勾股定理习题精选[1]1[1] 2
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- 1 -
S 3
S 2
A
勾股定理练习题精选
一、选择题
1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A ：4，5，6
B ：1，1，2
C ：6，8，11
D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）
A ：26
B ：18
C ：20
D ：21
3、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）
A ：3
B ：4
C ：5
D ：7
4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ）
A ：5
B ：10
C ：25
D ：5 5、下列定理中,没有逆定理的是（ ）
A ：两直线平行，内错角相等
B ：直角三角形两锐角互余
C ：对顶角相等
D ：同位角相等，两直线平行
6、△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，AB ＝8，BC ＝15，CA ＝17，则下列结论不正确的是
（ ）
A ：△ABC 是直角三角形，且AC 为斜边
B ：△AB
C 是直角三角形，且∠ABC ＝90° C ：△ABC 的面积是60
D ：△ABC 是直角三角形，且∠A ＝60° 7、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A ：43
B ：3
C ：23
D ：3 8、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2
(6)810
0a b c -+-+-=，则三角形的形状是（ ）
A ：底与边不相等的等腰三角形
B ：等边三角形
C ：钝角三角形
D ：直角三角形
9、如图一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港
口A 出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ） A ：36 海里 B ：48 海里 C ：60海里 D ：84海里 10、若ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A ：14 B ：4 C ：14或4 D ：以上都不对 二、填空题（每小题4分，共40分）
11、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面
- 2 -
D
C
B A
3
220
B
A
C
B
A
D
（填“合格”或“不合格”）；
12、如图所示，以Rt ABC 的三边向 外作正方形，其面积分别
为123,,S S S ,且1234,8,S S S ===则 ；
13、将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的
距离为6米，则梯子的底端到墙的底端的距离为 ； 14、如图，90,4,3,12C ABD AC BC BD ?
∠=∠====,则AD= ； 15、若三角形的三边满足::5:12:13a b c =，则这个三角形中最大的角为 ；
16、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为 ； 17、写出一组全是偶数的勾股数是 ； 18、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20dm 、3dm 、2dm ，?A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 ； 19、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地
面，此时，顶部距底部有 m ；
20、一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的
速度向南航行，上午10：00，两小相距 海里。 三、解答题（每小题10分，共70分）
21、如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°，AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道
0.3公里，问几天才能把隧道AB 凿通？
22、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积。
- 3 -
E
F
D
C
B
A
C
A
B
D
23、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,?则这条小路的面积
是多少?
24、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。 (2)求AB 的长。
25、如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行
驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？
26、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走
70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.
8km C
A
B 6km
10
40
20
40
出发点 70
终止点
- 4 -
C
B
A D E
F
27、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC ?为10cm ．当小红
折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时
EC 有多长？?
勾股定理的应用 (2)
勾股定理的应用 一、知识框架 1、勾股定理的猜想 2、勾股定理的验证 3、勾股定理的应用 二、目标点击 1、经历探索勾股定理的过程，培养推理能和，体会数形结合起来思想。 2、能够利用定理解决一些简单的实际问题 3、培养学生良好的探究习惯，经历猜想——验证——应用的探究过程 三、重难点预见 学习重点：经历探索勾股定理的过程。 学习难点：会用勾股定理解决一些简单的实际问题。 四、学法指导 1、让学生根据教材和教师提供的预习学案先独立探究，然后在小组内交流自已在预习过程中遇到的疑难，完成对学案内容的探究。 2、学具准备：边长为整数的直角三角形纸片（每组2个），带有刻度的直尺。 五、自主探究 情境导入： 2002年在北京召开国际数学大会，在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的风车的图案就是大会的会标，在这个会标中到底蕴含着什么样的数学奥秘呢？今天就让我们走进这人神秘的图形，一起探究数学王国中的奥妙。 学法指导： 通过学生亲自动手测量直角三角形纸片三边的长度，猜想直角三角形三边长度的平方之间的关系，从而培养学生动手操作能力和猜想能力。 （一）猜一猜 测量你们小组的两块直角三角形纸板三边长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺直角边a 直角边b 斜边 c 关系 1 2 根据测得的数据：你能发现直角三角形纸板三边的长度的平方之间是否存在着一定的关系？你能作出怎样的猜想？把你的发现说给组内的同学听一听。。 （二）想一想 1、观察图2正文形P中含有几个小方格，即P的面积为多少个单位面积？正方形Q与正方形R的面积为多少个单位面积呢？