2020年高三数学一轮复习：统计与概率

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练

统计与概率

一、填空题

1、（南京市2018高三9月学情调研）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300

名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为▲ ．

2、（南京市2019高三9月学情调研）已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18，

21，22，24，25，那么这组数据的方差为▲．

3、（南京市2019高三9月学情调研）不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白

球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是▲．

4、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）若一组样本数据3，4，8，9，a的平均数为6，则该组数据的方差s2＝▲．

5、（南京市六校联合体2019届高三12月联考）从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．

6、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是▲．

7、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为▲．

8、（南师附中2019届高三年级5月模拟）某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样

方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是．

9、（南师附中2019届高三年级5月模拟）3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人

同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是．

10、（苏州市2018高三上期初调研）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1 : 2 : 3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是．

11、（徐州市2019届高三上学期期中）某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有▲个网箱产量不低于50 kg．

12、（海安市2019届高三上学期期中）已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为．

13、（海安市2019届高三上学期期中）有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取

两张，则抽到的牌均为红心的概率是．

14、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）如图是某次青年歌手大奖赛上5 位评委给某位选手打分的茎叶图，则这组数据的方差为▲

15、（如皋市2019届高三上学期期末）为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为▲

16、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为．

17、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n＝▲

18、（泰州市2019届高三上学期期末）从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为

19、（无锡市2019届高三上学期期末）史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上

等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为．

20、（宿迁市2019届高三上学期期末）春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为▲．21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，… …，第五组，右图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组于第二组共有20人，则第三组钟人数为.

22、（南京市2019届高三第三次模拟）已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为▲．

23、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））随机抽取100名年龄在［10,20），［20,30），…，［50,60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在［50,60）年龄段抽取的人数为＿＿

24、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））

某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：

次数 2 3 4 5

人数20 15 10 5

则平均每人参加活动的次数为▲.

25、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）

从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选

中的概率为▲．

26、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））

一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为▲．

27、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为．28、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只

白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为．

29、（盐城市2019届高三第三次模拟）现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_____.

30、（江苏省2019年百校大联考）某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．

二、解答题

1、（南京市2018高三9月学情调研）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．

（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；

（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．

2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实

习．

（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；

（2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．

3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在某次活动中，有5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．

（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；

ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记X Y

学期望． 4、（徐州市2018高三上期中考试）某同学在上学路上要经过A 、B 、C 三个带有红绿灯的路口.已知他在A 、B 、C 三个路口遇到红灯的概率依次是1

3、1

4、34

，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、

20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.

（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；， （2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间. 5、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球． （1）求甲三次都取得白球的概率；

（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望． 6、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A

等级的概率都是

1

4

，该学生各学科等级成绩彼此独立，规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级加5分，记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值。 （1）求ξ1的数学期望； （2）求ξ2的分布列。

7、（海安县2019届高三上学期期末）从集合P ＝｛x ｜1≤x ≤9，x ∈N*｝中等可能地取出m 个不同元素，记所取元素之和为ξ。 （1）若m ＝2，求ξ为偶数的概率；

（2）若m ＝3，η表示ξ被3带队的余数，求η的概率分布及数学期望E （η).

8、（扬州市2019届高三上学期期中调研）假定某人在规定区域投篮命中的概率为3

2

，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.

（1）求连续命中2次的概率；

（2）设命中的次数为X ，求X 的分布列和数学期望)(X E .

9、（扬州市2019届高三考前调研）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉．如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．

（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？

（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望．

5

4321

10、（镇江市2019届高三考前模拟（三模））某商场进行抽奖活动．已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X ．

（1）若取球过程是无放回的，求事件“X ＝2”的概率；

（2）若取球过程是有放回的，求X 的概率分布列及数学期望E(X)．

11、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A 开始到出口B ，每遇到一个岔路口，每位有课选择其中一条道路行进是等可能的. 现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B 中，设点C 是其中的一个交叉路口点. （1）求甲经过点C 的概率；

（2）设这4名游客中恰有X 名有课都是经过点C ，求随机变量X 的概率分别和数学期望.

