全称量词与存在量词(有答案)
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 9.1 全称量词与存在量词 知识点一、全称量词与全称命题 1.短语“所有的”,“任意一个”在逻辑中通常叫做______________,并用符号“_______”表示. 2.含有_____________的命题叫做全称命题,用符号表示为:“对M 中任意一个x ,有p (x )成立”,记为________________. 知识点二、存在量词与特称命题 1.短语“存在一个”,“至少有一个”在逻辑中叫做____________,用符号“_______”表示. 2.含有_______________的命题,叫做特称命题,用符号表示:“存在M 中的元素x 0,使p (x 0)成立,记为:________________”. 知识点三、含有一个量词的命题的否定 类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断 例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假. (1)?x ∈N,2x +1是奇数;(2)存在一个x 0∈R ,使1 x 0-1 =0; (3)对任意向量a ,|a|>0;(4)有一个角α,使sin α>1. 【自主解答】 (1)是全称命题,因为?x ∈N,2x +1都是奇数,所以该命题是真命题. (2)是特称命题.因为不存在x 0∈R ,使1 x 0-1=0成立,所以该命题是假命题. (3)是全称命题.因为|0|=0,∴|a |>0不都成立,因此,该命题是假命题. (4)是特称命题,因为?α∈R ,sin α∈[-1,1],所以该命题是假命题. 变式:判断下列命题的真假: (1)?x ∈R ,x 2+2x +1>0;(2)?x ∈(0,π 2 ),cos x <1; (3)?x 0∈Z ,使3x 0+4=0;(4)至少有一组正整数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2≤3. 【解】 (1)∵当x =-1时,x 2+2x +1=0,∴原命题是假命题. (2)由y =cos x 在(0,π2)的单调性.∴?x ∈(0,π 2),cos x <1为真命题. (3)由于3x +4=5成立时,x =1 3 ?Z ,因而不存在x ∈Z ,使3x +4=5. 所以特称命题“?x 0∈Z ,使3x 0+4=5”是假命题. (4)由于取a =1,b =1,c =1时,a 2+b 2+c 2≤3是成立的,所以特称命题“至少有一组正整数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2≤3”是真命题. 类型二 含有一个量词的命题的否定 例2、写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p :不论m 取何实数,方程x 2+x -m =0必有实数根;(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20+x 0+1≤0;
1.3.1 全称量词与全称命题、1.3.2存在量词与特称命题
§3全称量词与存在量词 3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题 课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容,并判断全称命题和特称命题的真假. 1.全称量词与全称命题 命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语,都是在指定范围内,表示______________的含义,这样的词叫作全称量词,含有______________的命题,叫作全称命题.2.存在量词与特称命题 命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语,都是表示________的含义,这样的词叫作存在量词.含有____________的命题叫作特称命题. 一、选择题 1.下列语句不是全称命题的是( ) A.任何一个实数乘以零都等于零 B.自然数都是正整数 C.高二(一)班绝大多数同学是团员 D.每一个向量都有大小 2.下列命题是特称命题的是( ) A.偶函数的图像关于y轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于等于3 3.下列是全称命题且是真命题的是( ) A.任意x∈R,x2>0 B.任意x∈Q,x2∈Q C.存在x0∈Z,x20>1 D.任意x,y∈R,x2+y2>0 4.下列四个命题中,既是特称命题又是真命题的是( ) A.斜三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x0,使x20>0 C.任一无理数的平方必是无理数 D.存在一个负数x0,使1 x0 >2 5.下列全称命题中假命题的个数是( ) ①2x+1是整数(x∈R); ②对所有的x∈R,x>3; ③对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数 A.0 B.1 C.2 D.3 6.下列命题中,真命题是( ) A.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数B.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数C.任意m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
