多项式
序
对数学而言，重要的不是数学对象，而是它们之间的关系。代数学作为研究各种集合的元素运算的科学，充分地体现了这一点。各种数学理论在代数中取得了整合与统一。
高等代数是代数学的基础部分。高等代数知识大致可分为多项式理论、矩阵理论和“几何”理论三大板块，它们所涉及的内容彼此又有交叉。多项式理论部分自成一系。
矩阵理论是高等代数的基础，贯穿于线性代数的全部内容之中，这部分知识掌握得如何直接影响到其他内容的学习。矩阵理论部分比较具体，所要解决的问题也很明确，解决问题的方法主要有下述六大基本方法：
１、矩阵分块的方法；
２、初等变换的方法；
３、降阶与升阶的方法；
４、运用标准单位向量的方法；
５、运用特征值的方法；
６、运用标准型的方法。
这些方法在高等代数课程的学习中都涉及过，只是没有从方法论的角度加以总结。在上述六大基本方法中，核心的思想方法是降阶法。降阶的思想不仅在线性代数的矩阵理论中占有极重要的地位，而且在线性代数的“几何”理论中也是重要的。
线性代数的“几何”理论部分比较抽象，它的基本概念是以代数、分析、几何等方面的某些概念为雏形抽象出来的，这部分内容的学习目的，是使学生初步了解公理系统的意义和作用，训练严谨的思维和严格的逻辑推理能力。这部分内容包括线性空间、线性变换、欧几里得空间等。其解决问题的基本方法有：
１、同构的方法；
２、子空间的方法；
３、运用线性变换的各种特殊子空间的方法；
４、运用正交化的方法；
５、将空间分解成子空间直和的方法；
６、选取适当基的方法。
第一章 多项式
1.1 多项式讨论的矩阵方法
１． 多项式乘法的矩阵表示 定义1 矩阵
m
m n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ?+---???????
??????
?
?)(0101101
110
00000
称为多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 的m m n ?+)(阶系数矩阵．
定理1 设
0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ， 0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ，
F 是)(x f 的)1()1(+?++m m n 阶系数矩阵，
G 是)(x g 的1)1(?+m 阶系数矩阵，则FG 是
)()(x g x f 的1)1(?++m n 阶系数矩阵．
证明 由多项式乘法0111)()(c x c x c x c x c x g x f s s m n m n m n m n +++++=-+-+++ 其中s s s s s
j i j
i
s b a b a b a b a b
a c 011110--=++++==
∑ ．再由矩阵乘法运算可知，矩阵
????????
????????????
??
?
?
?----0110101101
110
00000b b b b a a a a a a a a a a a a m m n n n n
n n
的元素恰为011,,,,c c c c m n m n -++．▋
例１ 设132)(,12)(2
3
4
2
3
+-+-=++-=x x x x x g x x x x f ，由定理１
???
?????
?
?
??
?
??--=???????? ??--????????????? ??-----10146952113211000011000111002111002111
002110002100002
是)()(x g x f 的阶系数矩阵，所以
146952)()(234567+++-+-=x x x x x x x g x f ．
多项式乘法的这种表达方式，可以与线性方程组解的情况联系起来，反过来探讨多项式因
式分解的方法．
２． 多项式整除的矩阵方法 设
0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ， 0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ． 不妨设0>>n m ，可设0,>+=l l n m ．
若)(|)(x g x f ，则存在
0111)(c x c x c x c x h l l l l ++++=-- 使)()()(x h x f x g =，用上述矩阵表示，有
????
??
???
? ??=?????????? ??????????
???
?
?
?
?-----0110110101101
110
00000b b b b c c c c a a a a a a a a a a a a m m l l n n n n n n
． （１） 定理2 )(|)(x g x f 的充分必要条件是)(x f 的系数矩阵与矩阵
???
?
???
?
?
???
?
?
?-----012210101101
110
00000b b b b b b a a a a a a a a a a a a m m m n n n n n n
（２）
秩相同．
证明 由（１）可见，存在)(x h 使)()()(x h x f x g =当且仅当线性方程组
????
??
???
? ??=?????????? ??????????
???
?
?
?
?-----0110110101101
110
00000b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a m m l l n n n n n n
（３） 有解．再根据线性方程组有解的充要条件即得．▋
此定理为判断多项式的整除提供了一种新方法．在利用时要注意根据)(),(x g x f 的次数来确定矩阵的阶数．
例２ 设13)(23-++=x x x x f ，2310188)(2
345--+++=x x x x x x g ．判断)
(x f 是否整除)(x g ．若)(|)(x g x f ，求)(x h 使)()()(x h x f x g =．
解 根据（２）构造矩阵并求其秩
??????
??
?
?
??→??????????
??-----0000
000000002100
501010012310188110011031
1131013001
（只用初等行变换，见注）
可见两矩阵的秩都为3．所以)(|)(x g x f ．并且 25)(2
++=x x x h ．
３． 多项式最大公因式的矩阵求法
首先将λ-矩阵及其初等变换的相关知识复习如下，为了方便这里将λ-矩阵改称为x -矩阵．
以数域P 上x 的一元多项式为元素的矩阵成为x -矩阵． 下述变换叫做x -矩阵的初等变换： ⑴ 交换x -矩阵两行（列）的位置；
⑵ 用数域P 中的非０常数乘以x -矩阵的某一行（列）；
⑶ 将x -矩阵某一行（列）的)(x ?倍加于另一行（列）（这里])[)(x P x ∈?． 引理3 任意一个x -矩阵可以经过初等行变换化为如下形式
??????
?
?
?***0***0
***)
(
x d ． 具体化法是：
将x -矩阵第一列中次数最低的多项式所在行的m
cx 倍加于其他行（这里的m c ,适当选取）消去第一列中其他多项式的首项，从而使第一列中多项式的次数降低．反复如此做下去即可
引理4 若x -矩阵
?
??
?
??=10)(01)()(x g x f x A 可以经过初等行变换化为
???
?
??=)()()()()()()(11x t x s x g x v x u x f x B ，
则
()())(),()(),(11x g x f x g x f =，
且 )()()()()(1x g x v x f x u x f +=，)()()()()(1x g x t x f x s x g +=．
证明 对所做初等行变换的次数做归纳．
经过一次初等行变换后命题成立：对三种初等行变换分别证明 1) 若)(x B 是)(x A 经过第一种初等行变换得到的，则
)()(1x g x f =，)()(1x f x g =，0)()(==x t x u ，1)()(==x s x v ． 此时结论显然成立．
2) 若)(x B 是)(x A 经过第二种初等行变换得到的．不妨设)(x B 是)(x A 的第一行乘以非０常数c 而得到的，则
)()(1x cf x f =，)()(1x g x g =，c x u =)(，1)(=x t ，0)()(==x s x v ． 于是
()()())(),()(),()(),(11x g x f x g x cf x g x f ==，
)()()()()()()()(1x g x v x f x u x f x u x cf x f +===， )()()()()()()()(1x g x t x f x s x g x t x g x g +===． 此时结论成立．
3) 若)(x B 是)(x A 经过第三种初等行变换得到的．不妨设)(x B 是将)(x A 的第二行的
)(x ?倍加于第一行而得到的，则
)()()()(1x g x x f x f ?+=，)()(1x g x g =，1)()(==x t x u ，)()(x x v ?=，0)(=x s ．
于是
()()())(),()(),()()()(),(11x g x f x g x g x x f x g x f =+=?，
)()()()()()()()(1x g x v x f x u x g x x f x f +=+=?， )()()()()()(1x g x t x f x s x g x g +==． 此时结论亦然．
假设经过1-n 次初等行变换后，结论成立．
对n 次初等行变换的情况，可设???
?
??=10)(01)()(x g x f x A 经过1-n 次初等行变换化为
???
?
??=)()()()()()()(0000000x t x s x g x v x u x f x B ，)(0x B 在经过一次初等行变换化为
???
