2020年高中数学必修三第二章《统计》单元测试卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.某市电视台为调查节目收视率,想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本,已知3个区人口数之比为2∶3∶5,如果人口最多的一个区抽出60人,那么这个样本的容量等于( )
A .96
B .120
C .180
D .240 答案 B
解析 由题意3个区人口数之比为2∶3∶5,得第三个区所抽取的人口数最多,所占比例为50%.又因为此区抽取60人,所以三个区所抽取的总人口数为60÷50%=120,即这个样本的容量等于120.
2.某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图(单位:分),其中甲班学生成绩的众数是85,乙班学生成绩的中位数是83,则x +y 的值为( )
A .7
B .8
C .9
D .10 答案 B
解析 由茎叶图及甲班学生成绩的众数是85,可知x =5,而乙班学生成绩的中位数是83,所以y =3,所以x +y =5+3=8.故选B.
3.在样本频率分布直方图中,共有9个小长方形.若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的2
5,且样本容量为140,则中间一组的频数为( )
A .28
B .40
C .56
D .60 答案 B
解析 频率分布直方图中,所有小长方形的面积和为1.设中间小长方形的面积为x ,则有x +52x =1,解得x =27.因为样本容量为140,所以中间一组的频数为140×2
7
=40.故选B.
4.在抽查产品的尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,[a ,b )是其中的一组,抽查出的个体在该组上的频率为m ,直方图中该组对应的小长方形的高为h ,则|a -b |等于( ) A .hm B.m
h C.h m D .h +m
答案 B 解析
频率组距
=h ,∴|a -b |=组距=频率h =m
h .
5.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A .91.5和91.5
B .91.5和92
C .91和91.5
D .92和92
答案 A
解析 将这组数据从小到大排列,得87,89,90,91,92,93,94,96.故中位数为91+922=91.5.平均数
为x =91+-4-2-1+0+1+2+3+5
8
=91.5.
6.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图,分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],则在区间[98,100)上的频数为( )
A .0.100
B .0.200
C .20
D .0.010
答案 C
解析 区间[98,100)上小矩形的面积为0.100×2=0.200,所以区间[98,100)上的频数为100×0.200=20,故选C.
7.一个容量为80的样本中,数据的最大值是140,最小值是50,组距是10,则应该将样本
数据分为( ) A .10组 B .9组 C .8组 D .7组
答案 B
解析 组数=极差组距
=140-50
10=9.
8.若数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,方差为s 2,则3x 1+5,3x 2+5,…,3x n +5的平均数和标准差分别为( ) A.x ,s B .3x +5,s
C .3x +5,3s
D .3x +5,9s 2+30s +25 答案 C
解析 ∵x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,
∴3x 1+5,3x 2+5,…,3x n +5的平均数为3x +5, s ′2=1
n [(3x 1+5-3x -5)2+…+(3x n +5-3x -5)2]
=1
n ×32[(x 1-x )2+…+(x n -x )2]=9s 2. ∴s ′=3s .
9.甲、乙两名同学在5次数学考试中,成绩统计图用茎叶图表示如图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别用x 甲、x 乙表示,则下列结论正确的是( )
A.x 甲>x 乙,且甲比乙成绩稳定
B.x 甲>x 乙,且乙比甲成绩稳定
C.x 甲<x 乙,且甲比乙成绩稳定
D.x 甲<x 乙,且乙比甲成绩稳定 答案 A
解析 x 甲=90,x 乙=88,∴x 甲>x 乙,甲的成绩的方差是1
5
×(4+1+0+1+4)=2,乙的
成绩的方差是1
5×(25+0+1+1+9)=7.2,故甲成绩稳定.
10.一个容量为200的样本,其数据的分组与各组的频数如下表:
则样本数据落在[20,60)上的频率为( ) A .0.11 B .0.5 C .0.45 D .0.55
答案 D
解析 由题中表格可知样本数据落在[20,60)上的频数为20+30+35+25=110,故其频率为110
200
=0.55. 11.现有10个数,其平均数是4,且这10个数的平方和是200,那么这组数的标准差是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 B
解析 设这10个数为a 1,a 2,…,a 10,则有a 21+a 22+…+a 210=200,
且a 1+a 2+…+a 10=40,则这10个数的方差为(a 1-4)2+(a 2-4)2+…+(a 10-4)210
=a 21+a 22+…+a 2
10-8(a 1+a 2+…+a 10)+16010
=
200-8×40+160
10
=4,∴标准差为4=2.
12.在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各项中,一定符合上述指标的是( ) ①平均数x ≤3;②标准差s ≤2;③平均数x ≤3且标准差s ≤2;④平均数x ≤3且极差小于或等于2;⑤众数等于1且极差小于或等于1. A .①② B .③④ C .③④⑤ D .④⑤ 答案 D
解析 ①②③不符合,④符合,若极差等于0或1,在x ≤3的条件下,显然符合指标;若极差等于2且x ≤3,则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能:(1)0,2,(2)1,3,(3)2,4,符合指标.⑤符合,若众数等于1且极差小于或等于4,则最大值不超过5,符合指标,故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位:人):
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a 的值为________. 答案 30
解析 由题意知,1245+15=30120+a
,解得a =30.
