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线性代数习题2

第2章线性方程组练习题

1、已知 α1 = ( 1 , 1 , 0 , 1 )T ，α2 = ( 2 , 1 , 3 , 1 )T ，α3 = ( 1 , 1 , 0 , 0 )T ，α4 = ( 0 , 1 , -1 , -1 )T ，β = ( 0 , 0 , 0 , 1 )T ，（1）求向量组 α1 ，α2 ，α3 ，α4 的秩，（2）判定 β 是否可以表为 α1 ，α2 ，α3 ，α4 的线性组合，说明理由。（ 4，可以）

2、设向量组 α1 = ( 1 , 1 , 1 )T ，α2 = ( 1 , 2 , 3 )T ，α3 = ( 1 , 3 , t )T ，求（1）当 t 为何值时，α1 ，α2 ，α3 线性无关？（2）当 t 为何值时，α1 ，α2 ，α3 线性相关？此时将 α3 表为 α1 与α2 的线性组合。

（ t ≠ 5 时，α1 ，α2 ，α3 线性无关；t = 5时，α1 ，α2 ，α3 线性相关，且 α3 = -α1 + 2α2 ）

3、确定 λ 为何值时，向量 β = ( 0 , 1 , λ )T 可以表为向量组 α1 = (1 , 2 , 3 )T ，α2 = ( 2 , -1 , 1 )T ，α3 = ( -1 , -1 , -2 )T ， α4 = ( -2 , 1 , -1 )T 的线性组合，并求出一个具体表达式。

（ λ =1；β = α1 + α2 + α3 + α4 ）

4、设 ????? ??=111k α，????? ??=112k α，????? ??=k 113α，???

??---=223k β，讨论 k 为何值时，（1）β 不能由 α1 ，

α2 ，α3 线性表出；（2）β 能由 α1 ，α2 ，α3 线性表出，且表示法唯一；（3）β 能由 α1 ，α2 ，α3 线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。

（（1）- 2；（2）k ≠ 1且 k ≠ -2 ；（3）1 ，β = -2 α1 ）

5、已知向量组 α1 = ( 1 , 0 , 2 , 3 )T ，α2 = ( 1 , 1 , 3 , 5 )T ，α3 = ( 1 , -1 , a+2 , 1 )T ，α4 = ( 1 , 2 , 4 , a+8 )T 及 β = ( 1 , 1 , b+3 , 5 )T ，求（1）a 、b 为何值时，β 不能表示成 α1 ，α2 ，α3 ，α4 的线性组合；（2）a 、b 为何值时，β 有 α1 ，α2 ，α3 ，α4 的唯一线性表示式，写出该表示式。

（当 a = -1 且 b ≠ 0 时，不可以；当 a ≠ -1 时，有唯一的线性表示式

432101

a 1a 1a 1a 2ααααβ?++++++++-

b b ）

6、已知 α1 = ( 1 , 2 , -3 , 1 )T ，α2 = ( 5 , -5 , a , 11 )T ，α3 = ( 1 , -3 , 6 , 3 )T ，β = ( 2 , -1 , 3 , b )T ，问（1）a 、b 取何值时，β 不能由 α1 ，α2 ，α3 线性表示？（2）a 、b 取何值时，β 可以

由α1，α2，α3线性表示？并写出表示式。

（ b ≠ 4 时，不能；b = 4 且 a ≠ 12 时，唯一表示：β = α1 + 0 ?α2 + α3；b = 4 且a = 12 时，表示不唯一：β = ( 1-2c ) α1 + c α2 + ( 1-3c ) α3（c 为任意常数））

7、设向量组α1 = ( 2 , k , 1 )T，α2 = ( k-1 , -1 , 2 )T，α3 = ( 4 , 1 , 4 )T线性相关，求k 值。

（k = 1 或k = 9 / 4 ）

8、设n 维（n > 1 ）向量组α1 = ( 0 , 1 , 1 , … , 1 , 1 )T，α2 = ( 1 , 0 , 1 , … , 1 , 1 )T，…，αn = ( 1 , 1 , 1 , … , 1 , 0 )T，试判断该向量组是否线性相关。（线性无关）

9、已知向量组α1，α2，…，αs（s ≥ 2）线性无关，设β1 = α1 + α2，β2 = α2 + α3，…，βs-1 = αs-1 + αs，βs = αs + α1，讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性。