?
??=)()()()()()()(11x t x s x g x v x u x f x B ．
由归纳假设
()())(),()(),(00x g x f x g x f =，
（４）
且 )()()()()(000x g x v x f x u x f +=，)()()()()(000x g x t x f x s x g +=． （５）
若)(x B 是)(0x B 经过第一种初等行变换得到的，则 )()(01x g x f =，)()(01x f x g =，
)()(0x s x u =，)()(0x t x v =，)()(0x u x s =，)()(0x v x t =， 代入（４）（５）可见结论成立．
若)(x B 是)(0x B 经过第二种初等行变换得到的．不妨设)(x B 是)(0x B 的第一行乘以非０常数c 而得到的，则
)()(01x cf x f =，)()(01x g x g =，
)()(0x cu x u =，)()(0x cv x v =，)()(0x s x s =，)()(0x t x t =． 代入（４）（５）可见结论成立．
若)(x B 是)(0x B 经过第三种初等行变换得到的．不妨设)(x B 是将)(0x B 的第二行的
)(x ?倍加于第一行而得到的，则
)()()()(001x g x x f x f ?+=，)()(01x g x g =，
)()()()(00x s x x u x u ?+=，)()()()(00x t x x v x v ?+=，)()(0x s x s =，)()(0x t x t =．
结合（４）（５）得
()()()())(),()(),()()()(),()(),(1111100x g x f x g x g x x f x g x f x g x f =-==?
)()()()(001x g x x f x f ?+=
)()]()()()([00x x g x v x f x u ?++=)]()()()([00x g x t x f x s + ++=)()]()()([00x f x s x x u ?)()]()()([00x g x t x x v ?+ )()()()(x g x v x f x u +=
)()(01x g x g =)()()()(00x g x t x f x s +=)()()()(x g x t x f x s +=．
总之，n 次初等行变换时，结论成立．▋
定理5 若x -矩阵
???
?
??=10)(01)()(x g x f x A
可以经过初等行变换化为
???
?
??=)()(0)()()()(x t x s x v x u x d x B ， 则 ⑴ )(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式；
⑵ )()()()()(x g x v x f x u x d +=．
证明 ⑴ 由引理４()()0),()(),(x d x g x f =，由于)(x d 是0),(x d 的最大公因式，从而是
)(),(x g x f 的最大公因式．
⑵ 由引理４可直接得到．▋
例１ 设
242)(234---+=x x x x x f ，22)(234---+=x x x x x g ， 求())(),(x g x f 及)(),(x v x u ，使())()()()()(),(x g x v x f x u x g x f +=．
解 ????
??---+--→???? ??---+---+10221121022012422343234234x x x x x x x x x x x x x x
???
?
??+-----→???? ??+---+--→21211212211223233x x x x x x x x x x x x
???
? ??---+++---→???? ??+------++→12102
1221212102222
22x x x x x x x x x x x x x x ， 所以()2)(),(2-=x x g x f ，且
())()2()()1(2)(),(2x g x x f x x x g x f ++--=-=．
定理５的结果可以推广到任意有限个多项式的情况．
定理6 若x -矩阵
????
??
? ??=100)(010)(001)()(21
x f x f x f x A n 可以经过初等行变换化为
??
?
?
?
?
?
?
?=***0***0
)()()()()(21 x u x u x u x d x B n ，
则 ⑴ )(x d 是)(,),(),(21x f x f x f n 的最大公因式；
⑵ )()()()()()()(2211x f x u x f x u x f x u x d n n +++= ．
1.2 代数方程
形如 0011
1=++++--a x a x
a x a n n n
n （0≠n a ）
的方程叫做n 次代数方程．
若0)(=a f （P a ∈），则称a 是方程0)(=x f （在P 中）的一个根．一个方程有根时，称此方程是可解的，否则称之为不可解的．
注：⑴ 代数方程的可解性与所考虑的数域有关．
② 代数方程001=+++a x a x a n n 的根也叫多项式01)(a x a x a x f n n +++= 的根．
与多项式的根有关的几个熟知结果：
定理7（代数学基本定理）次数1≥一元多项式在复数范围内必有一个根． 定理8 (根与一次因式的关系) a x =是)(x f 的根当且仅当)(x f a x -． 定理9（根与系数的关系）如果n x x x ,,,21 是n 次多项式 0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 的全部根，则 n
n n a a x x x 1
21--
=+++ n
n n n a a x x x x x x 2
13121--=+++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．
n
i
n i
k k k a a x x x i --=∑)1(21 ．．．．．．．．．．．．．．．．． n
n
n a a x x x 0
21)
1(-= 注：①
∑i k k k x x x
21
表示所有可能的i 个不同的j k x 的乘积之和．
② 由根与一次因式的关系)())(()(21n n x x x x x x a x f ---= ，展开后比较系数即得．
定理10 如果α是实系数多项式)(x f 的复根，则它的共轭数α也是)(x f 的根． 定理11 若
s
r
是整系数多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 的有理根，其中s r ,互素，则0,a r a s n ．
由定理５所给出的整系数多项式的有理根的范围往往还太大，作为定理５的补充，下边的定理有时可以大大缩小这个范围．
定理12 设有理数s
r
是整系数多项式)(x f 的有理根（其中s r ,互素），则对任意一个整数
m ，)(|)(m f sm r -．
证明 用m x -除0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 得 )())(()(011
1m f b x b x
b m x x f n n ++++-=--
这里)(,,,,011m f b b b n -都是整数．因为0=??
?
??s r f ，于是有
)(011
1m f b s r b s r b m s r n n =???
?????+???
??++??? ????? ??----
等式两边同乘以n
s 得
)())((10212211m f s s b rs b s r b r b sm r n n n n n n n =++++--------
可见)(|)(m f s sm r n -．又1),(=-n s sm r （否则存在素数p ，使),(|n s sm r p -．可得sm r p -|且s p |，于是r sm sm r P =+-)(|，从而1),(|=s r p ，得矛盾），所以
)(|)(m f sm r -．▋
利用定理４得到了整系数多项式的有理根的范围?
?????n a s a r s r
|,|:0后，由于
∈±1?
??
???n a s a r s r |,|:0，所以)1(),1(-f f 总是要进行验证的，即)1(),1(-f f 的值总是要计
算的。当0)1(≠f （或0)1(≠-f ）时，只需对?
?????n a s a r s r
|,|:0中满足)1(|)(f s r -（或
)1(|)(-+f s r ）的s
r
进行验证即可．
1.3 实系数多项式的实根*
关于实系数多项式的根，我们熟悉的结果是：实系数多项式的虚根成对出现，它们互为共轭．本节主要讨论实多项式实根个数的确定及实根的求法问题．本节讨论在实数域上进行．
定义1 对非零多项式)(),(x g x f ，下列多项式序列叫做)(x f 与)(x g 所确定的欧几里德序列： )(1x f ，)(2x f ，．．．．．．，)(x f m 这里（i ）)()(1x f x f =，)()(2x g x f =；
（ii ）)(22x f i i ++λ是用)(1x f i +除)(x f i 所得的余式（2,,2,1-=m i ），这里2+i λ是任意非０常数，即有)()()()(2211x f x f x q x f i i i i i +++++=λ 2,,2,1-=m i ；
（iii ）0)(≠x f i （m i ,2,1=）．
注：① 由于)(2x f i +（m i ,,4,3 =）是)(1x f i +除)(x f i 所得余式的非零常数倍，所以在求欧几
里德序列时，为了便于计算，可以根据需要在相关的多项式上乘以一个非零常数，因为这样做之后，余式至多相差一个非零常数倍．即 若)(x g 除
)(x f 的余式为)(x r ，则)(x cg 除)(x kf 的余式形如)(x r λ．
② 由于欧几里德序列中每一项均不为０，所以当序列中的一项能整除前一项时，序列就结束了，即有
)(|)(1x f x f m m -．
③ 两个非零多项式的欧几里德序列是不唯一的，它们的两个欧几里德序列的对应项相差一个非零常数因子．当取所有常数1=i
λ（m i ,,4,3 =）
，就得到一个固定的序列，它的各项就是由带余除法中的余式构成．在实际应用欧几里德序列时，常数i λ的任意选择性可以使计算更为简便．
欧几里德序列各项之间有关系：
)()()()(2211x f x f x q x f i i i i i +++++=λ 2,,2,1-=m i ． ()()())()()(32x f x f x f m ?>>?>?