正方形P、Q、R的面积有什么关系？这说明等腰直角三角形三边的平方具有什么关系呢？ 解后感悟： 通过数方格，可以发现等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。 方法提升：计算平面图形面积经常用到的方法有：数方格、割补法、凑整法等。 2、观察图 3、并填下表： 正方形A的面积=_______平方单位。正方形B的面积=_______平方单位。正方形C的面积=_______平方单位。 你是如何得出正方形C的面积的？把你的想法在小组内交流。 解题关键：求出正方形C的面积是探究三个正方形C的面积是探究三个正方形面积之间关系的关键。 预见性问题：学生探究正文形C的面积时比较困难，方法比较单一。利用分割法求正方形C 的面积时，忘记中间的一个小正方形而造成失误。 预见性措施：让学生通过小组交流，然后在班内汇报。教师重点引导学生对不同方法，不同思路进行比较，最后得出最优的方案。 （三）议一议 三个正方形A、B、C的面积之间存在什么关系？那么，你能发现直角三角形三边长度的平方之间存在什么关系吗？与同伴交流。 学法指导：能过前面的探究，让学生在班内汇报自己的观点，班内其他同学补充完善，最后验证前面猜想的正确性。 （四）记一记
勾股定理试题较难
勾股定理试题较难内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
1、如图，由4个全等的直角三角形拼合而成的一个大正方形，如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于多少？ 2、如图，三个半圆的面积分别为S 1=4.5π，S 2=8π，S 3=12.5π，把这三个半圆拼在一起，则图中的三角形一定是直角三角形吗？为什么？ 3、Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2+BC 2+AC 2 = 。 4、直角三形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的 周长是 。 5、长方体底面边长分别为1㎝和3㎝，高为6㎝，如果一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长？如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长？ 6、已知如图，在长方形ABCD 中，AB=3㎝，AD=9㎝，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求△BEF 的面积。 7、已知△ABC 中，AB ＞，AD 是BC 边上的高，求AB 2-AC 2=BC （BD-） 8、如图，在钝角△中，BC=9，AB=17，AC=10，AD ⊥BD 于D ，求AD 的长。 9、如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，顶上A 处的一只蚂蚁要到B 处吃食物，已知B 距顶部D 处8 ㎝，则蚂蚁爬行的最短路程是多 少？ 10、如图，是一个长8㎝，宽6㎝，高5㎝的仓库，在其内壁的A 处有一只壁虎，B 处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多秒㎝，其中AC=6㎝，BD=4㎝。 11、如图，圆柱底面半径为2㎝，高为9π㎝，点A 、B 分别是圆柱两底两圆周上 的点，且A 、B 在同一母线上，有一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到达 B ，求棉线最短是多少？ 12、用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用x 、y 表示矩形的长和宽（x ＞y ），则下列关系式不正确的是：（ ） A 、x+y=12 B 、x-y=2 C 、xy=35 D 、14422=+y x S 1 S 2 S 3 A B 6㎝㎝1㎝ B A E D C F C ′ B D C A A B D A B · · N D 8 6 · · B D A B · ·
勾股定理练习题及答案
一、 选择题 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2ab
勾股定理试卷
八年数学勾股定理练习卷 班级 姓名 座号 成绩 一、精心选一选：(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 1.下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A 、4，5，6 B 、1，1，2 C 、6，8，11 D 、 5，12，23 2.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(-3,4)，则OP 的长为（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、7 3.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A 、600米 B 、 800米 C 、1000米 D 、 不能确定 4.在ABC ?中，?=∠90A ，A ∠、B ∠、C ∠的对边长分别为a 、b 、c ，则下列结论错误的是（ ） A 、222c b a =+ B 、222a c b =+ C 、222c b a =- D 、222b c a =- 5.现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架， 那么所需木棒的长一定为（ ） A 、30厘米 B 、40厘米 C 、50厘米 D 、以上都不对 6.如图所示，1====DE CD BC AB ，BC AB ⊥，CD AC ⊥，DE AD ⊥， 则AE ＝（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 7.如图，正方体盒子的棱长为2，AB 中点为M ，一只蚂蚁从点M 沿正方体的表面爬到点C '，蚂蚁爬行的最短距离是（ ） A 、13 B 、17 C 、5 D 、52+ E D
8.将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为cm h ，则h 的取 值范围是（ ） A 、cm h 17≤ B 、cm h 8≥ C 、cm h cm 1615≤≤ D 、cm h cm 167≤≤ 二、细心填一填：(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 9.若一个三角形的三边满足222c a b -=，则这个三角形是 . 10.木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面 . (填”合格”或”不合格”) 11.在ABC ?中，?=∠90C ， 5=AB ，则2AB +2AC +2BC = ． 12.命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 . 13.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是 2cm ． 14.已知ABC Rt ?中，?=∠90C ，若14=+b a ，10=c ，则ABC Rt ?的面积是 . 15.如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m . C A B E D 第 第
《勾股定理》练习题及答案
