勾股定理逆定理的三种运用

勾股定理逆定理的三种运用

原《几何》第一册104页给出了勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．下面举例说明这一定理在解题中的三种运用．

1．判断三角形形状

例1 已知△ABC的三边a、b、c使方程a(1－x2)+2bx+c(1+x2)=0有等根，试判断三角形的形状．

解原方程可变为

(a－c)x2－2bx－(a+c)=0

∵方程有等根．

∴△=4b2+4(a+c)(a－c)

=4(a2+b2－c2)=0

∴a2+b2－c2=0即a2+b2=c2

∴△ABC为直角三角形，且∠C为直角．

2．用于证明

例2 如图1，在△ABC中，AD⊥BC，且AB2=BD·BC，求证：BA⊥AC．

证明∵AD⊥BC，

∴ AD2+BD2=AB2

AC2=AD2+CD2

=AD2+(BC－BD)2

=AD2+BC2－2BC·BD+BD2

=BC2+AB2－2BC·BD

(∵ AB2=BC·BD)

=BC2+AB2－2AB2

=BC2－AB2

∴AB2+AC2=BC2

∴△ABC为直有三角形，且∠BAC为直角．

∴DA⊥AC

例3如图2，在正方形ABCD中，M为AB的中点，在AD上取一点E，使

1

AE AD

4

=，

EC中点为N。

求证：

1 MN EC

2

=

证明设正方形边长为a，则

∵ME2+MC2

=(AM2+AE2)+(BM2+BC2)

∴ME2+MC2=EC2

∴△EMC为直角三角形，且EC为斜边，又N为EC中点，故MN为斜边中线．

3．用于求角度

例4 如图3，在四边形ABCD中，AB∶BC∶CD∶AD=2∶2∶3∶1，且∠B=90°，求∠DAB=？解连AC，设AD=a，则

AB=BC=2a，CD=3a,

∵∠B=90°，且AB=BC，

又∵ AC2+AD2=8a2+a2=9a2=CD2

∴△CAD为直角三角形，且

∠CAD=90°

∴∠BAD=90°+45°=135°

例5 如图4，P为正三角形内一点，且PC=3，PB=4，PA=5，求∠BPC=？

解如图4，绕点C，将△APC旋转60°得△CBP′，则△CPP′为正三角形，于是∠P′PC=60°，

又P′P=PC=3，BP=4，BP′=PA=5，

∴△BPP′为直角三角形

且∠BPP′=90°，

∴∠BPC=90°+60°=150°

勾股定理逆定理(2)教案

17．2 勾股定理的逆定理（2）教案 一、教学目标 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析 例1（P33例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 四、课堂引入 创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一 些数学知识和数学方法。 五、例习题分析 例1（P33例2） 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30； ⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 练习： 1．请完成以下未完成的勾股数： （1）8、15、_______；（2）10、26、_____． 2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______． 3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）． A ， ．7，24，25 C．4，7.5，8.5 D．3.5，4.5，5.5 4．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（）． A．12.5 B．12 C ． 2 D．9 5．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长． 6．已知：如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD，求证：BC⊥BD． E