12、（南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟）“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．

（1）求X为“回文数”的概率；

（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()

Eξ．

13、（南通市2019届高三适应性考试）已知正四棱锥P ABCD

-的底面边长和高都为2．现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积．（1）求概率(2)

P X=的值；

E X．

（2）求随机变量X的概率分布及其数学期望()

参考答案

一、填空题

1、16

2、6

3、25 4．526 5． 6

1

6、56

7、64

8、18

9、13

10、48

11、82 12、7 13、3

5

14、20 15、80 16、2 17、80 18、

15 19、13 20、13

21、18 22、30 23、2 24、3 25、23

26、12 27、13 28、1

2 29、1

3 30、512

二、解答题

1、解：（1）两个球颜色不同的情况共有C 2

4?42＝96(种). ………………………3分

（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．

P (X ＝0)＝4? C 2

496＝1

4， ………………………5分

P (X ＝1)＝3?C 1

4?C 1396＝3

8，

P (X ＝2)＝2?C 1

4?C 1396＝1

4

，

P (X ＝3)＝C 1

4?C 1396＝1

8

．

所以随机变量X 的概率分布列为：

………………………8分

所以E (X )＝0?14＋1?38＋2?14＋3?18＝5

4． ………………………10分

2、解：（1）将4人安排四个公司中，共有44=256种不同放法．

记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A ，

事件A 共包含4

4

24A =个基本事件， 所以()243

25632

P A ==，

所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率3

32

．………………………… 3分

（2）方法1：X 的可能取值为0，1，2，3，4，

()44381

04256

P X ===，()1

3443271464C P X ?===，()224432724128C P X ?===

， ()344333464C P X ?===，()

4441

44256

C P X ===． 所以X 的分布列为：

X 0 1 2 3 4

P

81256 2764 27128 364 1256

………………………………………………………… 8分

所以X 的数学期望为：

()81272731

0123412566412864256

E X =?+?+?+?+?=．……………… 10分

方法2：每个同学分到B 公司的概率为1()4

P B =，13()144P B =-=．…… 5分

根据题意X ～()144B ，，所以()()()

441344

k k

k P X k C -==，0123k =，，，，4，

所以X 的分布列为：

X 0 1 2 3 4

P

81256 2764 27128 364 1256

……………………………………………… 8分 所以X 的数学期望为()1

414

E X =?=． ……………………………… 10分

3、解：这5名幸运之星中，每人获得A 奖品的概率为

2163=，B 奖品的概率为4263

=． （1）要获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数，则A 奖品的人数可能为3,4,5，则

则所求概率为3

3

2

4

4

5

55551

212117

()()()()()3333

381

P C C C =++=

． ……………………4分

（2）ξ的可能取值为1,3,5，且332223

55121240(1)()()()()333381P C C ξ==+=，

4414

55121210(3)()()()()333327P C C ξ==+=，

0555

552111(5)()()3381

P C C ξ==+=， 所以ξ的分布列是：

故随机变量ξ的数学期望E ξ=401381

?+?10275+?

118118581

=． …………………………10分 4、（1）设这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，

因为事件A 等于事件“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红

灯” ，

所以事件A 的概率为1133

()(1)(1)3

4

48

P A =-?-?

=.·

·······································4分 ξ 1 3 5

P

4081 1027 11

81

（2）记“这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间”为ξ，

由题意，可得ξ可能取的值为0，40，20，80，60，100，120，140(单位:秒). ·····································································································································5分 ∴即ξ的分布列是：

1131(0)(1)(1)(1)3448P ξ==---=； 1131

(40)(1)(1)34416P ξ==?-?-=；

1131(20)(1)(1)34424P ξ==-??-=

；1133

(80)(1)(1)3448P ξ==-?-?=； 1131(60)(1)34448P ξ==??-=

； 1131

(100)(1)3448P ξ==-??=； 1133(120)(1)34416P ξ==?-?=； 1131

(140)34416P ξ==??=

所以1131131235

40208060100120140=

1624848816163

E ξ=?+?+?+?+?+?+?. 答：这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为235

3

.

