高考数学 直线与圆的位置关系 专题
高考数学 直线与圆的位置关系 专题
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·重庆高考)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是 ( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离
解析：圆心(0,0)到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝12＝2
2，圆的半径r ＝1，∴0 ∴直线与圆相交但不过圆心． 答案：B 2．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于 ( ) A.3或－ 3 B ．－3或3 3 C ．－33或 3 D ．－33或3 3 解析：把圆的方程化成标准方程(x －1)2＋y 2＝3， 由已知得 |3×1－0＋m |( 3)2＋(－1)2 ＝3， 即|m ＋3|＝23， ∴m ＝－33或m ＝ 3.故选C. 答案：C 3．过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则l 的方程为 ( ) A ．5x ＋12y ＋20＝0 B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0 C ．5x －12y ＋20＝0 D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0 解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，若|AB |＝8，只需保证圆心(－1,2)到直线l 的距离等于3，过点(－4,0)的直线方程为y ＝k (x ＋4)和x ＝－4，显然x ＝－4与(－1,2)的距离为3满足题意； 而 |－k －2＋4k |1＋k 2 ＝3，得k ＝－5 12 ， 从而直线方程为5x ＋12y ＋20＝0. 答案：B 4．若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，14] B ．(－∞，1 4 ) C ．(14，＋∞) D ．[14 ，＋∞) 解析：圆心(－1,2)，∵直线平分圆的周长，∴直线必过圆心，将(－1,2)代入直线方程得a ＋b ＝1，ab ≤(a ＋b 2)2＝1 4 . 答案：A 5．能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0距离等于1的c 的一个值为 ( ) A ．2 B. 5 C ．3 D ．3 5 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心为 (1，－2)，半径为2.根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有 两点到直线的距离为1，经验证，c ＝3时，圆心到直线2x ＋y ＋3＝0的距离为35，满足1< 3 5<3.因此c ＝3满足题意． 答案：C 6．若直线x a ＋y b ＝1通过点M (cos α，sin α)，则 ( ) A ．a 2＋b 2 ≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b 2≥1 解析：∵点M (cos α，sin α)的轨迹方程为x 2＋y 2＝1，由题意知直线x a ＋y b ＝1与圆x 2＋y 2＝1 有公共点，得圆心到直线的距离11a 2＋1 b 2 ≤1，∴1a 2＋1 b 2≥1.故选D. 答案：D 二、填空题(每小题5分，共20分) 7．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于两点A 、B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为__________． 解析：圆心P (－1,2)，AB 中点Q (0,1)，k PQ ＝ 2－1 －1－0＝－1，∴直线l 的斜率k ＝1， 故y －1＝1(x －0)，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0 8．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________． 解析：y 2＝4x ，焦点F (1,0)， ∴圆心O (0,1)． O 到4x －3y －2＝0的距离d ＝5 5＝1，则圆半径r 满足r 2＝12＋32＝10，∴圆方程为x 2＋(y －1)2＝10. 答案：x 2＋(y －1)2＝10 图1 9．如图1，A 、B 是直线l 上的两点，且AB ＝2.两个半径相等的动圆分别与l 相切于A ，B 点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是__________． 解析：如图2，当圆O 1与圆O 2外切于点C 时，S 最大，此时， 图2 两圆半径为1，S 等于矩形ABO 2O 1的面积减去两扇形面积， ∴S max ＝2×1－2×(14×π×12)＝2－π 2. 随着圆半径的变化，C 可以向直线l 靠近， 当C 到直线l 的距离d →0时，S →0，∴S ∈(0,2－π 2 ]． 答案：(0,2－π 2 ] 10．已知圆C 1：x 2＋y 2＝9，圆C 2：(x －4)2＋(y －6)2＝1，两圆的外公切线交于P 2点，内 公切线交于P 1点，若P 1C 1→＝λC 1P 2→ ，则λ等于__________． 解析：如图3：设|P 1C 1→|＝y ，|C 1P 2→|＝x ，|C 1C 2→ |＝l ， 又圆C 1的半径R ＝3，圆C 2的半径r ＝1， 由平面几何性质可得x －l x ＝r R ＝13?x ＝3 2l ， l －y y ＝r R ＝13?y ＝3 4 l . λ＝－y x ＝－34l 32 l ＝－1 2 . 图3 答案：－1 2 三、解答题(共50分) 11．(15分)已知圆C 同时满足下列三个条件． ①与y 轴相切； ②在直线y ＝x 上截得弦长为27； ③圆心在直线x －3y ＝0上，求圆C 的方程． 解：设所求的圆C 与直线y ＝x 交于A 、B ， ∵圆心C 在直线x －3y ＝0上，∴设圆心为C (3a ，a )， ∵圆与y 轴相切，∴R ＝3|a |. 而圆心C 到直线x －y ＝0的距离 |CD |＝|3a －a |2＝2|a |. 又∵|AB |＝27，|BD |＝7， 在Rt △CBD 中，R 2－|CD |2＝(7)2， ∴9a 2－2a 2＝7，a 2＝1，a ＝±1,3a ＝±3， ∴圆心的坐标C 为(3,1)或(－3，－1)，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 12．(15分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ (O 是原点)，求m 的值． 解：设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．由OP ⊥OQ 得k OP ·k OQ ＝－1， 即y 1x 1·y 2 x 2＝－1，x 1x 2＋y 1y 2＝0 ① 又(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组 ??? ?? x ＋2y －3＝0 x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0 的实数解， 即x 1、x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0的两个根② ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275 ③ ∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1y 2＝12(3－x 1)·1 2(3－x 2) ＝14 ． 将③代入，得y 1y 2＝m ＋12 5 ④ 将③④代入①，解得m ＝3，代入方程②，检验Δ>0成立，∴m ＝3. 图4 13．(20分)(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，如图4，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4. (1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标． 解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23， 所以d ＝ 22－(3)2＝1. 由点到直线的距离公式得d ＝|1－k (－3－4)|1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－7 24 ， 所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程 为y －b ＝－1 k (x －a )． 因为圆C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相 等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即 |1－k (－3－a )－b |1＋k 2 ＝|5＋1k (4－a )－b |1＋1k 2 ， 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， 从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ， 即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值有无穷多个， 所以????? a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或????? a － b ＋8＝0，a ＋b －5＝0， 解得??? a ＝52 ，b ＝－1 2， 或??? a ＝－32 ， b ＝13 2. 这样点P 只可能是点P 1(52，－12)或点P 2(－ 32，13 2)． 经检验点P 1和P 2满足题目条件．