高中数学全称量词与存在量词教案1 新人教A版选修2-1
1.4全称量词与存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 (1)通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. (2)了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性. 2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力. 3.情感态度价值观 通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育. (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义 难点: 全称命题和特称命题真假的判定. (三)教学过程 1.思考、分析 下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗? (1)2x+1是整数; (2) x>3; (3) 如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等; (4)平行于同一条直线的两条直线互相平行; (5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书; (6)所有有中国国籍的人都是黄种人; (7)对所有的x∈R, x>3; (8)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 1.推理、判断 (让学生自己表述) (1)、(2)不能判断真假,不是命题。 (3)、(4)是命题且是真命题。 (5)-(8)如果是假,我们只要举出一个反例就行。 注:对于(5)-(8)最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 (5)的真假就看命题:海师附中今年存在个别(部分)高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书;这个命题的真假,该命题为真,所以命题(5)为假; 命题(6)是假命题.事实上,存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人.命题(7)是假命题.事实上,存在一个(个别、某些)实数(如x=2), x<3.(至少有一个x∈R, x≤3) 命题(8)是真命题。事实上不存在某个x∈Z,使2x+1不是整数。也可以说命题:存在某个x∈Z使2x+1不是整数,是假命题. 3.发现、归纳 命题(5)-(8)跟命题(3)、(4)有些不同,它们用到“所有的”“任意一个”这
全称量词命题与存在量词命题的否定(新版教材)
全称量词命题与存在量词命题的否定 基础知识 1.命题的否定 (1)定义:对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“?p”,读作“非p”或“p的否定”. (2)结论:如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就应该是假命题;反之亦然.2.存在量词命题的否定 1.命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(C) A.?x∈R,|x|+x2<0 B.?x∈R,|x|+x2≤0 C.?x∈R,|x|+x2<0 D.?x∈R,|x|+x2≥0 解析:命题“?x∈R,|x|+x2≥0”是全称量词命题,其否定为存在量词命题,所以命题的否定是?x∈R,|x|+x2<0. 2.“?m,n∈Z,使得m2=n2+2 020”的否定是(C) A.?m,n∈Z,使得m2=n2+2 020 B.?m,n∈Z,使得m2≠n2+2 020 C.?m,n∈Z,有m2≠n2+2 020 D.以上都不对 解析:命题“?m,n∈Z,使得m2=n2+2 020”是存在量词命题,其否定为全称量词命题,所以命题的否定是?m,n∈Z,有m2≠n2+2 020. 3.设命题p:?x∈(-1,1),|x|<1,则?p为(B) A.?x∈(-1,1),|x|<1B.?x∈(-1,1),|x|≥1 C.?x∈(-1,1),|x|≥1D.?x?(-1,1),|x|≥1 解析:命题p是全称量词命题,其否定?p为?x∈(-1,1),|x|≥1.
4.设命题p :有些三角形是直角三角形,则?p 为__任意三角形不是直角三角形__. 解析:命题p 是存在量词命题,?p 为任意三角形不是直角三角形. 5.命题“?x <1使得x 2≥1”是__真__命题.(选填“真”或“假”) 类型 存在量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■ 典例1 写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假. (1)p :存在x ∈R,2x +1≥0; (2)q :存在x ∈R ,x 2-x +1 4<0; (3)r :有些分数不是有理数. 思路探究:把存在量词改为全称量词,然后否定结论. 解析:(1)任意x ∈R,2x +1<0,为假命题. (2)任意x ∈R ,x 2-x +1 4 ≥0. 因为x 2-x +14=(x -1 2)2≥0,是真命题. (3)一切分数都是有理数,是真命题. 归纳提升:1.存在量词命题否定的步骤 (1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词. (2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等. 2.存在量词命题否定的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可. ┃┃对点训练__■ 1.将本例(2)改为:q :存在x ∈R ,x 2-x -1<0,写出它的否定,并判断真假. 解析:任意x ∈R ,x 2-x -1≥0. 因为x 2-x -1=(x -12)2-5 4,所以不能判断其值大于等于零,为假命题. 类型 全称量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■ 典例2 写出下列全称量词命题的否定: (1)任何一个平行四边形的对边都平行; (2)?a ∈R ,方程x 2+ax +2=0有实数根;
