《计算方法习题集》

绪论

(一)考核知识点

误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

(二)复习要求

1.知道产生误差的主要来源。

2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3.知道四则运算中的误差传播公式。

一、重点内容

一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其差称为误差。引起误差的原因是多方面的，主要有：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。在计算方法中主要讨论的是截断误差和舍入误差。

误差：设精确值x*的近似值为x，差e＝x－x*称为近似值x的误差(绝对误差)。

误差限近似值x的误差限e是误差e的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。

相对误差e r是误差e与精确值x*的比值，。常用计算。

相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。

有效数字如果近似值x的误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说x准确到该位。从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字。

二、难点内容

(1)设精确值x*的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10m，a1，a2，…，a n是0～9之中的自然数，且a1≠0，|x －x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n。则x有l位有效数字。

(2)设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n位有效数字，则其相对误差限

(3)设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n位有效数字。

(4)要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4位小数。

三、例题

例1设x*=p=3.1415926…

近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的误差是0.0015926…，有

，即n=3，故x=3.14有3为有效数字。x=3.14准确到小数点后第2位。

近似值x=3.1416，它的误差是0.0000074…，有

即m=1,n＝5，

，

x=3.1416有5位有效数字。

近似值x=3.1415，它的误差是0.0000926…，有

即m=1，n＝4，x=3.1415有4位有效数字。

这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有s位或s－1位有效数字。

例2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：

2.0004 －0.00200 9000 9000.00

解因为x1=2.0004＝0.20004×101,它的误差限0.00005=0.5×101―5，即m=1,n=5,故x=2.0004有5位有效数字.相对误差限

x2=－0.00200，误差限0.000005，因为m=－2，n=3，x2=－0.00200有3位有效数字。

相对误差限e r=0.00005/0.00200=0.25%。

x3=9000，绝对误差限为0.5，因为m=4,n=4,x3=9000有4位有效数字，相对误差限

e r＝0.5/9000=0.0056%

x4=9000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9000.00有6位有效数字，相对误差限为

e r=0.005/9000.00=0.000056%

由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。

例3ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？

解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是e＝0.05,故至少要保留小数点后三位才可以。Ln2?0.693。

例4如何去设计一个好的算法？

答：一个好的算法必须满足：1、计算步骤简化以减少运算次数及误差积累；2、避免两个相同号数数值相近的数相减；3、计算若干同号数时的和,按绝对值增大的顺序相加；4、避免乘除法中数值绝对值过大或过小；5、防止大数吃掉小数；6、选用数值稳定性好的算法。

四、练习题

1.设某数x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是___________________________。

2.设某数x*,它的精确到10－4的近似值应取小数点后____位。

3.()的3位有效数字是0.236×102。

(A)235.54×10－1(B)235.418(C)2354.82×10－2(D)0.0023549×103

4.设a*=2.718181828…，取a=2.718,则有(),称a有四位有效数字。

(A)(B)(C)(D)

5.设某数x*,对其进行四舍五入的近似值是(),则它有3位有效数字，绝对误差限是。

(A)0.315 (B)0.03150 (C)0.0315 (D)0.00315

6.以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为。

(A)0.01234 (B)–12.34 (C)–2.20 (D)0.2200

五、练习题答案

该数有效数字第四位的一半。2.四 3.(A) 4.(B) 5.(C) 6.(D)

方程求根

(一) 考核知识点

二分法；迭代法――牛顿法；弦截法。 (二)复习要求

1.知道有根区间概念，方程f (x )=0在区间(a ,b )有根的充分条件。

2.掌握方程求根的二分法；二分法及二分次数公式，迭代法及其收敛性。

3.熟练掌握牛顿法，掌握初始值的选择条件。

4.掌握弦截法。 一、重点内容

1.二分法:设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：x *

≈

x n =(a 0＝a ，b 0＝b )，n ＝0，1，2，…

有误差估计式：?x *

－x n ?≤

，n ＝0，1，2，…，二分区间次数：

2.牛顿法：用切线与x 轴的交点，逼近曲线f (x )与x 轴的交点。迭代公式为

（n ＝1，2，…），选初始值x 0满足f (x 0)f 2(x 0)＞0，迭代解数列一定收敛。

3.弦截法:用两点连线与x 轴交点逼近曲线f (x )与x 轴的交点。迭代公式为

(n ＝1，2，…)