求两个多项式最大公因式的辗转相除法就与此序列有关．在那里所用到的基本结果是： 若)()()()(x r x q x g x f +=，则)(x f 与)(x g 的公因式和)(x g 与)(x r 的公因式完全相同． 由此进一步得到)(x f 与)(x g 的最大公因式和)(x g 与)(x r 的最大公因式相同．
将这些结果用于欧几里德序列可得
()()())()(),()(),()(),(13221x f x f x f x f x f x f x f m m m =
===- ．
而这恰恰是辗转相除法的依据．
定义2 设)(x f 是次数大于０的实系数多项式，)(1x f ，)(2x f ，．．．．．．，)(x f m 是)(x f 与)(x f '所确定的欧几里德序列，满足：
)()()()(2211x f x f x q x f i i i i i +++++=λ 2,,2,1-=m i
中的所有常数2+i λ是负实数．实系数多项式)(x R 是)(1x f ,)(2x f ,．．．．．．,)(x f k （m k ≤≤2）的公因式，
)()()(,),()()(),()()(2211x R x S x f x R x S x f x R x S x f k k === ．
如果)(x S k 在闭区间],[b a 无根，则称)(,),(),(21x S x S x S k 为)(x f 关于],[b a 的施图姆序列．
因为欧几里德序列各项之间有关系：
)()()()(2211x f x f x q x f i i i i i +++++=λ 2,,2,1-=k i ．
所以施图姆序列各项之间有关系：
)()()()(2211x S x S x q x S i i i i i +++++=λ 2,,2,1-=k i ．
若取m k =，而把欧几里德序列的最后一项)(x f m 取做)(x R ．在这样的取法下，序列
)(,),(),(21x S x S x S m 的最后一项1)(=x S m ，因此，在任何闭区间上无根．所以，这样得
到的序列1)(,),(),(21=x S x S x S m 是)(x f 关于任何闭区间的施图姆序列．
例１ 作多项式961144)(234++--=x x x x x f 的施图姆序列． 解 先作欧几里德序列
)()(1x f x f =，)31168(2)()(232+--='=x x x x f x f 用
)(212x f 除)(21x f 得余式4
754254502++-x x ，取32)(23--=x x x f ． 用)(3x f 除)(2x f 的余式为０．因此，用)(3x f 除)(),(),(321x f x f x f 即得)(x f 的施图姆序列：1)(,28)(,32)(3221=-=--=x S x x S x x x S ．
定理13 设)(,),(),(21x S x S x S k 是)(x f 关于],[b a 的施图姆序列，则 （１）)(x f 与)(1x S 在],[b a 中有相同的根；
（２）任意两个相邻的项)(),(1x S x S i i +在],[b a 中无公共根；
（３）若对],[b a ∈ξ，0)(=ξi S (1,,3,2-=k i )，则)(1ξ-i S 与)(1ξ+i S 符号相反，即 0)()(11<+-ξξi i S S ；
（４）若)(1x S 在),(b a 中有唯一根ξ，而)(2x S 在],[b a 中无根，则 0)()(21b S b S ．
证明 （１） 因为)()()()(11x R x S x f x f ==，即)(|)(1x f x S ，所以)(1x S 的根都是
)(x f 的根．
设ξ是)(x f 在],[b a 中的根，其重数为k ，则)()()(|)(2x R x S x f x k ='/-ξ，由此可知)(|)(x R x k /-ξ，
再注意到)()()(|)(1x R x S x f x k
=-ξ，所以)(|1x S x ξ-，即ξ是)(1x S 的根．
（２） 如果],[b a ∈?ξ，使)(0)(1ξξ+==i i S S ，则由施图姆序列各项之间的关系 )()()()(2211x S x S x q x S i i i i i +++++=λ
可得0)(2=+ξi S ．类似地，由)(0)(21ξξ++==i i S S 可得0)(3=+ξi S ．如此继续推下去，可得0)(=ξk S ，此与施图姆序列的定义相矛盾．
（３） 因为0)(=ξi S ，由关系式
)()()()(111x S x S x q x S i i i i i ++-+=λ
得)()(111x S x S i i i ++-=λ．注意到01<+i λ，所以)(1ξ-i S 与)(1ξ+i S 符号相反．
（４） 首先注意到
[][]
)(2)()()()(2)(2212
x R x S x S x f x f x f
='='
．
因为)()(21x S x S 在),[ξa 无根，所以在),[ξa 保持符号不变．若在),[ξa 0)()(21>x S x S ，
则由上式可见[
]0)(2
>'
x f ，所以)(2x f 在),[ξa 为增函数，但是0)(2>a f ，0)(2
=ξf ，
这与)(2x f 是],[b a 上的连续函数矛盾．所以若在),[ξa 0)()(21 ),[ξa 0)()(21>x S x S ．▋ １.4 代数方程的根式解 本节讨论实系数多项式． 如果一元n 次方程的解可以由它的系数通过加减乘除和开方运算表达出来，则称此方程有根式解． 一元二次方程的求根公式 一元二次方程02 =++c bx ax 有根式解：a ac b b x 242-±-=． 一元三次方程的求根公式 对于一元三次方程 0)(2 3 =+++=d cx bx x x f ⑴ 令3 b y x - =，⑴可化为 03 =++q py y ⑵ 其中3 32b c p -=，2727923d bc b q +-=． 现在只需求⑵的解．方程⑵的解法有很多，下边所采用的方法纯粹是技巧性的． 令v u y +=，则uvy v u v u uv v u y 3)(333333++=+++=（这里v u ,分别代表两个新的辅助未知数），即 0)(3333=+--v u uvy y ⑶ 比较方程⑵与⑶，得到如下关系： uv p 3-=，)(33v u q +-=． 由根与系数的关系，不难看出3 3 ,v u 是二次方程027 3 2 =-+p qz z 的两个根，所以 2742323 p q q u ++-=，27 42323 p q q v + --= ⑷ 对⑷分别开立方，得u 的三个值和v 的三个值： 3 3 2127 42p q q u ++-=、ω12u u =、213ωu u =， 332127 42p q q v +--=、ω12v v =、213ωv v =， 这里ω是三次单位（原）根，再根据v u y +=就可求得y 的值．不过，这里的三个u 值和三个v 值不能随意组合，它们必须满足3 p uv - =． 因为 3274227423323211p p q q p q q v u -=??? ? ??+ --???? ??++-=， 3))((1121132p v u v u v u -===ωω，3 ))((1112 123p v u v u v u -===ωω， 所以，方程⑵的三个根是： =+=111v u y 3323 3227 422742p q q p q q +--+++-， =+=322v u y ω 3 3227 42p q q ++-+2ω3 3 227 42p q q +--， 2233ω =+=v u y 3 322742p q q ++-ω+33 227 42p q q +- -， 这里231i +-= ω，2 312 i --=ω．此公式称为卡丹公式．于是，方程⑴的三个根就是： 311b y x - =，322b y x -=，3 33b y x -=． 一元四次方程的求根公式 这里所采用的求解思路是将一元四次方程的求解转化为对两个一元二次方程的求解．对四次方程 0)(234=++++=d cx bx ax x x f ⑸ 将其后三项移至等号另一端并配上42 2x a ，得 d cx x b a ax x ---=+22 22 )4 ()2( 为将上式右端也配成完全平方，两端同加22 )2 (2y y ax x ++ ，其中y 是待定的数，得 =?? ????++2 2)2(y ax x )()()24(222d y x c ay x y b a -+-++- ⑹ 利用判别式可知，欲使右端成为一个完全平方，只有 0))(24 (4)(22 2 =-+---d y y b a c ay ⑺ 整理得 08 )4(4422 223 =--+-+-c d a b y d ac y b y ⑻ 可见y 是上述一元三次方程的根．任取⑻的一个根0y ，代入⑹，则⑹的右端为完全平方形式，于是⑹变为 2 20 02202242??? ?????-+???? ? ?+-=??? ??++d y x y b a y x a x 两边开方 ??? ?????-+???? ??+-±=++d y x y b a y x a x 2 00202 242 由⑺式得 2 02 084y b a c ay d y +--= -，代入上式整理得： +2 x x y b a a 2840 2+-+0840 200=???? ??+--+ +y b a c ay y -2 x x y b a a 28402+-+0840200=??? ? ? ?+--- +y b a c ay y ． 有最后这两个一元二次方程可以解得原方程⑸的四个根． 由此可见，按这种方法要解一元四次方程⑸，得先求出一元三次方程⑻的一个根（只需求其一个根即可），再求解两个一元二次方程． 三次、四次方程的根式解十六世纪就已找到，而一般的五次方程的根式解问题直到十九世纪才得以解决．1825年，年仅22岁的挪威大学生阿贝尔(Abel N.H.,1802－1829)证明了：对于一般的高于四次的代数方程来说，如果用由方程的系数通过加、减、乘、除和开方运算构成的表达式代替方程的未知数，使方程成为恒等式是不可能的，即：一般的高于四次的代数方程没有根式解．这是一个划时代的结论，它宣告了寻找方程求根公式时代的结束．随后他便着手探讨有根式解方程的特征，以期寻求代数方程有根式解的充分必要条件，可惜他只得到了一些零星结果便与２７岁去世．此期间，拉格朗日（Lagrange j.L.,1736－1813）、柯西（Cauchy A.L.B,1789－1857）等人也对这一问题做了富有成效的研究．1829年，比阿贝尔更为年轻的法国大学生伽罗华（Galois E.,1811－1832）创立了伽罗华理论，彻底解决了代数方程的可解条件问题．伽罗华使用的方法不同于阿贝尔的方法．伽罗华使用的是一种深刻的现代化的方法--群论方法．尽管在伽罗华之前有人提出过"群"，但使"群"成为数学的一种深刻的现代化方法的是伽罗华．伽罗华理论是一种普遍性的理论，用这种理论能够推出阿贝尔曾经得到过的五次及五次以上一般的代数方程不可根式解的结论，而且能指出一些特殊方程可解的条件，这是一种比阿贝尔前进得远得多的代数理论． 