《全称量词与存在量词》教案全面版
《全称量词与存在量词》教案 1.4.1全称量词1.4.2存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 (1)通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. (2)了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性. 2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力. 3.情感态度价值观 通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育. (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定. 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神. (三)教学过程 学生探究过程:1.思考、分析 下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗? (1)2x+1是整数; (2) x>3; (3) 如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等; (4)平行于同一条直线的两条直线互相平行; (5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书; (6)所有有中国国籍的人都是黄种人; (7)对所有的x∈R, x>3; (8)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 1.推理、判断 (让学生自己表述) (1)、(2)不能判断真假,不是命题。 (3)、(4)是命题且是真命题。 (5)-(8)如果是假,我们只要举出一个反例就行。 注:对于(5)-(8)最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 (5)的真假就看命题:海师附中今年存在个别(部分)高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书;这个命题的真假,该命题为真,所以命题(5)为假; 命题(6)是假命题.事实上,存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人.命题(7)是假命题.事实上,存在一个(个别、某些)实数(如x=2), x<3. (至少有一个x∈R, x≤3) 命题(8)是真命题。事实上不存在某个x∈Z,使2x+1不是整数。也可以说命题:存在某个x∈Z使2x+1不是整数,是假命题.
全称量词与存在量词练习题
全称量词与存在量词练习题 一、选择题 1.下列全称命题中真命题的个数是() ①末位是0的整数,可以被2整除; ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; ③正四面体中两侧面的夹角相等; A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列存在性命题中假命题的个数是() ①有的实数是无限不循环小数; ②有些三角形不是等腰三角形; ③有的菱形是正方形; A.0 B.1 C.2 D.3 3.下列命题为存在性命题的是() A.偶函数的图象关于y轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.有很多实数不小于3 4.命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为() A. 所有自然数的平方都不是正数 B. 有的自然数的平方是正数 C. 至少有一个自然数的平方是正数 D. 至少有一个自然数的平方不是正数 5.命题“存在一个三角形,内角和不等于1800”的否定为() A.存在一个三角形,内角和等于1800 B.所有三角形,内角和都等于1800 C.所有三角形,内角和都不等于1800 D.很多三角形,内角和不等于1800 6. 命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根,则“非p”形式的命题是()A.存在实数m,使得方程x2+mx+1=0无实根; B.不存在实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根; C.对任意的实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根; D.至多有一个实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根;