二、难点内容：

（1）、迭代法概念:若方程f (x )＝0表成x ＝j(x )，于是有迭代格式：x n ＝j(x n －1)（n ＝1，2，…），

，

x *≈x n ，存在0＜l ＜1,|￠j(x )|￡l，在区间[a ,b ]内任一点为初始值进

行迭代，迭代数列收敛。

（2）定理一：设)(x φ在区间【a,b 】上具有一阶连续的导数，且满足如下两个条件：①当],[b a x ∈时，

],[)(b a x ∈φ；②存在正常数L<1，使得对任意],[b a x ∈有L x ≤')(φ。则

① 方程f(x)=0在区间【a,b 】上有唯一根；

② 对任意],[0b a x ∈，迭代格式x ＝j(x )收敛，且*

lim x x n n =∞

→；

（3）定理二：设方程f(x)=0在区间【a,b 】内有根x *

,且当],[b a x ∈时，1)(≥'x φ，则对任意初始值

],[0b a x ∈，且*≠x x 0，迭代格式x ＝j(x )发散。

(4)定理三（局部收敛）：设方程x ＝j(x )有根x *

,且在x *

的某个邻域δ≤-=*

x x x S 内j(x )存在

一阶连续的导数，则①当1)(*<'x ?时，迭代公式)(1n n x x φ=+局部收敛；②当1)(*

>'x ?时，迭代公式

)(1n n x x φ=+发散。

(5)迭代序列收敛阶的概念

若存在0＜l ＜1，|￠j(x)|￡l，在区间[a,b]内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛。设迭代序列{}n x 收敛于*

x ，如果存在实数1≥p 与正常数c ，使得c x

x x x p

n n n =--**+∞

→1lim

,则称序列{}n x 是p 阶收敛于*x 。特

别地，当1=p 时，称序列{}n x 为线性（一次）收敛；{}n x 为线性收敛时，必须要求1

x 的误差缩减越快，也就是序列{}n x 收敛越快。

(6)定理四：若j(x )在x *

附近的某个邻域内有)1(≥p p 阶连续导数，且

0)(,0)(,,0)(,)(**)1(***≠=='=-x x x x x p p ???? ，且对一个任意靠近x *的初始值，迭代公式

)(1n n x x φ=+是p 阶收敛的。

三、例题

例1证明方程1－x －sin x ＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4

的根要迭代多少次？

证明令f (x )＝1－x －sin x ， ∵f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根。 又f 1(x )=-1－c os x <0(x ?[0.1]),故f (x )＝0在区间[0，1]内有唯一实根。

