人教备战中考数学旋转提高练习题压轴题训练附答案
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB
=42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′． （1）求抛物线C 的函数表达式；
（2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． （3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2
142
y x =-+；（2）2＜m ＜23）m =6或m 173． 【解析】
试题分析：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （2，0），设抛物线的解析式为
24y ax =+，把A （220）代入可得a =1
2
-
，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为
()2142y x m =--，由()22142
14
2y x y x m ?=-+????=--??，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题
意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()
222(4280
20280m m m ?-->??
>??->??
，
解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得
M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．
试题解析：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （22，0），设抛物线的解析式为
24y ax
=+，把A （22，0）代入可得a =1
2
-
，∴抛物线C 的函数表达式为21
42
y x =-+．
（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为
()2142y x m =--，由2142
1(4
2x y x y ?=-+????=-??，消去y 得到222280x mx m -+-= ，由题意，
抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()
222(4280
20280m m m ?-->??
>??->??
，解得
2＜m ＜22，∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜22． （3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．
由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-
+上，∴()2
12242
m m -=-++，解得m 173或173（舍弃），∴m 17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．
情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-
+中，()2
12242
m m -=--+，解得m =6或0（舍弃），∴m =6
时，四边形PMP ′N 是正方形．
综上所述：m =6或m =17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．
2．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B
顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为2
1.(2
a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌
)BDE
()2探究2：如图2，在一般的Rt
ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺
时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由．
()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针
旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．
【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为
2
12
a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为
2
14a ． 【解析】 【分析】
()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出
ABC ≌
BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；
()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出
ABC ≌
BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；
()3如图3，过点A作AF BC
⊥与F，过点D作DE BC
⊥的延长线于点E，由等腰三角形
的性质可以得出
1 BF BC
2
=，由条件可以得出AFB≌BED就可以得出BF DE
=，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【详解】
()1如图1，过点D作DE CB
⊥交CB的延长线于E，
BED ACB90
∠∠
∴==，
由旋转知，AB AD
=，ABD90
∠=，
ABC DBE90
∠∠
∴+=，
A ABC90
∠∠
+=，
A DBE
∠∠
∴=，
在ABC和BDE中，
ACB BED
A DBE
AB BD
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
ABC
∴≌()
BDE AAS
BC DE a
∴==，
BCD
1
S BC DE
2
=?，
2
BCD
1
S a
2
∴=；
()2BCD的面积为2
1
a
2
，
理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，
BED ACB90
∠∠
∴==，
线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BE，
AB BD ∴=，ABD 90∠=，
ABC DBE 90∠∠∴+=，
A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中， AC
B BED A DBE AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
， ABC ∴≌
()BDE AAS ，
BC DE a ∴==，
BCD 1
S BC DE 2=?，
2BCD 1
S a 2
∴=；
()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，
AFB E 90∠∠∴==，11BF BC a 22
==， FAB ABF 90∠∠∴+=，
ABD 90∠=，
ABF DBE 90∠∠∴+=，
FAB EBD ∠∠∴=，
线段BD 是由线段AB 旋转得到的，
AB BD ∴=，
在AFB 和BED 中，
AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠??
∠=∠??=?
， AFB ∴≌
()BED AAS ，
1BF DE a 2
∴==
，
2BCD
1111
S
BC DE a a a 2224
=
?=??=， BCD ∴的面积为21
a 4
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.
