分式方程
一、【基础知识精讲】
1.分式方程的定义:分母中含有 的方程叫分式方程。
2.解分式方程的基本思想方法: 整式方程分式方程去分母??→?
3.解分式方程的一般方法和步骤:
(1)去分母,即在方程两边都乘以 ,把原方程化成 。
(2)解这个整式方程;
(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母, 使最简公分母不等于零的根是原方程的根,
使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去.
4.分式方程的增根问题:
⑴ 增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根即增根;增根是由分式方程化成的整式方程的根,也是使最简公分母为0的根
⑵ 验根:解分式方程必须验根.验根的简单方法是代入最简公分母,看最简公分母是否为0.
5.列分式方程解应用题的一般步骤:
(1)审:审清题意. (2)设:设未知数.
(3)找:找出相等关系. (4)列:列出分式方程.
(5)解: 解这个分式方程.
(6)验:检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要检验根是否符合题意.
(7)答:写出答案.
例1:分式通分六大技巧
1、逐步通分2411241111
x x x x ----+++ 2、整体通分)225(423---÷--a a a a
3、分组通分:2m 11-m 21m 22-m 1+--++
4、分解简化通分:4x 2x 1x x 1x
x x x 22223-+-+-+--
5、裂项相消
()()()()()()10099132121111--+???+--+--+-a a a a a a a
6、活用乘法公式:1)x 1)(x x 1)(x x 1)(x x 1)(x x 1)(x x 1(x 21616884422≠-+++++() 例2:去分母法解分式方程
1、
()()11
3116=---+x x x 2、22416222-+=--+-x x x x x 3、22412212362x
x x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x
例3:整体换元与倒数型换元:
1、用换元法解分式方程:(1)6151=+++x x x x (2)12221--=+--x x x x
例4:分式方程的(增)根的意义
1、 若分式方程:024
122=+-+-x x a 有增根,求a 的值。 2、(09 牡丹江)关于x 的分式方程131=---x
x a x 无解,则a=_________。 例5:列方程解应用题
1、某客车从甲地到乙地走全长480Km 的高速公路,从乙地到甲地走全长600Km 的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km ,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
2、 一个批发兼零售的文具店规定:凡一次购买铅笔300枝以上,(不包括300枝),可按
批发价付款,购买300枝以下,(包括300枝)只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔,如果给八年级学生每人购买1枝,那么只能按零售价付款,需用120元,如果再购买60枝,那么可以按批发价付款,同样需要120元。(1)这个八年级的学生总数在什么范围内?(2)若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同,那么这个学校八年级学生有多少人?
12、(11培优)小明上学时的平均速度为m 千米/时,放学回家时,沿原路返回,平均速度为n 千米/时,则小明上学和放学路上的平均速度为_____________千米/时。
13、(七中)A 、B 两地相距48千米,一艘轮船从A 地顺流航行至B 地,又立即从B 地逆流返回A 地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时,则可列方程为____________________________。
14、(09荆州)八年级(1)班学生周末乘汽车到游览区游览,游览区到学校120千米,一部分学生乘慢车先行,出发1小时后,另一部分学生乘快车前往,结果他们同时到达,已知快车速度是慢车的 1.5倍,若设慢车的速度为x 千米/时,则可列方程为 。
5、(06东营市)某自来水公司水费计算方法如下:若每户每月用水不超过5m 3,则每立方米
收费1.5元;若每户每月用水超过5m 3,则超出部分每立方米收取较高的定额费用。1月份,张家用水量是李家用水量的
3
2,张家当月水费是17.5元,李家当月水费是27.5元,超出5m 3的部分每立方米收费多少元?
6、(武汉中考)今年入夏以来,湖北部分地区旱情严重,为缓解甲、乙两地旱情,、某水库计划向甲、乙两地送水,甲地需水量为180 万立方米,乙地需水量为120万立方米,现已送水两次:第一次往甲地送水3天,往乙地送水2天,共送水84万立方米,第二次往甲地送水2天,往乙地送水3天,共送水81万立方米,问:完成往甲地、乙地送水任务还有多少天?
