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易拉罐形状和尺寸的最优设计说明

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读“对论文格式的统一要求”）

C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：

1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

易拉罐形状和尺寸的最优设计

摘要

本题在建立数学模型的基础上，用LINGO 实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。

在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比（为圆柱的高，为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的倍

b 时，最优设计方案为61:：

=H R 。在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO 软件对模型进行分析，得出当(为圆台的高，为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO 对其进行分析，得出，时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。

在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，86.693.3075.h 2.2r ====H R ，，，时，可以得到优于现实中易拉的设计方案。

关键词：最优设计体积结构材料最省 lingo

一、问题的提出

随着社会的变化，大量的瓶装灌装饮料应运而生，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、

啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

测量各个品牌间不同的易拉罐的高度、直径、厚度等，利用所得到的数据来验证易拉罐的最优设计。需要使用什么样的方法才能验证易拉罐的最优设计呢？易拉罐的实际尺寸是否有要求、有什么样的要求呢？在已有的数据基础上我们能不能自己设计易拉罐的形状和尺寸的的最优化呢？

二、分析问题

对于问题一的分析：问题一测量易拉罐的具体数值，没有问题。只需注意易拉罐的多样化就好。

对于问题二：在假设最优化条件为保证容积的情况之下，使易拉罐所需材料最省，也就是所需材料的表面积最小。在表面积最小时，设圆柱的体积V为常数，求半径r与高度h的比值，如果能求出一定比例，就能找到模型的最优设计。在建立模型之前我们需要考虑易拉罐的材料和材料的受力情况。

对于问题三：本设计要在保证容积最优化的情况之下，使易拉罐所需的材料最省。由于易拉罐的外形不是纯正的圆柱体，所以在建模之时要对模型作出假设。假设易拉罐的上半部分是一个正圆台，下半部分是一个正圆柱体。然后考虑易拉罐的厚度，在厚度一致时，利用lingo软件，计算出模型的最优解；通过观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的3倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、顶盖厚度为a，其余部分为b，且a：b=3:1,体积V=355ml时，同时利用lingo软件，计算出模型的最优解。

对于问题四：自己设计易拉罐的形状和尺寸，在节省材料的情况之下还需要易拉罐自身的承重、外观的美观、实用性等等。易拉罐在设计为圆锥时是最省材料的，但不实用，所以需要将易拉罐设计为圆柱、圆台的结合体，考虑拉环等因素，顶端与顶端要有所侧重。

对于问题五：表达自己的直观感受以及对模型的理解即可。

三、模型假设

（1）、易拉罐顶盖、底盖厚度为a 3，其它部分厚度为a （2）、易拉罐是正圆柱体（3）、易拉罐整体厚度均相同（4）、易拉罐的上部分是一个圆台，下半部分是一个正圆柱体（5）、易拉罐整体厚度相同（6）、ml V 335

五、模型的建立与求解

问题一的模型解：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。数据测量如表一所示：

问题二的模型：

（一）、设易拉罐半径为R ，高为H ，厚度为a, 体积V ，其中r 和h 是自变量，所用材料的面积S 是因变量，而V 是固定参数，则S 和V 分别为：

322222,2242*)(*)(2R V

H H R V Ha HRa a R a aR H

R H a R a a R S ππππππππππ==++++=-+++=

设

V H R H R H R g -==2

2),(ππ 模型的建立：

0),(0

,0),(min =>>H R g H R h r S

其中S 是目标函数，0),(=H R g 是约束，V 是已知的，即要在体积一定的条件下求S 的最小值时，r 和h 的取值是多少

模型求解

因为按照实际测量数据可知a r ，所以带2a ，3

a 的项可以忽略，且

2R V H π=

，则有R aV aR R H R S 22))(,(2

=π

求))(,(r h r S 的最小值，令其导数为零，即0))(,('=R H R S ,解得临界点为

2πV

R =,则

V V H 22*2)

2(32

3===

πππ

因为

44)("R aV a R S +

=π,则012)2("3>=ππa V S ,所以当2:1:=H R 时，是

S 最优解

模型结论

在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均相同的条件下，当体积为固定参数，而表面积求导，得到高是半径的两倍，2:1:=h r ，此时，模型最优。