14.一个容量为n 的样本分成若干个小组,已知某组的频数和频率分别是50和0.4,则n =________. 答案 125
解析 由50n =0.4,得n =50
0.4
=125.
15.从一堆苹果中任取20个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布如下:
则这堆苹果中,质量不少于...120克的苹果数约占苹果总数的________%. 答案 70
解析 ∵质量不少于120克的频数为14, ∴频率为14
20
×100%=70%.
16.某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表:
根据上表可得线性回归方程y ^
=b ^
x +a ^
中的b ^
为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元. 答案 73.5
解析 由题表可知,x =4.5,y =35,代入线性回归方程y ^
=7x +a ^
,得a ^
=3.5,所以线性回归方程为y ^
=7x +3.5,所以当x =10时,y ^
=7×10+3.5=73.5(万元). 三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况,特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学A 、B 两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查.A 班5名学生得分为:5,8,9,9,9; B 班5名学生得分为:6,7,8,9,10(单位:分).
请你估计A 、B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些. 解 A 班的5名学生的平均得分为(5+8+9+9+9)÷5=8, 方差s 21
=15×[(5-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(9-8)2+(9-8)2
]=2.4; B 班的5名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)÷5=8, 方差s 22=15
×[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2
]=2. ∴s 21>s 22,
∴B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些.
18.(12分)某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图,为了了解工薪阶层对月工资的满意程度,要用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访,则[30,35)(百元)月工资段应抽出多少人?
解 月工资落在[30,35)(百元)内的频率为1-(0.02+0.04+0.05+0.05+0.01)×5=1-0.85=
0.15,而0.15÷5=0.03,所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01=
2∶4∶5∶5∶3∶1,所以[30,35)(百元)月工资段应抽出3
20×100=15(人).
19.(12分)抽样调查30个工人家庭的人均月收入,得到如下数据(单位:元):404444556430380420500430420384 420404424340424412388472358476 376396428444366436364438330426
(1)取组距为60,起点为320,列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)根据频率分布直方图估计人均月收入在[440,560]上的家庭所占的百分比.
解(1)频率分布表如下:
(2)频率分布直方图如图.
(3)人均月收入落在[440,560]上的家庭所占的频率为0.13+0.07=0.2=20%.所以估计人均月收入在[440,560]上的家庭所占的百分比为20%.
20.(12分)从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中,抽取一个样本,考察竞赛的成绩分布.将样本分成5组,绘成频率分布直方图(如图),图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2,最后一组的频数是6.
请结合频率分布直方图提供的信息,解答下列问题: (1)样本的容量是多少? (2)列出频率分布表;
(3)成绩落在哪个范围内的人数最多?并求该小组的频数、频率; (4)估计这次竞赛中,成绩不低于60分的学生占总人数的百分比.
解 (1)由于各组的组距相等,所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1,那么各组的频率分别为116,316,616,416,216.设该样本容量为n ,则6n =2
16,所以样本容量
n =48.
(2)由(1)及已知得频率分布表如下:
(3)成绩落在[70.5,80.5)之间的人数最多,该组的频数和频率分别是18和3
8.
(4)不低于60分的学生占总人数的百分比约为???
?1-1
16×100%=93.75%. 21.(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药、B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2
3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1
2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3
1.4 1.60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2
2.70.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成如图所示的茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
解(1)设A药观测数据的平均数为x,B药观测数据的平均数为y.
由观测结果可得:
x=1
20×(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9
+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,
y=1
20×(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4
+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6,
由以上计算结果可得x>y,因此可看出A药的疗效更好.(2)由观测结果可绘制茎叶图如图.
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有7
10的叶集中在茎“2.”,“3.”上,而B药疗
效的试验结果有7
10的叶集中在茎“0.”,“1.”上,由此可看出A药的疗效更好.22.(12分)下表数据是退水温度x(单位:℃)对黄酮延长性y(单位:%)效应的试验结果,y是以延长度计算的.
(1)画出散点图;
(2)指出x ,y 是否线性相关;
(3)若线性相关,求y 关于x 的线性回归方程; (4)估计当退水温度是1 000℃时,黄酮延长性的情况. 解 (1)散点图如图.
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线附近,可见y 与x 线性相关. (3)列出下表并用科学计算器进行有关计算.
设线性回归方程为y ^
=b ^
x +a ^
,于是可得,
b ^
=
∑i =1
6
x i y i -6x y
∑i =1
6
x 2i -6x
2
=198 400-6×550×57
1 990 000-6×5502
≈0.058 86, a ^
=y -b ^
x ≈57-0.058 86×550=24.627. 因此所求线性回归方程为y ^
=0.058 86x +24.627. (4)将x =1 000代入线性回归方程得, y ^
=0.058 86×1 000+24.627=83.487,
即当退水温度是1 000℃时,黄酮延长性大约是83.487%.