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题附答案详解) 1.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降,今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量的A款汽车,去年销售额为90万元,今年销售额只有80万元. (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元? (2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知B款汽车每辆进价为7.5万元,每辆售价为10.5万元,A款汽车每辆进价为6万元,若卖出这两款汽车15辆后获利不低于38万元,问B款汽车至少卖出多少辆? 2.小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步,小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米,两人分别从家中同时出发,小明骑自行车,小刚乘公交车,已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍,结果小刚比小明提前4min到达公园,求小刚乘公交车的平均速度. 3.兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫,由于深受顾客喜爱,很快售完,老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫,所购数量与第一批相同,但每件进价比第一批多了9元. (1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元? (2)老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫,当第二批T恤衫售出4 5 时,出现了 滞销,于是决定降价促销,若要使第二批的销售利润不低于650元,剩余的T恤衫每件售价至少要多少元?(利润=售价﹣进价) 4.近年来,泰州多条动车路线的开通进一步加强了与其他城市的沟通,同时也为市民的出行带来了方便.已知某市到泰州的路程约为900km,一列动车的平均速度比特快列车快50%,所需时间比特快列车少2h,求该列动车的平均速度. 5.一项工程,甲,乙两公司合做,12天可以完成,共需付施工费102000元;如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元. (1)甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天? (2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少? 6.甲、乙两人做某种机械零件,已知甲每小时比乙多做5个,甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等,问甲、乙两人每小时各做多少个零件?(用列方程的方法解答)
10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ; 当分子、分母是多项式时,先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 (1)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键,它的法则是: ①取各分母系数的最小公倍数; ②凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取; ③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的。 (2)同分母的分式加减法法则 (3)异分母的分式加减法法则是先通分,变为同分母的分式,然后再加减。 3. 分式乘方的法则 (n为正整数) 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题: (1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关; (2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式; (3)运算中及时约分、化简; (4)注意运算律的正确使用; (5)结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】
例1:计算的结果是() A. B. C. D. 分析:原式 故选C 说明:先将分子、分母分解因式,再约分。 例2:已知,求的值。 分析:若先通分,计算就复杂了,我们可以用替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。 解:原式 例3:已知:,求下式的值: 分析:本题先化简,然后代入求值。化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解:
1.若关于x的不等式组恰好只有四个整数解,则a的取值范围是() A.a B.C.﹣2D.﹣2 2.设a,b是常数,不等式+>0的解集为x<,则关于x的不等式bx﹣a <0的解集是() A.x>B.x<﹣C.x>﹣D.x< 3.若不等式(ax﹣1)(x+2)>0的解集是﹣3<x<﹣2,那么a等于() A.B.C.3D.一3 4.不等式的解集为x>2,则m的值为() A.4B.2C.D. 5.若关于x的不等式组的整数解共有3个,则m的取值范围是()A.5<m≤6B.5≤m<6C.5≤m≤6D.5<m<6 6.已知a>b,c≠0,则下列关系一定成立的是() A.ac>bc B.C.c﹣a>c﹣b D.c+a>c+b 7.下列命题中: ①如果a<b,那么ac2<bc2; ②关于x的不等式(a﹣1)x>1﹣a的解集是x<﹣1,则a<1; ③若是自然数,则满足条件的正整数x有4个. 正确的命题个数是() A.0B.1C.2D.3 8.若x是方程2x+m﹣3(m﹣1)=1+x的解为负数,则m的取值范围是()A.m>﹣1B.m<﹣1C.m>1D.m<1 9.按下面的程序计算:
若输入x=100,输出结果是501,若输入x=25,输出结果是631,若开始输入的x值为正整数,最后输出的结果为556,则开始输入的x值可能有()A.1种B.2种C.3种D.4种 10.若x为任意实数时,二次三项式x2﹣6x+c的值都不小于0,则常数c满足的条件是() A.c≥0B.c≥9C.c>0D.c>9 11.关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数,则m的取值范围是()A.m≥2B.m≤2C.m>2D.m<2 12.关于x的不等式组的解集为x<3,那么m的取值范围为 () A.m=3B.m>3C.m<3D.m≥3 13.已知△ABC的边长分别为2x+1,3x,5,则△ABC的周长L的取值范围是() A.6<L<36B.10<L≤11C.11≤L<36D.10<L<36 14.已知实数x、y同时满足三个条件:①3x﹣2y=4﹣p,②4x﹣3y=2+p,③x>y,那么实数p的取值范围是() A.p>﹣1B.p<1C.p<﹣1D.p>1 15.关于x的不等式组的解集是x>﹣1,则m=. 16.若不等式组的解集为﹣1<x<1,那么(a+1)(b﹣1)的值等于. 17.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y>2,则k的取值范围是. 18.若不等式组有解,那么a必须满足. 19.已知a、b都是实数,且a=,b=,b<<2a,那么实数x的取值范围是.
分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是( ) A -40=1 B (-3)-1=3 1 C (-2)2=4 D ()-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是( ) A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是( ) A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0,则x 的值为( ) A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是( ) A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走,解决此问题,可设派x 人挖土,其它的人运土,列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程,正确的有( )个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中,分式的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根,则a 的值是( ) A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是( ) A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+,则直线2k 一定经过( ) A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子:()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ,其中第7个式子是
分式方程培优讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1.若关于x的分式方程的解为非负数,则a的取值范围是 2.分式方程=1﹣的根为 3.若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数,且使关于y的不等式组 的解集为y<﹣2,则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1.若关于x的方程﹣=﹣1无解,则m的值是 2.若=0无解,则m的值是 3.若关于x的分式方程﹣=无解,求a=.
三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根,那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根,则增根为. 3、若关于x的方程有增根,则m的值是. 4、解关于x的方程+=产生增根,则常数a= 四、整体代入解方程 1.已知在方程x2+2x+=3中,如果设y=x2+2x,那么原方程可化为关于y 的整式方程是. 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y=. 3.如果实数x满足(x+)2﹣(x+)﹣2=0,那么x+的值是. 四、实际问题 1.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件,很快售完;该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫,所进件数比第一批多40%,每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元,求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x件衬衫,则所列方程为() A.﹣10= B.+10= C.﹣10= D.+10=
2.一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h,它以最大航速沿江顺流航行 120km所用时间,与以最大航速逆流航行90km所用时间相等.设江水的流速为v km/h,则可列方程为() A.= B.=C.= D.= 3.甲、乙二人做某种机械零件,甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,下面所列方程正确的是() A. B. C. D. 4.2017年,在创建文明城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,计划种植树木30万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多20%,结果提前5 天完成任务,设原计划每天植树x万棵,可列方程是() A.﹣=5 B.﹣=5 C.+5= D.﹣=5 5.西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时!某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾,调用甲车3小时只清理了一半垃圾,为了加快进度,再调用乙车,两车合作小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时,根据题意可列出方程为() A.+=1 B.+= C.+= D.+=1 【同步训练】 1.如果关于x的不等式组的解集为x>1,且关于x的分式方程 +=3有非负整数解,则符合条件的m的所有值的和是()A.﹣2 B.﹣4 C.﹣7 D.﹣8 2.从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中,随机抽取一个数记为m,若数m使关于x的不等式组无解,且使关于x的分式方程+=﹣1有 非负整数解,那么这一个数中所有满足条件的m的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4