圆内极点极线的结论

极点极线的简单应用

内容摘要：我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。其实这些问题都与极点极线有关，极点与极线在几何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以很快的解出一些较难的几何题。关键词：极点极线调和点列完全四边形

不知道大家在平时做题的时候有没有将题目分类的习惯，这样可以让我们能够对一些类似的题目的做法给出一些比较方便简洁的做法。让我们以后在遇到类似的问题的时候就可以比较迅速的找到突破口，这也是一种在学习数学中必不可少的方法。以下就是我和其他几位同学总结的有关于我们在解平面几何以及平时看书所得到一些东西，拿出来和大家交流一下，希望能够对其他人提供一些帮助。我们总结的的方法就是大家比较熟知但却比较难的一种解法——极点极线。

一、定义

我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。如下面的这道题：

如左图（1）所示，PS 、PT 与⊙O 相切于S 、T 两点，

PAB 为圆的任意一条割线，交ST 于M ，求证：P 、A 、M 、

B 四点成调和点列。

解：设OP 交ST 于L 。联结AL 、AO 、BL 、BO ，则

由圆幂定理可知2

PA PB PL PO PS ?=?=ALBO ∴四点共圆

从而PLA OBA OAB OLB

∠∠∠∠＝＝＝即LP 是ALB ∠的外角平分线

但是PL ⊥LM ，故LM 是ALB ∠的内角平分线。

AM AC AP MB LB PB

∴==即PAMB 是调和点列。

（1）

由于PAB 的任意性，但是上面的证法利用了特殊的一条割线，不能十分充分的证明对于任意的PAB ，他与ST 的交点M ，PABM 成调和点列。于是我们寻找另外的方法。通过正弦定理与三角形的相似来证明上题：

sin sin PA PS PSA AM SM AST ?∠=?∠∵，sin sin PB PS PSA BM SM BST

?∠=?∠由正弦定理得

PA PS AS AM SM AT =?，PB PS SB BM SM BT

=?PSA PBS ?～?∵PAT PBT

?～?

AS AT SB BT

∴=PA PB AM BM ∴=由此看出上述的接论是成立的。

于是我们把P 点叫做ST 直线关于圆O 的极点，直线

ST 是P 点关于的极线。

上题只是P 点在圆外的情况，实际上P 点在圆内与

圆上都是存在关于他的极线的。

当P 点在圆上时，P 点的极线即是P 点的切线。

当P 点在圆内时，我们也可以找到他的极线：如右

图，过P 点作任意两条割线AB ，CD ，P ′，P ′′分别为

AB 、CD 的调和点，则对于任意的割线，P ′P ′′为固定直

线，则P ′P ′′为P 点关于圆O 的极线。

（2）下面证明P ′P ′′为固定直线。

解：

过OP 做弦EF ，在直线EF 找到一点Q 使得QFPE 四点调和

过Q 做⊙O 的两条切线QM 、QN ，运用同一法易证得MNP 三点共线，且易证得AQP DQP

∠=∠引理1如下图，对线段AB 的内分点C 和外分点D ，以及直线AB 外的一点P ，若PC

是APB ∠的平分线，且C 、D 调和分割AB ，则PC ⊥PB 。可过点C 作EF ∥PD ，交射线PA 于点E ，交射线于

点F ，

EC AC CB CF PD AD BD PD ===∵EC CF ∴=从而知PC ⊥EF ，亦知PC ⊥PB

（3）

由引理1得到OQ QP ′⊥与OQ QP ′′⊥从而得出P QP ′′′三点共线，所以P ′P ′′为固定直线，即P 点关于圆的极线。

从而看出极点与极线在几何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以很快的解出一些较难的几何题。

二、性质

由上面的证明过程中，我们总结出性质1。

性质1P 点与过P 点作任意割线与圆和其关于圆的极线所交形成的三点为调和点列。在研究性质1的过程中，我们发现了关于极点与极线一个十分特殊的例子，六点共线。如图（4），连线ST 为Q 关于圆O 的极线，任意作两条割线QAB 、QCD 分别交ST 于H 、J ，联结AD 、CB 交于I ，延长CA 与DB 交于P ，则P 、T 、H 、I 、J 、S 六点共线。