（s 为奇数时，线性无关；s 为偶数时，线性相关）

10、设向量组α1，α2，α3线性无关，问常数l，m满足什么条件时，向量组lα2-α1，

m α3-α2，α1-α3线性无关。（l m≠ 1 ）

11、设向量组α1 = ( 1 , 2 , -1 , 1 )T，α2 = ( 2 , 0 , t , 0 )T，α3 = ( 0 , -4 , 5 , -2 )T的秩为2，求t 的值。（t = 3 ）

12、设向量组α1，α2，α3，α4，α5，其中α1 = ( 1, -1, 2, 4 )T，α2 = ( 0, 3, 1, 2 )T，

α3 = ( 3, 0, 7, 14 )T，α4 = ( 1, -2, 2, 0 )T，α5 = ( 2, 1, 5, 10 )T。

求（1）向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩；

（2）找出向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。

（3；α1，α2，α4为其一个极大无关组，α3 = 3α1 + α2 + 0 ?α4，α5 = 2α1 + α2 + 0 ?α4）

13、已知向量组α1 = ( 1 , 1 , 1 , 3 )T，α2 = ( -1 , -3 , 5 , 1 )T，α3 = ( 3 , 2 , -1 , p+2 )T，

α4 = ( -2 , -6 , 10 , p )T，问：

（1）p 取何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关？试将向量β = ( 4 , 1 , 6 , 10 )T用α1，α2，α3，α4线性表出。

（2）p 取何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关？求出α1，α2，α3，α4的一个

极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

（ p ≠ 2时，线性无关，43212

12432ααααβ--++--+

=p p

p p ；P = 2 时，线性相关，极大无关组：α1 ，α2 ，α3 ，且 α4 = 0 ?α1 + 2α2 + 0 ? α3 ）

14、已知齐次线性方程组 ???

??=+=+-=++0200

221

321321kx x x x x x x kx 有非零解，求 k 的值。（ -2 或 3 ）

15、设 3 ? 4 矩阵 A 为一齐次线性方程组的系数矩阵，且 r ( A ) = 2，又已知 η1 = ( 1 , 1 , 3 , 1 )T ，η2 = ( -1 , 1 , -1 , 3 )T ，η3 = ( 5 , -2 , 8 , -9 )T ，η4 = ( -1 , 3 , 1 , 7 )T 均为该齐次线性方程组的解。试求它的一个基础解系，并将其余解表为该基础解系的线性组合。

（基础解系：η1 ，η2 ；且 2132

23ηηη-=，η4 = η1 + 2 η2 ）

16、已知向量组 α1 = ( 1 , -2 , 1 , 0 , 0 )T ，α2 = ( 1 , -2 , 0 , 1 , 0 )T ，α3 = ( 0 , 0 , 1 , -1 , 0 )T ，

α4 = ( 1 , -2 , 3 , -2 , 0 )T 都是下面齐次线性方程组的解：??

?????=-+++=+++=-+++=++++0

3345062203230

5432154325

432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ，判断

α1 ，α2 ，α3 ，α4 是否为该方程组得一个基础解系？若是，说明理由；若不是，在此向量组的基础上进行适当增减后，构成一个基础解系。

（不是。基础解系为：α1 ，α2 ，β，其中 β = ( 5 , -6 , 0 , 0 , 1 )T ）

17、用基础解系表示下列方程组的全部解 ???

??-=++-=+-+-=+

-2

233473124321

4321421x x x x x x x x x x x 。

（ ????

???

??--+??????? ??+??????? ??=10110121001021c c γ，c 1 、c 2 为任意常数）

18、设 ????? ??+----+=b b A 2a 21a 32a 1021，?

??-=331B ，

????

? ??=321x x x X ，试就 a 、b 的各种取值情况，讨论线性方程组AX = B 的解，如果有解，求出其解。

（当 a = 0 时，无解；当 a ≠ 0 且 a ≠ b 时，有唯一解：0,a

,a 11321==-=x x x ；当 a ≠ 0 且 a = b 时，有无穷多解：c x c x x =+=-

=321,a

,a 11，c 为任意常数）

19、已知非齐次线性方程组 AX = B 的增广矩阵?A 经初等行变换化为如下形式：

()??

??+-+-→→=20110

021

08240010000

,t k B A A ，讨论 k 、t 取何值时方程组无解，有解；当有解时，

写出它的全部解。

（当 t ≠ -2 时，无解；当 t = -2 且k = -8 时，全部解为 ????

???