3．在平面直角坐标系中，已知点A (0，4)，B (4，4)，点M ，N 是射线OC 上两动点(OM ＜ON )，且运动过程中始终保持∠MAN ＝45°，小明用几何画板探究其中的线段关系． (1)探究发现：当点M ，N 均在线段OB 上时(如图1)，有OM 2+BN 2＝MN 2． 他的证明思路如下：
第一步：将△ANB 绕点A 顺时针旋转90°得△APO ，连结PM ，则有BN ＝OP ． 第二步：证明△APM ≌△ANM ，得MP ＝MM ． 第一步：证明∠POM ＝90°，得OM 2+OP 2＝MP 2． 最后得到OM 2+BN 2＝MN 2． 请你完成第二步三角形全等的证明．
(2)继续探究：除(1)外的其他情况，OM 2+BN 2＝MN 2的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)新题编制：若点B 是MN 的中点，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．
【答案】(1)见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析；(3)见解析. 【解析】 【分析】
（1）将△ANB 绕点A 顺时针旋转90°得△APO ，连结PM ，则有BN=OP ．证明△APM ≌△ANM ，再利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2中，当点M ，N 在OB 的延长线上时结论仍然成立．证明方法类似（1）； （3）如图3中，若点B 是MN 的中点，求MN 的长．利用（2）中结论，构建方程即可解决问题． 【详解】
（1）如图1中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．
∵点A(0，4)，B(4，4)，
∴OA＝AB，∠OAB＝90°，
∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠MAP，
∵MA＝MA，AN＝AP，
∴△MAN≌△MAP(SAS)．
（2）如图2中，结论仍然成立．
理由：如图2中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．
∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠MAP，
∵MA＝MA，AN＝AP，
∴△MAN≌△MAP(SAS)，
∴MN＝PM，
∵∠ABN＝∠AOP＝135°，∠AOB＝45°，
∴∠MOP＝90°，
∴PM2＝OM2+OP2，
∴OM2+BN2＝MN2；
（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．
设MN＝2x，则BM＝BN＝x，
∵OA＝AB＝4，∠OAB＝90°，
∴OB＝2，
∴OM＝2﹣x，
∵OM 2+BN 2＝MN 2． ∴(42﹣x)2+x 2＝(2x)2，
解得x ＝﹣22+26或﹣22﹣26(舍弃) ∴MN ＝﹣42+46． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
4．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC ＝EC ，连接DE 、AE 、BD ．点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．
（1）PM 与BE 的数量关系是 ，BE 与MN 的数量关系是 ．
（2）将△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中BE 与MN 的数量关系结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）若CB ＝6．CE ＝2，在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B 、E 、D 三点在一条直线上时，求MN 的长度． 【答案】（1）1
,22
PM BE BE MN ==；（2）成立，理由见解析；（3）MN 17﹣117 【解析】 【分析】
（1）如图1中，只要证明PMN 的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；
（2）如图2中，结论仍然成立，连接AD 、延长BE 交AD 于点H .由ECB DCA ?，推出BE AD =，DAC EBC ∠=∠，即可推出BH AD ⊥，由M 、N 、P 分别AE 、
BD 、AB 的中点，推出//PM BE ，12PM BE =
，//PN AD ，1
2
PN AD =，推出PM PN =，90MPN ∠=?，可得2
2222
BE PM MN MN ==?
=； （3）有两种情形分别求解即可. 【详解】
（1）如图1中，
∵AM ＝ME ，AP ＝PB ，
∴PM ∥BE ，1
2
PM BE =
， ∵BN ＝DN ，AP ＝PB ，
∴PN ∥AD ，1
2
PN AD =
， ∵AC ＝BC ，CD ＝CE ， ∴AD ＝BE ， ∴PM ＝PN ， ∵∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥BC ，
∴∵PM ∥BC ，PN ∥AC ， ∴PM ⊥PN ，
∴△PMN 的等腰直角三角形， ∴2MN PM =，
∴1
22
MN BE =?， ∴2BE MN =
，
故答案为1
2
PM BE =
，2BE MN =． （2）如图2中，结论仍然成立．
理由：连接AD 、延长BE 交AD 于点H ． ∵△ABC 和△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD ＝CE ，CA ＝CB ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∵∠ACB ﹣∠ACE ＝∠DCE ﹣∠ACE ，
∴∠ACD ＝∠ECB ， ∴△ECB ≌△DCA ， ∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ， ∵∠AHB ＝180°﹣（∠HAB +∠ABH ） ＝180°﹣（45°+∠HAC +∠ABH ） ＝∠180°﹣（45°+∠HBC +∠ABH ） ＝180°﹣90° ＝90°， ∴BH ⊥AD ，
∵M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点，
∴PM ∥BE ，12PM BE =，PN ∥AD ，1
2
PN AD =， ∴PM ＝PN ，∠MPN ＝90°，
∴2
2222
BE PM MN MN ==?