1.5 整系数多项式的因式分解问题 我们知道，有理数域上多项式的因式分解问题等价于整数环上多项式的因式分解问题．对此，下边的定理是熟悉的． 定理14(Eisenstein 判别法) 设01)(a x a x a x f n n +++= 是整系数多项式，如果存在素数p ，使 1) n a p |/； 2) i a p | 1,,2,1,0-=n i ； 3) 02|a p /， 则)(x f 在有理数域不可约． 例１ 证明n s p p p 21（其中s p p p ,,,21 是互不相同的素数）是无理数． 证明 因为n n n s p p p x p p p x 2121|)(--，若n s p p p 21是有理数，则 n n p p p x 21-在有理数域可约．但是，取1p p =，利用Eisenstein 判别法可知， n n p p p x 21-在有理数域不可约，得矛盾． 能直接用定理７进行判断的多项式范围是很有限的．作为补充，下边的定理可以扩大定理７的适用范围． 定理15 在有理数域上，多项式)(x f 与)()(b ay f y g +=的可约性相同． 此定理的作用在于，当定理７用不上时，做变换b ay x +=后就可能用上定理７．需要注意的是所作的变换必须是线性的．那么，当整系数多项式)(x f 在有理数域不可约时，是否一定能找到一个变换b ay x +=（b a ,是整数），使变换后的多项式)()(b ay f y g +=能找到满足Eisenstein 判别条件的素数p 呢？下边的例子说明这是不可能的． 例２ 412)(3++=x x x f 是不可约的（因为)(x f 是三次的，所以如果它可约则必有有理根．而它的有理根只可能是4,2,1±±±，经检验它们都不是其根）．如果经变换b ay x +=后，对 )412()123(3)()(322233++++++=+=b b y a ab by a y a b ay f y g 存在满足Eisenstein 判别条件的素数p ，则有 ) 5(4 12|)4(412|)3(123|)2(3|)1(|323223++/+++/b b p b b p a ab p b a p a p 由前两式可知3|p 或者 b p |． 若3|p ，则3=p ．由(4)，412|33 ++b b ．由 )393()412(133)1(2 3 2 3 3 --+++=+++=+b b b b b b b b 可见3 )1(|3+b ，从而1|3+b ．设n b 31=+，则 )1533()1533(994527274122 3 2 2 3 2 3 3 -+-=-+-=-+-=++n n n p n n n n n n b b 可见412|3 2 ++b b p ，此与(5)矛盾． 若b p |，则b b p 12|3+，结合(4)可知4|P ,所以2=p .亦可得412|3 2++b b p 的矛盾． Eisenstein 判别法的推广． 定理16 在有理数域上，多项式 0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 与 n n n n a x a x a x a x g ++++=--1110)( 的可约性相同． 证明 令y x 1 = ，则 )(1 )(11111)(11100111y g y a y a y a y a y a y a y a y a y f x f n n n n n n n n n n =++++=++++=???? ??=---- 于是)()(y g x f y n =．同理有)()(x f y g x n =． 若)(x f 可约，设)()()(21x f x f x f =，其中()n s x f <=?)(1、()n t x f <=?)(2，则 )()()]()][([)()(2121y g y g x f y x f y x f y y g t s n === 其中()())()(1y g n s y g ?=<=?、()())()(2y g n t y g ?=<=?，故)(y g 可约． 类似地可证明若)(y g 可约，则)(x f 可约． ▋ 定理17 设01)(a x a x a x f n n +++= 是整系数多项式，如果存在素数p ，使 1) |p ；不能整除k n n n a a a --,,,1 中的一个； 2) i a p | 1,,2,1,0--=k n i ； 3) 02|a p /， 这里k 使非负整数，则)(x f 在有理数域上存在次数k n -≥的不可约因式． 注： Eisenstein 判别法就是0=k 的情况． 证明 )(x f 总可以分解为一些不可约因式的乘积．设整系数多项式 011 1)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- 是)(x f 的不可约因式，则有整系数多项式 011 1)(c x c x c x c x h l l l l ++++=-- 使)()()(x h x g x f =．可知∑=+= s j i j i s c b a ，n s ≤≤0． 因为000|c b a p =，所以0|b p 或0|c p ．由02|a p /知，p 不能同时整除0b 和0c ．不妨设0|b p 、0|c p /．但是p 不能整除所有的i b （至少m b p |/），设s b 是下标最小的一个不能被p 整除的数，即110|,,|,|-s b p b p b p 但s b p |/．考虑 s s s s s c b c b c b c b a 011110++++=-- （当l j >时，0=j c ）， 因为0|c b p s /（否则可得s b p |或0|c p ）而p 能整除上式右端其余各项，故s a p |/，因此有 k n s -≥，而s m ≥，这就证明了不可约因式)(x g 的次数k n -≥． ▋ 1.6 多项式编码方法 1. 编码问题 利用数字传递信息（数字通讯）在现代科学技术中既普遍又重要．我们当然希望所传递的数字不出任何错误，因为在许多情况下，一位数字的误差就可能导致大问题的发生．（例如地面与空间运载工具间的通讯，哪怕是一位数字的误差都可能出大事故）然而另一方面由于设备、天气、操作等方面的原因，在信息传递过程中难免出现错误．解决这一问题无非从两方面入手，第一发现错误，第二纠正错误．解决这一问题可以通过对原信息码进行适当的加工，构造一种新的码——检错码或纠错码，用检错码或纠错码进行信息传递能在很大程度上降低传输中的错误．下边分别给予说明． 用一个k 位的二进制数码表述一个信息，称为一个k 位信息码，对每个信息码附加k n -位用于检错的数字构成一个n 位数码，称为一个码词．这种码称为),(k n -码．由信息码得到码词的过程称为编码．接收者收到码词经过检错后取出信息，此过程称为译码． 最简单的检错码是奇偶性检错码．例如要发送两位二进制的信息码．可对信息码附加一位检验数字使各个数位上的数之和是偶数，这样每个码词由三位数字构成： 信息码 检验数字 码词 ０ ０ ０ ０００ ０ １ １ ０１１ １ ０ １ １０１ １ １ ０ １１０ 当接收者收到码词后，若发现三个数位上的数字之和为奇数，则此信息必有误，应重发． 注：当三个数位上的数字之和为偶数时，未必能保证信息是正确的，但错误的情况总是发生在码词中的三个数有两个同时出错时，而发生这种情况概率比一个数出错的概率要小得多（如果出错的概率是万分之一，那么连续出两个错的概率就是亿分之一），所以这样做能大大提高准确率． 最简单的纠错码是重复码，在发送时将每一位数字重复三遍以上，例如： 信息码 码词 ０ ０００ １ １１１ 接收者在收到码词后，只需检查三位数字是否相同．若不相同，表明信息有误，于是对码词进行纠错．如果是两个０一个１，则认为这一信息是０；反之，两个１一个０时，则认为这一信息是１．用重复码所需发送的码词的长度至少是信息码长度的三倍． 编码问题就是要设计更加有效而可靠的检错码和纠错码．现已有很多方法，下面介绍一种利用多项式构造的编码． 2. 多项式编码方法 现在利用多项式设计一种),(k n -检错码． 设要传送的信息码为 1210-k b b b b ，令 ][)(2112210x Z x b x b x b b x m k k ∈++++=-- 称为信息码多项式． 又设码词为 1210-n a a a a ，令 ][)(2112210x Z x a x a x a a x v n n ∈++++=-- 称为码词多项式． 注：这里2Z 是模２的剩余类环． 下面给出一种方法，将每一个信息码多项式按一定规则得到对应的码词多项式，从而把每一个信息码变为码词． 任选一个k n -次多项式][)(2x Z x p ∈作为生成多项式．用)(x p 除)(x m x k n -所得的余式 设为)(x r ，令 )()()(x m x x r x v k n -+= 就将此)(x v 作为码词多项式．容易看出)(x v 是n 次多项式，其中次数k n -≥的项组成的多项式为)(x m x k n -， 其系数就是信息码（因为)(x m x k n -的系数与)(x m 的系数相同）；而)(x v 中次数k n -<的项组成的多项式为)(x r ，其系数就是检验数字．此码词多项式能够被)(x p 整除，我们就是利用这个性质来检验收到的信息是否有误． 对每一个信息码通过以上计算求得对应的码词．接收者收到码词后，先写出收到的码词多项式)(x v ，然后检验)(x p 能否整除)(x v ，若)()(x v x p ，则此信息无误，否则信息有误． 例１ 设生成多项式为3 1)(x x x p ++=，编出所有的)3,6(-码． 解 ３位信息码共有八个：０００，１００，０１０，００１，１１０，１０１，０１１，１１１．以１０１为例构造码词． 信息码１０１对应的信息码多项式为)(x m ＝2 1x +，)(3 x m x ＝5 3 x x +．用 一.遥感图象的几何纠正 步骤: 1.打开View # 1、View # 2； 2.点主菜单Session / Tile Viewers； 3.点主菜单的最小化； 4.在View # 1 中装未纠正影像Wt87_sub2.img: File / Open /Raster layer...(柵格层)/选路径D:\Wt87_sub2.img /Raster Options / Red:1,Green:2,Blue:3 /OK 或者:点快捷键 / Wt87_sub2.img / Raster Options / Red:1,Green:2,Blue:3/OK； 5.在View # 2 中装已纠正的影像Ws87_rs.img: 点快捷键 / Ws87_rs.img /Raster Options / Red:1,Green:2,Blue:3 /OK； 6.在未纠正影像Wt87_sub2.img 窗口点Raster / Geometric Correction (地面控制点编辑器)； 7.点Polynomial (多项式) /OK； 8.用缺省值一次项系数计算,点Close； 9．用缺省项：O E xisting Viewer / OK； 10.在已经纠正好的影像Ws87_rs.img 的窗口里任意一个地方点一下左键； 11.