勾股定理的逆定理专题练习

勾股定理的逆定理 专题训练 1．给出下列几组数：①111,,345 ；②8，15，16;③n 2－1，2n ，n 2＋1；④m 2－n 2，2mn ，m 2＋n 2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（ ）． A ．①② B ．③④ C ．①③④ D ．④ 2．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）．A ．1，2，3 B ．4，5，6 C ．12，13，14 D ．9，40，41 3．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（ ）．A ．8 B ．10 C ．11 个D ．12个 4．如果一个三角形一边的平方为2（m 2＋1），其余两边分别为m －1，m ＋ l ，那么 这个三角形是（ ）； A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 5．ABC ?的两边分别为5，12，另—边c 为奇数，且a ＋ b ＋ c 是3的倍数，则c 应为_________，此三角形为________． 6．三角形中两条较短的边为a ＋ b ，a － b （a>b ），则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形． 7．若A B C ?的三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＋50＝6a ＋8b ＋l0c ，则此三角形是_______三角形，面积为______． 8．已知在ABC ?中，BC ＝6，BC 边上的高为7，若AC ＝5，则AC 边上的高为 _________． 9．已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为自然数），则这个三角形为______，理由是_______． 10．一个三角形的三边分别为7cm ，24 cm ，25 cm ，则此三角形的面积为_________。 11．如图18－2－5，在ABC ?中，D 为BC 上的一点，若AC ＝l7，AD ＝8，CD=15，AB ＝10，求ABC ?的周长和面积． 12．已知ABC ?中，AB ＝17 cm ，BC ＝30 cm ，BC 上的中线AD ＝8 cm ，请你判断ABC ?的形状，并说明理由 ．

勾股定理及其逆定理(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：勾股定理的内容是什么？ 问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？ 问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？ 问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？ 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：勾股定理的内容是什么？ 答：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c分别来表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？ 答：如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形． 问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？ 答：使用勾股定理的前提是已知三角形是直角三角形；勾股定理逆定理使用前提是在知道三角形三边关系后，证明三角形是直角三角形． 问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？ 答：0.3，0.4，0.5不是一组勾股数． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数． 0.3，0.4，0.5满足，但不是正整数，所以不是一组勾股数．

勾股定理及其逆定理（人教版） 一、单选题(共9道，每道10分) 1.三角形的三边，，满足，则三角形的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的逆定理 2.将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形为( ) A.可能为锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的逆定理 3.下列长度的三条线段：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④； ⑤（为正整数，且），其中可以构成直角三角形的有

勾股定理的逆定理及应用

勾股定理的逆定理及应用 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答这样两个问题: 1.这三组数都满足a2+b2=c2吗 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，你能猜测最大的角的度数吗 _______________________________________________________________ __________________ 入门测试 1．如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130 m，CB ＝120 m，则AB为( ) A．30 m B．40 m C．50 m D．60 m 2．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为( ) A．5 cm B．100 cm C．120 cm D．130 cm 3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( ) A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km 4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高m，宽m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需__m长． 5.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形，其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( ) A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD

《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)精讲

第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理 填空题 1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长． （第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm． 3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米． 4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米． （第4题）（第5题）（第6题） 5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号） 6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值）7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）

（第7题）（第8题）（第9题） 8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm．（π取3） 9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是． 10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米． （第10题）（第11题）（第12题）11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸． 13．观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：32=4+5； 列举：5、12、13，猜想：52=12+13； 列举：7、24、25，猜想：72=24+25； … 列举：13、b、c，猜想：132=b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ． 解答题 14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

(完整word版)勾股定理及逆定理习题及答案

勾股定理及逆定理习题及答案 1、由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（） 2、由于0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（） 3.下列几组数据能作为直角三角形的三边的有( ) （1）9，12，15; （2）15，36，39; （3）12，35，36 ; （4）12，18，22. 4.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三角形的面积是（）cm2 . (A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是（）. (A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形 6．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答( ) A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对 7．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为 2.5 m的木梯，准备把梯子架到 2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( ) A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m 8．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航

行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距（ ）海里． 9. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c ＋a ＝2b ，c －a ＝ 12 b ， 则△ABC 是什么特殊三角形？ 1ｘ 2.ｘ ３．（1）(2) (4) B (5)D 6.A 7.A (8)50海里 9. 解：因为c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ， 所以(c ＋a)(c －a)＝2b·12b. 所以c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2. 所以△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形．

17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计

《17.2勾股定理的逆定理》教学设计 Y qzx Bmm 【内容和教材分析】 内容教材第31-33页，17.2勾股定理的逆定理. 教材分析“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一. 【教学目标】 知识与技能 1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理． 2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系． 3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形． 过程与方法 1．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程． 2．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用．3．通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题． 情感、态度与价值观 1．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系． 2．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神． 【教学重难点及突破】 重点 1．勾股定理的逆定理及运用. 2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点 1．勾股定理的逆定理的证明. 2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性. 【教学突破】 1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题. 2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断. 3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”. 4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根