（二）易拉罐顶盖、底盖厚度不同时的最优设计模型

2、确定变量和参数：设；饮料半径为R ，高为H ，体积为V ，易拉罐顶盖、底盖厚度为a ，其它部分厚度为b 。其中r 和h 是自变量，所以材料的体积S 是因变量，而a ，b ，c 和V 是固定参数。则S 和V 分别为：

H R H a R a a R S 2

22*)(3*)(2πππ-+++=

H a RaH a R a R a 2

32226126πππππ++++=

H R V 2

π=,2R V

H π=

设

V H R H R g x x V -==2

2),()2()(ππ 模型建立：

),(min H R S 0,0>>H R 0),(=H R g

其中S 是目标函数，0),(=H R g 是约束条件，厚度比例与V 是已知的，即要在体积V 一定的条件下求r 和h 的取值是多少时体积S 最小模型求解

因为按照实际测量数据可知a R ,所以带3

2a a ，的项可以忽略，且

2R V H π=

,则 22

26R aV R a S ππ+

=，求))(,(r h r S 的最小值，令其导数为零，即

0))(,('=R H R S ,解得临界点为：

,6πV

R =则

R V

V V H 62*663

3==???

? ??=

ππ

因为,412)(''3R aV a R S +=π则0

486''3>=????

??ππa V S ，因此当R H 6=时，S 为最优

解。观察模型（一）与模型（二），可见当厚度不同时，半径与高的比

例不同，似乎有一定联系，因此我们假设顶与底盖的厚度为ab ，壁的厚度为a ，其中b 为比例系数，则

3222222242*)(*)(2Ha HRa b a bR a abR H

R H a R ba a R S ππππππππ++++=-+++=

因为按照实际测量数据所可知a R ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且

2R V H π=

,则有 R aV abR S 222

=π求))(,(r h r S 的最小值，令其导数为零，即0))(,('=R H R S ,解得临界点的值为2bR,S 为最优解。

易拉罐的设计

易拉罐形状和尺寸的最优设计一．问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸 4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。二、问题分析在易拉罐设计的实际情况中，问题分析在易拉罐设计的实际情况中，我们必须保证罐内的体积大于饮料的净含量(我们通常饮料的净含量为355ml而它实际的体积大约为365ml），同时考虑饮料对罐体各部分的应力，需确定罐盖、罐底和罐壁的厚度，在此情况下的最优是使得容积一定时，所用的材料最省(我们用所用材料的体积来衡量）。

在问题一中对于各个部分的数据可以直接测量测量如下数据如下表：罐高123.7 罐柱内径61.29 上圆台高13.5 下圆台高7.7 罐盖内径58.17 罐底厚度0.29 罐盖厚度0.29 罐底拱高10.11 圆柱体高102.5 罐壁厚度0.135 问题二是对正圆柱体的易拉罐在容积一定时，以半径和高之比为衡量最优设计的标准；问题三中，对比问题一中所测的数据，发现易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的2倍，因此我们在解决此问题是可以假设罐盖、罐底的两倍，再利用规划方法所求得的数据与测量数据进行比较，以及观察市场上正规厂家生产的碳酸和非碳酸饮料易拉罐的异同之处，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优模型。三、模型假设（1）、根据薄壁圆筒的应力分析，假设易拉罐罐盖﹑罐底的厚度是罐壁的两倍；（2）、易拉罐的各接口处的材料忽略不计；（3）、易拉罐各部分所用的材料相同；（4）、单位体积材料的价格一定；

全国数学建模竞赛易拉罐形状和尺寸的最优设计模型全国一等奖

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 (2006年获全国一等奖) 摘要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，mm R 58.30=与市场上净含量为355ml 的测得的数据基本接近。模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml 进行验算，算得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高之和约为直径的两倍。模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理，设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为，建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。关键词：优化模型易拉罐非线性规划正圆柱正圆台一、问题重述销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义下的最优设计，而不是偶然。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱。什么是它的最优设计其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么图1 是数学建模、它的关键步骤，以及难点。二、问题分析

2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.

