概率与数理统计知识点总结

第一章 随机事件和概率

第一节 基本概念

1、概念网络图

??

?

??

???

?

??

?????

?

??????

?????????????????????????????-+→??????????Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω

2、重要公式和结论 （1）排

列组合公式

)!

(!

n m m P n m -=

从m 个人中挑出n 个人

进行排列的可能数。

)!

(!!

n m n m C n m

-= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种

方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部

分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。

Ω为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B 的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B

A?

如果同时有B

A?，A

B?，则称事件A 与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的

事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发生的事件。 A 、B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。它表示A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) (A ∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率： ∞

=∞==1

1

i i

i i

A

A B A B A =，B A B A =

（7）概率的公理化定义 设Ω为样本空间，A 为事件，对

每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件

1

A ，2

A ，…有

∑∞

=∞==???? ??1

1)(i i i i A P A P

常称为可列（完全）可加

性。

则称P(A)为事件A 的概率。 （8）古典概型 1° {}n

ωωω 2

1

,=Ω， 2° n

P P P n

1)()()(21===ωωω 。 设任一事件A ，它是由m

ωωω 2

1

,组成的，则有

{})()()(21m A ωωω =)

()()(21m P P P ωωω+++=

n

m =

基本事件总数所包含的基本事件数A =

（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可

以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事

件A ，

)()

()(Ω=L A L A P 。其中L 为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）P(A-B)=P(A)-P(AB)

减法公式当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B)

（12）条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称

)

(

)

(

A

P

AB

P为事件A发生条件下，事件

B发生的条件概率，记为=)/(A

B

P

)

(

)

(

A

P

AB

P。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A)

（13）乘法公式乘法公式：)/()(

)

(A

B

P

A

P

AB

P=

更一般地，对事件A1，A2，…A n，若P(A1A2…A n-1)>0，则有

2

1

(A

A

P…)n A)

|

(

)

|

(

)

(2

1

3

1

2

1A

A

A

P

A

A

P

A

P

=……

2

1

|

(A

A

A

P n…)1-n A。

（14）独立性①两个事件的独立性

设事件A、B满足)()(

)

(B

P

A

P

AB

P=，则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且0

)

(>

A

P，则有

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

|

(B

P

A

P

B

P

A

P

A

P

AB

P

A

B

P=

=

=

若事件A、B相互独立，则可得到A 与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。

?与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式设事件n B

B

B,

,

,2

1

满足

1°n B

B

B,

,

,2

1

两两互不相容，

)

,

,2,1

(0

)

(n

i

B

P i

=

>，

2°

n

i

i

B

A

1=

?，

则有

)

|

(

)

(

)

|

(

)

(

)

|

(

)

(

)

(2

2

1

1n

n B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

A

P+

+

+

= 。

（16）贝叶斯公式

设事件1B，2B，…，n B及A满足

1°1B，2B，…，n B两两互不相容，)

(Bi

P>0，=i1，2，…，n，

2°

n

i

i

B

A

1=

?，0

)

(>

A

P，

则

∑

=

=

n

j

j

j

i

i

i

B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

A

B

P

1

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。 )(i

B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫先验概率。)/(A B P i

，（1=i ，2，…，n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）

伯努利

概型

我们作了n 次试验，且满足

◆ 每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生；

◆ n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样； ◆ 每次试验是独立的，即每次试

验A 发生与否与其他次试验A 发

生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n

表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率， k

n k k

n

n

q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。

第二章 随机变量及其分布

第一节 基本概念

1、概念网络图

??

??

??-→??????≤<→??????)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω

→

≤=)()(x X P x F 分布函数：

函数分布

正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→???

??

???

???

??

??

??

??

???

????????????????????????????????????-10

2、重要公式和结论

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X的可能取值为X k(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k)的概率为

P(X=x k)=p k，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：

,

,

,

,

,

,

,

,

|

)

(2

1

2

1

k

k

k p

p

p

x

x

x

x

X

P

X

=。

显然分布律应满足下列条件：

（1）0≥k p， ,2,1=k，（2）∑

∞

=

=

1

1

k

k

p。

（2）连续型随机变量的分布密度设)(x F是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(x f，对任意实数x，有?∞-=x dx

x

f

x

F)

(

)

(，

则称X为连续型随机变量。)(x f称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1° 0

)

(≥

x

f。

2° ?+∞∞-=1

)

(dx

x

f。

（3）离散与连续型随机变量的关系

dx

x

f

dx

x

X

x

P

x

X

P)

(

)

(

)

(≈

+

≤

<

≈

=

积分元dx x f)(在连续型随机变量理论中

所起的作用与k

k p

x

X

P=

=)

(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设X为随机变量，x是任意实数，则函数

)

(

)

(x

X

P

x

F≤

=

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

)

(

)

(

)

(a

F

b

F

b

X

a

P-

=

≤

<可以得到X落入区间],(b a的概率。分布函数)(x F表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°,1)(

0≤

≤x

F+∞

<

<

∞

-x；

2°)(x F是单调不减的函数，即2

1x

x<时，有≤)(1x F)(2x F；

3°0

)

(

lim

)

(=

=

-∞

-∞

→

x

F

F

x

，

1

)

(

lim

)

(=

=

+∞

+∞

→

x

F

F

x

；

4°)(

)0

(x

F

x

F=

+，即)(x F是右连续的；

5°)0

(

)

(

)

(-

-

=

=x

F

x

F

x

X

P。

对于离散型随机变量，∑

≤

=

x

x

k

k

p

x

F)

(；

对于连续型随机变量，?

