试画出相应的AOV 网络, 并给出一个拓扑排序序列。
(2) 试改变某些结点的编号, 使得用邻接矩阵表示该网络时所有对角线以下的元素全为0。
8. 试对下图所示的AOE 网络
(1) 这个工程最早可能在什么时间结束。
(2) 确定哪些活动是关键活动。画出由所有关键活动构成的图，指出哪些活动加速可使整个工程提前完成。
1 11 15 19 10
2 2
3 4
4 5 5
6 6 1 2 3 4 6
5
9 10 7 5 11 8 7
9. 设带权有向图如图所示。试采用Dijkstra 算法求从顶点0到其他各顶点的最短路径和最短路径长度。
第7章习题参考答案
一、单项选择题
参考答案： 1. B
2.A
3.B
4.B
5. A
6. B
7. D
8.A
9.D 10.C 11. C 12.A 13.C 14.C 15. B 16. A 17.D 18. D
19.D
20.A
21. C
22. B
二、填空题
参考答案： 1. 有, 无
2. n(n -1)/2, 0
3. n -1
4. 有
5. (n -1)
6. n -1
7. 连通分量
8. 稠密，稀疏
三、判断题
参考答案： 1. 否
2. 否
3. 是
4. 是
5. 是
6. 否
7. 是
8. 否
9. 否 10. 是 11. 否 12. 是 13. 否 14. 是 15. 是 16. 是
17. 否 18.
是 19. 是
20. 否 21. 否
四、运算题
参考答案：
1. 图G 对应的邻接矩阵为
???
?
??
?
??
?
???
??????????????
?=001000000001001000110001000000000100000000010
011000111
000101001000011001000001110G.Edge
执行广度优先搜索的结果为V 0V 1V 3V 2V 4V 7V 6V 5V 8，搜索结果不唯一。
2. 图G 对应的邻接表为：
7 1
2 4 4 5
9 1
2 3 4 0
执行深度优先搜索的结果为：V 0V 1V 4V 3V 6V 7V 8V 2V 5，搜索结果不唯一。 3. 以顶点 ① 为根的深度优先生成树（不唯一）：
以顶点 ② 为根的广度优先生成树：
4. 深度优先生成森林为： 广度优先生成森林为：
应用Kruskal 算法顺序选出最小生成树的各条边为：
( 始顶点号，终顶点号， 权值 )
( 0, 3, 1 ) ( 2, 5, 2 ) ( 1, 4, 3 ) ( 3, 5, 4 )
( 3, 4, 5 )
5. 采用prim 算法从顶点0开始构造最小生成树的过程：
S: 顶点号 Edge: (顶点，顶点，权值)
( 0， 1， 9 ) 3 1 3 2 0 3 1 0 3 5 0 1
2
6
7 6 6 2 1 3
7 8 V 0 V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6
V 7 V 8 ∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧
∧
∧
1 V 2
V 3
V 4 7 V 6
V 0
51
V 2 V 3 V 4 7
V 6 V 0
50 1 2
3 4 5 1
5 3 4 2 ① ② ③ ④
⑤
①
② ③
④ ⑤
①
② ③ ④ ⑤
0, 1 ( 1， 3， 5 ) 0, 1, 3 ( 1， 2， 7 ) 0, 1, 3, 2 ( 2， 4， 6 ) 0, 1, 3, 2, 4 ( 2， 5， 7 )
0, 1, 3, 2, 4, 5
6. 相应的AOV 网络为：
一个拓扑排序序列为：A0,A1,A4,A2,A5,A3,A6,A7。 注意：拓扑排序结果不唯一。 按拓扑有序的次序对所有顶点从新编号： 原编号 A0 A1 A4 A2 A5 A3 A6 A7 新编号
A0
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
相应邻接矩阵为：
7
65432100000000010000000010000001000000000110000
0001000000000100001010107
6543210?
?
?
??
?
??
?
????????????
????
?=Edge
7. 针对下图所示的AOE 网络
1 2 3 4 6
5 0 9
7 5 7 A0 A1 A3 A2
A4 A7
1 11
15 19
10 2 2 3 4
4
5
5
6
6
各顶点（事件）的最早可能开始时间Ve(i)和最迟允许开始时间Vl(i)参看下表：
顶点 1 2 3 4 5 6
Ve 0 19 15 29 38 43
Vl 0 19 15 37 38 43
各边（活动）的最早可能开始时间Ee(k)和最迟允许开始时间El(k)参看下表：
边<1,2> <1,3> <3,2> <2,5> <3,5> <2,4> <4,6> <5,6>
Ee 0 0 15 19 15 19 29 38
El 17 0 15 19 27 27 37 38
如果活动k的最早可能开始时间Ee(k) 与最迟允许开始时间El(k)相等，则该活动是关键活动。本题的关键活动为<1,3>, <3,2>, <2,5>, <5,6>，它们组成关键路径。这些关键活动中任一个提前完成，整个工程就能提前完成。
整个工程最早在43天完成。由关键活动组成的AOV网络如图所示。
8.带权有向图如图所示：
应用Dijkstra算法求从顶点V0到其他各顶点的最短路径Path和最短路径长度Len的步骤如下：
步骤V0V1V2V3V4动作
Path Len Path Len Path Len Path Len
1 V0V1 4 —∞V0V37 —∞选V0V1
V0V1 4 V0V1V28 V0V37 —∞参照V1调整
2 V0V1 4 V0V1V28 V0V37 —∞选V0V3
V0V1 4 V0V1V28 V0V37 V0V3V412 参照V3调整
3 V0V1
4 V0V1V28 V0V37 V0V3V412 选V0V1V2
V0V1 4 V0V1V28 V0V37 V0V1V2V410 参照V2调整
4 V0V1 4 V0V1V28 V0V37 V0V1V2V410 选V0V1V2V4
1
11
15
19
10
2 2
3
4
4
5 5
6
6
7
1
2
4
4
5
9
1
2
3 4