《勾股定理》练习题及答案 测试1 勾股定理(一) 学习要求 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C 所走的路程为______． 4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． 2 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和 为( )．(A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2 (D)无法计算 三、解答题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；
勾股定理的应用(2)
本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 勾股定理的应用(二) 班级 姓名 学号 教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题. 2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。发展学生的分析问题能力和表达能力。 3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。 重 难 点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用 教学过程 （一）创设情景，引入新课； 这些图形都有什么共同特征？ 几组勾股数. 3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1； .图1中的x 等于多少? 图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正 在数轴上画出表示5的点 在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? 图1 x 11 z y 11x 图2
（四）实践探索，揭示新知2； 例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。 （五）尝试应用，反馈矫正2 如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16， 求△ABC 的面积。 如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13， 求△ABC 的周长和面积。 （六）实践探索，揭示新知3； 如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？ （七）尝试应用，反馈矫正1 如图9，在△ABC 中， AB=15， AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。 勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？ 材料5：如图10，以△ABC 的三边为直径向外作半圆， 且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？（目的：对总结的结论的应用） （八）归纳小结，巩固提高 （九）布置作业 D C B A 图6 图9 D C B A
(完整word版)勾股定理四种计算模型(第2课时)
与《勾股定理》有关的计算问题基本模型一、已知两边求第三边； 例1;在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； 对应练习题 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为． 2．（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高． 小结： 解决办法为：
二、已知两边的比（两边的关系）和第三边，求两边 例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3:4且c=10，求a与b；对应练习题： 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC 的面积是=________。 2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt △ABC的面积是（） 小结： 解决办法为：
三、已知两边的比和周长，求第三边； 例3：已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a ∶b=3∶4，且a+b+c=60，求三边及面积； 对应练习题： 1.一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿. 2.在△ABC 中,若△ABC 的面积等于6，则边长c= 3.在Rt △ABC 中，斜边AB=2，则AB 2＋BC 2＋AC 2=____． 小结： 解决办法为： ,90?=∠C ,7=+b a
四、特殊直角三角形中，已知一边一角，求两边； 例4：已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°,a =3，求b与c边； 对应练习题： 1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,b =3，求a与c边； 2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,c =3，求a与b边； 3、已知正方形边长为2，求正方形对角线的长； 小结： 解决办法为：
勾股定理测试题(精选)
一、选择题（40分） 1 ） A ：4，5，6 B ：1，1 C ：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 3、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A ：5 B ：10 C ：25 D ：5 5、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A 、 B C 、 D 、3 6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、6cm 2 D 、12cm 2 8、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 9、三角形各边长度的平方比如选项中所示，其中不是直角三角形是（ ） （A ）1:1:2 （B ）1:3:4 （C ）9:25:26 （D ）25:144:169 10、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则 二、填空题（30分）
17.1 勾股定理 第2课时 教学设计
人教版初中数学八年级下册 第十七章《勾股定理》 17.1 勾股定理 第2课时 教学设计 教学目标： 1.知识与技能： (1) 利用勾股定理解决实际问题. (2) 从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想和方程思想. 2.过程与方法：运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题. 3.情感态度与价值观： (1) 通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质． (2) 通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值. 教学重点：勾股定理的应用． 教学难点：勾股定理在实际生活中的应用． 教学流程： 第一环节：复习旧知，情景引入 （1）复习勾股定理的内容、变型公式及作用. （2）练习 1）求出下列直角三角形中未知的边． 6 10 A C B 8 A 15 C B