=． （3）①如图3中，作CG ⊥BD 于G ，则2CG GE DG ===，
当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中，()
2
22262
34BG BC CG =-=-
=
∴342BE BG GE =-= ∴2
171MN BE =
=． ②如图4中，作CG ⊥BD 于G ，则2CG GE DG ===
当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中，()
2
222
6234BG BC CG =-=-
=，
∴342BE BG GE =+=+， ∴2
171MN BE =
=+． 综上所述，MN ＝17﹣1或17+1． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.
5．如图1，在Rt △ADE 中，∠DAE=90°，C 是边AE 上任意一点（点C 与点A 、E 不重合），以AC 为一直角边在Rt △ADE 的外部作Rt △ABC ，∠BAC=90°，连接BE 、CD ． （1）在图1中，若AC=AB ，AE=AD ，现将图1中的Rt △ADE 绕着点A 顺时针旋转锐角α，得到图2，那么线段BE ．CD 之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；
（2）在图1中，若CA=3，AB=5，AE=10，AD=6，将图1中的Rt △ADE 绕着点A 顺时针旋转锐角α，得到图3，连接BD 、CE ． ①求证：△ABE ∽△ACD ； ②计算：BD 2+CE 2的值．
【答案】（1）BE=CD ，BE ⊥CD ，理由见角；（2）①证明见解析；②BD 2+CE 2=170． 【解析】
【分析】
（1）结论：BE=CD，BE⊥CD；只要证明△BAE≌△CAD，即可解决问题；
（2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ABE∽△ACD．
②由①得到∠AEB=∠CDA．再根据等量代换得到∠DGE=90°，即DG⊥BE，根据勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2，即可根据勾股定理计算．
【详解】
（1）结论：BE=CD，BE⊥CD．
理由：设BE与AC的交点为点F，BE与CD的交点为点G，如图2．
∵∠CAB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．
在△CAD和△BAE中，∵
AB AC
BAE CAD
AE AD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△CAD≌△BAE，∴CD=BE，
∠ACD=∠ABE．
∵∠BFA=∠CFG，∠BFA+∠ABF=90°，∴∠CFG+∠ACD=90°，∴∠CGF=90°，∴BE⊥CD．（2）①设AE与CD于点F，BE与DC的延长线交于点G，如图3．
∵∠CABB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．
∵CA=3，AB=5，AD=6，AE=10，∴AE
AB =
AD
AC
=2，∴△ABE∽△ACD；
②∵△ABE∽△ACD，∴∠AEB=∠CDA．
∵∠AFD=∠EFG，∠AFD+∠CDA=90°，∴∠EFG+∠AEB=90°，∴∠DGE=90°，∴DG⊥BE，∴∠AGD=∠BGD=90°，∴CE2=CG2+EG2，BD2=BG2+DG2，∴BD2+CE2=CG2+EG2+BG2+DG2．∵CG2+BG2=CB2，EG2+DG2=ED2，∴BD2+CE2=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170．
【点睛】
本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键．
6．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.