??--+??????? ??-+??????? ??-=10210124001121c c γ，c 1 、

c 2 为任意常数；当 t = -2 且k ≠ -8 时，全部解为 ????

??--+??????? ??-=10210011c γ，c 为任意常数）

20、当 a 、b 为何值时，线性方程组 ????

???-=++

+=--+-=++=++

+1a 232)3a (122043214324324321x x x x b x x x x x x x x x x 无解，有唯一解和无穷多

解？在方程组有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示出线性方程组的全部解。

（ a = 1 且 b ≠ -1 时，无解；a ≠ 1 时，唯一解；a = 1 且 b = -1 时，无穷多解：

????

??-+??????? ??-+??????? ??-=10210121001121c c γ，c 1 、c 2 为任意常数）

21、讨论k 为何值时线性方程组???

??-=+-=++-=++4

24321

2321321x x x k x kx x kx x x 无解，有唯一解，有无穷多解？在有无

穷多解的情况下，用基础解系表示其全部解。

（当k = -1时，无解；当k ≠ -1且 k ≠ 4时，唯一解；当k = 4时，无穷多解：???

??--+????? ??=113040c γ，

c 为任意常数）

22、设四元非齐次线性方程组 AX = B 的系数矩阵的秩为 3 ，已知 α1 ，α2 ，α3 为它的三个解向量，其中 α1 = ( 2 , 0 , 5 , -1 )T ，α2 + α3 = ( 2, 0, -2 , 6 )T ，试求该方程组的全部解。

（ ????

??? ??-+??????? ??-=812021502c γ，c 为任意常数）

23、已知矩阵 A 是 4 元非齐次方程组的系数矩阵，且 r (A ) = 3 ，α1 ，α2 ，α3 是该方程组的三个不同解向量，其中 α1 + 2α2 + α3 = ( 2 , 4 , 6 , 8 ) T ，α1 + 2α3 = ( 1 , 3 , 5 , 7 )T ，试求 4 元非齐次方程组的全部解。（ T T c )4,2,0,2()22

3121(

--+=，，，γ ，c 为任意常数。）

24、设 A 为 3 ? 4 矩阵，r (A ) = 2 ，且已知非齐次线性方程组 AX = b 的三个解为 η1 = ( 1 , -1 , 0 , 2 )T ，η2 = ( 2 , 1 , -1 , 4 )T ，η3 = ( 4 , 5 , -3 , 11 )T ，求：（1）齐次线性方程组 AX = 0 的通解；（2）用基础解系表示出 4 元非齐次线性方程组 AX = b 的全部解。

（ η = c 1 ( η2 - η1 ) + c 2 ( η3 - η2 ) = c 1 ( 1 , 2 , -1 , 2 )T + c 2 ( 2 , 4 , -2 , 7 )T ，c 1 、c 2 为任意常数；γ = η1 + η = ( 1 , -1 , 0 , 2 )T + c 1 ( 1 , 2 , -1 , 2 )T + c 2 ( 2 , 4 , -2 , 7 )T ，c 1 、c 2 为任意常数）

25、已知 α1 = ( 1 , 2 , 0 )T ，α2 = ( 1 , a+2 , -3a )T ，α3 = ( -1 , b+2 , a+2b )T ，β = ( 1 , 3 , -3 )T ，当 a 、b 为何值时，α1 ，α2 ，α3 是 R 3 的一组基？并求 β 在这组基下的坐标。

（ a ≠ 0 且 a + 5b + 12 ≠ 0；??

??-0,a 1,a 1a ）

26、在 R 3 中给定两组基：ε1 = ( 1 , 1 , 0 )T ，ε2 = ( 0 , 1 , 1 )T ，ε3 = ( 1 , -1 , 2 )T ；η1 = ( 1 , 0 ,

1 )T ，η

2 = ( 0 , 1 , 1 )T ，η

3 = ( 1 , 1 ,

4 )T ，求非零向量 α ，使它在上述两组基下有相同的坐标。

（ α = c ( 0 , 1 , 1 )T ，c 为任意非零常数）

27、设齐次线性方程组 ???