回答： ①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形哪条边最长？ 2）在长方形ABCD 中，宽AB 为1m ，长BC 为2m ，求AC 长． 解：在Rt △ ABC 中，∠B=90°,由勾股定理可知： AC=5212222=+=+BC AB 第二环节：探索新知 1．探究活动1：小明家装修时需要一块薄木板，已知小明家的门框尺寸是宽1 m ，高2 m ，如图所示，那么长3 m ，宽2.2 m 的薄木板能否 2 45° 30° 2 A C B D
顺利通过门框呢？ 分析：木板的长边和短边都超过了门框的高，薄木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试能否斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC的长，再与木版的宽进行比较，就能知道木版能否通过. 解：∵在Rt△ABC中，∠B=90° ∴AC=22 =5≈2.236 12 ∵AC≈2.236>2.2 ∴木板能从门框内通过 小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Rt△ABC，并求出斜边AC的长. ∴AC2=AB2 +BC2 (勾股定理) 探究活动2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时
(完整)勾股定理试题分类
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《数学》八年级下册 第十七章 勾 股 定 理 【题型一】勾股定理的验证与证明 1.如图,每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是 S 1、S 2、S 3，则它们的面积关系是 ，直角△ABC 的三边的关系是 . 得出 S 1+S 2＝S 3,从而得到：AB 2+BC 2＝AC 2 . 2。如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别 是S 1、S 2、S 3，则它们的面积关系是 ，直角△ABC 的三边的关系是 . 参考答案：对于S 3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法” 或“相 加法"用面积公式计算三个正方形面积，得出 S 1+S 2＝S 3，从而得到：AB 2+BC 2＝AC 2 。 3。如图,是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定 理吗? 参考答案：由S 大正方形＝4S Rt△+S 小正方形，得 c 2＝4×ab+(b －a ）2 ∴a 2+b 2＝c 2 。 4.如图,是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定 理吗？ 参考答案：由S 大正方形＝4S Rt△+S 小正方形，得 （a+b ）2 ＝4×ab+c 2 ∴a 2+b 2＝c 2 . 5.如图，已知∠A ＝∠B ＝90°且△AED≌△BCE ，A 、E 、B 在同一直线上。根据此图证明勾股定理. 1 21 2 B A B A a
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
《勾股定理》练习题 测试1 勾股定理(一) 课堂学习检测 一、填空题 1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______． 2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，此时甲、乙两 人相距______km ． 3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走 出了一条“路”，他们仅仅少走了______m 路，却踩伤了花草． 4．如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从 一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ． 二、选择题 5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折 断， 树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高 ( )． (A)5m (B)7m (C)8m (D)10m 6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )． (A)212 (B)310 (C)56 (D)58 三、解答题 7．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米 处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计 算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移 到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米
综合、运用、诊断 一、填空题 9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为______米． 10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(取3) 二、解答题： 11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m． 12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么 这块地毯需花多少元 9 10 11 12 拓展、探究、思考 13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝ 1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、 B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上 选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W． 测试2 勾股定理(三) 学习要求 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 课堂学习检测
勾股定理测试题(含答案)
18.2 勾股定理的逆定理 达标训练 一、基础·巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）. 图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6 3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________. 4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF= 4 1AD ，试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 图18－2－7 6.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.
