关于lnx的重要不等式

关于lnx 的重要不等式及其应用 基本不等式：)0(,1ln 11>-≤≤-

x x x x 证明：

例题1 设,012>>x x 求证：

1121221ln ln 1x x x x x x <--<

例题2 已知,1ln )1()(+-+=x x x x f 求证：.0)()1(≥-x f x

变形1：若,0>x 则

x x x 1)11ln(11<+<+

例题3 任意+∈N n ,求证：3ln 31...21112ln <+++++<

n

n n

例题4 任意+∈N n ,求证：n n e n !1<+

变形2：若,0>x 则1ln 22-≤x x

例题5 求证：

)2(,4

)1(1ln ...43ln 32ln ≥-<++++n n n n n

例题6 求证：)2(,)

1(212ln ...33ln 22ln )1(212222222≥+--<+++<+-n n n n n n n n n

关于x ln 的重要不等式归纳：

（1） )0(,1ln 11>-≤≤-

x x x x

（2）)1(),1(21ln )..10(),1(21ln >-≤≤<-≥x x x x x x x x （3）)10(,)

1)1(2ln )..1(,1)1(2ln <<+-≤≥+-≥x x x x x x x x （4）)0(,2

)1ln(2

≥-≥+x x x x （5）)1(,1ln )..1(,1ln ≥-<≥-<

x x x x x x x

强化训练

1.求证：),1(,2)1(ln ...3ln 2ln +∈>-<

+++N n n n n n

2.求证：)(,1...31211)1ln(+∈++++

<+N n n n

3.求证：).(1

21...715131)1ln(+∈+++++>

+N n n n

4.已知数列{}n a ，123a =，且1211(1)2n n n a a n

+=++(1,)n n N *≥∈， （1）当2n ≥时，求证：2n a ≥；

（2）求证：且223

n a e ≤

5.已知函数()ln(1)f x x x =+-，数列{}n a 满足：

112a =，111ln 2ln ()n n n n n a a a f a a ++++=+ （1）求证数列1{}1

n a -是等差数列； （2）求证不等式：12ln 2ln(2)n a a a n n +++<+-+

6. 设数列{}n a 、{}n b 满足n n a n na a )1(2,2111+==+，且*∈++=N n a a b n n n ,2

1)1ln(2. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对一切*∈N n ，证明

n

n n b a a <+22成立； （3）记数列{}2n

a 、{}n

b 的前n 项和分别是n A 、n B ，证明：42<-n n A B .

7.设函数，，数列满足：. （1）当时，比较x 与的大小；

（2）求数列的通项公式；

（3）求证：．

()ln(1)f x x =+2()(0)1x g x x x =>+{}n a *111,()()2

n n a a g a n +==∈N 1x >-()f x {}n a 1221ln 2

n n a a a ++++>

8.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈.

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45 ，对于任意[1,2]t ∈，函

数()32'[()]2

m g x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； （3）求证：

ln2ln3ln4ln 1(,2)234n n N n n n

<∈≥

9.已知数列{}n a 满足：11111,()22n n n n a a a n N *++==

+∈ （1） 求数列{n a }的通项公式；

（2） 证明：

1112n n a -≤≤； （3） 设224n n n T a n n =

-+，且21ln(1)2n n n k T T =++，证明：22n n n T T k <+

高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)

高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------??

＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以

不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．

经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c ③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ） ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0> d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2 a b +≥2 1 4 s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果，那么当且仅当时，等号成立。 即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形：对于n 个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即： 当且仅当a 时，等号成立。

证明不等式的基本方法-比较法

第二讲证明不等式的基本方法 课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法 一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 （2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究，合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据： a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a

不等式的常见证明方法

不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1

三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++0有不等式x x 11ln - ≥，如果令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，如果令x=1+k k ，则k k k ->+11ln ，即k k k k 1ln )1ln(11<-+<+，然后叠加不等式即可。 解：设函数x x x x f ln 1)(+-=，则易证0)(≥x f ，即不等式x x 11ln -≥对于x>0恒成立， 令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，令x=1+k k ，则k k k ->+11ln ，即k k k 11ln <+成立。从而有k k k k 1ln )1ln(11<-+<+。 在不等式k k k 11ln <+中，分别令,3,,2,1n n n k K ++=得到一系列不等式相加为 )13ln()2ln()2ln()1ln(312111++++-+++->+++++n n n n n n n K K 即n n n 312111+++++K >113ln ++n n 2ln 1 22ln =++≥n n 在不等式1 11ln +>+k k k 中，分别令k=n,n+1,K 3n-1,并把所得的不等式相加，得 n n n 312111+++++K <3ln 3ln 3ln )1ln()1ln(ln ==++-++-n n n n n n K 即不等式3ln 3121112ln <+++++

