一元二次方程的解法的专家点评

整合策略经验

——《一元二次方程的解法》评课

南京市金陵汇文学校赵齐猛

一元二次方程是刻画现实世界的有效数学模型，学生在学习了一元一次方程、一元一次不等式（组）、分式方程、二元一次方程组的过程中，初步形成了求方程（组）和不等式（组）解的基本经验，体会转化等数学思想方法在求解过程中的内在意义．将二元一次方程组通过消元转化为一元一次方程、将分式方程通过去分母转化为一元一次方程，再依据等式的基本性质、代数式的运算法则将方程逐步变形为最简形式“x＝a”，最终获得方程的解．本文将从内容整合、策略的迁移和数学活动经验的积累等方面对本节课作简要的点评．

一、教学内容的合理整合

初中数学的整体性教学是用整体方法优化教学系统，教师选择知识和方法进行有效串联整合，将数学知识和方法整体化设计和教学，便于学生对原有的知识进行同化和顺应，建构新的知识和方法体系，通过教学内容的整体架构，使教师本身整体把握方法，学生了解、掌握解决问题的一般方法和策略，形成和积累相应的数学活动经验．苏科版九年级上册学习的是“一元二次方程”，本节课将一元二次方程的解法“直接开平方法、配方法、因式分解法”作为教学内容，并进行了内容整合，这样设计的目的是将学生已经学习过的一元一次方程、分式方程、二元一次方程组的解法中获得基本策略和经验进一步外显和应用，在新的方程的求解中类比探索，以整体把握一元二次方程的解法，提升学生“做数学”的数学能力，积累数学活动经验．整个流程自然、合理，符合学生的思维特征和认知水平．

二、数学活动经验的过程积累

数学教育家斯托利亚尔说：“数学活动即数学的思维活动，学生的数学活动表现为数学学习过程中积极的思维活动.”数学基本活动经验的积累依靠丰富多样的数学活动的支撑．本节课就是以活动为板块，以问题为路径，教师和学生积极互动，从经验的外显、经验的适度调用等两个方面进行数学活动经验的形成、积累和发展．

1．适度外显活动经验．

基本活动经验是在学生参与数学学习的活动中积累起来的，包括数学思维的经验和实践的经验．若把数学基础知识和基本技能的学习看作是显性的话，则基本活动经验的积累具有隐性的特征，并不是参与了活动，就能自发形成数学活动经验．学生在活动中获得的原初的体验，往往是模糊的、零散的，因此，需要将这些模糊的、零散的经验清晰化、条理化、系统化，最重要的途径就是外显这些经验．本节课中，通过对一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的解法的回忆，感受解方程（或组）的过程中的化归过程，明确方程变形过程中的算理（代数式的恒等变形、等式的基本性质等），对每一种方程的求解过程通过变形的框图外显其中的基本经验，为一元二次方程的解法探索做好准备．

2．适时调用活动经验．

调用是强化经验的一个基本手段，教学中应注意适时地调用学生先前的活动经验，在运用中进一步强化原有的经验．学生在已有的方程的解法中获得的基本活动经验，是探索新方程的解法的基础，也为适时调用作好了铺垫．本节课中，从一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解法探索入手，引导学生从特殊到一般，从具体到抽象进行研究．例如，“对于方程x2＝1，我们可以如何解它？”有的学生把数的开方搬过来，有的学生移项，把因式分解的方法搬过来，这都是学生已有知识在新问题中的再现，从而将二次方程通过开平方、因式分解等方法转化为一次方程，最终得到方程的最简形式“x＝？”．在这里，如果及时引导学生回忆a（x－m）2＝b（a≠0），让学生逐步形成感受方法的优化和一般化，从而顺利地接纳直接开平方法，效果可能会更好些.

三、研究问题的基本过程的形成

1．分层设置探索问题，形成探究路径．

“问题是数学的心脏”，合理设置问题，有助于师生积极地互动交流，便于学生形成解决问题的策略．本节课中，通过“我们已经学过哪些方程（或组）？如何解这些方程？”回忆已有方程（或组）的解法，为后续探究做好准备；通过“如何研究方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解法？如何解方程ax2＋c＝0（a≠0）？如何解方程ax2＋bx＝0（a≠0）？”等三个主问题的设置，形成一条探究的主线，再将三个主问题分解为几个子问题：“（1）如何解方程x2－1＝0？如何解方程

2x2－1＝0？如何解方程x2＋1＝0？（2）如何解方程x2－2x＝0？如何解方程

2x2＋x＝0？（3）如何解方程x2－2x＋1＝0？如何解方程x2－2x－3＝0？如何解方程x2－2x－1＝0？如何解方程2x2－4x－3＝0？”学生通过对具体方程解法的探索，层层递进，获得每一种类型方程的解法，从而最终解决一元二次方程的解法探究．

主问题要能指向一类问题，子问题指向具体的研究方向；主问题的解决建立在子问题解决的基础上，主问题可以分解为若干个子问题，子问题可以是主问题的特殊化、具体化、简单化．在解决主问题的过程中关注数学思维水平的提高，在解决子问题的过程中形成解决问题的一般方法和策略．

当然，在探索系列方程的解法中，如果老师能放手让学生发现问题，提出问题，从而自主探索方程的解法，将更有利于用数学活动经验的积累和解决方法的寻求．

2．充分感受数学思想方法，获得探究策略．

数学思想方法是数学思维的灵魂，数学思想方法蕴含于数学知识中，渗透在数学活动过程中，通过类比、归纳的数学思维活动，提升学生的数学认知水平，提高学生的合情推理的能力．本节课中，从已有的解方程（或组）的过程外显经验，充分体会“化归”等数学思想方法在其中的作用，同时引导学生学会面对一般的数学问题时，能利用特殊——一般——特殊的思维方式，尝试自主探索未知的方程的解法，形成解决问题的一般策略．本节课中，在探索方程ax2＋bx＋c ＝0（a≠0）解法的过程中，引导学生从具体方程入手，利用配方、开平方或因式分解等方法，将方程降次转化为一次方程，进一步明确方程ax2＋bx＋c＝0（a ≠0）的解法的一般过程，最终获得一元二次方程解法的降次方法，体会了化归的数学思想方法，形成求解二次方程的基本策略，即降次——化归——求简．这种教学内容的整合是一种尝试，老师们在教学设计和实施过程中，要充分考虑到学生的实际，尊重学生已有认知水平和学习能力，不宜照搬照抄．