二、填空题 7.命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ ; 8.命题“?x∈R,x2-x+3>0”的否定是______________;\ 9.“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是;否命题是; 三、解答题 10.用符号“?”与“?”表示含有量词的命题 (1)实数的平方大于等于0 (2)存在一对实数,使2x+3y+3>0成立 11.写出下列命题的否定: (1)存在实数x是方程5x-12=0的根; (2)对于任意实数x,存在实数y,使x+y>0; 12. 用全称量词和存在量词符号“?”、“?”翻译下列命题,并写出它们的否定: (1)若2x>4,则x>2; (2)若m≥0,则x2+x-m=0有实数根;
高二数学3.1全称量词与全称命题、1.3.2存在量词与特称命题
§3全称量词与存在量词 3.1全称量词与全称命题 3.2存在量词与特称命题 课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容,并判断全称命题和特称命题的真假. 1.全称量词与全称命题 命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语,都是在指定范围内,表示______________的含义,这样的词叫作全称量词,含有______________的命题,叫作全称命题. 2.存在量词与特称命题 命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语,都是表示________的含义,这样的词叫作存在量词.含有____________的命题叫作特称命题. 一、选择题 1.下列语句不是全称命题的是() A.任何一个实数乘以零都等于零 B.自然数都是正整数 C.高二(一)班绝大多数同学是团员 D.每一个向量都有大小 2.下列命题是特称命题的是() A.偶函数的图像关于y轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于等于3 3.下列是全称命题且是真命题的是() A.任意x∈R,x2>0 B.任意x∈Q,x2∈Q C.存在x0∈Z,x20>1 D.任意x,y∈R,x2+y2>0 4.下列四个命题中,既是特称命题又是真命题的是() A.斜三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x0,使x20>0 C.任一无理数的平方必是无理数 D.存在一个负数x0,使1 x0>2 5.下列全称命题中假命题的个数是() ①2x+1是整数(x∈R); ②对所有的x∈R,x>3; ③对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数 A.0 B.1 C.2 D.3 6.下列命题中,真命题是() A.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数B.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数
(完整版)全称量词与特称量词
1.4 全称量词与存在量词 学习目标 1. 理解全称量词与存在量词的意义. 2. 能正确对含有一个量词的命题进行否定. 3. 知道全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题. 学习重点 全称命题和特称命题真假的判定. 学习难点 对含有一个量词的命题进行否定. 知识梳理 一、请列举全称量词与全称命题、特称量词与特称命题的概念。 二、全称命题与特称命题的否定 1、全称命题的否定 一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面结论: 全称命题p :?x ∈M ,p(x),它的否定?p :_________________ ,全称命题的否定是_____________ 2.特称命题的否定 一般地,对于含一个量词的特称命题的否定,有下面的结论: 特称命题p :?0x M ∈,p 0()x ,它的否定 ?p :_________________ 特称命题的否定是_____________ 探究一 全称命题与特称命题的判断 例1、判断下列语句是全称命题,还是特称命题,并用量词符号“?”“?”表达下列命题: 1、对任意角α,都有1cos sin 22=?+?; 2、有一个函数,既是奇函数又是偶函数;
3、?x ∈R ,2 x -1=0 4、所有能被3整除的整数都是奇数 5、有的三角形是等边三角形 6、有一个实数α,tan α无意义 方法归纳: __________________________________________________________________________________________________________________________________________探究二、全称命题与特称命题的真假判断 例2、判断下列全称命题或特称命题的真假 1、每个指数函数都是单调函数; 2、任何实数都有算术平方根; 3、?x ∈0π??????,2,sin x +cos x ≥2 4、0,00≤∈?x R x 5、 是无理数,}是无理数|{200x x x x ∈? 6、,x ππ???∈???? 2, tan x>sin x 方法归纳: __________________________________________________________________________________________________________________________________________ 探究三、含有一个量词的命题的否定及应用 例3、写出下列命题的否定,并判断其真假: 1、P :每一个四边形的四个顶点共圆 2、P :23,x x N x >∈? 3、P :有的菱形是正方形 4、p :?x ∈R ,41 2+-x x ≥0;