出现已纠正的影像Ws87_rs.img 的信息: Projection (地图投影为) UTM Spheroid (椭球体参数) Krasovsky UTM (武汉幅带号) 50 点OK； 12.对照未纠正影像和已纠正影像找同名控制点； 用一次项系数计算，至少找四个控制点，为了便于剔除粗差较大的点及检查，可选 7-8 个控制点，要求控制点均匀分布，最好布在图廓四周，中间内插几个点，总的中误差控制在1个像元内，满足精度要求后做下一步重采样； 13.点最上方GeoCorrection Tools对话框中的 14. a.选路径D:\给输出文件名 b.重采样方法: 邻元法 双线性内插任选一种 双三次卷积 15.在Output Cell Sizes处修改重采样像元大小，TM影像每个像素为30米； 16.点OK.； 17.在主菜单中打开Viewer窗口Viewer # 3； 18.在Viewer # 3 中装入你已纠正好的影像与原始影像(未纠正和已纠正的)进行比较，看沙湖的 铁路线是否已纠正为正北向了。方法如下: a、在加入矫正后影像与参考影像时，在raster operation窗口中要取消clear display复 选框的勾选状态，如下图 初中数学-多项式乘以多项式练习 一、选择题 计算(2a－3b)(2a＋3b)的正确结果是( ) A．4a2＋9b2 B．4a2－9b2 C．4a2＋12ab＋9b2 D．4a2－12ab＋9b2 若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为( ) A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a 计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是( ) A．(2x－3y)2 B．(2x＋3y)2 C．8x3－27y3 D．8x3＋27y3 (x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则( ) A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确定 若0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是( ) A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定计算(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)的正确结果是( ) A．2(a2＋2) B．2(a2－2) C．2a3 D．2a6 方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是( ) A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝40 若2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为( ) A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1 C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝2 若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋d)，则ac＋bd等于( ) A．36 B．15 C．19 D．21 (x＋1)(x－1)与(x4＋x2＋1)的积是( ) A．x6＋1 B．x6＋2x3＋1 C．x6－1 D．x6－2x3＋1 二、填空题 (3x－1)(4x＋5)＝_________． (－4x－y)(－5x＋2y)＝__________． (x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________． (y－1)(y－2)(y－3)＝__________． 多项式乘多项式试题精选（二） 一．填空题（共13 小题） 1．如图，正方形卡片 A 类、 B 类和长方形卡片 则需要 C 类卡片_________张． C 类各若干张，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，2．（ x+3）与（2x﹣ m）的积中不含x 的一次项，则m=_________ ． 3．若（x+p）（ x+q）=x2+mx+24， p，q 为整数，则m的值等 于 _________ ． 4．如图，已知正方形卡片长方形，则需要 A 类卡片A 类、 B 类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为（a+2b）、宽为（ _________ 张， B 类卡片_________张，C类卡片_________张． a+b）的大 5．计算： 2 3 （﹣ p）? （﹣ p）= _________ ；= _________ ；2xy?（_________ 2 ）=﹣ 6x yz ；（ 5﹣ a）（ 6+a）= _________ ． 6．计算（ x2﹣ 3x+1）（ mx+8）的结果中不含x2项，则常数m的值为_________． 7．如图是三种不同类型的地砖，若现有A 类4 块，B 类 2 块，C类 1 块，若要拼成一个正方形到还 需 B类地 砖 _________ 块． 8．若（ x+5）（ x﹣ 7） =x2 +mx+n，则 m= _________ ，n= _________ ． 9．（ x+a）（x+）的计算结果不含 x 项，则 a 的值是_________ ． 10．一块长 m米，宽 n 米的地毯，长、宽各裁掉 2 米后，恰好能铺盖一间房间地面，问房间地面的面积是_________ 平方米． 11．若（ x+m）（ x+n） =x2﹣ 7x+mn，则﹣ m﹣ n 的值为_________ ． 2 2 3 2 _________ ． 12．若（ x +mx+8）（ x ﹣ 3x+n）的展开式中不含x 和 x 项，则 mn的值是 2 2 3 的值为 _________ ． 13．已知 x、 y、 a 都是实数，且 |x|=1 ﹣ a， y =（ 1﹣ a）（a﹣ 1﹣ a ），则 x+y+a +1 二．解答题（共17 小题） 14．若（ x2+2nx+3）（ x2﹣ 5x+m）中不含奇次项，求m、 n 的值． 15．化简下列各式： （1）（ 3x+2y ）（ 9x 2﹣ 6xy+4y 2）； 2 （2）（ 2x﹣3）（ 4x +6xy+9）； （3）（ m﹣）（ m2+m+）； 教学过程设计 (-x+3) 中的每一项，计算可得：-2x2+6x+x-3 ． 例 1 计算： (1)(x+2y)(5a+3b)； (2)(2x-3)(x+4)； (3)(x+y)2； (4)(x+y)(x2-xy+y2) 解：(1)(x+2y)(5a+3b) ＝x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b ＝5ax+3bx+10ay+6by； (2)(2x-3)(x+4) =2x2+8x-3x-12 =2x2+5x-12 (3)(x+y)2 =(x+y)(x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2； (4)(x+y)(x2-xy+y2) =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 =x3+y3 结合例题讲解，提醒学生在解题时要注意：(1)解题书写和格式的规范性；(2)注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果；(3)注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏 三、课堂训练 1．计算： (1)(m+n)(x+y)； 教学程序及教学内容 (2)(x-2z)2； (3)(2x+y)(x-y) 2．选择题： (2a+3)(2a-3)的计算结果是( ) (A)4a2+12a-9 (B)4a2+6a-9 (C)4a2-9 (D)2a2-9 3．判断题： (1)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc； ( ) (2)(a+b)(c+d)=ac+ad+ac+bd； ( ) (3)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd； ( ) (4)(a-b)(c-d)=ac+ad+bc-ad( ) 4．长方形的长是(2a+1)，宽是(a+b)，求长方形的面积。 5．计算： (1)(xy-z)(2xy+z)； (2)(10x3-5y2)(10x3+5y2) 6．计算： (1)(3a-2)(a-1)+(a+1)(a+2)； (2)(3x+2)(3x-2)(9x2+4) 四、小结归纳 启发引导学生归纳本节所学的内容： 1．多项式的乘法法则： (a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn 2．解题(计算)步骤(略)。 3．解题(计算)应注意：(1)不重复、不遗漏；(2)符号问题。五、作业设计注意根据信息反馈，及时提醒学生正确运用多项式的乘法法则，注意例题讲解时总结的三条。 学生应用：多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 学生认真计算，教师订正。 学生回答，教师点评。 标准CRC生成多项式如下表： 名称生成多项式简记式* 标准引用 CRC-4 x4+x+1 3 ITU G.704 CRC-8 x8+x5+x4+1 0x31 CRC-8 x8+x2+x1+1 0x07 CRC-8 x8+x6+x4+x3+x2+x1 0x5E CRC-12 x12+x11+x3+x+1 80F CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLC CRC16-CCITT x16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS CRC-32 x32+x26+x23+...+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS CRC-32c x32+x28+x27+...+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP 生成多项式的最高位固定的1，故在简记式中忽略最高位1了，如0x1021实际是0x11021。 I、基本算法（人工笔算）： 以CRC16-CCITT为例进行说明，CRC校验码为16位，生成多项式17位。假如数据流为4字节：BYTE[3]、BYTE[2]、BYTE[1]、BYTE[0]； 数据流左移16位，相当于扩大256×256倍，再除以生成多项式0x11021，做不借位的除法运算（相当于按位异或），所得的余数就是CRC校验码。 