A D

（4）

证明过程如下：由引理知AH AQ BH BQ =，CJ CQ DJ DQ

=故AH BH AH BH AB AQ BQ AQ BQ AQ BQ +===++，CJ DJ CJ DJ CD CQ DQ CQ DQ CQ DQ

+===++211HQ AH AQ AQ AQ BQ BQ AH AH AH AB AB

++==+=+=211JQ CJ CQ CQ CQ DQ DQ CJ CJ CJ CD CD

++==+=+=考察ACQ ?被直线PBD 所截应用梅涅劳斯定理可知1CP AB QD CP AH PA BQ DC PA HQ =??=?QN CN

?所以PHJ 共线，从而STHJP 五点共线。另一方面，联结PI ，分别交QB 、QD 于H ′、J ′，由完全四边形的调和性可知，QAH B ′为调和点列，QCJ D ′为调和点列，于是H 与H ′重合，J 与J ′重合，故HJP 三点共线，所以得到S 、T 、H 、J 、I 、P 六点共线。

为了研究极点与极线的其他性质，我们找到了一些特殊情况，试图在特殊情况中得出极点极线的某些普通的性质。

我们试着在⊙O 上取两点A 、B ，作他们的极线即圆的切线，而我们发现两条切线的交点P 关于圆的极线恰好是AB 的连线，如右图。

由此我们猜想：两点连线的的极点为此二点极线的交点。

于是我们尝试证明一般情况。

如右图（5），作圆O ，任取PQ 两点，联结PQ ，并作出他们的极线，交于H ，证明H 为PQ 的极点，即证明OH ⊥PQ 。

由上面的性质得到ABQ 、PCD 三点共线。易得到PO ⊥AB ，OQ ⊥CD 。于是得到，H 为PQO ?的垂心，所以H 为PQ 关于圆O 的极点，证毕。

（5）（6）

于是我们得到了性质3：两点连线的的极点为此二点极线的交点。

我们从上述的性质3，于是又有了进步更加大胆的猜想，是否两直线交点的极线为此二直线极点的连线？

于是我们又尝试运用特殊例子，证明他的正确性，再加以严格的证明。于是我们又举了一个与上面相同的特殊情况。

如图（6），PA 、PB 为两条直线，而A 、B 分别为他们的极点，而他们的交点P 的极线，恰好是AB 的连线。

于是我们尝试着去证明一般情况。

如右图（7），AB 、CD 为任意的两条直线，分别交圆O 于

A 、

B 与

C 、

D ，P 、Q 分别为AB 、CD 关于圆的极点，AB 与

CD 交于E ，求证：E 关于圆的极线为PQ 。

解：我们由P 、Q 作两条割线过E ，于是由题意可知P 、J 、

E 、K 四点调和与Q 、L 、E 、M 四点调和，于是过OE 做弦NR

在直线EF 找到一点F ′使得F EOS ′四点调和

过F ′做⊙O 的两条切线F R ′、F N ′，运用统一法易证得

NER 三点共线

且易证得AFE CFE ∠=∠，于是由引理1得EF PF ′′⊥，

EF QF ′′⊥。

所以PF Q ′共线，F ′与F 重合，于是PQ 为E 关于圆O 的极线。证毕。

由此，我们得到了性质4：两直线交点的极线为此两直线极点的连线。三、运用

我们研究了那么多极点与极线的性质，然后于是我们发现运极点与极线的性质，我们可以极快的解决一些较难的几何问题。

如此题：如图（8），D 是ABC ?的BC 边上的一点，使得CAD CBA ∠=∠，⊙O 经过B 、D 分别交AB 、AD 于E 、F ，BF 交DE 于G ，M 为AG 的中点，求证CM ⊥AO 。

联结EF ，延长与BC 交于P ，联结OP ，延长与AC 延长线交于L ，联结AP

联结GP 延长分别交AB 、AD 于I 、K ，延长AG 与BC 交于H 。

1、DFP ABD DAC ∠=∠=∠∵PF ∴∥CA

由完全四边形的调和性可知AFKD 四点调和，于是得到2AF KD AK FD

?=?可得12AF KD FD AK ?=，AF PC FD PD =∵12

PC KD PD AK ∴?=考察ADC ?被直线KPL 所截1AC PC KD LC PD AK ??=得到12

AC LC =C AL ∴为的中点

CM ∴∥PG

2、下面可运用极点极线PG ⊥AO 。由A 、E 、I 、B 四点调和，A 、F 、K 、D 四点调和，由性质2得到PI 的连线为A 点关于⊙O 的极线，于是得到PG ⊥AO ，PG ∵∥AO CM AO