(1)设AB的长为a，PB的长为b(b (2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长. 【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6. 【解析】 试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积． （2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长． 试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置， ∴△PAB≌△P'CB， ∴S△PAB=S△P'CB， S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）； （2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B， ∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°， ∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32； 又∵∠BP′C=∠BPA=135°， ∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形． PC==6． 考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质． 7．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ，PD． （1）求证：AC垂直平分EF； （2）试判断△PDQ的形状，并加以证明； （3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析. 【解析】 试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°， ∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论； （3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论． 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°， ∵BE=DF， ∴CE=CF， ∴AC垂直平分EF； （2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下： ∵点P是AF的中点，∠ADF=90°， ∴PD=AF=PA， ∴∠DAP=∠ADP， ∵AC垂直平分EF， ∴∠AQF=90°， ∴PQ=AF=PA， ∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ， ∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP， ∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°， ∴△PDQ是等腰直角三角形； （3）成立；理由如下： ∵点P是AF的中点，∠ADF=90°， ∴PD=AF=PA， ∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°， ∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ， ∴CQ⊥EF，∠AQF=90°， ∴PQ=AF=AP=PF， ∴PD=PQ=AP=PF， ∴点A、F、Q、P四点共圆， ∴∠DPQ=2∠DAQ=90°， ∴△PDQ是等腰直角三角形． 考点：四边形综合题． 8．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ． （延伸拓展）如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论． （深入探究）如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE， AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论． （应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且 ∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2； 求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）． 【答案】(1)证明参见解析；(2)HE=HF；(3)成立，证明参见解析；(4)证明参见解析，MN最小值为1. 【解析】 试题分析：(1)特例发现：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG， FQ=AG，即可解题；(2)延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后证明 △EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=AG， △AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判断△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出结论． 试题解析：(1)特例发现，如图： ∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB， ∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC， ∴FQ=AG，∴PE=FQ； (2)延伸拓展，如图： ∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB， ∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理， △QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ， ∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF； (3)深入探究,如图2， 在直线AG上取一点P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB，∴∠EAP=∠ABG，∵∠EPA=∠AGB，∴△APE∽△BGA， ∴，∵AB=kAE，∴PE=AG，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB，同理可得， △AQF∽△CGA，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴EP=FQ，∵EP∥FQ， ∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF； (4)应用推广,如图3， 在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，∴AE=AF，∵∠EAB=∠AGB， ∠FAC=∠AGC∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC）﹣∠BAC=60°，∴△AEF 为正三角形．又H为EF中点，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°， ∴∠EHM=∠FHN ．∵∠AEF=∠AFE ，∴△HEM ∽△HFN ，∴，∵EH=FH ， ∴ ，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN ∽△HFN ，∴△MHN ∽△HFN ∽△MEH ，在 △HMN 中，∠MHN=60°，根据三角形中大边对大角，∴要MN 最小，只有△HMN 是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN ∴MN ∥EF ，∵△AEF 为等边三角形，∴MN 为△AEF 的中位线，∴MN min =EF=×2=1． 考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质. 9．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。 （1）概念理解: 如图1,在ABC ?中,6AC = ,3BC =.30ACB ∠=?,试判断ABC ?是否是“等高底”三角形，请说明理由. （2）问题探究: 如图2, ABC ?是“等高底”三角形,BC 是“等底”，作ABC ?关于BC 所在直线的对称图形得到A BC '?,连结AA '交直线BC 于点D .若点B 是123,12z ai z i =-=+的重心,求AC BC 的值. （3）应用拓展: 如图3,已知12l l //,1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC ?的“等底” BC 在直线1l 上,点A 在直线2l 上,有一边的长是BC 的2倍.将ABC ?绕点C 按顺时针方向旋转45?得到 A B C ?'',A C '所在直线交2l 于点D .求CD 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13 AC BC = （3）CD 210322 【解析】 分析：（1）过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ，可以得到AD =BC =3，即可得到结论； （2）根据 ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，得到AD =BC ， 再由 ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， 得到 ∠ADC =90°，由重心的性质，得到BC =2BD ．