??=+--=+-

=++

-002054325315421x x x x x x x x x x x ，求其解空间的一组正交基。（ ( 1 , 1 , 1 , 0 , 0 )T ，T )013

3231(，，，，-- ，( -1 , 0 , 1 , 0 , 1 )T ）

28、设 α1 = ( 1 , -2 , 2 )T ，α2 = ( 2 , -4 , 4 )T ，α3 = ( -1 , 0 , -1 )T ，α4 = ( -2 , 2 , -3 )T ， α5 = ( 5 , -3 , -7 )T ∈ R 3 ，求（1）R 3 的子空间 L ( α1 ，α2 ，α3 ，α4 ，α5 ) 的维数和一组标准正交基。（2）α1 ，α2 ，α3 ，α4 ，α5 在这组标准正交基下的坐标。

（ dim L ( α1 ，α2 ，α3 ，α4 ，α5 ) = 3， T ??? ??-32,32,31，T

??? ??---31,32,32

，

??? ??--32,31,3

；( 3 , 0 , 0 ) ，( 6 , 0 , 0 ) ，( -1 , 1 , 0 ) ，( -4 , 1 , 0 ) ，( -1 , 1 , 9 ) ）

29、设向量组 α1 ，α2 ，α3 ，其中 α1 = ( -1 , 1 , 0 )T ，α2 = ( -1 , 0 , 1 )T ，α3 = ( 1 , 1 , 1 )T ，并且 α1 与 α2 线性无关，α3 与 α1 ，α2 相互正交，（1）试判断 α1 ，α2 ，α3 是否为 R 3 上的一组基；（2）如果是，将其化为 R 3 上的一组标准正交基。

（是；T

??? ?

?-0,21

,21

，T

????

?--62,61

,61，T

???

??31,

1,3

1 ）

30、证明题

（1）设方程组 ???

??=-+=+-=-+0

302022321

321321x x x x x x x x x λ 的系数矩阵为 A ，三阶矩阵 B ≠ 0，且满足 A B = 0，求

① 参数 λ ；② 该方程组的全部解；③ 证明行列式 | B | =0 。

（ 1；η = c ( 0 , 1 , 1 )T ，c 为任意常数）

（2）设实矩阵 A m ?n （ n < m ），且线性方程组 A X = B 有唯一解，证明：A T A 是可逆矩阵，并求其解矩阵 X 的表达式。（ X = ( A T A )-1 A T B ）

（3）设 A 为 n 阶非零矩阵，求证：若存在一个 n 阶非零矩阵 B ，使 A B = 0，则 | A | = 0。

（4）设 A 为 m ? n 矩阵，B 为 n ? m 矩阵（ m < n ），E 是 m 阶单位矩阵，若 A B= E ，求证： A 的行向量组线性无关。

（5）设向量组 α1 ，α2 ，α3 线性无关，证明：向量组 α1 + α2 ，3α2 + 2α3，α1 - 2α2 + α3 线性无关。

（6）求证：n 维向量组 α1 ，α2 ，… ，αn 线性无关的充要条件是 n 维标准向量组 ε1 ，ε2 ，… ，εn 可以由 α1 ，α2 ，… ，αn 线性表示。

（7）设 α1 ，α2 ，… ，αs 为一组 n 维向量（s ≥ 2），且向量组

21312321-+++=+++=+++=s s s

αααβαααβαααβ

，求

证：向量组 α1 ，α2 ，… ，αs 线性无关的充分必要条件是 β1 ，β2 ，… ，βs 线性无关。

（8）设 α1 ，α2 ，… ，αm 为一个 n 维向量组，已知 r ( α1 ，α2 ，… ，αs ) = r ( α1 ，α2 ，… ，αs ，αs+1 ，… ，αm ) ，求证：{ α1 ，α2 ，… ，αs }? { α1 ，α2 ，… ，αs ，αs+1 ，… ，αm } 。

（9）已知向量组 α1 ，α2 ，… ，αm+1 （m ≥ 1）线性无关，向量组 β1 ，β2 ，… ，βm 可表为 βi = αi + t i αm+1 （i = 1，2，…，m ），其中 t i （i = 1，2，…，m ）是数。证明：向量组 β1 ，β2 ，… ，βm 线性无关。

（10）设向量组 α1 ，α2 ，α3 ，… ，αn 的前 n - 1 个向量线性相关，后 n - 1 个向量线性无关，证明：① α1 能由 α2 ，α3 ，… ，α n -1 线性表示；② αn 不能由 α1 ，α2 ，… ，α n -1 线性表出。

（11）设向量 β 可由向量组 α1 ，α2 ，… ，α r - 1 ，α r 线性表示，但向量 β 不可由向量组 α1 ，α2 ，… ，α r - 1 线性表示。试证：向量组 α1 ，α2 ，… ，α r - 1 ，α r 与 α1 ，α2 ，… ，