∴⊥证毕。

如此一道复杂的几何题却利用极点极线的思想，轻松的做完了，可见极点极线在几何题中的运用十分广泛。

再例如今年全国数学联赛的二试的几何题，如下图（9），锐角三角形ABC 的外心O ，K 是边BC 上的一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上的一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与BC 交于点M ，求证：若OK 垂直MN ，则A ，B ，C ，D 四点共圆。

（8）

其提供的解答，用了十分复杂且麻烦的方法证明了当A，B，C，D四点共圆时，OK⊥MN。再利用同一法证明了结论。但是若是知道极点与极线的性质，我们可以极快的证出垂直来。

（9）（10）

证明过程如下：

解：如图（10）过N作圆O的两条切线PN与QN。连接ON交PQ于L。

则根据极点极线的推理可知M，P，E，K，L，F，Q7点共线MK，垂直于ON。

同理可知NK垂直于MO

所以点K是三角形MON的垂心。所以OK垂直于MN。

证毕。

再利用同一法，就可很快证出结论。

四、总结与体会

其实极点极线所涉及的内容还是非常的丰富，而且极点极线的妙用远不止如此，我们只是对其做了一个初步的探究。所以我们在日常做题当中还要总结经验才能够将这些方法使用得更好。

我们所学的是有限的，而数学是无止境的，需要我们一步一步的探索。

20.极点与极线的性质

第15讲:极点与极线的性质 极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途. 定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点. [位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线 G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P. 证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为 p:ax p x+b 2 y x x y p p ++cy p y+d 2 p x x ++e 2 p y y ++f=0,q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q ?ax p x Q +b 2 Q p Q p y x x y ++cy p y Q +d 2 p Q x x ++e 2 p Q y y ++f=0?点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y + +f=0上?点Q 的极线也通过点P. 推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线; 证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二 点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线. 推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共 点;同理可证:共点线的极点必共线. 推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点. 证明:设P(x 0,y 0),曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,则点P 的极线方程:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上?ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0+λ=0?λ=-(ax 02 +bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0)?直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0? ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点. [比例定理]:若过点P(x 0,y 0)的直线l 与曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直线:ax 0x+b 2 00y x x y ++

圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用 刘定勇 （安徽省宁国中学 ，242300） 圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力. 文[1]给出了两个较为简洁的结论： 命题1 椭圆122 22=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x . 双曲线122 22=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-b y y a x x . 抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px . 命题 2 圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应 的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性. 以上结论在文[2]中有证明. 如图给出椭圆的极点与对应极线的简图： 题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12 :22 =+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2 2 00012 x y < +<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线1200=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____. P 在椭圆内 P 在椭圆外

解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为 [)22,2. 第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线 12 00=+y y x x 并不经过()00,y x P .还有学生看到 12 00=+y y x x 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点. 事实上，1200=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够 用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了. 题2、（2010重庆文21）已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离 心率2 e = （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中 21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐 近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ?的值. 解析：（I ）C 的标准方程为.14 22 =-y x C 的渐近线方程为.2 1x y ± = （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和 44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线 MN 的方程为.44=+y y x x E E MN 的方程求出后剩下工作属常规计算.

圆内极点与极线性质简证

圆内极点与极线性质简证 原题 如图，过定点P 作定⊙O 两条动割线P AB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ．求证：动点Q 在一条定直线上． 问题1 如图，过点P 作⊙O 两条割线P AB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ，直线PQ 交⊙O 于点E 、F ，点M 为弦EF 的中点．求证：PM PQ PF PE ?=?． 注：要证明的结论等价于 FQ PF EQ PE =，即“内分比＝外分比”，也即点P ，E ，Q ，F 构成调和分割。 证法一：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ＝PE ·PF ， 则A ，Q ，M ，B 四点共圆，Q ，C ，D ，M 四点共圆． 因此 ∠BMF ＝∠BAD ，∠DMF ＝∠DCB ， 因此 ∠BMF ＝∠FMD ，从而∠BOD ＝∠BMD ， 因此O ，M ，B ，D 四点共圆． 因此 ∠OMD ＝∠OBD ， 又 BOD FMD ∠= ∠2 1 ，OB ＝OD ，因此 ∠FMD ＋∠OMD ＝90° 即OM ⊥MF （另法：将∠OMF 视为圆周角，则其所对的弧由两部分组成一个半圆） 因此 点M 为弦EF 的中点． 证法二：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ，延长DM 交⊙O 于点N ．连结OM ，BM ，BN ，EN ．