设BD =x ，则AD =BC =2x ， CD =3x ，由勾股定理得AC 13，即可得到结论； （3）分两种情况讨论即可：①当AB 2BC 时，再分两种情况讨论； ②当AC 2BC 时，再分两种情况讨论即可． 详解：（1）是．理由如下： 如图1，过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ， ∴ΔADC 为直角三角形，∠ADC =90°． ∵ ∠ACB =30°，AC =6，∴ AD =1 2 AC =3， ∴ AD =BC =3， 即ΔABC 是“等高底”三角形． （2）如图2， ∵ ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，∴AD =BC ， ∵ ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， ∴ ∠ADC =90°． ∵点B 是ΔAA ′C 的重心， ∴ BC =2BD ． 设BD =x ，则AD =BC =2x ，∴CD =3x ， ∴由勾股定理得AC =13x ， ∴ 1313 AC x BC == ． （3）①当AB 2BC 时， Ⅰ．如图3，作AE ⊥l 1于点E ， DF ⊥AC 于点F ． ∵“等高底” ΔABC 的“等底”为BC ，l 1//l 2， l 1与l 2之间的距离为2， AB 2BC ， ∴BC =AE =2，AB 2， ∴BE =2，即EC =4，∴AC = 25 ∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ，∴∠CDF =45°． 设DF =CF =x ． ∵l 1//l 2，∴∠ACE =∠DAF ，∴1 2 DF AE AF CE ==，即AF =2x ． ∴AC =3x =5x 2 53，∴CD 2x 2103 ． Ⅱ．如图4，此时ΔABC是等腰直角三角形， ∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，∴ ΔACD是等腰直角三角形， ∴CD=2AC=22． ②当AC=2BC时， Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形． ∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C，∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2． Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC， ∴AC=2BC=2AE，∴∠ACE=45°， ∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C时，点A′在直线l1上， ∴A′C∥l2，即直线A′ C与l2无交点． 综上所述：CD 2 10 3 ，222． 点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解． 10．在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，且点 M 不与 B、C 重合，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ，连接BP，DQ． 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得 1, 1643 c b c =-?? ++=-?， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12y x x =- - …………………………………………… （1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5AOH OBC ∠=∠= ……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷= ………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =--， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 所以符合题意的点N 有4 个35 (22),(22),(1,),(3,)22 --+--- ……………………………………………………………………………………（1分） 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5 一、中考数学压轴题 1．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2 23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在 点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2． （1）如图1，求此抛物线的解析式； （2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点 D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若 72 8 CG AG = ，求点P 的坐标． 2．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数； （3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”． 例如：1423于4132为“相关和平数” 求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数． 3．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （概念感知） （1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=?，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由． 题型一选择题压轴题 类型一选择几何压轴题 1?如图，四边形ABCD是平行四边形，ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点，连接MW则MN的最小值为（） 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足：①点A到直线1的距离为2；②直线1与一条对角线平行；③直线1与菱形ABCD的边有交点，则符合题意的直线1的条数为（） 3?如图，在四边形ABCD 中，AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上，则使得APBD的面积为3的点P的个数为（） -√3 （第2（第3 4?如图，点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点，过点B作BN丄AM于点P,交 矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为（ ) A. √T3-2 5?如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。（）上的一个动点，ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线，两线 交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点，连接O C, （）D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为（ ） 6.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 在AD 边上，点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是（ ） 7.如图，OP 的半径为1,且点P 的坐标为（3, 2）,点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点，且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为（ ） √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B （第5 （第6 （第7（第8 一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示). 【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得 ∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论； (2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可. 