勾股定理及其逆定理的应用常见题型

勾股定理及其逆定理的应用常见题型 利用勾股定理求线段长 1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长． (注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 利用勾股定理求面积 2．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6 cm，BC＝8 cm，求阴影部分的面积． 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 3．在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状．

利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题 4.(中考·青岛)如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________． 利用勾股定理解决实际问题 65如图，某港口位于东西方向的海岸线上，A，B两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32 n mile，B舰每小时航行24 n mile，它们离开港口一个小时后，相距40 n mile，已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个方向航行？ (第6题)

几种常见的热门考点 勾股定理及其应用 1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为() A．3 B．4 C．5 D．10 (第2题) 2．如图，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为________． 3．如图，已知∠C＝90°，BC＝3 cm，BD＝12 cm，AD＝13 cm.△ABC的面积是6 cm2.求： (1)AB的长度； (2)△ABD的面积． (第3题) 勾股定理的验证 4．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．

《勾股定理的逆定理2》习题

《勾股定理的逆定理2》习题 课堂练习 1．小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地.小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是 . 2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形？为什么？ 3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？ 课后练习 1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 . 2．一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC =15米，AD =13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量.小明找了一卷米尺，测得AB =4米，BC =3米，CD =13米，DA =12米，又已知∠B =90°. 参考答案： 课堂练习： 1．向正南或正北. 2．能，因为BC 2=BD 2+CD 2=20，AC 2=AD 2+CD 2=5，AB 2=25，所以BC 2+AC 2= AB 2； 3．由△ABC 是直角三角形，可知∠CAB +∠CBA =90°，所以有∠CAB =40°，航向为北偏东50°. 课后练习： 1．6米，8米，10米，直角三角形； 2．△ABC 、△ABD 是直角三角形，AB 和地面垂直. N A B

勾股定理的逆定理的应用 公开课获奖教案

第2课时 勾股定理的逆定理的应用 1．进一步理解勾股定理的逆定理；(重点) 2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．(难点) 一、情境导入 某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？ 二、合作探究 探究点：勾股定理的逆定理的应用 【类型一】 运用勾股定理的逆定理求角度 如图，已知点P 是等边△ABC 内 一点，P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数． 解析：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连接EP ，判断△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，即可得到∠APB 的度数． 解：∵△ABC 为等边三角形，∴BA ＝BC .可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连EP ，∴BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°，∴△BPE 为等边三角形，∴PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°.在△AEP 中，AE ＝5，AP ＝3，PE ＝4，∴AE 2＝PE 2＋P A 2，∴△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°，∴∠APB ＝90°＋60°＝150°. 方法总结：本题考查了等边三角形的判 定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题 的关键是根据题意构造△APE 为直角三角形． 【类型二】 运用勾股定理的逆定理求边长 在△ABC 中，D 为BC 边上的点， AB ＝13，AD ＝12，CD ＝9，AC ＝15，求BD 的长． 解析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD 为直角三角形，即∠ADC ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中利用勾股定理可得出BD 的长度． 解：∵在△ADC 中，AD ＝12，CD ＝9，AC ＝15，∴AC 2＝AD 2＋CD 2，∴△ADC 是直角三角形，∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∴△ADB 是直角三角形．在Rt △ADB 中，∵AD ＝12，AB ＝13，∴BD ＝AB 2－AD 2＝5，∴BD 的长为5. 方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中． 【类型三】 勾股定理逆定理的实际应用 如图，是一农民建房时挖地基的 平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB ＝DC ＝8m ，AD ＝BC ＝6m ，AC ＝9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解析：把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是