∞

-

=

x

dx

x

f

x

F)

(

)

(。

（5）八大0-1

分布

P(X=1)=p, P(X=0)=q

分布二项

分布在n重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X 可能取值为n,,2,1,0 。

k

n

k

k

n

n q

p

C

k

P

k

X

P-

=

=

=)

(

)

(，其中

n

k

p

p

q,

,2,1,0

,1

0,

1

=

<

<

-

=，

则称随机变量X服从参数为n，

p的二项分布。记为),(~p n B

X。

当1=n时，k k q p

k

X

P-

=

=1

)

(，1.0=k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布设随机变量X的分布律为

λ

λ

-

=

=e

k

k

X

P

k

!

)

(，0>λ， 2,1,0=k，则称随机变量X服从参数为λ

的泊松分布，记为)(~λπ

X或者P(λ)。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几何分布

)

,

min(

,

2,1,0

,

)

(

n

M

l

l

k

C

C

C

k

X

P

n

N

k

n

M

N

k

M

=

=

?

=

=

-

-

随机变量X服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分布

,3,2,1

,

)

(1=

=

=-k

p

q

k

X

P k，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

均匀分布设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数)(x f在[a，b]上为常数

a

b-

1，即

??

?

?

?

-

=

,0

,

1

)

(a

b

x

f其他，

则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。分布函数为

?∞-=

=x dx

x

f

x

F)

(

)

(

当a≤x1

a

b

x

x

x

X

x

P

-

-

=

<

<1

2

2

1

)

(。

0，x

,

a

b

a

x

-

-

a≤x≤b

1，x>b。

a≤x≤b

指数分布

其中0>λ，则称随机变量X 服从参数为λ的指数分布。 X 的分布函数为

记住积分公式： !0

n dx e x x

n

=?+∞

-

=

)(x f ,x

e λλ- 0≥x , 0, 0

=

)(x F ,1x

e λ-- 0≥x ,

,0 x<0。

正态分布设随机变量X的密度函数为

2

2

2

)

(

2

1

)

(σ

μ

σ

π

-

-

=

x

e

x

f，+∞

<

<

∞

-x，

其中μ、0>σ为常数，则称随机变量X服从参数为μ、σ的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(

~2

σ

μ

N

X。

)

(x

f具有如下性质：

1° )(x f的图形是关于μ=x对称的；

2° 当μ=x时，

σ

π

μ

2

1

)

(=

f为最大值；

若),(

~2

σ

μ

N

X，则X的分布函数为

dt

e

x

F x

t

?∞-

-

-

=2

2

2

)

(

2

1

)

(σ

μ

πσ。。

参数0=μ、1=σ时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(

~N

X，其密度函数记为

2

2

2

1

)

(

x

e

x-

=

π

?，

+∞

<

<

∞

-x，

分布函数为

?

∞

-

-

=

Φ

x t

dt

e

x2

2

2

1

)

(

π

。

)

(x

Φ是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝2

1。

如果X~)

,

(2

σ

μ

N，则σμ-X~)1,0(N。

?

?

?

?

?-

Φ

-

?

?

?

?

?-

Φ

=

≤

<

σ

μ

σ

μ

1

2

2

1

)

(

x

x

x

X

x

P。

（6）分位数下分位表：α

μ

α

＝

)

(≤

X

P；上分位表：α

μ

α

＝

)

(>

X

P。

（7）函数分布离散

型

已知X的分布列为

,

,

,

,

,

,

,

,

)

(2

1

2

1

n

n

i p

p

p

x

x

x

x

X

P

X

=

，

)

(X

g

Y=的分布列（)(i

i

x

g

y=互不相等）如下：

,

,

,

,

),

(

,

),

(

),

(

)

(

2

1

2

1

n

n

i p

p

p

x

g

x

g

x

g

y

Y

P

Y

=

，

若有某些)(i x g相等，则应将对应

的

i

p相加作为)(i x g的概率。

连续

型

先利用X的概率密度f X(x)写

出Y的分布函数F Y(y)＝

P(g(X)≤y)，再利用变上下限

积分的求导公式求出f Y(y)。

第三章 二维随机变量及其分布

第一节 基本概念

1、概念网络图

???

???

?

?

??????

?

???????????????????????????????????????????????????=+=???

???→????????????????????????→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξ

2、重要公式和结论

（1）联合分布离散

型

如果二维随机向量ξ（X，Y）

的所有可能取值为至多可列

个有序对（x,y），则称ξ为离

散型随机量。

设ξ=（X，Y）的所有可能取

值为),2,1

,

)(

,

(

=

j

i

y

x

j

i

，且事件{ξ=),(

j

i

y

x}的概率为p ij,,称

)

,2,1

,(

)}

,

(

)

,

{(

=

=

=j

i

p

y

x

Y

X

P

ij

j

i

为ξ=（X，Y）的分布律或称为

X和Y的联合分布律。联合分

布有时也用下面的概率分布

表来表示：

Y

X

y1y2…y j…

x1p11p12…p1j…

x2p21p22…p2j…

x i p i1…

ij

p…

这里p ij具有下面两个性质：

（1）p ij≥0（i,j=1,2,…）；

（2）.1=

∑∑ij

i j

p