易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2 R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6 R H=时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2 =。 R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24 +==(h为 H h R r 圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5 r→时 H h R +≈，0 材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。 r h R H 2.2,0.75, 3.93, 6.86 最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。

易拉罐形状和尺寸的最优设计

淮海工学院毕业论文题目：易拉罐形状和尺寸的最优设计作者：吴杰学号：0903102228 系(院)：数理科学系专业班级：信息与计算科学032 指导者：谭飞（高等数学教研室主任）评阅者： 2007年5月连云港

毕业论文中文摘要

毕业论文文摘要

目录 1 引言 (1) 1．1易拉罐的发展和前景 (1) 1．2 实际调研 (2) 1.3基本设计方案 (2) 2可口可乐易拉罐的优化设计 (3) 2．1模型的假设 (4) 2．2数据测量 (4) 2.3符号说明 (5) 2．4 模型的建立与求解 (5) 2．4．1 模型一的建立与求解 (5) 2．4．2 模型二的建立与求解 (7) 2．4．3 模型三的建立与求解 (9) 2．5 模型的评价与推广 (11) 结论 (13) 致谢 (14) 参考文献 (15) 图1 罐体主要尺寸图 (4) 图2 圆柱罐体剖面图 (5) 图3 柱台罐体剖面图 (7) 图 4 罐体受压性能图 (10) 表 1 罐体主要尺寸 (4) 表 2 罐体物理性能 (10)

1 引言 1．1易拉罐的发展和前景铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。1963 年，易拉罐在美国得以发明，它继承了以往罐形的造型设计特点，在顶部设计了易拉环。这是一次开启方式的革命，给人们带来了极大的方便和享受，因而很快得到普遍应用。到了1980年，欧美市场基本上全都采用了这种铝罐作为啤酒和碳酸饮料的包装形式。经过30多年来的发展已在全球形成庞大的生产规模，供求关系已出现严重的失衡。即使是易拉罐技术发展最快，消费水平最高的美国，近年来罐厂生产能力的提高比消费需求增长快，生产能力年增2%，而需求量年增1%，同样出现年生产能力超过需求10亿只的局面。随着设计和生产技术的进步，铝罐趋向轻量化，从最初的60克降到了1970年的21～15克左右。国内的易拉罐业始于80年代，当时年产仅24亿只，随着原罐厂进行重大技术改造的完成以及国外罐业投资者的资本输入，到目前全国易拉罐年生产能力超过100亿只。近年来，我国铝质易拉罐产量逐年增长，年消耗量约为60～70亿只。据业内专家预测，到2010年，全国易拉罐用铝将达到29万吨。据中国饮料协会预测，到2010年，碳酸饮料产量将达到800万吨，如果罐装率按20％计算，易拉罐用量将达到124亿只。尽管国内易拉罐需求量逐年上升，但供求关系严重失衡已是不可回避的事实。为了生存，罐厂每年都出现“内耗”式的压价销售，这一方面导致罐厂本身处于亏损运营状态，另一方面阻碍了中国罐业向前发展。竞争的结果，表面上看饮料、啤酒厂是受益者，但从长远看包装品制造商因无力进行技改大幅度降低成本，而作为使用包装品的饮料、啤酒业也难以使自己产品的包装成本降低下来因而阻碍了消费，最终也是受害者。国外罐业者在降低成本方面主要有二条途径，一是规模经济。国外罐业经过三十多年的发展，生产已形成集团化，具有相当大规模，在这样的基础上不断增置设备或提高生产速度再扩大规模是轻而易举的事。而国内罐厂的规模与国外相比都较小，又由于近年来大多数罐厂处于亏损运营，因而再花费一大笔资金去再引进技术和设备扩大规模是较为困难。此外在目前这种供求严重失衡的状况再扩大规模，无疑将需求关系进一步恶化。显然，靠这一途径降低成本不适合国内现状。其次是降低原辅材料的成本。依靠科技进步降成本可以达到事半功倍。罐业是集冶金、化工、机械、电子等行业科技于一体，降低原辅材料成本就是依靠这些行业的科技进步。（1）减薄铝板材厚度。（2）改变罐形。根据国外某材料厂家报告，在美国的罐厂用铝板材料厚度每减薄0.01mm，每千罐可节省约0.22美元，易开盖口颈从404规格缩小至401规格可节省材料12.5%，罐从206口颈缩为204全套可节约材料用量6.7%，再降至202又可节约13.6%，最好水平到19.4%。为了确保罐原有的各项性能指标要求，相应采用许多新工艺，诸如采用罐底二次成型技术，可使罐底耐压力提高26%。在国外有许多罐业服务的专业性厂家，从铝板材、模具、电子化工设备等制造行业形成一条龙，每当罐业提出某