二、综合·应用 7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？ 8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：△ABC是直角三角形. 图18－2－8 9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图18－2－9 10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC 的形状. 解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC 是直角三角形. 问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________ ； ③本题的正确结论是_________ _.
勾股定理练习题(答案)
勾股定理练习题 一、基础达标: 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； .若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2； D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ） A 、2k B 、k+1 C 、k 2－1 D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ） （A 2d （B d （C ）2d （D ）d 8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ： 7 9．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ） A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对
14.2勾股定理的应用2
三、勾股定理 第五课时 14.2勾股定理的应用2 学习目标： 1.准确运用勾股定理及逆定理 2.经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。 3.培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值。 重点：掌握勾股定理及逆定理 难点：正确运用勾股定理及逆定理 预习过程： 一、导入（创设问题情境） 在一棵树的10m 高的D 处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？ 分析：如图，其中一只猴子从D →B →A 共走了30m ， 另一只猴子从D →C →A 也共走了30m ，且树身垂直 与地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决。 二、例题讲解 例1：如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形： 从点A 出发一条线段AB 使它的另一端点B 在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22 画出所有的以（1）中的AB 为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数 \
例2：已知CD=６m ， AD=８m ，∠ADC=90°， BC=24m ，AB=26m 。求图中阴影部分的面 积． 练习：已知：如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13,求 四边形ABCD 的面积? 三、拓展练习： 已知如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,D 为BC 上任意一点。 求证：2222CD BD AD += D C B A
18.1勾股定理(第二课时)教学设计
第二课时 一、教学目标 知识与技能 会用勾股定理进行简单的计算。 过程与方法 1.数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用。 2.分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力 情感、态度与价值观 树立数形结合的思想、分类讨论思想。 培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。 二、教学重、难点 重点：勾股定理的简单计算。 难点：勾股定理的灵活运用。 三、教学准备 多媒体，作图工具 四、教学方法 讲练结合 五、教学过程 (一)复习回顾，引入新课 复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 预习新知（阅读教材第66至67页，并完成预习内容。） 1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形中哪条边最长？ 2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC的长．
问题：（1）在长方形ABCD 中，AB 、BC 、AC 的大小关系？ （2）一个门框的尺寸如图1所示． ①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ (二)新课教授 例1、在Rt △ABC 中，∠C=90° ⑴已知a=b=5,求c ； ⑵已知a=1,c=2, 求b ； ⑶已知c=17,b=8, 求a ； ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a ； ⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。 分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理 清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。 例2、已知直角三角形的两边长分别为5 和12，求第三边。 D A
勾股定理全章练习题含答案
勾股定理 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______． 4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． 2 (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2
(C)225cm2(D)无法计算 三、解答题 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )． (A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个 二、填空题 11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______． 12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______． 三、解答题 13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC 的长．
新人教版八年级数学下册学案：勾股定理第2课时勾股定理在实际生活中的应用导学案
第十七章勾股定理
2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； （2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？ 探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL ” 思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 证明:如图,在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中,∠C =∠C ’=90°, AB =A ’ B ’,AC =A ’ C ’． 求证：△ABC ≌△A ’ B ’ C ’ ． 证明：在Rt △ABC 和Rt △A ’ B ’ C ’中，∠C=∠C ’=90°， 根据勾股定理得BC =_______________,B ’ C ’=_________________. ∵AB=A ’ B ’，AC=A ’ C ’，∴_______=________. ∴____________≌____________ (________)． 例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A (-3,5),B (1,2)求A ,B 两点间的距离. 探究点3：利用勾股定理求最短距离 想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？