α r - 1 ，β 有相同的秩。

（12）设 α1 ，α2 ，α3 是某个向量组的极大无关组，β1 ，β2 ，β3 是此向量组的部分组，并且 β1 = α1 + α2 + α3 ，β2 = α1 + α2 + 2α3，β3 = α1 + 2α2 + 3α3 。证明：β1 ，β2 ，β3 也是此向量组的极大无关组。

（13）设向量组 α1 ，α2 ，… ，αm 线性无关，向量 β1 可由该向量组线性表示，而向量 β2 不能由该向量组线性表示，证明：m + 1 个向量 α1 ，α2 ，… ，αm ，l β1 + β2 （l 为常数）线性无关。

（14）在线性方程组???????=+=+=+=+2

21312

21b x x b x x a x x a x x 中，2121b b a a +=+ 。求证：方程组有解，并用其导出组的基础解系表示其全部解。（ γ = ( a 1 - b 2 , b 2 , a 2 , 0 )T + c ( 1 , -1 , -1 , 1 )T ，c 为任意常数）

（15）设 α1 ，α2 ，α3 是齐次线性方程组 AX = 0 的一个基础解系，证明：α1 + α2 ，α2 + α3 ，α3 + α1 也是该齐次线性方程组的一个基础解系。

（16）设 β 是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，α1 ，α2 ，… , α n - r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，证明：α1 ，α2 ，… , α n - r ，β 线性无关。

（17）设 β 是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，α1 ，α2 ，… , α n - r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，且 α1 ，α2 ，… , α n - r ，β 线性无关，证明：β + α1 ，β + α2 ，… , β + α n - r ，β 线性无关。

（18）证明：正交向量组是线性无关的。

（19）如果 A 与 B 分别是两个 n 阶正交矩阵，证明：分块矩阵????

??=B O O A C 是正交矩阵。

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

线性代数复习题2

复习题2 一、填空题（共60 分每空3分） 1．行列式：=3 22232 2 23 ，它的第2行第3列元素2的代数余子式23A = . 2．若B A ，为3阶方阵，且2=A ，2=B ，则=-A 2 ， ='?)(B A ， =-1A . 3. 设????? ??=210110001A ,??? ? ? ??=200020001B , 则=?B A , 1 -A = . 4．设)(ij a A =是３阶方阵, 3=A ，则： =++131312121111A a A a A a , =++231322122111A a A a A a . 5. 向量），，（1 0 1='α与向量），，（0 1 1-='β，则: 的与 βα夹角= ， 6．向量），，（3 2 11='α），，（1 2 32='α，），，（1 1 13='α，则向量组321ααα，，的秩等于，该组向量线性关. 7. 设????? ??=20001101λA ,? ?? ?? ??=001B , ???? ? ??=321x x x X ,则当≠λ 时，线性方程组B AX =有唯一解；

当2=λ 时，线性方程组B AX =的解X '= . 8．设0 =x A ，A 是43?阶矩阵，基础解系中含有1个解向量，则=)(A R ． 9．设21,λλ是实对称矩阵A 的两个不同的特征值，21,p p 是对应的特征向量，则 =],[21p p ． 10．设3阶实对称矩阵A 的三个特征值分别为321，，，则矩阵A 为定矩阵, A 的行列式=A . 11．二次型322 322213212),,(x x x x x x x x f +++=所对应的矩阵为 ???? ? ??=110110001A , 该矩阵的最大特征值是 , 该特征值对应的特征向量是 . 二、选择题（共20分每空2分） 1．设n 元线性方程组b x A =，且1),(+=n b A R ，则该方程组( ) Ａ．有唯一解Ｂ．有无穷多解Ｃ．无解Ｄ．不确定 2. 设n 元线性方程组 O x A =，且k A R =)(，则该方程组的基础解系由( ) 个向量构成. Ａ．有无穷多个Ｂ．有唯一个Ｃ．k n - Ｄ．不确定 3．设矩阵C B A ,,为n 阶方阵，满足等式C AB =，则下列错误的论述是（）．Ａ. 矩阵Ｃ的行向量由矩阵A 的行向量线性表示；Ｂ．矩阵Ｃ的列向量由矩阵A 的列向量线性表示；