全称量词与全称命题 存在量词与特成命题
设计人 :李 锋 备课组审核: 领导审核: 时 间 班 组 学生姓名 课 题:全称量词与全称命题 存在量词与特成命题 学习目标:够用全称量词符号表示全称命题,能用存在量词符号表述特称命题; 能判断全称命题和特称命题的真假; 重点与难点:正确判断全称命题和特称命题的真假. 第一部分 阅读导学 阅读教材12 11-P ,完成以下内容: 1.想一想 (1)对任意R x ∈,3>x ; (2)所有的正整数都是有理数; (3)若函数)(x f 对定义域D 中的每一个x ,都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; (4)所有有中国国籍的人都是黄种人. 问题:(1)这些命题中的量词有何特点? (2)上述4个命题,可以用同一种形式表示它们吗? 2.填一填: 全称量词: 全称命题: 全称命题的符号表示: 全称命题真假的判断方法 3.想一想 (1)存在一个,0R x ∈使3120=+x ; (2)至少有一个,0Z x ∈0x 能被2和3整除; (3)有些无理数的平方是无理数. 问题:(1)这些命题中的量词有何特点? (2)上述4个命题,可以用同一种形式表示它们吗? 4.填一填: 存在量词 特称命题 特称命题的符号表示 特称命题真假的判断方法 第二部分 自学检测 1.下列语句不是全称命题的是( ) A .任何一个实数乘以零都等于零 B .自然数都是正整数 C .高二(一)班绝大多数同学是团员 D .每一个向量都有大小
2.下列命题是特称命题的是( ) A .偶函数的图像关于y 轴对称 B .正四棱柱都是平行六面体 C .不相交的两条直线是平行直线 D .存在实数大于等于3 3.下列是全称命题且是真命题的是( ) A .任意x ∈R ,x 2>0 B .任意x ∈Q ,x 2∈Q C .存在x 0∈Z ,x 20>1 D .任意x ,y ∈R ,x 2+y 2>0 4.下列四个命题中,既是特称命题又是真命题的是( ) A .斜三角形的内角是锐角或钝角 B .至少有一个实数x 0,使x 20>0 C .任一无理数的平方必是无理数 D .存在一个负数x 0,使1x 0 >2 5.下列全称命题中假命题的个数是( ) ①2x +1是整数(x ∈R );②对所有的x ∈R ,x >3;③对任意一个x ∈Z,2x 2+1为奇数 A .0 B .1 C .2 D .3 6.下列命题中,真命题有__________.(填序号) ①不存在实数x ,使x 2+x +1<0; ②对任意实数x ,均有x +1>x ; ③方程x 2-2x +3=0有两个不等的实根; ④不等式x 2-x +1|x |+1 <0的解集为?. 第三部分 合作探究 7.指出下列命题中哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假. (1)若a >0,且a ≠1,则对任意实数x ,a x >0. (2)对任意实数x 1,x 2,若x 1《全称量词与存在量词》教学设计
课题:全称量词与存在量词(授课人:) 一、教学目标 1、知识与技能通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词和存在量词的意义;掌握全称 命题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法. 2、过程与方法培养学生分析问题,总结问题的能力. 3、情感、态度、价值观在数学中运用好有关的量词进而用符号熟练表达数学思想. 二、教学重点、难点 1、重点通过生活和数学中的丰富实例,理解全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的 一般方法. 2、难点全称命题和特称命题的真假判定。 三、教学过程 一)新课学习 (一)、全称量词 由课本21页思考(幻灯片上思考1)引出问题,即由: (1)x>3; (2)2x+1是整数. (3)对于所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数. 由上面例子引出: 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier),并用符号 “?”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题. 注:1、常见的全称量有:“一切”,“每一个”, “任给”,“所有的”等; 2、组织列举其他数学例子,加深对全称量词的理解 总结全称命题的符号语言: 通常,将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M来表示.那么,全程命题“对于M中任意一个x,有p(x)成立”可以用符号简记为 ), x(p, M x∈ ?读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. 例1:判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数 (2) 2 ,11; x R x ?∈+≥ 例后小结:1、引导学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性,从而提倡学生在今后的数学学习中,自觉地运用符号语言表达一些数学内容 2、判断全称命题真假的一般方法:举反例法. 例后练习:课本23页1题。 (二)、存在量词 由课本22页思考(幻灯片上思考2)引出问题,即由: (1)2x+1=3 (2) x能被2和3整除;