由于 C ，Q ，M ，D 四点共圆，Q ，A ，B ，M 四点共圆． 因此 ∠BQF ＝∠NDC ＝∠NBC 因此 NB ∥EF 因此 NE ＝BF ，∠NEF ＝∠BFE 又 ∠NME ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠BMF 因此 △NME ≌△BMF （AAS ） 因此 EM ＝FM ，下略． 证法三：这题可以用“面积正弦法”解决，你可以随便找三角形来构成正弦比． QA PA DE BE QA PA QAE PAE S S EQ PE QAE PAE ?=?∠∠==??sin sin QA PA DF BF QA PA QAF PAF S S FQ PF QAF PAF ?=?∠∠==??sin sin 因此只要证明 DF BF DE BE = ，这可以由下面的推导得到： DF BF AE CE CD AB AE CE QC QA AE CE DPE BPE DE PE PE BE DE BE =?=?=?∠∠=?=sin sin （由∠BAD ＝∠BCD 得∠P AQ ＝∠PCQ ） 从而得证． 证法四：设直线PQ 为x 轴，直线AB ，CD ，AD ，BC 方程为0),(1=y x f ，0),(2=y x f ， 0),(3=y x f ，0),(4=y x f ；P (p ，0)，Q (q ，0)，E (e ，0)，F (f ，0).

极点极线

2.2.2 极点与极线，配极原则 （一）作图原理 定理（配极原则）如果P 点的极线通过Q 点，则Q 点的极线也通过P 点。 证明：这二阶曲线的方程为0=S ，P 点的坐标为)(3,2,1p p p ，Q 点的坐标为),,(321q q q ，于是，P 点关于0=S 的极线为0=p S ，Q 点关于0=S 的极线为0=q S ，因P 点的极线通过Q 点，所以有0=pq S ，但qp pq S S =。所以有0=qp S ，这表示Q 点的极线0=q S 通过P 点。 推论1 两点连线的极点是此二点极线的交点；两直线交点的极线是此二直线极点的连线。 推论2 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线。 推论3 设PB PA ,为二次曲线的切线，若其中B A ,为切点，则AB 为P 点的极线. 定义3.3 如果一个三点形的三个顶点恰是对边的极点，则此三点形叫做自极三点形。 （二）作图举例 例1 、一个完全四点形的四哥顶点若在一条二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点。 证明：如下图10，设X Y Z 是完全四点形ABCD 的对边三点形，于是1),(,1),(-=-=XF AD XE BC ，所以F E ,均为关于二阶曲线的共轭点，从而直线EF 即直线YZ 是X 的极线。 同理，XY 是Z 的极线，由配极原则知，XZ 是Y 的极线

例2、已知点P 不在二阶曲线)(c 上，求作P 点关于)(c 的极线。 解：过P 点作)(c 的两条割线，与)(c 分别交于B A ，与D C ，，如下图所示，设AC 与BD 交于点Q ，AD 与BC 交于点R ，则直线QR 就是P 点的极线。 事实上，由例1可知PQR 是自极三点形

圆内极点与极线性质简证

圆内极点与极线性质简证 原题 如图，过定点P 作定⊙O 两条动割线PAB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ．求证：动点Q 在一条定直线上． 问题1 如图，过点P 作⊙O 两条割线PAB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ，直线PQ 交⊙O 于点E 、F ，点M 为弦EF 的中点．求证：PM PQ PF PE ?=?． 注：要证明的结论等价于FQ PF EQ PE = ，即“内分比＝外分比”，也即点P ，E ，Q ，F 构成调和分 割。 证法一：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ＝PE ·PF ， 则A ，Q ，M ，B 四点共圆，Q ，C ，D ，M 四点共圆． 因此 ∠BMF ＝∠BAD ，∠DMF ＝∠DCB ， 因此 ∠BMF ＝∠FMD ，从而∠BOD ＝∠BMD ， 因此O ，M ，B ，D 四点共圆． 因此 ∠OMD ＝∠OBD ， 又 BOD FMD ∠= ∠2 1，OB ＝OD ，因此 ∠FMD ＋∠OMD ＝90° 即OM ⊥MF （另法：将∠OMF 视为圆周角，则其所对的弧由两部分组成一个半圆） 因此 点M 为弦EF 的中点． 证法二：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝PA ·PB ＝PC ·PD ，延长DM 交⊙O 于点N ．连结OM ，BM ，BN ，EN ．