数学建模易拉罐的设计问题

易拉罐的形状和尺寸的最优设计一旅五队赵久国（3782011040）摘要现实生活中，我们会发现销售量很大的易拉罐饮料（例如：体积为355毫升的可乐，啤酒，雪碧，七喜等）的形状和尺寸几乎都一样，联系利润问题，我们可能会猜想同样是355毫升的容量，设计成那样的形状可能会节约易拉罐的制造成本。带着这样的猜想，我通过数学建模的方法去寻找原因。本文就是通过建立简化的数学模型，找到在易拉罐体积一定（355毫升）的条件下，使得易拉罐材料最省（通过计算易拉罐的表面积来表示用料）的外形及尺寸。我第一步是实际调查研究（发现：实际生活中没有把易拉罐设计成长方体的形状的，都是接近圆柱体的，可以断定长方体没有圆柱体节省材料，于是对于后面的模型只考虑圆柱体的情况）；第二步是通过简化建模所需的条件（假定易拉罐的侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样（注：现实生活中肯定不一样，这需要前面模型的优化））；第三步是建立的简单模型，并且进行求解；第四步是对模型所得的数据进行分析，和与实际生活中所测的易拉罐的数据进行对比；第五步是得出基本的结论和对模型进行改进，粗略确定易拉罐外形和尺寸的最佳设计方案。关键词：355毫升易拉罐简化条件模型设计导数求极值对比分析优化设计

第一步：对于体积恒定的355毫升的易拉罐，在保证体积不变的情况下设计他的形状，尺寸，要求是表面积最小。第二步：假设： 1.易拉罐设计的形状为圆柱体，侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样. 2.易拉罐的体积一定. 3.确定变量和参数：设易拉罐内半径为r,高度为h ，厚度为a ，体积为v ，表面积为s 。其中r 和h 是自变量，易拉罐面积s 是因变量，而体积v 是固定参数，则s 和v 分别为： 2222233 222()()2422,s r a a r a h r h ar a r a hra ha v v r h h r ππππππππππ=+?++?-=++++== 第三步：根据前两步建立模型： 2g(,)min (,) 0,0,(,)0r h r h v s r h r h g r h π=-=>>=设目标函数其中且 V 是已知的，g(r,h)是约束条件，目标函数s 就是要求在体积V 一定的条件下求S 的最小值，此时r 和s 的比值。

创新设计方案

创新设计方案一、设计名称：可以关闭的易拉罐二、设计目的（设计背景）：大多数人们在外面玩的时候口渴了都会想到要买水喝，但很多又不愿意一瓶喝完，就出现了易拉罐比较少量的瓶子，但易拉罐有一个最不方便的地方就是喝不完也关不上，很多人不喜欢手上拿着就喜欢放在包里方便，渴的时候再拿出来，然后我们就想到为了大家方便，想要设计出可以打开后还可以关闭的易拉罐瓶子。三、设计原理：现在的大多数人追求的生活品质越来越高，人们对这些消费品的要求也越来越多样化。易拉罐在人们的生活中随处可见，最初的易拉罐设计是将一个拉环固定在事先划好的开盖带上，利用杠杆作用和刻划痕迹，罐头先在开口上方打开，进一步拉开的动作将金属片拉离罐头顶部，铝片沿着刻划的痕迹撕开，留下来的开口从罐子边缘延伸到（或超过）罐子中心，这样在打开罐子饮用或倾倒饮料时，空气能由开口进入罐内，让饮料轻松地流出。易拉罐拉环独特的设计一方面结束了钥匙型开罐器的时代，另一方面也将在罐顶上打两个不同三角形切口的开罐动作减少为一个拉的轻松动作。半开半闭式的易拉罐更容易引进市场，通过在罐顶下安装旋转装置，让喝不完的水放在任何一个地方不易溢出，会给更多的人带来方便。四、作用与功能：方便人们的生活，受各大消费群众的需求，方便携带和饮用。拉环式易盖有两种形式：一种是小口式，拉环拉起时罐盖开启一小口，由此小口可以吸出或倒也流体内装物，比如汽水类易拉罐就属于小口式；另一种是大口式，拉环拉起时几乎整个罐盖都被揭开，以便取出固体五、设计结构与简图：