全称量词命题和存在量词命题的否定
2021-2022学年高一上数学必修一 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 知识点含量词的命题的否定 p 綈p 结论全称量词命题?x∈M,p(x)?x∈M,綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题?x∈M,p(x)?x∈M,綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题 1.?x∈M,p(x)与?x∈M,綈p(x)的真假性相反.(√) 2.“任意x∈R,x2≥0”的否定为“?x∈R,x2<0”.(√) 3.“?x∈R,|x|=x”是假命题.(×) 一、全称量词命题的否定 例1写出下列命题的否定. (1)所有矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)?x∈R,x2-2x+1≥0. 解(1)存在一个矩形不是平行四边形; (2)存在一个素数不是奇数; (3)?x∈R,x2-2x+1<0. 反思感悟全称量词命题p:?x∈M,p(x),它的否定綈p:?x∈M,綈p(x),全称量词命题的否定是存在量词命题. 跟踪训练1写出下列命题的否定,并判断其否定的真假: (1)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实根; (2)p:?x∈N,2x>0. 解(1)綈p:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.因为该方程的判别式Δ=
m2+4>0恒成立,故綈p为假命题. (2)綈p:?x∈N,2x≤0.綈p为假命题. 二、存在量词命题的否定 例2写出下列命题的否定. (1)有些四边形有外接圆; (2)某些平行四边形是菱形; (3)?x∈R,x2+1<0. 解(1)所有的四边形都没有外接圆; (2)所有平行四边形都不是菱形; (3)?x∈R,x2+1≥0. 反思感悟对存在量词命题进行否定时,首先把存在量词改为全称量词,然后对判断词进行否定,可以结合命题的实际意义进行表述. 跟踪训练2写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假: (1)有些实数的绝对值是正数; (2)?x,y∈Z,使得2x+y=3. 解(1)命题的否定:“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也即“所有实数的绝对值都不是正数”.由于|-2|=2,因此命题的否定为假命题. (2)命题的否定:“?x,y∈Z,2x+y≠3”. ∵当x=0,y=3时,2x+y=3, ∴命题的否定是假命题. 三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用 例3对于任意实数x,不等式x2+4x-1>m恒成立.求实数m的取值范围. 解令y=x2+4x-1,x∈R, 则y=(x+2)2-5, 因为?x∈R,不等式x2+4x-1>m恒成立, 所以只要m<-5即可. 所以所求m的取值范围是{m|m<-5}. 延伸探究 本例条件变为:“存在实数x,使不等式-x2+4x-1>m有解”,求实数m的取值范围. 解令y=-x2+4x-1, 因为y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3. 又因为?x∈R,-x2+4x-1>m有解, 所以只要m小于函数的最大值即可, 所以所求m的取值范围是{m|m<3}.
全称量词与存在量词(学生版)
课题:全称量词与存在量词 前置学案: 问题1:在日常生活和学习中,我们经常遇到这样的命题: (1)所有中国公民的合法权益都受到中华人民共和国宪法的保护; (2)对任意实数x,都有x2≥0; (3)存在有理数x,使220 x-=. 上述命题有何不同? 问题2: (1)所有的人都喝水; (2)存在有理数x,使220 x-=; (3)对所有的实数a,都有||0 a≥. 尝试对上述命题进行否定,你发现有什么规律? 一、数学建构(知识梳理) 1.全称量词与全称命题: (1)全称量词: 用符号“?x”表示“对任意x”. (2)全称命题:. 一般形式:. 2.存在量词和存在性命题: (1)存在量词:. 用符号“x?”表示“存在x”. (2)存在性命题:. 一般形式:. 3.全称命题的否定:一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,全称命题p:?x∈M,p(x)它的否定?p:. 4.存在性命题的否定:一般地,对于含有一个量词的存在性命题的否定,存在性命题p:?x ∈M,p(x)它的否定┐p:.
二、例题选讲 例1.判断下列命题的真假: (1)?x ∈R ,x 2>x ; (2)?x ∈R ,x 2>x ; (3)?x ∈Q ,x 2-8=0; (4)?x ∈R ,x 2+2>0. 例2.写出下列命题的否定: (1)所有人都晨练; (2)01,2 >++∈?x x R x ; (3)平行四边形的对边相等; (4)01,2 =+-∈?x x R x 例3.(1)已知命题“()01,,02 >+-+∞∈?ax x x ”为真命题, 则实数a 的取值范围 . (2)已知命题“()01,,02 <+-+∞∈?ax x x ”为真命题, 则实数a 的取值范围 . (二)变式训练 变式 (1)已知命题“01,2 >+-∈?ax ax R x ” 为假命题,则实数a 的取值范围是_______ . (2)命题“?x ∈R ,2x 2-3ax +9<0”为假命题,则实数a 的取值范围为 . (三)小结提炼 四、课堂总结