给定误差限e ＝0.5×10－4

，有

2877.1312

ln 10

ln 45.0ln 12ln ln )ln(=-+-=---≥

εa b n ，只要取n ＝14。

例2用迭代法求方程x 5

－4x －2＝0的最小正根，计算过程保留4位小数。

[分析]容易判断[1，2]是方程的有根区间。

若建立迭代格式))2,1((14

5)(,42)(,424

55∈>='-=-=x x x x x x x ??即，此时迭代发散。

建立迭代格式))2,1((5

4

2454

)(,24)(,2444

55∈<

+=

'+=+=x x x x x x x ）

（??，此时迭代收敛。 解建立迭代格式，5

52+4=2+4=x x x x )(,?，

1=21∈5

4

<

2

+454=

'04x x x x 取初始值)),,(()(?，

1.4316245501≈=+=x x ， 1 1.505724.7245512≈=+=x x ，

5

1.5160204.8245523≈=+=x x ，

2 1.518066.8245534≈=+=x x ， 1.51850728.8245545≈=+=x x 。取≈*

x 1.5185。

例3试建立计算3a 的牛顿迭代格式，并求3791411.的近似值，要求迭代误差不超过10－6

。

[分析]首先建立迭代格式.确定取几位小数，求到两个近似解之差的绝对值不超过10－6

。

解令

0=-==33

a x x f a x )(,，求x 的值.牛顿迭代格式为 ),...,,()()(10=3+32=3--='-=2

23

1

+k x a

x x a x x x f x f x x k

k k k k k k k k 。迭代误差不超过10－6，计算结果应保留

小数点后6位。

当x =7或8时，x 3=343或512，0>8''80<7''7)()(,)()(f f f f 而,取x 0=8,有

078 7.47883791

.41183233222001≈?+?=+=

x a x x 956 7.439478078.73791.411478078.7323322

2212≈?+?=+=

x a x x ，

038122

0=-21.x x

7.439760

439956.73791.411439956.7323322

2223≈?+?=+=

x a x x ，

000196

0=-32.x x

7.439760439760

.73791.411439760.7323322

2334≈?+?=+=

x a x x

于是，取≈*

x 7.439760

例4用弦截法求方程x 3－x 2

－1＝0，在x =1.5附近的根.计算中保留5位小数点. [分析]先确定有根区间.再代公式.

解f (x )=x 3－x 2

－1，f (1)=－1，f (2)=3，有根区间取[1,2]。

迭代公式为

)

()()()

(1-1-1+---

=n n n n n n n x x x f x f x f x x (n =1,2,…) 取x 1

=2,

251≈1?43

-2=-+--1---=012

302131213112.)(x x x x x x x x x x

1.37662)225.1(2

225.125.11

25.125.125.12

323233≈-?+-----=x 1.48881)25.137662.1(25.125.137662.137662.11

37662.137662.137662.12

323234≈-?+-----=x

1.46348)3766

2.148881.1(37662

.137662.148881.148881.11

48881.148881.148881.12

323235≈-?+-----=x 1.46553)48881.146348.1(48881

.148881.146348.146348.11

46348.146348.146348.12

323236≈-?+-----=x 取≈*

x 1.46553，f (1.46553)?－0.000145

例4选择填空题

1.设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，若满足_____________，则方程f (x )=0在区间[a ,b ]一定有实根。 答案：f (a )f (b )<0

2.用简单迭代法求方程f (x )=0的实根，把方程f(x )=0表成x =j(x ),则f (x )=0的根是() (A)y =x 与y =j(x )的交点 (B)y =x 与y =j(x )交点的横坐标 (C)y =x 与x 轴的交点的横坐标 (D)y =j(x )与x 轴交点的横坐标 答案：(B)

3.为求方程x 3―x 2

―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )。

(A)1

1:,1

1

12-=-=

+k k x x x x 迭代公式 (B)2

121

1:,11k

k x x x x +=+

=+迭代公式 (C)3

/1212

3

)1(:,1k

k x x x x +=+=+迭代公式 (D)1

1:,12

2

1

2

3

+++==-+k k k

k x x x x x x 迭代公式 答案：(A) 解答： 在(A)中,075828.1)16.1(21

)1(21)(,1

1)(,112

/32/32=->--='-=-=

x x x x x x ??故迭代发散。 在(B)中1901.03.11

2),11)(,113

322<=<-='+=+

=x x x x x x ??，故迭代收敛。

在(C)中，15515.0)

3.11(36

.12)1(32),,1)(3

/223/2232<≈+?<+=

'+=x x x x x ??，故迭代收敛。

在(D)中，类似证明，迭代收敛.

4．牛顿切线法是用曲线f (x )上的_____________与x 轴的交点的横坐标逐步逼近f (x )＝0的解；而弦截法是用曲线f (x )上的__________________与x 轴的交点的横坐标逐步逼近f (x )＝0的解。

答案：点的切线；两点的连线 四、练习题

1.用二分法求方程f (x )=0在区间[a ,b ]内的根x n ，已知误差限e ，确定二分的次数n 是使()。

(A)b －a ￡e (B)?f (x )?￡e (C)?x *－x n ?￡e (D)?x *

－x n ?￡b －a

2.设方程f (x )=x －4＋2x

=0，在区间[1,2]上满足_____________,所以f (x )=0在区间[1,2]内有根。建立

迭代公式x

x 2-4=，因为__________________，此迭代公式发散。

3.牛顿切线法求解方程f (x )=0的近似根，若初始值x 0满足()，则解的迭代数列一定收敛。 (A))()(0x f x f ''<0 (B))()(0x f x f ''>0 (C))()(0x f x f ''￡0 (D))()(0x f x f ''30