勾股定理及其逆定理 一

勾股定理及其逆定理 一、知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2=c 2） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 3、满足2 22c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 二、典型题型 1、求线段的长度题型 2、判断直角三角形题型 3、求最短距离 三、主要数学思想和方法(1)面积法． 例1已知 △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5㎝．BC ＝3㎝，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长． (2)构造法．例8、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积． (3)分类讨论思想．（易错题） 例3在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 ． 例4. 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。试求BC 的长。 例5、在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为 ． 练习： 1、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。

(5)方程思想． 例6如图4，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐苹果，一只猴子从D 往上爬到树顶A 又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，再由B 跑到C ．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB 的高度． 例题7、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 例9. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，且AB=10，BC=8，求CD 的长。 练习： 1、如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。 C ' F E O D C B A 图4 C A

18.2 勾股定理的逆定理(二)

八数教学案 一、课时学习目标 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 重点、难点 1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 二、课前预习导学 1．填空题。 ⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。 ⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。 ⑶在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2 ，则△ABC 是 三角形， 是直角； 若a 2＜b 2－c 2，则∠B 是 。 ⑷若在△ABC 中，a=m 2－n 2，b=2mn ，c= m 2＋n 2 ，则△ABC 是 三角形。 2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ） A ．a=8，b=15，c=17 B ．a=9，b=12，c=15 C ．a=5，b=3，c=2 D ．a ：b ：c=2：3：4 3．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=62，c=1。 4．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵5 1,41, 31； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； ⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A ．2个 B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。 ⑴如果a 3＞0，那么a 2＞0； ⑵如果三角形有一个角小于90 °，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。 三、课堂学习研讨 例1（P75例2）在军事和航海上经常要确定方向和位置， 从而使用一些数学知识和数学方法。 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得PR= ，PQ= ，QR= ； 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

勾股定理及其逆定理专题练习

勾股定理及其逆定理专题练习 （一）几何法证明勾股定理. 1、如图所示， 90=∠=∠BCE ADE ,a CE AD ==，b BC DE ==，c BE AE ==，利用面积法证明勾股定理. （二）勾股定理的应用. 一、勾股定理的简单计算： 1、直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 2、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是__________. 3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 二、勾股定理与实际问题： 1、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_____米. 2、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为____________m ． 3、如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有__________m ． b c c a a b D C A E B

4、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需___________米. 5、将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图）．设筷子露在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是___________． 三、勾股定理与图形变换： 1、如图，已知ABC ?中， 5.22=∠B ,AB 的垂直平分线交BC 于D ，26=BD ，BC AE ⊥于E ,求AE 的长. 2、如图，将长方形ABCD 沿直线AB 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于E ，48==AB AD ，,求BED ?的面积.

勾股定理及逆定理的应用练习(含答案)

勾股定理的逆定理 1.如图所示,△ABC 中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC 的长等于( ) A.22 B.23 C. 6 D. 23 6 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 答案：C 详细解答：作BC 边上的高AD, △ ABC 中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30° 在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=3 在Rt △ACD 中，∠C=45°，AD=3,所以CD=AD=3， 利用勾股定理可得AC=6。 1．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，线段AB 长为（ ）。 A.2 B.3 C.4 D.33 答案：C 分析：欲求AB ，可由AB=BD+AD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD 和AD 。或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角， 求出AC 和BC 。 详细解答：在Rt △ACD 中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=3,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。 C D

在Rt △ACB 中，∠A=60°，那么∠B=30°。 在Rt △BCD 中，∠B=30°，又已知CD=3,所以BC=23，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。 因此AB=BD+CD=3+1=4， 小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2 -BD 2 =AC 2 -AD 2 ，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。 2．已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2 －b 2c 2 =a 4 －b 4 ，则它的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状 知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。 答案：D 详细解答：∵ a 2c 2 －b 2c 2 =a 4 －b 4 ，∴左右两边因式分解得))(()(2 222222b a b a b a c -+=- ∴0))((2 2222=---b a c b a ∴022=-b a 或02 22=--b a c ， 即b a =或2 22b a c +=，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。 2．若△ABC 的三边a ，b ，c 满足(c-b)2 +︱a 2 -b 2 -c 2 ︱=0，则△ABC 是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 答案：C 详细解答：∵(c-b)2 +︱a 2 -b 2 -c 2 ︱=0，∴c-b =0且a 2 -b 2 -c 2 =0 即b c =且2 22b a c +=， 所以三角形的形状为等腰直角三角形。 3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