············································································································································10分 5、

6、解析：(1) 记该学生有i 门学科获得A 等级为事件A i ，i ＝1，2，3，4.(1分)

ξ1的可能取值为0，1，2，3，5.(2分)

则

P(A i )＝C i 4

????14i ???

?344－i

，(3分) 即P(A 0)＝81256，P(A 1)＝2764，P(A 2)＝27

128，

P(A 3)＝364，P(A 4)＝1

256，

则ξ1的分布列为

ξ1 0 1 2 3 5 P

81256

2764

27128

364

1256

所以E(ξ1)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋5×1256＝257

256.(5分)

(2) ξ2的可能取值为0，2，4，则 P (ξ2＝0)＝P(A 2)＝27

128

；(7分)

P (ξ2＝2)＝P(A 1)＋P(A 3)＝2764＋364＝15

32；(8分)

P (ξ2＝4)＝P(A 0)＋P(A 5)＝81256＋1256＝41

128，(9分)

则ξ2的分布列为

7、

8、解：（1）设(1,2,3)i A i =表示第i 次投篮命中，i A 表示第i 次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件A ，则123123()()P A P A A A A A A =+=221122833333327

??+??=．…4分

（2）命中的次数X 可取0，1，2，3；

321(0)(1)327P X ==-=，11

23222(1)()(1)339P X C ==-=，2213224(2)()(1)339P X C ==-=，

328

(3)()327

P X ===

X 0 1 2 3

P

127 29 49 827

…8分

所以248

()12329927

E X =?+?+?=

答：X 的数学期望为2． …10分

9、解：（1）记“小球落入4号容器”为事件A ，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左．

∴34

411()()24P A C ==

…………………3分 （2）落入4号容器的小球个数X 的可能取值为0,1,2,3．

∴3127(0)(1)464P X ==-=，1

231127(1)(1)4464P X C ==?-=

，223119(2)()(1)4464P X C ==?-= 311

(3)()464P X ===

∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 P

27

64

2764

964

164

……………7分

272791483()012364646464644E X =?

+?+?+?==

………………9分

答：落入4号容器的小球个数X 的数学期望为3

4

． ………………10分 10、

11、

12、【解】（1）记“X是‘回文数’”为事件A．

9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有：44，88．

所以，事件A 的概率2()9

P A =．……………………………………………………3分

（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．

由（1）得2()9

P A =．…………………………………………………………………5分

设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立．

根据已知条件得，()2

9205=9

P B C =． ()()()()()

2528=0=119981

P P A P B ξ=--=；

()()()()()()()252543=1=11999981

P P A P B P A P B ξ+=-+-=；

()()()2510=2=9981

P P A P B ξ=?= ……………………………………………………8分 所以，随机变量ξ的概率分布为

ξ

0 1 2 P

2881

4381

1081

所以，随机变量ξ的数学期望为2843107()0128181819

E ξ=?+?+?=．……………10分

13、解：（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，

共有3

5

=10C 种取法．其中2X =的三角形如△ABD ， 这类三角形共有3

4

=4C 个． 因此()42

2105

P X ==

=． ……4分 （2）由题意，X 的可能取值为5，2，22．

其中5X =的三角形是侧面，这类三角形共有4个； 其中22X =的三角形有两个，△PAC 和△PBD ． 因此()

255P X ==

，()

1

225

P X ==． ……8分 所以随机变量X 的概率分布列为：

X

5

2

22

() P X 2

5

2

5

1

5

所求数学期望

()

E X =22125+22+4

5222=

5555

?+?+?．……10分