发送时的数据流为6字节：BYTE[3]、BYTE[2]、BYTE[1]、BYTE[0]、CRC[1]、CRC[0]； II、计算机算法1（比特型算法）： 1)将扩大后的数据流（6字节）高16位（BYTE[3]、BYTE[2]）放入一个长度为16的寄存器； 2)如果寄存器的首位为1，将寄存器左移1位(寄存器的最低位从下一个字节获得)，再与生成多项式的简记式异或； 否则仅将寄存器左移1位(寄存器的最低位从下一个字节获得)； 3)重复第2步，直到数据流（6字节）全部移入寄存器； 4)寄存器中的值则为CRC校验码CRC[1]、CRC[0]。 第 19卷第 2期宁波大学学报(理工版 V ol.19 No.2 2006年 6月 JOURNAL OF NINGBO UNIVERSITY ( NSEE June 2006 文章编号 :1001-5132(2006 02-0193-03 三次正多项式 p -不可约的充要条件 解烈军 (宁波大学理学院 , 浙江宁波 315211 摘要:通过对所有可能正分解的详细讨论,给出了三次正多项式 p -不可约的显式充要条件, 该条件为由三次正多项式的系数构成的一个简单不等式 . 本文使用的主要工具是笛卡尔符号法则的推论和多项式完全判别系统相关结论等 . 关键字:正多项式; p -不可约;充要条件 中图分类号:O151.1 文献标识码:A 在许多生理过程中都包含所谓的“蛋白质-配位体的键合(protein-ligand binding ”过程 . 在众多的用于描述和解释这个过程的数学模型中, Wyman J [1]引入了键合多项式(binding polyno- mial这个基本工具 . 在生物化学领域,这样的一个事实是熟知的:如果某个大分子的键合多项式是 p -不可约的, 则其所有键合位点组成“联动结构” (linkage , 即配位体在一个位点的键合会加速或抑制其他位点的键合过程 . 反之,如果对应的键合多项式有正分解,则其位点可以分解成若干独立的组,不同组的位点互不影响 . 这样,一个大分子的诸键合位点是否联动的问题就归结为其键合多项式是否有正分解,即是否为 p -不可约的问题, 而键合多项式都是正多项式 . 所以,由一个正多项式的系数直接给出其 p -不可约的充要条件,就显得非常重要 . 关于这个问题,已有不少学者进行了讨论 [1-3]. 但是研究的多项式都是四次正多项式 . 显然,不能将这些结论简单地移植到三次正多项式,相对于四次,讨论三次正多 系统稳定性意义以及稳定性的几种定义 一、引言： 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。 （1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。 （2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。） （3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。 实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可以当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，从而使线性微分方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。 闭区间上连续函数的Weierstrass 三角多项式逼近与多项式逼近 一、按下面的步骤探索闭区间上连续函数的Weierstrass 三角多项式逼近 1、三角多项式函数 形如 ()01 ()cos sin 2n n k k k A T x A kx B kx ==++∑， 的函数称为以2π为周期的三角多项式函数； 形如 01()cos ()sin ()2n n k k k A k k T x a A x a B x a b a b a b a πππ=???? -=+-+- ? ?---???? ∑， 的函数称为以2()b a -为周期的三角多项式函数。 2、傅里叶级数的一致收敛性 设()f x 是以2π为周期的连续函数（或()f x 是[,]ππ-上的连续函数，且()()f f ππ-=），且在[,]ππ-上按段光滑，则()f x 的傅里叶级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑， 在(,)-∞+∞（或[,]ππ-）上一致收敛于()f x ，其中， 01 ()d a f x x π π π- = ?，1 ()cos d n a f x nx x π π π- = ?，1 ()sin d n b f x nx x π π π- = ?， （1,2,n =L ）。 提示：首先，导出()f x 与()f x '的傅里叶系数的如下关系：记0A ，n A ，n B （1,2,n =L ）为()f x '的傅里叶系数，则注意到()()f f ππ-=可得， []01 1 1 ()d () ()()0A f x x f x f f π ππ π πππ π π -- '== = --=?， ()1 1()cos d ()cos ()sin d n n A f x nx x f x nx n f x nx x nb π ππ ππ ππ π-- -??'== +=? ?????， ()1 1()sin d ()sin ()cos d n n B f x nx x f x nx n f x nx x na π ππππ ππ π-- -??'= =-=-? ?????。 其次，注意到， 2 2111()2n n n b A A n n = ≤+，22111()2n n n a B B n n =-≤+， 以及贝塞尔不等式 ()2222011()d 2n n n A A B f x x πππ ∞ -=??'++≤????∑?， 推出 ()1 n n n a b ∞ =+∑收敛。 最后，利用傅里叶级数的收敛定理和优级数判别法可得，()f x 的傅里叶级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑， 在(,)-∞+∞上一致收敛于()f x 。 3、以2π为周期的连续函数的三角多项式逼近 设()f x 是以2π为周期的连续函数，则对任意0ε>，存在以2π为周期的三角多项式函数 ()n T x ，使得，对任意(,)x ∈-∞+∞，有 ()()n f x T x ε-<。 提示：由周期函数的特点，只须在[,]ππ-探索上述结论； 首先，注意到()f x 在[,]ππ-上连续，可得()f x 在[,]ππ-上一致连续，且 ()()f f ππ-=， 从而导出：对任意0ε>，存在[,]ππ-上连续的折线函数L()x ，使得， 2017-2018学年度9.3多项式乘多项式练习（较难） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．计算()322323a a a a a -+?-÷的结果为（ ） A. 52a a - B. C. 5a D. 6a 2．如果（x 2+ax +8）（x ﹣3x +b ）展开式中不含x 3项，则a 的值为【 】 A. a = 3 B. a =﹣3 C. a = 0 D. a = 1 3．如图，有长方形面积的四种表示法： ①()()++m n a b ②()()+++m a b n a b ③()()++a m n b m n + ④ma mb na nb +++其中（ ） A. 只有①正确 B. 只有④正确 C. 有①④正确 D. 四个都正确 4．若把多项2x 6x m +-因式后含有因式2x -，则m 为( ) A. －1 B. 1 C. 1± D. 3 5．如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x ，y x >y 表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ） A.x +y =7 B.x ?y =2 C.x 2+y 2=25 D.4xy +4=49 二、解答题 6．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释()2 222a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． （1）图B 可以解释的代数恒等式是 ； （2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．． 一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保 留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对 2223a ab b ++进行因式分解． 7．先化简，再求值： ()()()22a b a b b a b -+++，其中 2a =， 1b =- 8．先化简，再求值：（2x+1）（2x ﹣1）﹣（x+1）（3x ﹣2），其中 9．将4个数a b c d 排成两行，两列，，ad ﹣bc ．上述记号叫做2．求x 的值． 10．已知（x 2+px+8）与（x 2﹣3x+q ）的乘积中不含x 3和x 2项，求p 、q 的值． 11．学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题. 图1 图2 (1)如图1是由边长分别为a ，b 的正方形和长为a 、宽为b 的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：(a ＋2b)(a ＋b)＝ ； (2)①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a ＋b ＋c 的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 ； ②已知a ＋b ＋c ＝11，ab ＋bc ＋ac ＝38，利用①中所得到的等式，求代数式a 2＋b 2＋c 2的值. 12．(1)填空： (a －b )(a ＋b )＝________； (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝________； (a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝________； (2)猜想： 14. 1. 4整式的乘法 多项式乘以多项式 教学目标： 知识与技能：经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。 过程与方法：在探索过程中，体会知识间的联系。 情感价值观：培养学生的分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯。教学重点：多项式与多项式相乘的运算法则的探索。 教学难点：灵活运用法则进行计算和化简。 教学方法:创设情境-主体探究-合作交流-应用提高。 媒体资源：多媒体投影 教学过程： 一、课前练习 师：前面我们学习了整式的乘法，快速做一做，看看你掌握的怎样？ 