设计结构：采用普通的易拉罐瓶子，在开口处设计可以旋转开关的开口。六、设计说明：这次我们设计的是一个可开关的易拉罐，这个易拉罐跟平时我们看到的普通易拉罐没有什么区别，只是在拉罐开口处做了一些轻微的调整，普通的拉罐拉开过后就不可以再关闭，使消费者买了打开了以后就必须要喝完，然而一些消费者一次喝不完这么多放在那里就只有浪费。我们这次设计的这个易拉罐开口就设计成为了可开关的，当消费者打开后喝不完还可以将瓶口关上，这样方便了二次饮用，不会造成了浪费，也方便携带。做成这个易拉罐的技术条件也非常简单，只需要在现有的易拉罐制作工艺上，将易拉罐瓶口配上一个可旋转的开关，开关可以由简单的铝片制成，在消费者第一次将易拉罐打开后，旋转铝片就可将开口处密封。七、制造用料：普通的易拉罐一个，少许铝片八、可行性分析：在该易拉鑵项目可行性研究中，从节约资源和保护环境的角度出发，遵循“创新、先进、可靠、实用、效益”的指导方针，严格按照技术先进、低能耗、低污染、控制投资的要求，确保该易拉鑵项目技术先进、质量优良、保证进度、

易拉罐设计问题

易拉罐的设计问题一、模型的假设 1、除易拉罐的顶盖外，罐的其他部分厚度相同 2、忽略材料的接缝折边以及切削的损耗 3、易拉罐所装的饮品的体积一定 4、忽略制造中的工艺上的必须要求的折边长度二、符号说明 V 表示易拉罐的用料体积 0V 表示易拉罐的罐内的容积 r 表示圆柱形的圆半径 S 易拉罐的表面积 λ表示易拉罐的上、下底面的单位面积的造价 θ表示易拉罐的侧面的价格 α表示易拉罐的上顶面与侧面厚度的比例系数 d 表示除顶盖外的其他部分材料的厚度三、模型的建立及求解要比较易拉罐的优劣，可以由其制作过程中所消耗的原材料的多少来判别，即最优易拉罐应具有最小的表面积。如果，先不考虑材料的厚度及价格等因素，由圆柱的体积公式可得，2V r h π=，从而2V h r π=，又易拉罐的表面积为2222S r r h ππ=+，将2V h r π=代入其中得222V S r r π=+ 又由题知，体积V 为常数，即求当 r 为何值时，函数Ｓ取值最

小，由此目标函数为 min 222V S r r π=+ 22V V S r r r π=++≥= 当且仅当22V r r π=，即r =时h=2r 。但是，在实际生活中，易拉罐却不是这样的。我们以355ml 的可口可乐易拉罐为对象来测量，得到如下数据。由数据可知，4h r ≈即易拉罐的高与直径的比约为2:1。这是由于喝饮料时要使劲拉使得顶盖要比其他部分厚。考虑到用于上下底面与侧面所用材料的造价不同，故制造一个易拉罐的价格为222y r rh λπθπ=+，于是目标函数可化为 min 222y r rh λπθπ=+ () 223y r rh rh πλθθ=++≥当且仅当22r λ=rh θ，即2r h λθ= 时，易拉罐的价格最低，此时易拉罐不再是等边圆柱了。考虑易拉罐的顶盖厚度是其他部分的材料厚度的α倍，进而易拉罐的侧面用料体积为 22(())((1))V r d r h d ππα=+-++ 圆柱形易拉罐顶盖用料的体积为2d r απ，底部用料体积为2d r π，所以易拉罐用料体积为

易拉罐设计数学模型

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛山西赛区吕梁高等专科学校第五队参赛队员：1. 张晶晶 2. 刘美琴 3. 王超鹏指导教师：王亮亮 2006 年 9 月 18 日

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：吕梁高等专科学校参赛队员(打印并签名) ：1. 张晶晶 2. 刘美琴 3. 王超鹏指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王亮亮日期： 2006 年 9 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