【详解】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA， 由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF， ∴∠BAE=∠FEA， ∴AB∥FE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又BE=EF， ∴四边形ABEF是菱形； （2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN. ∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B ∴∠1＝∠2 又AM＝NM，AB＝MG ∴△ABM≌△MGN ∴∠B＝∠3，NG＝BM ∵MG＝AB＝BE ∴EG＝AB＝NG ∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－ 又在菱形ABEF中，AB∥EF ∴∠FEC＝∠B= ∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° ②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN. 同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° 综上所述，∠FEN＝－90° ∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) 当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°) 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值. 2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜ 一、中考数学压轴题 1．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线l 交O 于A B 、两点． （1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度． （2）已知M 是 O 一点，1cm OM =． ①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________． ②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ． 2．如图1，在 O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ， AD AB =． （1）求证：2CAO CDB ∠=∠ （2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE += （3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长． 3．已知抛物线2 17 22 2 y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标； （3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形． 4．已知，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB =EF =6，如图1，D 是斜边AB 的中点，将等腰Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α（0°<α<90°），在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ． （1）如图1，当α=60°时，求证：DM =BN ； （2）在上述旋转过程中， DN DM 的值是一个定值吗？请在图2中画出图形并加以证明； （3）如图3，在上述旋转过程中，当点C 落在斜边EF 上时，求两个三角形重合部分四边形CMDN 的面积． 5．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接 BE ，DE ． （1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长； （2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且 DF CD =，求证：12 AB EF =； （3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系 6．如图，90EOF ∠=?，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =， 3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时， 中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 一、中考数学压轴题 1．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ， 连接CD 交AB 于E ， （1）如图(1)求证：90AEC ∠=?； （2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接 MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠ （3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8，求线段MN 的长度 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点 M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y） （1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D， OA＝2，OC＝1． ①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C． ②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为． ③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为． （2）若ω＝120°，O为坐标原点． ①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝23，求圆M的半径及圆心M的斜坐标． ②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（23，23），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是． 4．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题． (1)（课本习题）如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．求证：DB=DE (2)（尝试变式）如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD． 求证：DB=DE． (3)（拓展延伸）如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E，使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论． 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 2a的解为正数，且使关于的分式方程y的不等（2017重庆）若数a使关于x1．4?? x?11?xy?2y???1?23的解集为y，则符合条件的所有整数a的和为（）式组 2???????0y?2a? A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解析】①解关于x的分式方程，由它的解为正数，求得a的取值范围． 2a 4??x?11?x去分母，得2－a＝4（x－1） 去括号，移项，得4x＝6－a 6?a 1，得x＝系数化为46?a6?a≠1，解得a且a≠2；6?，且，∴x≠1∵x且00?? 44②通过求解于y的不等式组，判断出a的取值范围． y?2y???1?32 ?????0y?2a?解不等式①，得y；2???a；解不等式②，得y ∵不等式组的解集为y，∴a；2??2??③由a且a≠2和a，可推断出a的取值范围，且a≠2，符合条件的所有整数6?a6??2?2??a为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A．2．（2017内蒙古赤峰）正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，则x＋y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26 【答案】A， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）只供学习与交流． 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 又∵正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25， ∴2x－5＝5，2y－5＝5或2x－5＝1，2y－5＝25 解各x＝5，y＝5或x＝3，y＝15． ∴x＋y＝10或x＋y＝18． 故选A. x?a?0?3．（2017广西百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a?2x?3a?0?的最小值是（） 2 D．．1 B．2 CA． 3 3B. 【答案】3a3a＜x≤a，因为该解集中至少5个整数解，所以a比至少【解析】不等式组的解集为??223a+5，解得a≥2 a≥．大5，即?2111122＝n－m－2，则－的值等于（4．（2017四川眉山）已知m＋n ）44mn1D．－ 1 C．B0 ．－A．1 4C 【答案】11112222，m＋1)n＋(－1)m＝0，从而＝－2即1)1)由题意，【解析】得(m＋m＋＋(n－n ＋＝0，(24421111 ＝－1．