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分) 1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1）二阶行列式 2a ab b b =___________。（2）二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。（3）二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。（4）三阶行列式x y z z x y y z x =___________。（5）三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。【2】选择题（1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。（2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。（5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

2018线性代数复习题

2017-2018学年第二学期数学Ⅱ(线数) 期末复习题一、填空题 1. 排列(762589431)的逆序数为； 2．A 是3阶矩阵，E A A T 4=，则 =A . 3．四阶行列式的第一行元素为1,2,0,-4，第三行元素的代数余子式分别为6,x -,19,-8, 则x =______. 4．行列式 2 23 5 101 1110 40 3 --中第4行各元素的代数余子式之和为__________. 5．设A ，B 为n 阶方阵，且E AB =，E A B B A ==--11，则22B A +=___ ___. 6. T T ) 2,0,1(,)2,1,0(=-=βα,7230521006B ?? ?= ? ??? 则 T 2()R B αβ=___ _. 7.设矩阵??? ? ? ??=54332221t A ，若齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则数t =__ __． 8.如果向量组的秩为r ，则向量组中任何1+r 个向量（线性相关或线性无关）. 9.已知向量组T T a a )4,,4(,),1,2(21==αα线性无关，则数a 的取值必满足__ ____. 10．已知向量组T T T a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a ____ __. 11.已知线性方程组1231231 234 232 x x x x x ax x x ax ++=?? +-=??+-=?无解，则数=a ____ __. 12．已知向量T )3,0,1,2(=α，T k ),1,2,1(-=β，α与β的内积为2，则数k =__ __． 13．设向量(3,4)T =-α，则α的长度α=__________． 14. 三阶矩阵A 的三个特征值分别为1，-1，2，矩阵323B A A =-，则B 的特征值为 ,． 15.设向量()T 1,1,3α=，T (1,1,1)β=-，矩阵T A αβ=，则矩阵A 的非零特征值为 _ __． 16.设123α?? ?= ? ???，22t β?? ? = ? ??? ，且α与β正交，则t =__ __．二、选择题 1.已知3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a =3，那么33 32 31 23222113 12 11222222a a a a a a a a a ---=（） A ．-24 B. -12 C. -6 D. 12

线性代数二次型习题及答案

第六章二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ?? ? B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 1 2?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(, ,)n D μμ==Q B Q T 11, ,. n μμ=B M BM 其中为的特征值令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型2111 ()m i in n i f a x a x ==+ +∑，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的秩等于()r A . 证：方法一将二次型f 写成如下形式：

线性代数复习题带参考答案(2)

线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数(经济数学2)_习题集(含答案)

《线性代数(经济数学2）》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院版权所有习题【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。一、计算题1 1. 设三阶行列式为2 310211 01--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12， A 13． 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 343276415 49 9 16 57341111 4--= D 3. 求解下列线性方程组： ?? ?????=++++=++++=++++---1 1 113221 1 2132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠

4. 问取何值时齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解 5. 问取何值时齐次线性方程组12312312 3(1)240 2(3)0(1)0 x x x x x x x x x λλλ--+=?? +-+=??++-=?有非零解二、计算题2 6. 计算614 2302 1 51032121 ----= D 的值。 7. 计算行列式5 2 41 421318320521 ------= D 的值。 8. 计算0 111101111011 110= D 的值。 9. 计算行列式199119921993 199419951996199719981999 的值。 10. 计算 4 124120210520 117 的值。 11. 求满足下列等式的矩阵X 。 2114332X 311113---???? -= ? ?----????

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

线性代数第二章习题答案

习题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,．解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。习题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求（1）B A 52-；（2）BA AB -；（3）2 2B A -．解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ；（2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ；（3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-．解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求

线性代数复习题及答案

《线性代数复习提纲及复习题》理解或掌握如下内容：第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式，行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。第二章矩阵及其运算矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。第三章线性方程组ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩；齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。复习题：一、填空（1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为负；（2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0）；（3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性无关；（4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ；（5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ；（6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ；（7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ；（8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解；（9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的充要条件；

线性代数习题及解答

线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（） A ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。典型例题解析例1 设均为3阶矩阵，且，则。解：答案：72 因为，且

所以例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。解：答案：A 因为，所以A可进行。关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。例3 已知求。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得。

例4 设矩阵求。解：方法一：伴随矩阵法可逆。且由得伴随矩阵则=

方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例4 设矩阵求的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解：。