易拉罐形状和尺寸的设计摘要本文研究易拉罐的形状和尺寸的设计问题。体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念出发，这个尺寸（半径和高）为1：2。也就是说，对于易拉罐而言，当高是半径的2倍时，其表面积最小。即易拉罐设计成等边圆柱时，消耗的材料较少，生产成本较低。但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱的，有的长些，有的短些，生活中（市场上）的易拉罐为什么会是这样呢？经过我们调查测量，也发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎是一样的。经过测量生活中（市场上）饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.4/10.3=0.621，非常接近黄金分割比0.618。这是巧合，还是这样的比例看起来最舒服，最美？看来，这样并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。事实上，体积一定的易拉罐的形状和尺寸的设计问题，不仅与表面积的大小有关，而且还与易拉罐的上、下底面和侧面所用材料的价格有关，也与制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短有关。此时，易拉罐就不再是等边圆柱了。在本文讨论中，我们假设1、不考虑制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短问题，只考虑了表面积和所用材料的问题；2、不考虑易拉罐底部上拱问题，模型中模型的底部以平底处理；3、不考虑易拉罐的拉环。在以上假设的基础之上我们以355ml 的可口可乐饮料罐的形状和尺寸为例进行讨论，应用层次分析法逐步建立了四个模型。应用初等数学的知识算出了各个模型中的高和半径的比值、表面积和成本，最终讨论计算结果认为当高与半径之比4.68827时，模型基本上与市场上的易拉罐形状和尺寸相同。然后我们对生活中355ml的可口可乐饮料罐给出了我们自己的关于易拉罐的形状和尺寸的设计。关键词：等边圆柱易拉罐注：本文中提到的等边圆柱是指：圆柱的高与圆柱的底面直径之比为1：1的圆柱体。

易拉罐形状和尺寸的最优设计

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”） C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO 实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比（为圆柱的高，为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的倍 b 时，最优设计方案为61:： =H R 。在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO 软件对模型进行分析，得出当(为圆台的高，为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO 对其进行分析，得出，时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，86.693.3075.h 2.2r ====H R ，，，时，可以得到优于现实中易拉的设计方案。关键词：最优设计体积结构材料最省 lingo

自制无线网卡天线(一)易拉罐和漏斗篇

一、易拉罐天线：需要准备得工具和原料如下： 1、剪子一把 2、靓工刀一把 3、普通电工胶带适量 4、空易拉罐一只（铁壳铝壳均可，可乐雪碧都可以）这几样工具都是通常家庭得常备工具啥？你找不到易拉罐？ FT，马上给我到楼下去买一罐雪碧上来，一口气喝完它。工具和原料备齐以后，咱们就要吧。首先把易拉罐清洗干净，把里头得水倒掉。接着用靓工刀沿着易拉罐接缝得地儿慢慢切开，参考图片接下来找到和这条接缝180度相对得还有一点一边，也用靓工刀慢慢切开接着用剪子慢慢地沿着底边剪半个圆过去，另一头则剪还有一点半个圆，参考图片：做好以后自己处理一下，主要是清理一下边缘（易拉罐非常锋利）预防日后得使用中弄伤了手。在罐子底部和顶部开两个孔，和你原来得AP天线非常一下，直径大小可能大于天线一点就行了，套到AP天线上去试一下，必须可以自如地套进去，自然此时候没办法固定，罐子这原因是孔比天线大，只能松松地靠在天线上。：）将贴不错得半个罐子套到原来得AP天线上试一下松紧程度，可能以能够套进天线而且保持必须得固定能力为准。如果太松得话就再贴部分胶带上去。再试一下旋转这半个罐子，要做到能够旋转自如。象下面相片中是可以得松紧程度： OK 成功成效大伙尝试一下就了解了，信号有特明显得提升二、奶粉罐天线： DIY精神是利用手头得资源，发挥第一得做用，咱们身边非常多得金属罐子，奶粉罐是最常见得了。下面介绍下DIY 奶粉罐天线得过程：根据测试，首先确定自己DIY得数据：各数据如下：中心频点＝2.445G 圆筒直径＝127mm 圆筒长度＝111mm 振子长度＝31mm 振子距圆筒底部边距＝37mm 你必须能问这数值是哪里来得？微波天线得制做精度很高，起码要达到毫米级，要不非常容易以至天线不可用，由于每个人获得得圆筒不一样，这有一个圆筒天线得通用计算器，可以精确得计算各参数，以此使这款天正在制做上达到实用化！通用计算器：/antenna2calc.php 从图片可以看出，馈线得屏蔽网连接金属圆筒，信号通过圆筒反射到振子上，自然振子是馈线得芯线了，芯线与金属筒是绝缘得，这点必须得要小心！非常多爱好者都Like在圆筒加装N座或BNC座，接着在馈线得连接处做对应得N头或BNC 头，用在连接。可mr7感到虽说该办法对使用十分便利，可同时也对信号造成了损耗（估计1－2DBI），特别在2.4G得频段愈加明显！正是这个原因，mr7决定把屏蔽网直接焊在