＝n2，所以－＝－2nm2－端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙．（2017聊城）5之前的函数关系式如图所示，下列两队与时间500米的赛道上，所划行的路程(min)my()x 说法错误的是（）到达终点．乙队比甲队提前A0.25min 时，此时落后甲队．当乙队划行B110m15m 一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（?< （3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=?-?=?。 又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。 ∴DC=CE=BC 。 ∵∠BCE=150°，∴(180150) EBC 152 ?-?∠= =?。 而1 EBC 30152 α∠=?-=?。∴30α=?。 （1）∵AB=AC ，∠BAC=α，∴180ABC 2 α ?-∠= 。 ∵将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ，∴DBC 60∠=?。 ∴180ABD ABC DBC 603022 αα ?-∠=∠-∠= -?=?-。 （2）由SSS 证明△ABD ≌△ACD ，由AAS 证明△ABD ≌△EBC ，即可根据有一个角等于60?的等腰三角 形是等边三角形的判定得出结论。 （3）通过证明△DCE 为等腰直角三角形得出(180150) EBC 152 ?-?∠==?，由（1） 1 EBC 302α∠=?-，从 而1 30152 α?-=?，解之即可。 2．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）请问EG 与CG 存在怎样的数量关系，并证明你的结论； （2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由） 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立 【解析】 【分析】 （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG =EG ． （2）结论仍然成立，连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点；再证 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日 三、解答题 23.（11分）如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1， 1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速 度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0 做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题 23. （11分）如图，抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点， 与y 轴交于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标． （2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标． （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ．若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q ′，是否存在点P ，使点Q ′恰好在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日 三、解答题 23.（11分）如图，已知直线 1 1 2 y x =-+与坐标轴交于A，B两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E． （1）请直接写出C，D两点的坐标，并求出抛物线的解析式； （2 个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落 在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积． 备用图 人教版中考数学压轴题24道：二次函数专题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位 置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 4．已知函数y ＝（n 为常数） （1）当n ＝5， ①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4，求n 的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y ＝x 2 ﹣2x ，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ． ①试求抛物线y ＝x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y ＝x 2﹣2x ，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴 与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式． 年中考数学选择题压轴题汇编 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 3 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 1．（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组()213220y y y a +?->???-≤? 的解集为y 2<-，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．10 B ．12 C ． 14 D ．16 【答案】A 【解析】①解关于x 的分式方程，由它的解为正数，求得a 的取值范围． 2411a x x +=-- 去分母，得2－a ＝4（x －1） 去括号，移项，得 4x ＝6－a 系数化为1，得x ＝ 64a - ∵x 0>且x≠1，∴64a -0>，且64 a -≠1，解得a 6<且a≠2； ②通过求解于y 的不等式组，判断出a 的取值范围． ()213220y y y a +?->???-≤? 解不等式①，得y 2<-； 解不等式②，得y ≤a ； ∵不等式组的解集为y 2<-，∴a 2≥-； ③由a 6<且a≠2和a 2≥-，可推断出a 的取值范围26a -≤<，且a≠2，符合条件的所有整数a 为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A ． 2．（2017内蒙古赤峰）正整数x 、y 满足（2x －5）（2y －5）＝25，则x ＋y 等于（ ） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25） 一．压轴题专题训练 1.问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P，且PA=2，PB= 3，PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长． 李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′B P是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所 以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7 ．问题得到解 决． 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P，且PA= 5 ，BP= 2 ，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长． 图3 图1 图2 2.阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角△A BC 中，∠ A 、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c．过 A 作AD ⊥BC 于D（如图），则s inB= A D ，sinc= AD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ， c b 于是csinB=bsinC ，即 b sin B c sin C c a a b ．同理有， sin C sin A sin A sin B ． a b c ∴??????（*） sin A sin B sin C 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． （1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A ，运用上述结论（* ）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 用关系式求出第一步，由条件∠B； 用关系式求出第二步，由条件∠C； 用关系式求出第三步，由条件c． o （2）一货轮在 C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30 的方向上，随后货轮以28.4 o 海里/时的速度按北偏东45 的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A 在货轮的 北偏西o 70 的方向上（如图11），求此时货轮距灯塔A 的距离AB （结果精确到0.1．