新编线性代数习题二解答

习题二解答 1. 两个零和对策问题.两个儿童玩石头--剪刀--布的游戏，每人的出法只能在{石头--剪刀--布}选择一种，当他们各选定一个出法（亦称策略）时，就确定了一个“局势”，也就得出了各自的输赢.若规定胜者得1分，负者得-1分，平手各得零分，则对于各种可能的局势（每一局势得分之和为零即零和），试用赢得矩阵来表示的A 得分. 解 011101110B A →-?? ?- ? ?-??↓ 策略石头剪刀布石头策剪刀略布删了2. 有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2，4，5，6负于3；选手2胜选手4，5，6负于1，3；选手3胜选手1，2，4负于5，6；选手4胜选手5，6负于1，2，3；选手5胜选手3，6负于1，2，4；若胜一场得1分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序. 解 123456 11011120 011131 110040001150010160 0100?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ，选手按胜多负少排序为1 2 3 4 5 6. 2. 某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B .且 357220430123A ?? ?= ? ???，132021570648B ?? ?= ? ??? 试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量. 解 357213202043215701230648A B ???? ? ? +=+ ? ? ? ????? 3. 设111123111124111051A B ???? ? ?=-=-- ? ? ? ?-????，，求32AB A -与T A B . 解 1111231113331111242111111051111AB A ?????? ??? ? -=----- ??? ? ??? ?--?????? 4. 某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用如下矩阵表示：若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为10元，8元，7元，试用矩阵的乘法求出以何种方法获利最多.

8线性代数练习题(带解题过程)

０线性代数试题一填空题 ◆1．设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ；【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意：为什么是3 )1(- ◆2．设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β，如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

１法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==，切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！ ◆3．设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

线性代数练习题2

线性代数基础训练习题二一．选择题: 1. 设为矩阵，B为矩阵，且,则矩阵为（）（A）矩阵；（B）矩阵；（C）矩阵；（D）矩阵 2.设为阶方阵，且,则必有（）（A）；（B）；（C）；（D） 3. 设为阶方阵，则必有（）（A）；（B）；（C）；（D） 4.设为n阶矩阵的伴随矩阵，则下列结论不正确的是（）（A）若可逆，则也可逆；（B）若是零矩阵，则也是零矩阵；（C）若可逆，则也可逆；（D）若是零矩阵，则也是零矩阵； 5.矩阵都是可逆矩阵，则下列结论不正确的是（）（A）是可逆矩阵；（B）的转置矩阵是可逆矩阵；（C）是可逆矩阵；（D）是可逆矩阵。 6.设为阶方阵，且，则必有（）（A）；（B）；（C）；（D）A不是可逆矩阵 7.将矩阵的第一行与第三行元素互换位置，再把第一行每个元素的-3倍，加到第二行对应的元素上，得到矩阵B，则矩阵B是（）（A）；（B）；（C）（D）； 8．对于方阵A进行一系列初等变换，下列选项中可能变化的是（）（A）A的秩；（B）A的行列式；（A）A的行数；（D） A的列数 9.设5阶矩阵A的秩是3，则有A的伴随矩阵的秩（）（A）；（B）；；（D）二．填空题: 1. 已知3阶矩阵的行列式，则有。 2. = 。 3设3阶矩阵A的伴随矩阵为，，则 . 4设，则 . 5设，则 . 6.将3阶矩阵A的第一行元素都乘以2加到第三行对应元素上去得到矩阵B，相当于在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵P就会得到矩阵B，这个初等矩阵P =。 7将3阶矩阵A的第一列元素加到第三列对应元素上去得到矩

阵B，相当于在A的右边乘以初等矩阵P= 得到B. 8.矩阵的秩 . 9已知的秩为2，则。 10.设，则三．计算题: 1.设矩阵和，求。 2. 设矩阵，求。 3.设矩阵，求此矩阵的逆矩阵。 4.已知及使,求. 5.已知且,求. 6.设三阶矩阵满足：，且，求. 7.用初等变换法求的逆矩阵 8.将矩阵化为行阶梯矩阵，并求其一个最高阶的非零子式。 9.求矩阵的秩：（1）；（2） 10.设为3阶矩阵，是的伴随矩阵，，求四．证明题： 1.设为阶矩阵，是的伴随矩阵，证明：的充分必要条件是。 2. 设方阵，和都可逆，证明：可逆，并求其逆矩阵。 3. 设方阵满足为，证明：及可逆，并求它们的逆矩阵。 4. 设为阶矩阵，且，证明：。

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1

7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题