由于 C ，Q ，M ，D 四点共圆，Q ，A ，B ，M 四点共圆． 因此 ∠BQF ＝∠NDC ＝∠NBC 因此 NB ∥EF 因此 NE ＝BF ，∠NEF ＝∠BFE 又 ∠NME ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠BMF 因此 △NME ≌△BMF （AAS ） 因此 EM ＝FM ，下略． 证法三：这题可以用“面积正弦法”解决，你可以随便找三角形来构成正弦比． QA PA DE BE QA PA QAE PAE S S EQ PE QAE PAE ? = ? ∠∠= = ??sin sin QA PA DF BF QA PA QAF PAF S S FQ PF QAF PAF ?=?∠∠==??sin sin 因此只要证明 DF BF DE BE =，这可以由下面的推导得到： DF BF AE CE CD AB AE CE QC QA AE CE DPE BPE DE PE PE BE DE BE =?=?=?∠∠= ?=sin sin （由∠BAD ＝∠BCD 得∠P AQ ＝∠PCQ ） 从而得证． 证法四：设直线PQ 为x 轴，直线AB ，CD ，AD ，BC 方程为0),(1=y x f ，0),(2=y x f ， 0),(3=y x f ，0),(4=y x f ；P (p ，0)，Q (q ，0)，E (e ，0)，F (f ，0).

极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高 考试题 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]

极点与极线背景下的高考试题 王文彬 (江西省抚州市第一中学 344000) 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景. 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 1.从几何角度看极点与极线 定义1 如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,, E F G H，连接, EH FG 交于N，连接, EG FH交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线. 由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点,A B两点，则, PA PB恰为圆锥曲线的两条切线. 定理1 (1)当P在圆锥曲线 上时，则点P的极线是曲线 M 图1

Γ在P点处的切线； (2)当P在Γ外时，过点P作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)； (3) 当P在Γ内时，过点P任作一割线交Γ于,A B，设Γ在,A B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹. 定理2 如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过点P任作一割线交Γ于,A B， 交l于Q，则PA PB AQ BQ =①；反之，若有①成立，则称点,P Q调和分割线段AB，或称点 P与Q关于Γ调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线. 推论1 如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q，则有 211 PQ PA PB =+②；反之，若有②成立， 则点P与Q关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 211 PQ PA PB ?=+. 特别地，我们还有 图2 B

极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考 试题 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

极点与极线背景下的高考试题 王文彬 (江西省抚州市第一中学 344000) 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景. 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 1.从几何角度看极点与极线 定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线. 由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线； (2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)； (3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹. 定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于 ,A B ，交l 于Q ，则 PA PB AQ BQ = ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线. 推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 211PQ PA PB ?=+. 特别地，我们还有 推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =? ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 图1 图2

高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式

极点极线 定义 已知圆锥曲线С: A x +B y +C x +D y +E=0与一点P(x 0,y 0) [其中A +B ≠0,点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L: A ?x 0x +B ?y 0y +C ?x 0+x 2+D ?y 0+y 2+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以x 0x 替换x ，以x 0+x 2 替换x ，以y 0y 替换y ,以y 0+y 2 替换y 则可得到极点P(x 0,y 0)的极线方程L. 特别地： (1)对于圆(x-a) +(y-b) =r ,与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为 (x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ； (2)对于椭圆 x a +y b =1，与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为x 0x a +y 0y b =1 ；

(3)对于双曲线x a - y b =1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为 x0x a - y0y b =1； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)； 性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部 ．．．．．．．．．．．]: ①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线； ②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线； ③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= (x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0x a + y0y b = x0 a + y0 b ；若是 双曲线,则此时中点弦的方程为x0x a - y0y b = x0 a - y0 b ；若是抛物线,则此时中点弦的 方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；