易拉罐形状及尺寸的最优模型

易拉罐形状及尺寸的最优模型『摘要』本文研究的是易拉罐外形和尺寸的最优化问题，通过建立数学模型找到在易拉罐体积一定的条件下，使得易拉罐表面积最小，材料最省的外形及尺寸。我们首先动手测量易拉罐的各项尺寸，然后通过一个由简单到复杂的分析过程，逐步建立模型与实测数据比较确定易拉罐外形和尺寸的设计方案，并且通过进一步优化得到最优的设计方案。第一题需要我们亲自动手用各种工具测量易拉罐上底面及下底面直径、易拉罐各部分高度以及厚度。第二题假设易拉罐为一个正圆柱体，问题简化为已知圆柱体的体积求其高度和底面半径为多少时表面积最小。进一步分析问题建立目标函数，用微分地方法求解。最后于我们实际测量的数据比较发现这种模型不是最优模型，还需要进一步研究。第三题假设易拉罐的上部是一个正圆台，这样问题就变为上不圆台和下部圆柱体体积和一定的条件下，求其表面积和最小，与第二步相同建立目标函数，并考虑到各种约束条件，例如美观要符合黄金比例、人体机能等关键词：最优化 LINGO 黄金分割率 3dmax cad

1问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步 2 问题分析通过对问题进行分析可以看出，本文研究容积一定的易拉罐的用料最省问题，通过建立模型找到一种最合理、最节约的设计，进而结合实际问题优化模型。问题1，通过实际测量得到易拉罐下部圆柱体内直径，中部圆柱体内高度，上部圆台体上直径、下直径，上部圆台体高度以及易拉罐顶部和其他部位厚度。问题2，假设易拉罐是一个正圆柱体，即将上部圆台看成正圆柱，问题简化为在圆柱体体积一定的条件下求其表面积最少，建立优化模型，用微分方程求解模型。问题3，设易拉罐是由一个圆柱体和一个圆台构成，即在第二问基础上考虑到易拉罐上下表面直径不同，问题仍然可以看成已知体积求最小表面积的优化问题。求解方法为，把易拉罐分为两部分分别求其表面积和体积，然后求和得出其总体积、总的表面积，确定目标函数，并从美观、方便等方面建立约束条件，进而求出最优解。问题4，

参考论文1-易拉罐的最优设计

易拉罐最优设计模型（2006年全国一等奖）摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为： 9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r 在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。关键词：易拉罐最优设计非线性规划 LINGO 软件

易拉罐形状和尺寸的最优设计(2)

参赛论文易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题摘要饮料灌装是饮料生产中十分重要的一环，饮料灌装容器的设计不仅直接关系到生产企业的制造成本，同是也决定着饮料产品的品质和价值。理想的饮料灌装容器应能起到以下作用：保护内在质量、免受物理损坏、使用方便、便于运输、和促进销售。在日常生活中,我们总会买些易拉罐装的饮料和食品,殊不知,易拉罐的设计便包含了一定的物理、数学知识。对易拉罐的设计，生产者总会考虑让它成本最低，并且功能最强。如：设计一个体积固定为V 的圆柱形易拉罐，什么样的设计方案最优？首先我们根据测的一组数据得直径和高的比值接近黄金分割点。本文基于用铝材料做成一个容积一定的圆柱形的容器用料最省问题，我们分析说明表面积最小是正圆柱体的最优设计。再从实际情况出发，注意到罐的顶盖比其他部分都要厚，我们引入了厚度因子a,并结合模型<一>的结论r:h=1:4，考虑用材料的体积SV ，建立模型<二>，得出a=3.再以此为基础，建立模型<三>: Min S=[2H R ??π+2R ?π+32r ?π+22)3.0()(h h r R +?+?π]b ? S.t. V=H R ??2π+)(3 1 33r R -??π R=r+0.3h 设定从顶盖到胖体部分的斜率为 a. 并代入工程生产中普遍认定的斜率0.3,运用Mathematica 软件求解，得出h=4r 的结论，这与我们在第一问中用游标卡尺所测得的数据吻合.对此时的SV 进行求偏导数,得出极值点为h=5.36221, r=1.49597, R=3.1046, H=10.8017.问题四我们用曲面积分思想建立了模型〈四〉： Min )(2322 02120 02122R R r R R r R H R SV ---??++?+??=ππππb ? S.t V=H R ??2π+])()[(3 320322020R R h R R h R --+-?- ??π π 得出我们设计的易拉罐H=6.54 h=2.54 R=3.82 直径：高度=2R ：（H+h ）最后,我们根据自己本次参加数学建模课余培训直到参加竞赛的亲身体验,写了《体验数学建模》一文。