处放上了点儿火腿肠粒，你 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径. m
勾股定理试题较难
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1、如图，由4个全等的直角三角形拼合而成的一个大正方形，如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于多少？ 2、如图，三个半圆的面积分别为S 1=π，S 2=8π，S 3=π，把这三个半圆拼在一起，则图中的三角形一定是直角三角形吗为什么 3、Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2+BC 2+AC 2= 。 4、直角三形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长是 。 5、长方体底面边长分别为1㎝和3㎝，高为6㎝，如果一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长 6、已知如图，在长方形ABCD 中，AB=3㎝，AD=9㎝，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求△BEF 的面积。 7、已知△ABC 中， AB ＞，AD 是BC 边上的 高，求AB 2-AC 2=BC （BD-） 8、如图，在钝角△ABC 中，BC=9，AB=17， AC=10，⊥BD 于D ，求AD 的长。 9、如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，顶上A 处的 一只蚂蚁要到B 处吃食物，已知B 距顶部D 处8㎝，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 10、如图，是一个长8㎝，宽6㎝，高5㎝的仓库，在其内壁的A 处 有一只壁虎，B 处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多秒㎝，其中AC=6㎝，BD=4㎝。 11、如图，圆柱底面半径为2㎝，高为9π㎝，点A 、B 分别是圆柱两底两圆周上的 点，且A 、B 在同一母线 A 顺着圆柱侧面绕3圈到达 B ，求棉线最短是多少？ 12如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用x 、y 表示矩形的长和宽（x ＞y ），则下列关系式不正确的是：（ ） 14422=+y x A 、x+y=12 B 、x-y=2 C 、xy=35 D 、 S 1 S 2 S 3 A B 6㎝ ㎝ 1 B A C F C ′ B D C A A B D A B · · N D 8 6 · · B D A B · ·
勾股定理及其应用
勾股定理及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的应用。 E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。 重点知识勾股定理的验证
（美）伽菲尔德总统拼图 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以 ()()22121221 c ab b a b a +?=+? +，即222c b a =+ 赵爽弦图 如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a b -为边长的小正方形和一个边长为c 的大正方形，因为大正方形的边长为c ，所以面积为2c ，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b a ,的直角三角形和一个边长为()a b -的正方形，所以其面积为 ()2 2 14a b ab -+?所以()2 22 14a b ab c -+?=，从而222b a c +=. 刘徽：青朱出入图 如右图，通过拼图，以c 为边长的正方形面积等于分别以b a ,为边长的两个正方形的面积之和 名师提示 用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只 要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理 重点知识 确定几何体上的最短路线 描述 示意图 9 E D B A C F 7 D A E B C F 展开 5 甲 F D E F
勾股定理测试题(精选)
勾股定理单元测试题 一、选择题（40分） 1 ） A ：4，5，6 B ：1，1 C ：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 3、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A ：5 B ：10 C ：25 D ：5 5 、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A 、、、3 6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、6cm 2 D 、12cm 2 8、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 9、三角形各边长度的平方比如选项中所示，其中不是直角三角形是（ ） （A ）1:1:2 （B ）1:3:4 （C ）9:25:26 （D ）25:144:169 10、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则
D C B A 二、填空题（30分） 1、若一个三角形的三边满足2 2 2 c a b -=，则这个三角形是 。 2、小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知它的面积为48m 2，对角线长为10 m ，为建栅栏将这个养鱼池围住，则需要这样的栅栏至少 m 。 3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。 4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和为 。 5、如右图将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。 6、一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 7、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是________________。 8、有一个边长为1米的正方形洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖的半径至少为 米。 9、已知某学校A 与直线公路BD 相距3000米，且与该公路上一个车站D 相距5000米，现要在公路边建一个超市C ，使之与学校A 及车站D 的距离相等，那么该超市与车站D 的距离是 米。 10、等腰△ABC 中，AC=BC ，CD 是角平分线，且CD=8，AC-AD=3，则△ABC 的周长是___________. 三、解答题（80分） 1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6，AC=8， 求AB 、CD 的长 A B C D E F 图7 B