高等几何第五章

第五章 二次曲线的仿射性质 如果将仿射变换 (5.0.1) 111112213 221122223 ''x a x a x a x a x a x a =++?? =++? 1112 2122 0a a a a ?=≠ 用点的齐次坐标表示，设 '' 1212''3333 ',',,x x x x x y x y x x x x ====， 于是(5.0.1)化为 '112 111213' 333 '212212223'3 33x x x a a a x x x x x x a a a x x x ?=++????=++?? 设' 33x x ρ=，上式变为 (5.0.2) 1111122133 221122223333'',0,0'x a x a x a x x a x a x a x x x ρρρρ=++?? =++?≠≠??=? 上式是用齐次坐标表示的仿射变换公式。 显然，(5.0.2)使30x =变成3'0x =，可见仿射变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。 本章将以无穷远直线不变这一仿射性质为基础研究二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质及其分类。 §1 二次曲线的仿射性质 1.1二次曲线与无穷远直线的相关位置 设二次曲线的方程为 (5.1.1) 3 ,,1 0,()ij i j ij ji i j S a x x a a == ==∑ 现在求无穷远直线30x =与二次曲线的交点，将30x =代入(5.1.1)得 (5.1.2) 22111121222220,a x a x x a x ++= 解(5.1.2)得 (5.1.3) 1211 x x = 因此

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究 王文彬 极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下： §1.极点与极线的定义 1.1 几何定义 如图，P 是不在圆锥曲线上的点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线. 由图1可知，同理PM 为点N 对应的极线，PN 为点 M 所对应的极线.MNP 称为自极三点形.若连接MN 交圆锥曲线于 点,A B ，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 事实上，图1也给出了两切线交点P 对应的极线的一种作法. 1.2 代数定义 已知圆锥曲线22 :220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线 0000:()()0l A x x C y y D x x E y y F ++++ ++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线. 事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2 x ，以02 x x +替换x (另一变量y 也是如此) 即可得到点00(,)P x y 极线方程. 特别地： (1)对于椭圆22 221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b +=； (2)对于双曲线22 221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=； (3)对于抛物线2 2y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. §2.极点与极线的基本结论 定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则极线l 是曲线Γ在P 点处的切线； (2)当P 在Γ外时，则极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点 弦所在直线)； (3) 当P 在Γ内时，则极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹. 证明：假设同以上代数定义，对22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=的方程，两边求 导得22220Ax Cyy D Ey ''+++=，解得Ax D y Cy E +'=-+，于是曲线Γ在P 点处的切线斜率 为00Ax D k Cy E +=-+，故切线l 的方程为0000()Ax D y y x x Cy E +-=--+，化简得 220000000Ax x Cy y Ax Cy Dx Ey Dx Ey +--++--=，又点P 在曲线Γ上，故有220000220Ax Cy Dx Ey F ++++=，从中解出2200Ax Cy +，然后代和可得曲线Γ在P 点 图1

极点极线及高中圆锥曲线必备公式

声明: 本内容来自网络,感谢 ?百度贴吧mpc_killer吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线草稿》 ?《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》 ?百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》 等优秀内容. 极点极线 定义已知圆锥曲线С: A x+B y+C x+D y+E=0与一点P(x 0,y ) [其中A+B ≠0,点．P．不在曲线中心和渐近线上 ．．．．．．．．．．．].则称点P和直线L: A?x0x+B?y0y+C?x 0 +x 2 +D?y +y 2 +E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以x 0x替换x，以 x +x 2 替换x，以y y替换y,以 y +y 2 替 换y则可得到极点P(x 0,y )的极线方程L. 特别地： (1)对于圆(x-a)+(y-b)=r,与点P(x 0,y )对应的极线方程为 (x 0-a)(x-a)+(y -b)(y-b)=r； (2)对于椭圆x a + y b =1，与点P(x ,y )对应的极线方程为 x x a + y y b =1； (3)对于双曲线x a - y b =1，与点P(x ,y )对应的极线方程为 x x a - y y b =1； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x 0,y )对应的极线方程为y y=p(x +x)； 性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部 ．．．．．．．．．．．]: ①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线； ②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；