4.设函数f (x )在区间[a ,b ]内有二阶连续导数，且f (a )f (b )<0,当__________时，则用弦截法产生的解数列收敛到方程f (x )=0的根。

5.用二分法求方程x 3

－x －1=0在区间[1.0,1.5]内的实根,要求准确到小数点后第2位。 6.试用牛顿切线法导出下列各式的迭代格式：

(1)c 1

不使用除法运算；(2)c 1不使用开方和除法运算。

五、练习题答案

1.(C)

2.0>20<1)(,)(f f ;3861≈22>22-='.ln ln )(x x ?>1

3.(B)

4.f ￠(x )10

5.1.32

6.(1)3

12

15.05.1)2(,

2n

n n n n n cx x x cx x x -=-=++

线性方程组的数值解法

(一)考核知识点

高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯――赛德尔迭代法；消去法消元能进行到底的条件，迭代解数列收敛的条件。

(二)复习要求

1.知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。

2.掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。

3.知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，知道迭代解数列收敛概念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件。

一、重点内容

1.高斯消去法：解线性方程组AX ＝b ，对增广矩阵

顺序作初等行变换，使矩阵A 化为上三角形矩

阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中，。注意：本章讨论线性

方程组的解的方法，不讨论解的存在性。

2.列主元消去法：在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元

，

(k ＝1，

2，3，…，n －1)把第r 行作为主方程，做第k 次消元。把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。

3.LU 公式法

LU A =

其中

??

?

???

???????

??

?=????????????????=nn n n n n u u u u u u u u U l l l L

2232211312

112121111

???

?

?????

??+=∑-==+=∑-=====-=-=n ,...,k i ,u u l a l n

...,,k ,n ,...,k ,k j ,u l a u n ,...,i ,u a l n ,...,j ,

a u kk k j jk

ij ik ik

k i ij ki kj kj i i j j 132********

1111111

4.雅可比迭代法：解线性方程组AX ＝b 的雅可比迭代法公式为

(k＝0，1，2，…)

4.高斯――赛德尔迭代法：解线性方程组AX＝b的高斯――赛德尔迭代法公式为

(i＝1，2，…，n；k＝0，1，2，…)

二、难点内容：解的收敛性定理

（1）高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AX＝b 能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。

（2）(迭代法基本定理)：设线性方程组X＝BX＋f对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭

其中λi(i＝1，2，…，n)为迭代矩阵B的特代公式：X(k＋1)＝B(k)X＋f，收敛的充分必要条件是

,

征根。当λi为复数时，|λi|表示λi的模。

（3）(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AX＝b，(1)若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法收敛；(2)若A为对称正定矩阵，则高斯――赛德尔迭代法收敛。

注：设矩阵A＝[a ij]n，若则称矩阵A是严格对角占优矩阵。

三、例题

例1用顺序消去法解线性方程组

解顺序消元

于是有同解方程组

回代得解：x3=－1,x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)T。

例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组

解建立迭代格式：(k =1,2,3,…)

第1次迭代,k =0：X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T

,

第2次迭代，k =1：，

X (2)＝(5,－3,－3)T ；

第3次迭代，k =2：，

X (3)＝(1,1,1)T ；

第4次迭代，k =3：，

X (4)＝(1,1,1)T ；

例3填空选择题：

1.用高斯列主元消去法解线性方程组

???

??=--=++=++2333220221

321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为。

解选a 21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x 1+2x 2+3x 3=3，消元得到

??

?=+--=-5

.35.125

.15.03232x x x x 是应填写的内容。

2.用选主元的方法解线性方程组A X ＝b ，是为了( )。

(A)提高计算速度 (B)减少舍入误差 (C)减少相对误差 (D)方便计算 答案：选择(B)

3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组

???

??=++=++=-+5

223122321

321321x x x x x x x x x 式中＝(k =0,1,2,…)

的迭代格1

2

11225++--k k x x 答案：

1

2

1125++--k k x x

解答：高斯——赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。

4.当a()时，线性方程组的迭代解一定收敛。

(A)>6 (B)=6 (C)<6 (D)>?6?

