巧解高考数学压轴题(6)——拉格朗日(lagrange)中值定理证明

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数

我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立.

拉格朗日中值定理教学设计

教学设计 第六章微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 题目：罗尔定理与拉格朗日定理 一、教学目的： 1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推 论。 2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗 日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格 朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的 思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。 二、教学重点与难点： 1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的 高。 2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别 与联系。 三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法 四、教学手段：板书与课件相结合 五、教学基本流程：

六、教学 情境设计（1学时）： 1、知识回顾 费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、引出定理，探究案例 微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括 四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。 定理 6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()0='ξf . ()1 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．

微分中值定理例题

理工大学 微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２ １２１２１２１２２１１１２１１１２１ １２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续， 在（，）内可导， 且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

拉格朗日中值定理

一拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。 拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。 用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即 这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。 在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]任取两点，并且函数在此闭区间是连续的，的 最大值为A，最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。这是拉格朗日定理最初的证明。 下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。 如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）可导；那么这个函数在此开区间至少存在着一点，使得. 拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。 例1：函数

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,可导；（3） ()()b f a f =,则在()b a ,至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0' =ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理 若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,可导；则在 ()b a ,至少存在一点ζ ，使()()()a b a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧

拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用

分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理

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拉格朗日中值定理 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁,在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数． 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个,因此如果以引入辅助函数的个数来计算,证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分,我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述． 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件:()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导;(３） ()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义:如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么,在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴,如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备,就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0' =ζf . 这就是说定理的条件是充分的,但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理 若函数()x f 满足如下条件:()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导;则在 ()b a ,内至少存在一点ζ ,使()()()a b a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义:函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧

拉格朗日插值定理证明

拉格朗日插值定理证明 作者：田茂（tianmao999@https://www.wendangku.net/doc/756261940.html, ） 已知： 110111212 211()1...()1...*......................()1...N N N N N N N f x a x x f x a x x f x a x x ----??????????????????=???????????????? ??（1） 则有： 01111100()1*....()()() N N N N i i j i i j j i a a f x x x a x a f x a a ----==≠????????=???????? -=-∑∏ （2） 证明过程如下： 由： ()()0i i f x a f a =-=（3） 可知： ()()()()i i f x f a x a g x -=-（4） 即有： ()()mod()i i f x f a x a ≡-（5） 由中国余数定理（CRT ）可知： 1()()*()*()n i i i i f x N x M x f a ==∑（6） 式（6）中，()i M x 满足： 1()()n i j j j i M x x a =≠=-∏（7） ()i N x 满足： ()()()()1i i i i N x M x n x x a +-=（8） 即有：

()()1mod ()i i i N x M x x a ≡-（9） 由（7）得： ()()()111()() ()mod()n i j j j i n i i j j j i n i j i j j i M x x a x a a a a a x a =≠=≠=≠=-=-+-≡--∏∏∏（10） 如果要满足式（9），由（10）可知，()i N x 为： ()11 ()i n i j j j i N x a a =≠=-∏（11） 将（7）和（11）代入（6）可得： ()1 1111100()()*()*() 1*()*()()()() n i i i i n n j i n i j i j j i j j i N N i i j i i j j i f x N x M x f a x a f a a a x a f x a a ===≠=≠--==≠==---=-∑∑∏∏∑∏（12） 命题得证。

微分中值定理教案

微分中值定理 【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】 1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义； 2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。 3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】 1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用 2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。 3、利用导数证明不等式的技巧。 【教学过程】 一、背景及回顾 在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。 另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。 由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若 函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f = 则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)(' =c f 二、新课讲解 1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理， 但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容： 2.1拉格朗日定理 若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()a b a f b f c f --= )(' 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。 b 、若加上)()(b f a f =，则()()00 )(' =-=--= a b a b a f b f c f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔 定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。 c 、形象认识（几何意义），易知()()a b a f b f --为过A 、B

拉格朗日中值定理1

一拉格朗日中值定理 1．定理内容 拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。 拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。 用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即 f(x+1)?f(x) ≈0 1 这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′x=0。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。 在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x0和x1，并且函数f x在此闭区间内是连续的，f′(x)的最大值为A，f′x最小值为B，则f(x1)?f(x0) 的值必须是A和B之间的一个 x1?x0 值。 下述就是拉格朗日中值定理: 如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得f′ξ=f(b)?f(a) . b?a

拉格朗日中值定理教育教学设计

拉格朗日中值定理教学设计

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教学设计 第六章微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 题目：罗尔定理与拉格朗日定理 一、教学目的： 1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推 论。 2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗 日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格 朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的 思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。 二、教学重点与难点： 1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的 高。 2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别 与联系。 三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法 四、教学手段：板书与课件相结合 五、教学基本流程： 知识回顾引出定理，探究案例类比学习，理解定理