勾股定理逆定理实际应用

勾股定理逆定理（2）教学设计

上节课我们学习了勾股定理的逆定理，请说出它的内容及用途；并说明它与勾 组成的三角形是不 、借助三角板画出如下方位角所确定的射 . 位于东西方向的海岸线 “海天”号轮船同时离开港 号每小 12 30 号沿东北方向航行， ， ABCD 学生通过思考举 手回答及总结得 出勾股定理的逆 定理。 独立思考，得出 答案后相互交流 ⑴了解方位角， 及方位名词； ⑵依题意画出图 形； ⑶依题意可得 PR=12×1.5=18， PQ=16×1.5=24， QR=30； ⑷因为 242+182=302， PQ2+PR2=QR2，根 据勾股定理的 逆定理，知∠ QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR- ∠QPS=45°。 （2）教师提出你 能根据题意画出 相关图形吗？ 读题是学生理 解题意的重要 环节，只有正 确接收有关信 息，才能为下 一步利用这些 信息进行分析 打好基础。 画图对学生来 说，会有一定 的难度 学生能准确的 画出也可利用 学生画的图进 行进一步的分 析（画图也是 本节课的难 点） 让学生明确， 仅仅基于测量 结果得到的结 论未必可靠， 需要进一步通 过说理等方式 使学生确信结

解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°， ∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13， ∴ AC2+CD2=52+122=169． 又∵ AD2=132=169， 即 AC2+CD2=AD2， ∴ △ACD 是直角三角形． ∴ 四边形ABCD 的面积为 问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什 么关系？ 追问1 类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否也是勾股数？如何验证？ 追问 2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的猜想？ 结论：若a ，b ，c 是一组勾股数，那么ak ，bk ，ck （k 为正整数）也是一组勾股数． 【活动三】巩固拓展 练习1：如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”： （1）△ABC 是什么类型的三角形？ （2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多 （在学生都尝试画了之后，教师再在黑板上或多媒体中画出示意图） 11 345123622+=????

勾股定理及其逆定理+(习题及答案)

勾股定理及其逆定理 例题示范 例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面3m 处折断倒下，树的顶部落在离树的底部4m 处，这棵树折断之前有多高？ 解：如图，由题意，得 AC =3，BC =4，∠ACB =90° 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， 由勾股定理，得 AC 2+BC 2=AB 2 ∴32+42=AB 2 ∴AB =5 ∴AB +AC =5+3=8 答：这棵树折断之前高8m ． 例2：如图，在△ABC 中，AB =13cm ，AC =5cm ，BC =12cm ． 求证：∠C =90°． C B A 证明：如图 在△ABC 中，AB =13，AC =5，BC =12 ∵52+122=132 ∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴△ABC 为直角三角形，且∠C =90°． 巩固练习 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长为________． C B A 2. 已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人之间的 距离为___________． C B A

3. 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的面积从小 到大依次记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ） A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2

人教版八年级下册数学勾股定理及逆定理

勾股定理及逆定理 一、学习导航 1.有一个角是900的三角形是直角三角形； 2.两锐角互余的三角形是直角三角形； 3.两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形； 4.一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。 5.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。设三边长分别为a、b、c(c 为斜边)，则 6.勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足：两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 二、知识梳理与例题精讲 知识点一勾股定理 例1.在Rt△ABC中，∠C=900 如果a=10, b=24,那么c= . 如果a=15, c=25,那么b= . 如果c=10, b=8,那么a= . 例2.有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？