答案：(D)

解答：当?a?>6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由定理6，迭代解一定收敛。

四、练习题

1.用高斯列主元消去法解线性方程组

2.用高斯－赛德尔迭代法求解线性方程组

取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。

3.证明线性方程组

的迭代解收敛。

4.用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是.。

5.用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为()。

(A)3 (B)4 (C)－4 (D)－9

五、练习题答案

1、X＝(－4，1，2)T

2、(4.66619,7.61897,9.07452)T

3、提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。

4、线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。

5、(C)

函数插值与曲线拟合

(一)考核知识点

插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；差商及其性质，牛顿插值多项式；线性拟合、二次拟合。

(二)复习要求

1.了解插值函数，插值节点等概念。

2.熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。

3.掌握牛顿插值多项式的公式，了解差商概念和性质，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。

4.了解线性拟合和二次多项式拟合的方法。 一、重点内容

求插值多项式的基本思想：设函数)(x f 在区间［a,b ］上连续。已知它在],[b a 上1+n 个互不相同的点

n x x x ,,,10 处的值n y y y ,,,10 。如果多项式)(x p 在点i x 上满足),,1,0()(n i y x p i

i ==，则称)

(x p 是函数)(x f 的插值多项式。

1.函数插值：已知函数f (x )的n 个函数值y k ＝f (x k )，k ＝0，1，2，…，n 。构造一个多项式P(x )，使得P(x k )＝y k 。P(x )就是插值多项式，f (x )就是被插函数，x k 就是插值节点。误差R(x )＝f (x )－P(x )。

2.拉格朗日多项式：称n 次多项式P n (x )＝y 0l 0＋y 1l 1＋…＋y n l n ＝

为拉格朗日插值多项式，其中

基函数

当n ＝1时，线性插值P 1(x )＝y k l k (x )＋y k +1l k +1(x )，其中基函数

。

当n ＝2时，得到二次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为

，

其中ξ∈(a ，b )。

3.差商与牛顿插值多项式：函数值与自变量的差商就是差商， 一阶差商

(或记作f [x 0，x 1])；

二阶差商(或记作f [x 0，x 1，x 2])

性质 n 阶差商可以表示成n+1个函数值)(),...,(),(10n x f x f x f 的线 性组合，即

f ［k x x x ,...,,10］=∑=+-----n

i n i i i i i i i x x x x x x x x x f 0110)

)...()()...(()

(

当n=1时，

11100101010)

()()()(],[x x x f x x x f x x x f x f x x f -+

-=--=

当n=2时，

)

)(()

())(()())(()())(()()1

1()())(()()

)()((1

))()((1]

,[],[],[],[],,[120222101120100120222101201201001

2221102011100200

2211010212110210x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x x x f x x x x x f x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x x x x x f x x

x x f x x x x f x x f x

x x f --

+

-

-+--=

--+

----+--=-+--+-+--=-+

-=--=

注：差商有两条常用性质：(1)差商用函数值的线性组合表示；(2)差商与插值节点顺序无关。 用差商为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式N n (x )＝f (x 0)＋f [x 0，x 1](x －x 0)＋f [x 0，x 1，x 2](x －x 0)(x －x 1)＋…＋f [x 0，x 1，x 2，…，x n ](x －x 0)(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n-1)

牛顿插值多项式的余项为R n (x )＝f (x )－N n (x )＝f [x ，x 0，x 1，x 2，…，x n ](x －x 0)(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n )。

4.分段线性插值

已知n ＋1个互异节点x 0，x 1，…，x n 构造一个分段一次的多项式P(x )，且满足：(1)P(x )在[a ，b ]上连续；(2)P(x k )＝y k (k ＝0，1，2，…，n )；(3)P(x )在[x k ，x k +1]上是线性函数。

分段线性插值函数

其中l k (x )(k ＝0，1，2，…，n )是分段线性插值基函数。

(i ＝1，2，…，n －1)

5.三次样条插值函数

(k ＝0，1，2，…，n －1)(x k ≤x ≤x k ＋1)

其中S2(x k)＝m k(k＝0，1，2，…，n)，h k＝x k+1－x k(k＝0，1，2，…，n－1)，m0，m1，…，m n满足的方程组是

(*)