计算：(1) -2x2 3xy2(2) -2x(1 - x) . 2 2 4 (3)x 4x x (4)(4x x-1) 9x 生：交流答案 师：同学们看这道题怎样做？(a+b)(p+q)和我们以前所学的有何不同？生：现在是多项式乘多项式 师：那多项式乘多项式如何去计算呢？这节课我们一起来探究吧！ 二、探求新知 创设情景引入新课： 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米、宽p米的长方形绿地，增长了 b米，加宽了q米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ q f- 你能用不同的方法表示此长方形的面积吗? 计算方法一：是先计算大长方形的长和宽，然后利用长乘以宽得出大长方 形的面积，即(a+b) (p+q) 计算方法二：先分别求出四个长方形的面积，再求它们的和, 2 即(ap+aq+bp+bq 米 两种计算结果表示的是同一个量， 因此(a+b) (p+q)= ap+aq+bp+bq. 引导学生把其中一个因式a b看作一个整体，再利用乘法分配律来理(p+q) 与(a+b)相乘的结果，从而导出多项式与多项式相乘的法则。 三、归纳、小结多项式乘法法则 (1)文字叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个 多项式的每一项，再把所得的积相加 (2)用字母表示 法则的形成是本节课的重点之一。在学生归纳法则的过程中，结合学生讨论的情况，播放法则的形成动画，并在此过程中进行启发讲解，让学生明白两个“每一项”的含义。 4.3 多项式的整除性 教学内容：4.3多项式的整除性 教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。理解和掌握带余除法。 授课时数：2学时 教学重点：多项式整除的概念及基本性质 教学难点：带余除法定理及证明（定理4.3.1及证明） 教学过程： 在][x F 中除法不是永远可以实施的，因此多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。 一、多项式整除的概念及性质 1. 定义 定义 1 设][)(),(x F x g x f ∈.如果存在][)(x F x h ∈,使得)()()(x h x f x g =,则称)(x f 整除（能除尽）)(x g ,记作)(|)(x g x f 。此时说)(x f 是)(x g 的因式，)(x g 是) (x f 的倍式。如果满足条件的)(x h 不存在，即对任意)()()(],[)(x h x f x g x F x h ≠∈,则称)(x f 不能整除)(x g , 记作()|()f x g x . 由定义1知：1?0|)(],[)(x f x F x f ∈?;特别地，0|0. 2?)(|,x f c F c ∈?. 3?,c d F ?∈,0≠c ，有d c |.如2|0。 4?高次多项式不能整除低次多项式。 课堂思考题：1）能整除任何多项式的多项式是什么？ 2）能被任何多项式整除的多项式是什么？ 2. 整除的基本性质 我们可以将整数的整除性质平移过来 1） 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ,则)(|)(x h x f ; 2） 若)(|)(),(|)(x g x h x f x h ,则))()((|)(x g x f x h ±; 3） 若)(|)(x f x h ,则对任意)(x g ,有)()(|)(x g x f x h ； 4） 若)(x h |i f )(x ,()(),1,2,3,,,i c x F x i n ?∈= 则 | )(x h ∑=n i i i x f x c 1 )()(； (整除倍式和) 5） 对任一多项式(),()|(),|()(0,)f x cf x f x c f x c c F ≠∈; 6） 若),(|)(),(|)(x f x g x g x f ,则存在0,≠∈c F c ,使)()(x cg x f =. 二.带余除法 ⒈ 实例（中学中的多项式除多项式） 例2 3 2 2 ()26,()1f x x x x g x x x =+++=++，求()g x 除()f x 所得商式()q x 及余式()r x 。 由中学的知识，得121()()(),()()()()1f x f x g x x r x f x f x g x =-?==-?， ()()()()1()(1)()f x g x x r x g x g x x r x =++=++。故()1,()5q x x r x x =+=-+， (())(())r x g x ?? 初中数学-多项式乘多项式练习 ◆随堂检测 1、多项式与多项式相乘，现用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积 。 2、计算：=-?+)5()3(x x 。 3、)3)(3(+-ab ab 的计算结果是 。 ◆典例分析 例题：将一多项式[(17x 2-3x +4)-(ax 2 +bx +c )]，除以(5x +6)后，得商式为(2x +1)，余式为0。求a -b -c =？ A ．3 B ．23 C ．25 D ．29 分析：①被除数=除数?商，②两个多项式相等即同类项的系数相等 解：∵ 6171016261525)12()65(2++=?+?+?+?=+?+x x x x x x x x ∵[(17x 2-3x +4)-(ax 2+bx +c )]=)4()3()17(2c x b x a -+--+- ∴=++617102x x )4()3()17(2c x b x a -+--+- ∴?????=-=--=-641731017c b a 得?????-=-==2 207 c b a ∴29)2()20(7=----=--c b a 故选D ◆课下作业 ●拓展提高 1、若b x x x a x +-=+?+5)2()(2，求a ，b 的值。 2、若()()4-+x a x 的积中不含x 的一次项，求a 的值。 3、若()()53--=x x M ，()()62--=x x N ，试比较M ,N 的大小。 4、计算： )2)(1()3)(3(---++x x x x 5、已知2514x x -=，求()()()2 12111x x x ---++的值 ●体验中考 1、（福州）化简：（x －y ）（x+y ）+（x －y ）+（x+y ）. 2、(宁夏)已知：32 a b += ，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 参考答案： §1-5多项式的因式分解定理 多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分？ 平凡因式： 零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积 Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的. 如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =， 的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数. 反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f 有 非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约. 由不可约多项式的定义可知： 任何一次多项式都是不可约多项式的. 不可约多项式的重要性质： 一个多项式是否不可约是依赖于系数域； 1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约. 2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x). 3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除. Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个. 证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法 当s=1时,显然成立; 8.2 整式乘法（多项式乘以多项式） 教学目标：经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算． 教学重点：多项式与多项式相乘的运算法则的探索 教学难点：灵活运用法则进行计算和化简． 教学过程： 一．复习旧知 讲评作业二．创设情景，引 入新课 （课本）如图，为了扩大街 心花园的绿地面积，把一块原长 a 米、宽m 米的长方形绿地，增长了 b 米，加宽了n 米．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ 一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积，再求它们的和，即（am+an+bm+bn ）米2． 另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽，然后利用长乘以宽得出大长方形的面积，即（a +b ）（m ＋n ）米2． 由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此 （a +b ）（m ＋n ）= am+an+bm+bn ． 教师根据学生讨论情况适当提醒和启发，然后对讨论结果（a +b ）（m ＋n ）=am+an+bm+bn 进行分析，可以把m ＋n 看做一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得 m n a b ｂｎ ｂｍ a ｍ a ｎ （a +b）（m＋n）＝a（m＋n）＋b（m＋n），再利用单项式与多项式相乘的法则，得 a（m＋n）＋b（m＋n）= am+an+bm+bn． 学生归纳：多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 三、应用提高、拓展创新 例：计算 （1）（3x+1）(x+2) ; (2) (x －8y)(x－y) ; (3) (x+y)(x2－xy+y2) 进行运算时应注意：不漏不重，符号问题，合并同类项 练习：（课本）64页1 补充例题： 1.(a+b)(a－b)－(a+2b)(a－b) 2.(3x4－3x2+1)(x4+x2－2) 3.(x－1)(x+1)(x2+1) 4.当a=-1/2时，求代数式(2a－b)(2a+b)+(2a－b)(b－4a)+2b(b－3a) 的值 四．