极点与极线背景下的高考考试

极点与极线背景下的高考考试

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极点与极线背景下的高考试题 王文彬 (江西省抚州市第一中学 344000) 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景. 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 1.从几何角度看极点与极线 定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线. 由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线； (2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)； (3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹. 定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ， 交l 于Q ，则PA PB AQ BQ = ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线. 推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=?=?-=-11 ()2PQ PA PB ??+= 211PQ PA PB ?=+. 特别地，我们还有 P E F G H M A N B 图 P Q A 图2 B l

圆内极点与极线性质简证

圆内极点与极线性质简证 原题 如图,过定点P 作定⊙O 两条动割线P AB 与PCD ,连结AD 与BC ,交于点Q .求证:动点Q 在一条定直线上. 问题1 如图,过点P 作⊙O 两条割线P AB 与PCD ,连结AD 与BC ,交于点Q ,直线PQ 交⊙O 于点E 、F ,点M 为弦EF 得中点.求证:PM PQ PF PE ?=?. 注:要证明得结论等价于 FQ PF EQ PE =,即“内分比＝外分比”,也即点P ,E ,Q ,F 构成调与分割。 证法一:在射线PF 上取点M ,使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ＝PE ·PF , 则A ,Q ,M ,B 四点共圆,Q ,C ,D ,M 四点共圆. 因此 ∠BMF ＝∠BAD ,∠DMF ＝∠DCB , 因此 ∠BMF ＝∠FMD ,从而∠BOD ＝∠BMD , 因此O ,M ,B ,D 四点共圆. 因此 ∠OMD ＝∠OBD , 又 BOD FMD ∠= ∠2 1 ,OB ＝OD ,因此 ∠FMD ＋∠OMD ＝90° 即OM ⊥MF (另法:将∠OMF 视为圆周角,则其所对得弧由两部分组成一个半圆) 因此 点M 为弦EF 得中点. 证法二:在射线PF 上取点M ,使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ,延长DM 交⊙O 于点N .连结OM ,BM ,BN ,EN .

由于 C ,Q ,M ,D 四点共圆,Q ,A ,B ,M 四点共圆. 因此 ∠BQF ＝∠NDC ＝∠NBC 因此 NB ∥EF 因此 NE ＝BF ,∠NEF ＝∠BFE 又 ∠NME ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠BMF 因此 △NME ≌△BMF (AAS ) 因此 EM ＝FM ,下略. 证法三:这题可以用“面积正弦法”解决,您可以随便找三角形来构成正弦比 . QA PA DE BE QA PA QAE PAE S S EQ PE QAE PAE ?=?∠∠==??sin sin QA PA DF BF QA PA QAF PAF S S FQ PF QAF PAF ?=?∠∠==??sin sin 因此只要证明 DF BF DE BE = ,这可以由下面得推导得到: DF BF AE CE CD AB AE CE QC QA AE CE DPE BPE DE PE PE BE DE BE =?=?=?∠∠=?=sin sin (由∠BAD ＝∠BCD 得∠P AQ ＝∠PCQ ) 从而得证. 证法四:设直线PQ 为 x 轴,直线AB ,CD ,AD ,BC 方程为 0),(1=y x f ,0),(2=y x f ,0),(3=y x f ,0),(4=y x f ;P (p ,0),Q (q ,0),E (e ,0),F (f ,0)、

20.极点与极线的性质

20.极点与极线的性质

第15讲:极点与极线的性质 125 第15讲:极点与极线的性质 极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途. 定义: 已知曲线G:ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, 则称点P(x 0,y 0)和直线 l:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点. [位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上, 则直线l 是曲线G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P. 证明:设圆锥曲线G:ax 2 +bxy+cy 2 +2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别 为p:ax p x+b 2 y x x y p p ++cy p y+d 2 p x x ++e 2 p y y ++f=0,q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点 Q ?ax p x Q +b 2Q p Q p y x x y ++cy p y Q +d 2 p Q x x ++e 2 p Q y y ++f=0?点 P(x p ,y p ) 在 直 线 q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y + +f=0上?点Q 的极线也通过点P.