其中：，

(k＝1，2，…，n－1)

(1)当已知S￠(x0)＝y￠0，S￠(x n)＝y￠n时，(*)式中

m0＝1，l n＝1，

(2)当已知S2(x0)＝y20＝m0，S2(x n)＝y2n＝m n时，(*)式化为

6、最小二乘法

用j(x)拟合数据(x k，y k)(k＝1，2，…，n)，使得误差的平方和

为最小，求j(x)的方法，称为最小二乘法。

(1)直线拟合若，a0，a1满足法方程组

(2)二次多项式拟合若，a0，a1，a2满足法方程组

三、例题

例1已知函数=()的观察数据为

x k －2 0 4 5 y k

5

1

－3

1

试构造拉格朗日多项式P n ()，并计算P(－1)。 [只给4对数据，求得的多项式不超过3次] 解:先构造基函数

845-4--

=5-2-4-2-0-2-5-4-=

0)

)(())()(())(()(x x x x x x x l 405-4-2+=

5-04-02--05-4-2+=

1)

)()(())())((())()(()(x x x x x x x l 245-2+-

=5-40-42+45-2+=

2)

)(())()(()()()(x x x x x x x l 354-2+=

4-50-52+54-2-2+=

3)

()())()(())(()()(x x x x x x x x l

所求三次多项式为

P 3(x )=

y l k k k

n

=∑0

＝

845-4-?

5-)

)((x x x ＋405-4-2+))()((x x x －245-2+?

3-))(()(x x x ＋354-2+)()(x x x ＝

1+2155

-141-42523x x x 。

P 3(－1)＝724

=

1+21

55-141-425-

例2已知函数y =f (x )的数据如表中第1，2列。计算它的各阶差商。

k

X k f (x k ) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 0.40 0.41075 1 0.55 0.57815 1.11600 2 0.65 0.69675 1.16800 0.28000 3 0.80 0.88811 1.27573 0.35893 0.19733 4

0.90 1.20152

1.38410

0.43348

0.21300

0.03134

计算公式为

一阶差商

)

,,,()

()(),(3210=--=

1

+1+1+k x x x f x f x x f k k k k k k

二阶差商

)

,,()

,(),(),,(210=--=

2

+2+1+1+2+1+k x x x x f x x f x x x f k k k k k k k k k

三阶差商

)

,()

,,(),,(),,,(10=--=

3

+3+2+1+2+1+3+2+1+k x x x x x f x x x f x x x x f k k k k k k k k k k k k

四阶差商4

04321321043210--=

x x x x x x f x x x x f x x x x x f )

,,,(),,,(),,,,(

例3设

n x x x x ,...,,,210是n +1个互异的插值节点，),...,,,)((n k x l k 210=是拉格朗日插值基函数，证明：

(1)1

≡∑0

=n

k k

x l

)((2))

,...,,,()(n m x x x l

m n

k m

k k

210=≡∑0

=

证明(1)P n (x )=y 0l 0+y 1l 1+…+y n l n =

y l k k k

n

=∑0

)

()()(),()!

()

()()(x R x P x f x n f x R n n n n n +=∴

1+=1+1+ωξ

当f (x )o1时，

1＝)

()!()

()()()()(x n f x l x R x P n n k

k k n n 1+1+0=1++?1=+∑ωξ

由于

0=1+)()

(x f n ，故有1

≡∑0

=n

k k

x l

)(

(2)对于f (x )=x m

,m=0,1,2,…,n ，对固定x m

(0￡m￡n ),作拉格朗日插值多项式，有

)

()!()

()()()()(x n f x l x x R x P x n n n

k k

m

k n n m

1+1+0=1++=+≈∑ωξ

当n >m －1时，f

(n +1)

(x )=0，R n (x )=0，所以m

n

k k

m k x x l x

≡∑0

=)(。

注意：对于次数不超过n 的多项式

011

-1-++++=a x a x a x a x Q n n n n n ..)(,利用上结果，有：011-1-++++=a x a x a x a x Q n n n n n ..)(

=

∑∑∑∑0

=00

=10

=1-1-0

=++++n

k k n k k k n

k n k

k n n k n

k

k n x l a x x l a x

x l a x x l a )

()(...)()(