不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］

1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一：

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab ≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a 与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1

推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：

证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)

证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12； n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3lg 2 =<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 2 1k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：2 2 111111()1(1)(1)211 k k k k k k < ==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

几种常见的放缩法证明不等式的方法

For personal use only in study and research; not for commercial use 几种常见的放缩法证明不等式的方法 一、 放缩后转化为等比数列。 例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+ （1） 用数学归纳法证明：n b n ≥ （2） 1231111...3333n n T b b b b = ++++++++，求证：12n T < 解：(1)略 (2) 13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥ 132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈ 迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32 n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤ ++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！ 二、放缩后裂项迭加 例2．数列{}n a ，1 1(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s 求证：2n s < 解：2111111...234212n s n n =- +-++-- 令12(21) n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T

当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n ≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤ +++-+-++-- 71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。 例3.已知函数()(0)b f x ax c a x =++>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =- （1）用a 表示出,b c （2）若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围 （3）证明：1111...ln(1)232(1) n n n n + +++>+++ 解：（1）（2）略 （3）由（II ）知：当)1(ln )(,2 1≥≥≥x x x f a 有时 令).1(ln )1(21)(,21≥≥-==x x x x x f a 有 且当.ln )1(21,1x x x x >->时 令)],1 11()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有 即.,,3,2,1),1 11(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将上述n 个不等式依次相加得 ,) 1(21)13121(21)1ln(++++++< +n n n 整理得 .) 1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。

不等式的证明方法习题精选精讲

不等式的证明方法习题精选精讲

不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 1 1>- C ．||||b a > D ．2 2 b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -<-11，b a 1 1>，∴（A ）成立。 由0<，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )() (b a ->-，2 2 b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， ) (1 1b a a --< -，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。

例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2 c b c a > 两边同乘以2 c ，不等式方 向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 11，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2 232 >-+x x 与0 432 >-+x x （2）13 8112++>++x x x 与82>x （3）357354-+ >-+x x x 与74>x （4）023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0 4322322 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 38112>?>-≠?++>++x x x x x x 。

构造函数法证明不等式的常见方法

构造函数法证明不等式 一、教学目标： 1.知识与技能：利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性和最值来证明不等式. 2.过程与方法：引导学生钻研教材，归纳求导的四则运算法则的应用，通过类比，化归思想转换命题，抓住条件与结论的结构形式，合理构造函数. 3.情感与态度：通过这部分内容的学习，培养学生的分析能力（归纳与类比）与推理能力（证明），培养学生战胜困难的决心和解题信心。 二、教学重难点：解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。难点：将命题的结论进行转化与化归，变成熟悉的题型。 三、教法学法：变式训练 四、教学过程： （一）引入课题： 1.复习导数的运算法则： 2.问题探源： （教材第32页B 组题第1题） 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证 (3)1(0)(4)ln 1(0) x e x x x x x >+≠≤->

3.问题探究： 1、直观感知（几何画板演示）；（2）推理论证 4高考探究： 例1、(2013年北京高考）设L 为曲线C ：ln x y x = 在点(1，0)处的切线. (I)求L 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方. 变式练习1： 若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，

求证：．()af a >b )(b f 变式练习2： 证明：对任意的正整数n ，不等式1 1ln(1)111n n +>- + 都成立 （类似还有2012年湖北高考题第22题） 变式练习3： 已知m 、n 都是正整数，且证明： 思考题5．（全国卷）已知函数()ln g x x x =

《不等式证明的常用方法归纳》

不等式证明的常用方法归纳 不等式的证明非常灵活，它可以和很多内容结合，如数列、函数、三角函数、二次曲线、方程等等。本文以一道不等式证明题为例，谈谈不等式证明的常用方法。 例. 若a b >>00，，a b 332+=，求证：a b +≤2，ab ≤1。 证法一：综合法 a b a b >>+=00233，， ∴+-=+++-=+-=+-=+-+=-+-≤+≤()[()][()()] ()()()a b a b a b ab a b ab ab a b ab a b a b a b a b a b 3333222233233 2338 336 323302，即 又a b +>0 ∴+≤≤+≤∴≤a b ab a b ab 2 221 证法二：换元法、判别式法 设a b 、为方程x mx n 20-+=的两根，则 m a b n ab =+=??? a b m n m n a b a b a ab b a b a b ab m m n >>∴>>=-≥=+=+-+=++-=-00 004012332332222，，，且?() ()()()[()] () ∴=-n m m 2323 （2） 将（2）代入（1），得m m m 2243230--≥()，即-+≥m m 3830，