易拉罐设计

易拉罐最优设计模型（2006年获全国一等奖）摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为： 9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r 在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。关键词：易拉罐最优设计非线性规划 LINGO 软件问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认

易拉罐的设计

易拉罐的设计生活中我们常看到圆柱形的包装容器，如易拉罐、水杯、油漆桶等。那么，为什么这些容器都设计成了这样的形状？这样的形状有什么优势呢？显然，当一个容器需要大量使用的时候，考虑用料成本，设计一个容积足够、美观大方又节省材料的容器是极为必要的。标签：易拉罐设计最小值易拉罐是生活中常见的饮料容器，每天都有不计其数的易拉罐饮料从生产线上生产出来打包装箱输送到全国各地，同时被无数人购买，畅饮之后又要丢入垃圾桶。每个易拉罐的用料不多，但是有了庞大的基数支撑，用料成本便不可忽视，节约用料是一个极为重要的问题。根据已经掌握的知识，平面中等面积的情况下圆的周长最短，那么，可以联想到空间中等体积的情况下球体的表面积最小。按照节省用料的考虑，为什么没有大规模使用球型的容器呢？最简单直观的缺点是不方便持握，不方便放置。而且还有一个问题就是球型容器运输的时候放入箱子中也会浪费更多的空间。思考一：假设包装都是标准的圆柱体，忽略包装材料的拼接，近似认为容积就等于体积，这样把问题近似转换为一个纯粹的数学问题，即：“体积一定的圆柱体，底面半径与高的比值为多少时，表面积最小？” 设易拉罐的高为h，底面半径为r，有圆柱体的体积公式V=πr2h，得到h= 。又易拉罐表面积为S=2πr2+2πrh。将h= 代入表面积公式得S=2πr2+ 。[1]现在，问题转化成为了在r取何值的时候，函数S能够取到最小值。S= ，当且仅当2πr2= ，即时，易拉罐有最小表面积，此时h=2r。但是在实际生活中，我们绝对看不到有这样形状的容器装满饮料放在货架上，为什么呢？这种形状的圆柱体又叫等边圆柱，这种形状拿起来的手感很差，因为太粗了，不适合作为饮料的容器，作为罐头、油桶倒是不错。那么，还有什么因素影响了易拉罐的形状呢？易拉罐的上底和下底经过观察和侧面是不一样的，一般来说，下底的材料会更加厚一些，或是更加硬一些，这可能是影响易拉罐形状的又一因素。思考二：体积一定的圆柱形容器，上下底面的价格是侧面造价的k倍，那么底面半径和高的比为多少时表面总造价最小[2]？经过调查，有相当一部分饮料包装的底面的单位造价是侧面单位造价的2倍左右，为了便于计算，假设k=2。设圆柱底面半径r，高为h，侧面单位造价为a，底面单位造价为ka，圆柱体总造价为y。V=πr2h，y=2aπrh+4aπr2。= 。当且仅当4r=h时，表面总造价最低。如果材料特殊，底面单位面积造价不

易拉罐形状和尺寸的最优设计说明

易拉罐的设计

全国数学建模竞赛易拉罐形状和尺寸的最优设计模型全国一等奖

2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.

最新易拉罐的优化设计知识分享

易拉罐形状和尺寸的最优设计

数学建模 易拉罐的设计问题

创新设计方案

易拉罐设计问题

易拉罐设计数学模型

易拉罐形状和尺寸的最优设计

自制无线网卡天线(一)易拉罐和漏斗篇

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易拉罐形状和尺寸的最优设计(2)

易拉罐设计

易拉罐的设计

数学建模易拉罐的设计问题