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

解析几何中极点与极线知识の现状与应用研究 王文彬 极点与极线是圆锥曲线内在の几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下： §1.极点与极线の定义 1.1 几何定义 如图，P 是不在圆锥曲线上の点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应の极线. 若P 为圆锥曲线上の点，则过P 点の切线即为极线. 由图1可知，同理PM 为点N 对应の极线，PN 为点 M 所对应の极线.MNP 称为自极三点形.若连接MN 交圆锥曲线于 点,A B ，则,PA PB 恰为圆锥曲线の两条切线. 事实上，图1也给出了两切线交点P 对应の极线の一种作法. 1.2 代数定义 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l A x x C y y D x x E y y F ++++ ++=是圆锥曲线Γの一对极点和极线. 事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2 x ，以02 x x +替换x (另一变量y 也是如此) 即可得到点00(,)P x y 极线方程. 特别地： (1)对于椭圆22 221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应の极线方程为00221x x y y a b +=； (2)对于双曲线22 221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应の极线方程为00221x x y y a b -=； (3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应の极线方程为00()y y p x x =+. §2.极点与极线の基本结论 定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则极线l 是曲线Γ在P 点处の切线； (2)当P 在Γ外时，则极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线の切点所确定の直线(即切点 弦所在直线)； (3) 当P 在Γ内时，则极线l 是曲线Γ过点P の割线两端点处の切线交点の轨迹. 证明：假设同以上代数定义，对22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=の方程，两边求 导得22220Ax Cyy D Ey ''+++=，解得Ax D y Cy E +'=-+，于是曲线Γ在P 点处の切线斜率 为00Ax D k Cy E +=-+，故切线l の方程为0000()Ax D y y x x Cy E +-=--+，化简得 220000000Ax x Cy y Ax Cy Dx Ey Dx Ey +--++--=，又点P 在曲线Γ上，故有220000220Ax Cy Dx Ey F ++++=，从中解出2200Ax Cy +，然后代和可得曲线Γ在P 点 图1

(完整)极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题 王文彬 （江西省抚州市第一中学 344000） 极点与极线是高等几何中的重要 概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查 的范围， 但由于极 点与极线是圆锥曲线的一种基本特征， 因此在高考试题中必然会有所反映， 试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师， 应当了解极点与极线的概念， 掌握有关极点与极线的基本性质， 破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律 1. 从几何角度看极点与极线 定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 . 由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所 对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线 于点 A, B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 . 定理 1（1） 当 P 在圆锥曲线 上时，则点 P 的极线是曲线 在 P 点处的切线； （2） 当 P 在 外时，过点 P 作 的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则 点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所 在的直线 ） ； （3）当P 在 内时，过点 P 任作一割线交 于A,B ，设 在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q 的轨迹 . 自然也会成为高考 只有这样， 才能“识 定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的极线为 ①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段 关于圆锥曲线 的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线 和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 . 推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的调和共轭 2 1 1 点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于 调和共轭 . 可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQ PA PB . 特别地，我们还有 推论 2 如图 3，设点 的中心，则有 OR 2 证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交 于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ） 的调 即可得 PR RQ RQ RQ 2 OR 2 OP PR ，即点 P 关于有心圆锥曲线 （设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线 OQ ，反之若有此式成立，则点 的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OP P 与 Q 关于 调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出 P 与 Q 关于 调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线 的一条 P 图2 AB ，或称点 R 图 3

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极点与极线背景下的高考试题 王文彬 (江西省抚州市第一中学344000) 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景. 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 1. 交于N 若P 由图于点,A B Γ在P (2)在的直线(3)Q 的轨迹PB BQ =Q ) Γ点为点Q 则点P 与2PQ ? =特别地，我们还有 推论2如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线 的中心，则有2 OR OP OQ =?，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP OR RQ R Q OR OQ OR OQ '-+=?='-+，化简 即可得2 OR OP OQ =?.反之由此式可推出 PR PR RQ R Q ' ='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条 图3 R

对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠. 证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在 ,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P 也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠； 若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP '' 的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠. 定理3(配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ 的极线p Γ的极点Q . 2.定和直线0:l Ax x +y 即可得 到点0(P x (1) (2) (3)(4)22y px =3.【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15 9=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，． (1)设动点P 满足42 2 =-PB PF ，求点P 的轨迹； (2)设121 23 x x == ，，求点T 的坐标； (3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）． 分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ， 连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 图4 R