归纳总结，布置作业 课本64页2、3 P66 -10 教案 用多项式逼近连续函数 教学内容 介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义： 定义10.5.1设函数f (x)在闭区间[a, b] 上有定义，如果存在多项式序列｛P n (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。 应用分析语言，“f (x)在[a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。 定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理) 设f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切x∈[a, b] 成立。 证不失一般性，我们设[a, b] 为[0, 1] 。 设X是[0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射 B n : X →Y f (t) B n (f , x) = ∑ = -- n k k n k k n x x n k f ) 1( C ) (， 这里B n (f , x) 表示f ∈X在映射B n 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。 关于映射B n，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式： (1) B n是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立 B n (αf +βg, x) = αB n (f , x) +βB n (g, x)； (2) B n 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]）成立， 9.3 多项式乘多项式 一．选择题（共5小题） 1．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 2．若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4 3．设M＝（x﹣3）（x﹣7），N＝（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定 4．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（） A．2，3，7 B．3，7，2 C．2，5，3 D．2，5，7 5．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（） A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．3 二．填空题（共3小题） 6．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片张． 7．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张． 8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图． 如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是． （2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片张，3号卡片张． 三．解答题（共10小题） 9．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项， （1）求p、q的值； （2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值． 10．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（x m+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数． 11．观察下列各式 （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 … ①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝． ②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝． ③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果． 12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法． （1）分别化简下列各式： （x﹣1）（x+1）＝； （x﹣1）（x2+x+1）＝； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝； 整式乘法：多项式乘多项式习题（4） 一、选择题 1.计算(2a－3b)(2a＋3b)的正确结果是() A．4a2＋9b2B．4a2－9b2C．4a2＋12ab＋9b2D．4a2－12ab＋9b2 2.若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为() A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a 3.计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是() A．(2x－3y)2B．(2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y3 4.(x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则() A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确定 5.若0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是() A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定6.计算(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)的正确结果是() A．2(a2＋2)B．2(a2－2)C．2a3D．2a6 7.方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是() 8.A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝40 9.若2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为() A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1 C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝2 10.若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋b)，则ac＋bd等于() A．36 B．15 C．19 D．21 11.(x＋1)(x－1)与(x4＋x2＋1)的积是() A．x6＋1 B．x6＋2x3＋1 C．x6－1 D．x6－2x3＋1 二、填空题 1.(3x－1)(4x＋5)＝__________． 2.(－4x－y)(－5x＋2y)＝__________． 3.(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________． 4.(y－1)(y－2)(y－3)＝__________． 5.(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是__________． 3．多项式与多项式相乘 一、选择题 1.计算(2a－3b)(2a＋3b)的正确结果是() A．4a2＋9b2B．4a2－9b2C．4a2＋12ab＋9b2D．4a2－12ab＋9b2 2.若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为() A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a 3.计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是() A．(2x－3y)2B．(2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y3 4.(x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则() A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确定 5.若0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是() A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定 6.计算(a2＋2)(a4－2a2＋4)＋(a2－2)(a4＋2a2＋4)的正确结果是() A．2(a2＋2)B．2(a2－2)C．2a3D．2a6 7.方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是() A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝40 8.若2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为() A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1 C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝2 9.若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋b)，则ac＋bd等于() A．36 B．15 C．19 D．21 10.(x＋1)(x－1)与(x4＋x2＋1)的积是() A．x6＋1 B．x6＋2x3＋1 C．x6－1 D．x6－2x3＋1 二、填空题 1.(3x－1)(4x＋5)＝__________． 2.(－4x－y)(－5x＋2y)＝__________． 3.(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________． 4.(y－1)(y－2)(y－3)＝__________．多项式校正
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