六、教学 情境设计（1学时）： 1、知识回顾 费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、引出定理，探究案例 微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括 四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。 定理 6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()0='ξf . ()1 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)． 升华、理解新知 课堂小结作业

拉格朗日中值定理讲课稿

尊敬的评委老师： 大家下午好！ 我们知道，导数是研究函数以及曲线的某些形态的重要工具，而微分中值定理则是导数应用的理论基础，因此对微分中值定理的理解和掌握是非常必要的。 下面请同学们回忆一下我们上一节课所学的罗尔定理的基本内容和数学意义，罗尔定理有三个条件分别是在闭区间上连续、在开区间内可导和区间端点的函数值相等，结论是至少存在一点属于开区间，使得函数在这个点的导数值等于零，它的代数意义是方程函数的导数等于零在开区间内至少有一个实根；几何意义是，在曲线段AB上有平行于弦AB的切线存在，那么请大家思考这样一个问题：如果罗尔定理中第三个条件（也就是函数在区间端点的函数值不相等）不成立的话，在曲线段AB上还会有平行于弦AB的切线存在吗？带着这个问题，让我们走进今天的新课：拉格朗日中值定理及其应用。 首先我们来认识一下数学家拉格朗日，拉格朗日是一位法国数学家，他在方程论、解析函数论以及数论等方面做出了重要贡献，是对分析数学产生全面影响的数学家之一。拉格朗日中值定理就是他的诸多成果中的一个。 下面我们来看一下拉格朗日中值定理的条件和结论，定理的条件是函数满足在闭区间上连续、在开区间内可导，结论是在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数值等于……，该式也称为拉格朗日中值公式或微分中值公式。 我们来分析一下拉格朗日中值定理的数学意义，首先来看几何意义，通过图示可以看到弦AB的斜率为……，设曲线上两个点……处的切线分别为……，对应的横坐标为……，那么对应切线的斜率分别为……，如果满足……，可以直观的看到两条切线是和弦AB平行的，也就是说拉格朗日中值定理的几何意义是在曲线弧AB上有平行于弦AB的切线存在，这就回答了我们最初提出的问题，很容易知道，罗尔定理就是拉格朗日中值定理在区间的两个端点的函数值相等时的特殊情形。 这个定理的代数意义是方程在开区间内至少有一个实根。 下面我们来证明一下这个定理，首先来看一下该定理的证明思路，我们可以从它的代数意义出发，假设存在一个函数……，那么要证明的结论就化为证明方程……在开区间内至少有一个实根，而这恰恰与罗尔定理的结论不谋而合，因此

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用

单位：旅游系 专业：酒店管理 姓名：王姐 学号：1414061039 【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的形式。它在初等数学中有着重要作用，也是一个基础性定理。在许多方面它都有重要的作用 ，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。 【关键词】罗尔定理、拉格朗日定理、重要应用。 引言 拉格朗日定理是高等数学的基础，同时也是一个基础性的定理，在高等数学中有着重要作用，要学习和掌握它的证明方法。 罗尔定理：如果函数()f x 满足条件：○ 1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导；○ 3在区间两个端点的函数值相等，即()()f a f b =，(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=。 罗尔定理的证明：因为函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，所以它在[,]a b 上必能取得最大值M 和最小值m 。 （1）如果M m =，则()f x 在[,]a b 上恒等于常数M ，因此，在整个区间(,)a b 内恒有 '()0f x =，所以，(,)a b 内每一点都可取作ξ，此时定理显然成立。 （2）如果m M <，因()()f a f b =，则数M 与m 中至少有一个不等于端点的函数值()f a ，设()m f a ≠，这就是说，在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f M ξ=。 下面证明'()0f ξ=。 由于()f M ξ=是最大值，所以不论x ?为正或负，恒有()()0f x f x ξ+?-ξ≤?， (,)x a b ξ+?∈。 当0x ?>时，()()0f x f x ξ+?-ξ≤?，有已知条件'()f ξ存在可知，

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用 一．拉格朗日中值定理[1] 拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）f 在开区间(,)a b 内可导； 则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()'f b f a f b a ξ-= -. 几何意义： 在满足定理条件的曲线上()y f x =至少存在一点(,())p f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB （如图） 二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用 由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析. 例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数22()ln .a f x x a x x =++ （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）设'1,()(),a g x f x ==问是否存在实数k ，使得函数()g x 上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由. 解（Ⅰ）略（Ⅱ）当1a =时，221 ()1g x x x =- +，假设存在实数k ，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ，即对任意210x x >>，都有2121 ()() ,g x g x k x x -≥-即求任意两点割线斜 率的大小，由中值定理知存在12(,)x x x ∈，有'2121 ()() (),g x g x g x k x x -=≥-转为求切线斜率的大小. 即'32 41 ()g x k x x = -≥在(0,)+∞上恒成立.（以下同参考答案） 评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将 2121 ()() ,g x g x k x x -≥-转 化为2211()(),g x kx g x x -≥-转而考查函数()()h x g x kx =-，学生不是很容易想到， 但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受．

谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔() Rolle中值定理 如果函数()x f满足条件：()1在闭区间[]b a,上连续；()2在开区间()b a,内可导；（3）()()b f a f=,则在()b a,内至少存在一点ζ ,使得()0 '= ζ f 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y=在点B A,

处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ， 使得()0'=ζf . 这就是说定理的 条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理 若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间 ()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --=ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦 AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中

拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理的 应用

总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。

总结拉格朗日中值定理的应用

总结拉格朗日中值定 理的应用

总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。

拉格朗日定理和函数单调性

第一节 拉格郎日定理和函数的单调性 教学目的 几个定理的条件与结论，应用 教材分析 重点：了解几个定理的条件与结论，特例 难点：运用定理解决问题 教学过程 一、导入新课 先考察可导函数在最大（小）值点处的导数性质。 例 函数221,x y x y -==分别在0=x 处取最小值，最大值，都有()00='y ，这一结果对于可导函数具有普遍性，利用最值、导数的概念和极限的保号性，可证明下列引理: 引理 若函数()x f y =在区间I 内的0x 处可导且取得最值，则()00='x f 二、罗尔定理 1、基本定理 定理1 若函数()x f 满足： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(),a b 内可导； （3）()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使()0='ξf . 略证 由条件（1），函数()x f 在[,]a b 上有最大值()M 和最小值()m ,只要证明函数()x f 至少有一个最值点落在(),a b 内即可。若m M =，则()x f 在[,]a b 上恒为常数，()b a ,内任一点是最值点。若m M >，则条件（3）至少有一个() x f

的最值点落在(),a b 内。 2、几何意义 连续曲线()x f y =的弧 AB 上，除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，则弧上除端点外至少有一点c ，在该点处曲线的切线平行于x 轴，从而平行于AB . 3、注意事项 罗尔中值定理的三个条件是使结论成立的充分而不必要条件。 反例 ()2,11, 2,12 x x f x x x ?-≤≤=? <≤? 在闭区间[]1,2上有定义，在1=x 处不连续，也不可导，()()21f f ≠-，罗尔定理三个条件都不满足，但有()2,10-∈=ξ，使()0='ξf 4、典型例题 例1 对函数133+-=x x y 在[] 3,3-上验证罗尔定理 解 由于233y x '=-在[ ] 3,3-上成立．所以函数133+-=x x y 在 [] 3,3-上可导．又(1y y ==，因此函数y 在[]3,3-上满足罗 尔定理，从而有(ξ∈使()0f ξ'=.事实上2 ()33f ξξ'=-,当1ξ=或 1ξ=-时，都有()0f ξ'=．显然(1±∈.验证完毕。 讨论方程的根有重要、广泛的实际意义，利用罗尔定理可以帮助讨论某些方程根。 例2 不求函数()()()()321---=x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实数根。 解 函数()x f 在R 上可导，由于()x f 有3个零点：1231,2, 3.x x x ===因此方程()0='x f 至少有两个实根；又()0='x f 是二次方程，至多有两个实根。所

柯西与拉格朗日中值定理的多种证明方法

微分中值定理的进一步探讨 □ 孙 莹 摘要： 微分中指定理中的 C auchy 中值定理与Lagrange 中值定理是数学分析学习内容的重中之重，其具有较强的理论性,其揭示函数与其导数之间的关系,在知识结构和思想体系中建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。我们在处理数学证明题中会经常用到这两个定理，但是课本中给出的证明方法单一而且独特，较难掌握，为弥补此不足之处，本课题将帮助大家多角度地了解微分中值定理的证明方法，以便更深刻地理解Cauchy 中值定理与Lagrange 中值定理，学会用多种方法处理同一问题的思想。 关键词： C auchy 中值定理；Lagrange 中值定理；常数k 法；行列式法；坐标旋转法 文章一开始先给出Roller 中值定理，因为Cauchy 中值定理和Lagrange 中值定理的多种证明过程都会用到Roller 中值定理的结论。然后给出北师大版的数学分析上册书中的Cauchy 中值定理和Lagrange 中值定理及其证明过程，目的在于让读者发现其与其它证明方法的联系。 定理1 （Roller 中值定理） 若()f x 满足如下条件： ()i 在[,]a b 上都连续； ()ii 在(,)a b 上都可导； ()iii )()(b f a f =， 则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf 。 定理2 （Cauchy 中值定理）[1] ()f x ，()g x 满足以下几个条件： ()i 在[,]a b 上都连续； ()ii 在(,)a b 上都可导 ()iii )('x f 和)(' x g 不同时为零 )(iv )()(b g a g ≠ 则存在ξ(,),a b ∈使得 ''()()()()()() f f b f a g g b f a ξξ-=-。