∴-+≥m 380，即m ≤2 ∴+≤a b 2 由2≥m ，得42≥m 又m n 24≥ ∴≥44n ，即n ≤1 ∴≤ab 1。 点评：换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。 证法三：放缩法 a b a b >>+=00233，， ∴=+=++-≥+-=+223322a b a b a b ab a b ab ab ab a b ()()()()() 于是有63≥+ab a b () 从而8323322333≥++=+++=+ab a b a b ab a b a b ()() 所以a b +≤2 （下略）。 点评：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。 证法四：比较法 a b a b a b a b ab a b ab 33322222244428 +-+=++----()()[] =+-≥38 02 ()()a b a b ， ∴对任意非负实数a b 、，有a b a b 33322 +≥+()

几种常见的放缩法证明不等式的方法

几种常见的放缩法证明不等式的方法 一、 放缩后转化为等比数列。 例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+ （1） 用数学归纳法证明：n b n ≥ （2） 1231111...3333n n T b b b b = ++++++++，求证：12n T < 解：(1)略 (2) 13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥ 132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈ 迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32 n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤ ++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！ 二、放缩后裂项迭加 例2．数列{}n a ，1 1(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s 求证：2n s < 解：2111111...234212n s n n =- +-++-- 令12(21) n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T 当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n ≤ =--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤+++-+-++--

71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。 例3.已知函数()(0)b f x ax c a x =++>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =- （1）用a 表示出,b c （2）若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围 （3）证明：1111...ln(1)232(1) n n n n + +++>+++ 解：（1）（2）略 （3）由（II ）知：当)1(ln )(,2 1≥≥≥x x x f a 有时 令).1(ln )1(21)(,21≥≥-==x x x x x f a 有 且当.ln )1(21,1x x x x >->时 令)],1 11()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有 即.,,3,2,1),1 11(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将上述n 个不等式依次相加得 ,) 1(21)13121(21)1ln(++++++< +n n n 整理得 .) 1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。 三、 放缩后迭乘 例4．*1111,(14)16 n n a a a n N +==++∈. （1） 求23,a a

不等式的八种证明方法及一题多证

不等式的证明： 一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法 方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。 使用此法作差后主要变形形式的处理： ○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。 ○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。 ○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。 总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。 2．作商比较法 方法：要证A>B,常分以下三种情况： 若B>0，只需证明 1A B >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明 1A B <。 （3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证： b a m b m a >++

解析：用作差比较法 ∵ ) () ()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-= ++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a 0 , b - a > 0 ∴ 0) () (>+-m b b a b m 即： b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2 a b a b a b ab +> 解析：用作商比较法 ∵ () 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b b ab -++--- - -+??=== ??? 又∵a>b>0,() 2 2 1,01 2a b a b a b a a b a b b a b ab -+-??∴>>∴> ? ?? ∴> 例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。 解析：法1：用作差比较法 [][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+-- x x x a a +--=11l o g )1(l o g 2 ∵0 < 1 - x 2 < 1, 1110<+-< x x ∴011log )1(log 2>+--x x x a a ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 法2：用作商比较法 2 111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log x x x x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++ )1(l o g 121x x --=+ ∵0 < 1 - x 2 < 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x ∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 二、综合法：用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证

第33讲 不等式的证明方法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】 不等式的证明常用的有六种方法（不等式证明六法：比综分放数反） 一、比较法 包括比差和比商两种方法. 比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论. 如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差. 二、综合法 证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法. 三、分析法 证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法. 用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”. 一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程. 四、放缩法 证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法. 放缩的常见技巧： 2 2 1(1)1a a n n n n n +>+>-< ②将分子或分母放大或缩小，如： 22111111,(1)1(1) k k k k k k k k <=->--+ (1) (1)2 n n n n +++< 五、数学归纳法 用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论. 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法. 六、反证法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知

定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法. 如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法. 【方法讲评】 方法一 比较法 使用情景 一般是两个实数 解题方法 包括比差和比商两种方法. 比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论； 比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论. 如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差. 【例1】已知0,0a b m >>>，则 a m a >+. 【方法点评】比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论. 【例2】设,a b R + ∈，求证：2 ()a b a b a b ab +≥ 【证明】作商： 2 2 2 2 )() (b a a b b a b a b a b a b a ab b a ---+== 当a b =时，1) (2 =-b a b a 当0a b >>时，1)(,02, 12 >>->-b a b a b a b a 当0b a >>时， 1)(,02, 102 ><-<<-b a b a b a b a ∴2 ) (b a b a ab b a +≥ 【点评】比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论. 学科@网 【反馈检测1】已知a 、b 、c 是实数，试比较2 22c b a ++与ca bc ab ++的大小． 方法二 综合法 使用情景 一般题设较简单，题目较简单. 解题方法 证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要 证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.