参考数据：sin 40o =0.643，sin 65o =0.906，sin70o =0.904，sin 75o =0.966）． 3. 对于三个数a、b、c，M｜a，b，c｜表示这三个数的平均数，min { a，b，c}表示a、b、c 这三个数中最小的数，如：M{ －1，2，3} 1 2 3 34 3 ，min {－1，2，3} ＝－1； M{ －1，2，a} ＝1 2 a a 3 3 1 ，m{ －1，2，a} ＝ a(a 1(a 1), 1), 解决下列问题： (1)填空：min { sin30°，cos45°，tan30°} ＝________；若min { 2，2x＋2，4－2x} ＝2， 则x 的取值范围是________； (2)①若M{ 2，x＋1，2x} ＝min { 2，x＋1，2x} ，那么x＝________； ②根据①，你发现结论“若M {a，b，c} ＝min{ a，b，c}，那么________” (填a，b，c 大小关系)； ③运用②，填空：若M{ 2x＋y＋2，x＋2y，2x－y} ＝min { 2x＋y＋2， x＋2y，2x－y} ，则x＋y＝________； 2，y＝2－x 的图 (3)在同一直角坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝(x－1) 象(不需列表，描点)，通过图象，得出min { x＋1，(x－1)2，2－x} 最大值为________． 旋转问题 考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。 旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。 一、直线的旋转 1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，4 = MN，1 = MA，1 > MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N x AB=．（1）求x的取值范围； （2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？ 2、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B=60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α. (1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． C （第1题） 解：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°， 根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1； ②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°， 根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5． （2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形． ∵∠α=∠ACB=90°， ∴BC‖ED， ∵CE‖AB， ∴四边形EDBC是平行四边形． 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2， ∴∠A=30度， ∴AB=4，AC=2 ， ∴AO= = ． 在Rt△AOD中，∠A=30°， ∴AD=2， ∴BD=2， ∴BD=BC． 又∵四边形EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形． 3、（2009年北京市） 在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1) （1）在图1中画图探究： ①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直 2018中考数学压轴专题一、动点与面积问题 例1 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A (－1, 0)，B (4, 0)两点，与y 轴交于点C (0, 2)．点M (m , n )是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M 作x 轴的平行线交y 轴于点Q ，交抛物线于另一点E ，直线BM 交y 轴于点F ． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当S △MFQ ∶S △MEB ＝1∶3时，求点M 的坐标． 例2如图，已知抛物线2 12 y x bx c = ++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)． （1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）； （2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围； ②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个． 例3如图，已知二次函数的图象过点O (0,0)、A (4，0)、B (43 2,3 -)，M 是OA 的中点． （1）求此二次函数的解析式； （2）设P 是抛物线上的一点，过P 作x 轴的平行线与抛物线交于另一点Q ，要使四边形PQAM 是菱形，求点P 的坐标； （3）将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得曲线OB ′A （B ′为B 关于x 轴的对称点），在原抛物线x 轴的上方部分取一点C ，连结CM ，CM 与翻折后的曲线OB ′A 交于点D ，若△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍，这样的点C 是否存在？若存在求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 例4如图，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x = (x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平 行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和m y x =-(x ＜0)于M 、N 两点． （1）求m 的值及直线l 的解析式； （2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ； 题型一 选择题压轴题 类型一 选择几何压轴题 1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，AB ＝2，BC ＝4，点E 是直线BC 上的点，点F 是直线CD 上的点，连接AF ，AE ，EF ，点M ，N 分别是AF ，EF 的中点，连接MN ，则MN 的最小值为（ ） B.√?1 C.√32 －√ （第1题） （第2题） 2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝4，AC ＝2√11，若直线l 满足：①点A 到直线l 的距离为2；②直线l 与一条对角线平行；③直线l 与菱形ABCD 的边有交点，则符合题意的直线l 的条数为（ ） 3.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝2，BC ＝6，BD ＝5.若点P 在四边形ABCD 的边上，则使得△PBD 的面积为3的点P 的个数为（ ） （第3题） （第4题） 4.如图，点M 是矩形ABCD 的边BC ，CD 上的动点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP.若AB ＝4，AD ＝3，则DP 的长的最小值为（ ） A. √13?2 B.√13?42 C.32 5.如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是⊙O 上的一个动点，∠ACB ＝90°，腰AC 、斜边AB 分别交⊙O 于点E ，D ，分别过点D ，E 作⊙O 的切线，两线交于点F ，且点F 恰好是腰BC 上的点，连接OC ，OD ，OE.若⊙O 的半径为2，则 OC的长的最大值为（） √2＋1 C.√5＋1 （第5题）（第6题） 6.如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F在AD边上，点M，N分别是CD，BC边上的动点.若AB＝AF=2，AD=3，则四边形EFMN周长的最小值是（） +√13√2+2√5 +√5 7.如图，⊙P的半径为1，且点P的坐标为（3，2），点C是⊙P上的一个动点，点A，B是x轴上的两点，且OA=OB，AC⊥BC，则AB的最小值为（） √11√13 （第7题）（第8题） 8.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（） °°°° 9.如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，点P是AB边上一点，BP=3，点Q是CD边上的一动点.将四边形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点为点A′.当C A′的长度最小时，CQ的长为（） D.13 22020上海中考数学压轴题专项训练
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