例3.一架长为10米的梯子AB斜靠在墙上，若梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑2米，那么它的底端是否也滑动2米？ 知识点二勾股定理的逆定理 例4.有六根木棒，它们的长度分别为2,4,6,8,10,12,（单位：cm）,从中取出三根，首尾顺次连接成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（） A.2,4,8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12 例5.已知：△ABC的三条边长分别为a、b,、c,且a=n2-1,b=2n,c= n2+1(n＞1). △ABC是直角三角形吗？为什么？ 例6. 在正方形ABCD中,F为DC的中点，E为BC上一 点,且BC=4EC.小明经过测量发现∠EA=900,你认为对 吗？

19.9(4)勾股定理(勾股定理的逆定理及其应用)

19.9（4）勾股定理（勾股定理的逆定理及其应用）要点归纳 应用勾股定理时要注意：在直角三角形的三边中，首先弄清那条边是斜边。 应用勾股定理逆定理时要注意：最大边的平方等于较小两边的平方和。 疑难分析 例1 将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6.求重叠部分四边形的面积。 例2 如图，P是四边形内一点，过点P作AB、BC、CD、DA 的垂线，垂足分别为E、F、G、H，已知AH=3，HD=4，DG=1，CG=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1，求四边形ABCD的周长。 A B

基础训练 1. 在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为36、64，则以斜边为边长 的正方形的面积为＿＿＿＿； 2. 在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=＿＿＿＿； 3. 一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有 ＿＿＿＿米； 4. 如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是＿＿＿＿米； 5. 若直角三角形的两边长为12和5，求以第三边为边长的等边三角形的面积是＿＿＿＿； 6. 在△ABC中，AB=15，AC=13，边BC上的高AD=12，则△ABC的周长为＿＿＿＿； 7. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是（）. A.24 B.36 C.48 D.60 8. 等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（）. A.56 B.48 C.40 D.32 9. 若直角三角形一直角边长为9，另两边为连续自然数，则此三角形的周长为（）. A.121 B.120 C.90 D.不能确定 10. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家。若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为（）. A.600米 B.800米 C.1000米 D.不能确定 11. 观察下列几组数据：①m2+n2、2mn、m2-n2（m﹥n﹥0）②三边之比为1：2：3；③△ABC 的三边长为a、b、c，满足a2-b2=c2。其中能作为直角三角形三边长的有（）. A.1组 B.2组 C.3组 D.0组 12. 如图，公路上A、B两点相距25千米，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15千米，CB=10千米，现要在公路AB上建一车站E。 （1）若使得C、D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少千米处？ （2）若使得C、D两村到E站的距离和最短，E站建在离A站多 13. 如图，将一个边长分别为4、8的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则EF的 长是多少？ D' A E

勾股定理和勾股定理逆定理例题

勾股定理和勾股定理逆 定理例题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

勾股定理和勾股定理逆定理经典例题 题型一：直接考查勾股定理 例1 在△ABC 中，∠C=90° （1）已知AC=6，BC=8，求AB 的长； （2）已知AB=17，AC=15，求BC 的长. 题型二：利用勾股定理测量长度 1、如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 2、如图，水池中离岸边D 点米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是米，把芦苇拉倒岸边，它的顶端B 恰好落在D 点，求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用 1、如图，正方形ABCD 中，E 是 BC 边的中点，F 是AB 上一点，且FB=4 1 AB ，那么△DEF 是直角三角形吗如果是，请说明理由. 题型四：勾股定理在折叠问题中的应用 1、如图，已知在长方形 ABCD 中，CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 拓展延伸：求折痕的长及重叠部分的面积. 经典例题训练： A B C D B C D E D E

1、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 米； 212cm ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，问吸管要做 cm ； 3、已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ， OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且 BC=8cm ，CA=6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm ； 20米D 米； 5、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 ； 1、如图，△ABC 中，∠BAC=45的面积. 2、 如图，△ABC 中，AD 是BC 第3题 A B 第4题 第5 C